Ven x + Matemáticas

ÉSTOS SON GUIÑOS. Intencionados guiños que te hago con el sano propósito de seducirte. Porque la seducción es un arte, el arte de mostrar sólo lo que se quiere mostrar, INSINUANDO, de paso, todo eso que se podría alcanzar con un poco de dedicación. Eso hago yo aquí, así. Te muestro muchas cosas de las que te oculto casi todo. No quiero privarte del placer de descubrirlas por tu cuenta. Porque eso es lo que crea adicción; la sana, saludable y reconfortante ADICCIÓN POR LAS MATEMÁTICAS: esa otra manera de ver al mirar, y de reconocer al ver.  


¿CÓMO SE DESCUBREN LAS FÓRMULAS?

LA FÓRMULA DE HERÓN


Dados tres segmentos de línea recta

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de longitudes, a, b y c

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tales que la suma de las longitudes de dos cualesquiera de ellos supere la longitud del tercero:

  • a + b > c
  • a + c > b
  • b + c > a

Entonces, si formamos con estos tres segmentos una línea poligonal

0a1

cerrada

0a1

obtenemos siempre un TRIÁNGULO que es ÚNICO. Es decir, existe un sólo triángulo que tiene como lados esos tres segmentos. No ocurre igual con cuatro segmentos que formen un cuadrilátero. Un cuadrilátero, a diferencia de un triángulo, no es ‘rígido’, se puede deformar conservando la longitudes de sus lados.

0

Lo que si CONSERVA es el valor de la suma de todos sus ángulos interiores. ¡Como todos los polígonos!

  • La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es en radianes (igual que la de (n-2) triángulos)
  • El número de diagonales de un polígono de n lados es:

¿Puedes demostrarlo? Pero el único polígono ‘rígido’ es el triángulo. Por eso se utiliza en las construcciones para dar rigidez a las estructuras metálicas, como por ejemplo ésta:

0a1

Así pues, tenemos que los segmentos de longitudes a, b y c determinan un ÚNICO triángulo

0a1

que tiene muchas PROPIEDADES MEDIBLES: un área, tres alturas, tres medianas, tres bisectrices, tres ángulos, una circunferencia inscrita, otra circunscrita…

Lo que te dice el sentido común, junto con la INTUICIÓN, es que TODAS estas propiedades del triángulo tienen que poderse DETERMINAR utilizando sólo los valores conocidos de las longitudes de sus lados.

Esto es la ESENCIA DE LAS MATEMÁTICAS: intuir relaciones entre los elementos de un ente matemático, encontrarlas y demostrarlas. En nuestro ejemplo, intuimos que tiene que haber una relación (una fórmula) que permita CALCULAR el área de un triángulo conocidas las longitudes de sus lados. Esta fórmula existe y se atribuye a Herón de Alejandría.

Tienes que ponerte en la piel de Herón, plénamente convencido de que hay una FÓRMULA que permite calcular el área de un triángulo conocidos sus lados. Le da vueltas y más vueltas al asunto. No se desanima, porque está persuadido de que existe tal fórmula. Y un día, zas, encuentra el camino que le conduce a la solución. Lo recorre con expectación y llega al resultado deseado. Lo pule, lo mima, lo simplifica, lo hace atractivo. ¡Porque la Verdad es Bella! ¡Tiene que serlo! Juzga tu mism@

0a1

Donde S es el semiperímetro (la mitad del perímetro) del triángulo. Aquí tienes una demostración de esta fórmula que es una de esas joyas que atesora la matemática [VER]

A partir de esta fórmula, determinar la longitud de las alturas conocidos los lados de un triángulo es tan simple como despejar h de la conocida fórmula del área de un triángulo:

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Las fórmulas que permiten calcular las medidas de los ángulos conocidas las medidas de los lados exigen el desarrollo de la TRIGONOMETRÍA. Una vez más, hay que inventar nuevos conceptos y levantar toda una estructura conceptual con ellos, pero merece la pena. Ésta es la magnífica recompensa:

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La fórmula que permite calcular el radio de la circunferencia circunscrita en función de los lados es ésta:

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Donde S es el área del triángulo. Y el de la circunferencia inscrita, sería:

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0a1Donde S es el área del triángulo y p es el semiperímetro. Esta última fórmula se puede visualizar en la preciosa figura de la derecha, donde se demuestra la equivalencia de las dos áreas.

Calcula tú, en función de los lados, la razón (R/r) entre los dos radios. Lo que te propongo aquí es que DEMUESTRES todas estas fórmulas. Pero date cuenta de que con esto no has terminado. ¡Una investigación matemática nunca termina! Ésta es otra de esas HISTORIAS INTERMINABLES. Porque ahora te preguntas, ¿qué más cosas tiene un TRIÁNGULO?

  • Tiene FORMA, ¿podrías caracterizar la forma de un triángulo a partir de sus lados? ¿No te lleva esto a una clasificación?

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  • Tiene BELLEZA, ¿podrías investigar hasta qué punto las proporciones de sus lados contribuyen a esta belleza?

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  • Tiene tres medianas y tres bisectrices, ¿puedes calcular sus longitudes a partir de las longitudes de los lados?

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  • 0Tiene un punto [el Punto de Fermat] en su interior tal que la suma de las distancias de este punto a los vértices es mínima. ¿Podrías encontrar esta distancia conociendo sus lados?
  • ¿Qué más? ¿Qué se nos escapa? ¿Qué paisajes ‘triangulares’ nos quedan aún por explorar, aún por descubrir? 

¿CÓMO SE DESCUBREN LAS FÓRMULAS?

EL TEOREMA DE PITÁGORAS


Dados dos segmentos de línea recta de longitudes, b y c

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si formamos con ellos una línea poligonal cuyo ángulo sea recto

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vemos con claridad que SÓLO HAY UN segmento de longitud a que cierra la figura anterior formando un TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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Luego INTUIMOS que la longitud del segmento a tiene que estar completamente determinada tan sólo por las longitudes de los segmentos b y c.

Lo mismo sucede con los demás elementos del triangulo rectángulo: área, ángulos y altura sobre la hipotenusa. En efecto

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¿Podrías demostrar estas fórmulas? ¿Y explicar esta preciosa figura que tienes debajo? Tiene que ver con la equivalencia de áreas [el teorema de Pitágoras] 

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Si ahora partes sólo de la hipotenusa

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tienes infinitos triángulos rectángulos posibles. Todos ellos están inscritos en una semicircunferencia cuyo diámetro es a. (Es decir, todas sus alturas están comprendidas entre cero y el radio de la semicircunferencia [0< h < a/2])

0a1

De todos estos triángulos rectángulos construidos sobre la hipotenusa de longitud a, el isósceles, es el que encierra máxima área. ¿Podrías demostrarlo? ¿Cuál de todos estos triángulos tiene máximo perímetro?

0a1Se trata de un ARCO CAPAZ. El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo, es decir, el lugar geométrico de los vértices P de los ángulos APB que tienen la misma amplitud. El arco capaz de ángulo α de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos P tales que <APB = α y son exclusivamente dos arcos de circunferencia, uno a cada lado del segmento AB, ambos puntos se incluyen uniendo dichos arcos.

Puedes investigar cómo se construye con regla y compás el arco capaz de un segmento dado. Y también puedes justificar esta construcción.

Luego para determinar un triángulo del que conoces un sólo lado necesitas saber el ángulo opuesto a este lado y la atura correspondiente. Por ejemplo, intenta dibujar los elementos restantes de un triángulo del que se sabe que la base AB mide 5 cm, su ángulo opuesto C = 30° y la altura sobre esta base 7 cm. [VER SOLUCIÓN]

Para saber más:


¿CÓMO SE DESCUBREN LAS FÓRMULAS?

EL TÉRMINO GENERAL DE SUCESIONES Y SERIES


0a1 Todo comienza en la UNIDAD. La UNIDAD se mira en el espejo esférico de sí misma, y se ve reflejada INFINITAS veces. Surge así la MULTIPLICIDAD como concepto. Tenemos ahora un conjunto de infinitas unidades: la SUCESIÓN CONSTANTE {1}

{1} = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…}

Toda sucesión tiene asociada una serie, que es la sucesión que se obtiene con las sumas parciales de los términos de la sucesión original. Es decir, a toda SUCESIÓN se le puede asociar una SERIE definida de la siguiente forma:

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Apliquemos esta idea a la sucesión constante {1}. Tenemos que

0a1

Es así como, al CONTAR (o numerar) UNIDADES, se obtiene la serie de los números naturales: los NÚMEROS PARA CONTAR.

Si a esta SERIE le añadimos el ORDEN NATURAL (ser mayor que) de los números enteros obtenemos, así, la SUCESIÓN -conjunto ordenado de números- de los números naturales.

N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ,15 16, 17 …. n ….

Dado que en la SUCESIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES el orden (la posición en la serie) y el ‘tamaño’ (el valor) de sus elementos coinciden, a esta sucesión le corresponde la siguiente TABLA:

n = 9º  …
an = 1 2 3 4 5 6 7 8 9   …

El PRIMERO es UNO; el segundo es dos; el tercero es tres; el cuarto, cuatro; el quinto, cinco; el sexto, seis; el séptimo, siete; el octavo, ocho; el noveno, nueve; el décimo, diez. ¿Sigo? ¿Te queda clara la diferencia entre ORDINALES y CARDINALES?

Tabla que se puede visualizar en la siguiente GRÁFICA:

0a1

De donde se deduce la siguiente FÓRMULA:

an = n

La SUCESIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES es la sucesión (no constante) más simple de todas. Una sucesión que sirve tanto para numerar (uno, dos, tres, cuatro…) como para ordenar (primero, segundo, tercero, cuarto… ) otros conjuntos discretos. Esta sucesión de los números naturales se puede definir, también, por recurrencia: cada término es el anterior más uno. Así:

0a1

Es una SUCESIÓN que, como queda dicho, solemos utilizar para numerar y ordenar otros conjuntos discretos, que convertimos, de esta manera, en sucesiones. Ya que una sucesión no es otra cosa que un conjunto ordenado de números. Esto es una SUCESIÓN:

n = 9º  …
an = 1 1 2 3 5 8 13 21 34   …

¿Puedes encontrar la regla que permite generar esta sucesión? A esta regla se le llama TÉRMINO GENERAL, y en ocasiones se puede escribir como una FÓRMULA ALGEBRAICA. En otras ocasiones, como una REGLA DE RECURRENCIA. En este caso es más fácil hacerlo de la segunda manera, pero la primera ¡también existe!

El TÉRMINO GENERAL de la sucesión de los números naturales es an=n, por lo que la podemos escribir así:  N = {n}  Como todas, la SUCESIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES tiene una SERIE asociada, ésta:

0a

Se trata de la sucesión de los NÚMEROS TRIANGULARES, cuyo termino general es

0a1

Y sus cinco primeros términos los puedes visualizar así:

0a1

Esta FÓRMULA, el TÉRMINO GENERAL de la sucesión, te sirve para calcular cualquier término de la misma; sólo tienes que saber qué lugar (n) ocupa en la sucesión. Por ejemplo, el décimo número triangular es:

0a1

Es decir, la suma de los diez primeros números naturales es 55. Emula a Gauss calculando tú la suma de los cien primeros números naturales. Claro que Gauss, con nueve años, no conocía aún esta FÓRMULA. ¿Cómo lo hizo?

La sucesión de los NÚMEROS NATURALES tiene infinitos términos al carecer de último término. Dentro de esta sucesión podemos distinguir dos subsucesiones: la de los números pares, cuyo término general es {an = 2n}; y la de los números impares, cuyo término general es {an = 2n-1}. Ambas tienen los mismos términos que la sucesión de la que proceden: INFINITOS. Ésta es la paradoja del infinito: un conjunto y un subconjunto estricto pueden tener el mismo número de elementos.

Si tomamos ahora la sucesión de los NÚMERO IMPARES podemos obtener su SERIE ASOCIADA. Es ésta:

0a1

Se trata de unos números muy especiales: la serie de los números CUADRADOS PERFECTOS, {an = n²}

0a1

Todo esto esta íntimamente relacionado con el CRECIMIENTO GNÓMICO, idea que también se puede aplicar a los números figurados. Ya que como se puede ver en esta imagen, el gnomon de un número cuadrado perfecto es SIEMPRE un número impar:

0a1

Si calculamos ahora la SERIE ASOCIADA a la sucesión de los números cuadrados perfectos tenemos que

0a1

Para el cálculo de su TERMINO GENERAL emplearemos la técnica de las DIFERENCIAS FINITAS. Tenemos que

0a1

Vemos que las diferencias terceras (d3) constantes, esto implica que el término general es un polinomio de grado tres:

an = a n³ + b n² + c n + d.

Para calcular los coefiecientes a, b, c y d, se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

0a1

restando (2) – (1), (3) – (2), (4) – (3) tenemos que

0a1

volviendo a restar (6) – (5) y (7) – (6)

0a1

Restando estas dos últimas ecuaciones obtenemos que

0a1

sustituyendo en (8) obtenemos que  b = 1/2. Siguiendo así llegamos a c= 1/6 y d=0. Por lo que tenemos que:

0a1

que es el término general de los NÚMEROS PIRAMIDALES cuadrados

0a1

Como ves en la figura de arriba, un número piramidal de base cuadrada es un número figurado que se obtiene al apilar esferas (o puntitos) iguales formando capas en forma de cuadrados (perfectos) consecutivos.

Factorizando la expresión anterior, el TÉRMINO GENERAL de la sucesión de los números PIRAMIDALES CUADRADOS toma la siguiente forma

\sum_{k=1}^nk^2={(n^2 + n)(2n + 1) \over 6}

Los primeros números piramidales cuadrados son: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819 … Su término general también se pueden escribir utilizando números combinatorios

{{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}

Fue G. N. Watson quien en 1918 demostró que sólo hay un número piramidal cuadrado que es, a su vez, un cuadrado perfecto, además del 1.

¿Podrías obtener tú, como ejercicio, la serie asociada a la sucesión de los números triangulares? [VER SOLUCIÓN]

0a1

¿De qué SERIE estamos hablando? Antes de hacer cálculos, intenta visualizar con números figurados lo que estás haciendo. ¿Puedes adelantar el resultado? Aquí tienes una solución:

Tomemos, por ejemplo, los números triangulares, 1, 3, 6, 10,… Imaginemos que comenzamos por 1 (siempre se comienza con él), que hará el papel de vértice (de GERMEN), y después le adosamos como base el siguiente triangular, 3 (primer gnomon), y después el siguiente, 6 (segundo gnomon), y así hasta que obtengamos la ‘altura’ deseada (n). Lo puedes ver en la imagen (un tetragonal de ‘altura’ 3):

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A los NÚMEROS PIRAMIDALES de base triangular (k=3) les llamaremos tetraédricos, a los de orden 4 (k=4), piramidales cuadrados, y al resto, pentagonales, hexagonales, y así hasta el orden que deseemos. Usamos la palabra orden (k) para no crear confusión. Llamaremos altura al número de ‘capas’ poligonales que se acumulan. 

Evidentemente, el crecimiento GNÓMICO (crecimiento por capas) te dice que:

PIR(n,k)=PIR(n-1,k)+POL(n,k)

El número piramidal de orden k y altura n equivale a la suma del piramidal de idéntico orden y uno menos de altura y el poligonal de mismo orden y lado (la capa añadida)

Existe una expresión general para calcular PIR(N,K) (Piramidal de orden K -la forma de la base- y de lado n -la altura-)

Tienes una demostración [AQUÍ]    [VER esto también]

Con un poco de Álgebra, se puede extraer (¿puedes?) de esta fórmula el factor n(n+1)/2, que es, precisamente, el número triangular del mismo lado que el piramidal que estamos calculando. La fórmula quedaría entonces así: 

¿Qué traducción tiene esta nueva expresión?


¿CÓMO SE DESCUBREN LAS FÓRMULAS?

LA FORMA DE LOS NÚMEROS


Los NÚMEROS FIGURADOS proporcionan un modelo visual para los números naturales que te permite descubrir muchas de sus propiedades. Por ejemplo, puedes visualizar un número cuadrado perfecto y ver esto:

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Lo que te hace sospechar que todo números cuadrado perfecto se puede descomponer SIEMPRE en la suma de dos NÚMEROS TRIANGULARES. Ahora sólo te queda demostrarlo.

Teorema. La suma de T n y Tn-1 es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado.

Demostración. Sean:

                        

sumando:

tenemos que:

Ahora te vienes arriba y se te ocurre que la suma de dos números triangulares iguales nos da un número rectangular

0a1

Primero defines que entiendes por NÚMERO RECTANGULAR: todo número que tiene esta forma

0a1

Cuyo término general es [VER]:

0a1

Y lo pruebas

No todo es tan trivial. En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso descubrimiento: “¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ.” Nótese que este teorema no implica que los números triangulares son diferentes (como ocurre en el caso de 20 = 10 + 10), ni tampoco que debe haber una solución con tres números triangulares que sean diferentes de cero. Se trata de un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat

Volvamos atrás. Pero, ¿de dónde vienen los NÚMEROS RECTANGULARES? Ya hemos visto que toda SUCESIÓN tiene asociada una SERIE. Los términos de la SERIE se corresponden con las sumas parciales de los términos de la SUCESIÓN. Así:

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De esto se deduce que:

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O bien:

0a1

Es decir, si tienes un SERIE, la SUCESIÓN de la que deriva es la sucesión de las diferencias primeras de la serie. Veámoslo en nuestro caso. La SERIE de la que partimos es la serie de los números rectangulares:

n = 9º  …
sn = 2 6 12 20 30 42 56 72 90 …

Calculemos las DIFERENCIAS PRIMERAS de esta serie:

0a1

Luego la SUCESIÓN de la que deriva la SERIE de los números rectangulares es la SUCESIÓN DE LOS NÚMEROS PARES, cuyo término general es: an = 2n

¿Lo comprobamos? Aquí lo tienes:

0a1

No sé si te das cuenta, pero la relación que existe entre una SUCESIÓN y su SERIE ASOCIADA, es similar a la relación que existe entre una función y su integral. Y la relación que existe entre una SUCESIÓN y sus DIFERENCIAS PRIMERAS, es similar a la relación que existe entre una función y su derivada.

Pero a la hora de calcular el sumatorio te estoy haciendo trampa. Una cosa es INTUIR el resultado

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Y otra cosa es demostrarlo. Porque, ¿cómo estoy seguro de que es cierto para todo n? Se precisa una DEMOSTRACIÓN. Y un método para demostrar cosas como éstas. El MÉTODO se llama Principio de Inducción Matemática. Y dice así:

Una proposición  p (n) es verdadera para todos los valores de la variable n ∈ N si se cumplen las siguientes condiciones:
  • Paso 1 (Caso base): Se comprueba que p(1) es cierta
  • Paso 2 (Hipótesis de Inducción):  Se supone que p(n) es verdadera, donde n es un número natural cualquiera.
  • Paso 3 (Tesis de Inducción): Entonces se demuestra que p(n+1) es verdadera. Es decir, si p(n) es verdadera => p(n+1) es verdadera.

Entonces p(n) es verdadera para ∀ n ∈ N.

Esto funciona como esas construcciones hechas con fichas de dominó de forma que si empujas la primera, todas las demás van cayendo una tras otra.

  • Paso 1: te aseguras de que si la empujas, la primera ficha cae.
  • Paso 2: supones que si recibe el impacto adecuado, cualquier ficha cae.
  • Paso 3: te aseguras que si una ficha cae, tira a la siguiente en la fila.

Está claro, aunque son infinitas, una vez que ves a la primera caer, SABES que todas terminan cayendo. ¡Sólo es cuestión de tiempo!

Veamos a este maravilloso PRINCIPIO actuar para demostrar que nuestro término general de los números rectangulares es correcto.

  • Paso 1: O1 = 1 (1+1) = 2, luego es cierto para n=1
  • Paso 2: supongamos que

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  • Paso 3: veamos que esto implica que

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Sigamos. Una vez que has acabado con los NÚMEROS RECTANGULARES, ahora puedes concentrarte en los NÚMEROS PENTAGONALES, 

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Y ver si puedes calcular el término general de sus diferencias sucesivas:

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Vemos que las diferencias segundas son una sucesión constante

0a1

Así pues, las diferencias primeras forman una progresión aritmética (de primer orden):

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De donde tenemos la sucesión de los NÚMEROS PENTAGONALES definidos por recurrencia:

0a1

Y ahora puedes intentar calcular su término general de una forma explícita. Además, a la vista de imagen que te adjunto, puedes conjeturar que todo NÚMERO PENTAGONAL se puede descomponer como suma de tres triangulares [VER]:

0a1

A estas alturas supongo que ya IMAGINARÁS qué SERIE se deriva de la sucesión de los NÚMEROS PENTAGONALES. ¡Sí!, la SERIE asociada a los NÚMEROS PENTAGONALES está formada por los sucesivos NÚMEROS PIRAMIDALES de base pentagonal. Podemos seguir así, ahora con la SERIE asociada a SUCESIÓN de los NÚMEROS HEXAGONALES [VER]

0

Es decir, pasas de la 2D (el plano) a la 3D (el espacio) Juguemos con esto. Ya puedes imaginar a qué llamamos NÚMEROS CÚBICOS

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¿Puedes calcular su TÉRMINO GENERAL? ¿Se descompondrá cada NÚMERO CÚBICO en la suma de dos PIRAMIDALES CUADRADOS? ¿Y de tres?

Hablemos de crecimiento GNÓMICO, porque tiene mucho que ver con las diferencias primeras de la sucesión correspondiente.

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¿Te puedes imaginar cómo es el GNOMON de un cubo? Sí, es un ángulo triedro formado por tres cuadrados que comparten un lado. Así:

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¿Podrías, a la vista de esto, deducir el término general de la sucesión de los GNÓMONES de un cubo? ¿Puedes explicar mi razonamiento?

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Tener MODELOS ayuda mucho. Si los números naturales adoptan FORMA en tu cabeza, ahora puedes visualizar, por ejemplo, qué forma no puede tener nunca un número primo. En efecto, un número primo, salvo el 2, jamás puede ser RECTANGULAR. ¿Por qué?

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El número cúbico n-ésimo está formado por n capas de números cuadrados n-ésimos.

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¿Cómo podrías VISUALIZAR un NÚMERO HIPERCÚBICO? Sí, un número cúbico en cuatro dimensiones [TESERACTO].

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Como ves el teseracto consta de ocho ‘caras’ que son ocho cubos de tres dimensiones. ¿Cuántas vértices y aristas tiene un tesrecto? ¿Cuántas ‘caras’ tendrá un hipercubo de cinco dimensiones? ¿Y un hipercubo de n dimensiones?

Volvamos ahora a los NÚMEROS FIGURADOS. Imaginemos cómo serán los números figurados hipercúbicos. ¿Se corresponde este modelo con lo que te dice el sentido común, que el termino general de un número HIPERCÚBICO es:

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Rematemos esta sección calculando la SERIE asociada a la sucesión de los números cúbicos:

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0a1Es decir, la suma de los n primeros números cúbicos es igual al cuadrado del número triangular n-ésimo. En la figura de la izquierda tienes una preciosa explicación geométrica de esta impresionante igualdad.

¡Eso no te lo esperabas! ¿Te atreves a demostrarlo? [VER]

Para saber más:


¿CÓMO SE DESCUBREN LAS FÓRMULAS?

LA FÓRMULA DE EULER


Aquí tienes los SÓLIDOS PLATÓNICOS

0a1

¿Puedes hacer una tabla donde figuren el número de caras, de vértices y de aristas? Calcula ahora

CARAS + VÉRTICES – ARISTAS

¿No te sorprende algo? Haz lo mismo con cualquier otro poliedro. Un poliedro es un cuerpo geométrico en tres dimensiones cuyas caras son planas y que encierra un volumen finito. Los segmentos que unen dos caras se denominan aristas y los puntos en los que se cortan varias aristas se llaman vértices.

De entre todos los poliedros hay un conjunto de ellos que es especialmente interesante: los poliedros convexos. Este tipo de poliedros cumple que para cada par de puntos que se encuentran dentro del poliedro, el segmento que los une se encuentra también dentro del mismo. Por ejemplo, una caja de zapatos.

¿Has hecho ya la cuenta? ¿Que sale? En todo POLIEDRO CONVEXO se verifica que:

donde:

  • C = Número de caras
  • V = Número de vértices
  • A = Número de aristas
  • n = Número de lados del polígono regular
  • r = Número de aristas que convergen en los vértices

La relación (1) se llama característica de Euler y sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.

Teorema.

En un poliedro convexo con C caras, A aristas y V vértices se cumple que:

C – A + V = 2

Esta propiedad de los poliedros convexos también se la conoce como Fórmula de Euler. ¿Sabrías demostrarla? No te frustres, no es tan fácil. [VER]

Cabe decir. para que te consueles, que Euler jamás fue capaz de dar una demostración correcta de este resultado, de hecho la que aparece en su “Elementa doctrinae solidorum” era errónea. Anteriormente a 1750 pocos fueron los que se dedicaron a este asunto. René Descartes se había ocupado de escribir el primer tratado sobre poliedros, pero murió antes de poder publicarlo.

Tras su muerte, sus trabajos fueron trasladados a Francia, donde después de sufrir algún percance en dicho traslado (parece ser que cayeron a un río y fueron recuperados y secados), llegaron a las manos de Gottfried Wilhelm Leibniz, quien se encargó de transcribir parte de dichos trabajos. Sin embargo dichas transcripciones no vieron la luz hasta después de 1860, casi 80 años después de la muerte de Euler. Fue Augustin Louis Cauchy quien, en 1811, publicó la primera demostración general que se conoce.

Supóngase que se elimina una cara del poliedro. El resto del poliedro puede ser deformado, de manera que se convierta en una figura plana de puntos y curvas cuya frontera corresponda a las aristas de la cara eliminada (basta simplemente con proyectarlo sobre un plano). Puede suponerse, sin pérdida de generalidad por ello, que las aristas deformadas son segmentos de líneas rectas. Al realizar la proyección, a pesar de que las caras pueden presentar una forma distinta, es evidente que el número de vértices, caras y aristas coinciden con los del poliedro de partida (suponiendo que la cara extraída corresponde al exterior de la figura)

Por ejemplo, si hacemos esto en un cubo, y lo proyectamos en un plano, obtenemos la siguiente figura:

0a1

A continuación se aplican las siguientes transformaciones que simplifican la figura, pero que no afectan a la característica de Euler V-A+C:

  • Si algún polígono tiene más de tres lados, se dibuja una diagonal. Esto añade una cara (+1) y una arista (-1), por lo que la característica de Euler no se ve alterada en la figura. Se continúa así hasta que todas las caras sean triangulares.

0a1

  • Se elimina de uno en uno los triángulos con un solo lado en contacto con el exterior. Esto disminuye el número de aristas (-1) y caras en una unidad (+1), pero no altera el número de vértices. Por lo que la característica de Euler no se ve alterada en la figura.

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  • Se elimina de uno en uno todos los triángulos que tienen dos lados en contacto con el exterior de la figura. Esto elimina un vértice (+1), dos aristas (-2) y una cara (+1), por lo que la característica de Euler no se ve alterada en la figura.

0a1

Aplicando sucesivamente los pasos 2 y 3, al final queda un único triángulo.

0a1

Resulta evidente que ahora C=2 (contando el exterior), V=3 y A=3, cuya característica de Euler es 2. C.Q.D.  [VER]

A partir de este resultado podemos demostrar que:

Teorema.

Existen cinco y sólo cinco poliedros regulares convexos.

Sea P un con poliedro regular con C caras, V vértices y A aristas, cada cara con n lados y cada vértice de orden r.

Entonces, r y n > 3 y además, como hemos dicho, se cumple:

  1. C + V – A = 2; ya que el Teorema de Euler se cumple para cualquier poliedro convexo.
  2. 2A = rV , pues de cada vértice salen r aristas, todos los vértices son del mismo orden, y además cada arista pertenece a dos caras y por tanto se cuenta dos veces.
  3. 2A = nC dado que cada cara tiene n aristas, y cada arista pertenece a dos caras, por tanto se cuenta dos veces.

Entonces, si multiplicamos C + V – A = 2 por rn en ambos lados, obtenemos rnC + rnV – rnA = 2rn. Y sustituyendo (2) y (3) en (1) llegamos a la expresión A(2r + 2n – rn) = 2rn, de donde podemos deducir que 2r + 2n – rn > 0.

Factorizando, obtenemos que (r – 2)(n – 2) < 4; luego, las soluciones enteras para esta inecuación son (3; 3); (3; 4); (3; 5); (4; 3) y (5; 3). Cada pareja ordenada tiene dos coordenadas, la primera coordenada corresponde al orden de cada vértice del poliedro y la segunda al número de lados de cada cara del poliedro. Por ejemplo (3,3), corresponde a un poliedro en el que cada vértice es de orden 3 y las caras son triángulos. ¿Qué poliedros son éstos?

Se dice que dos poliedros son DUALES si el número de vértices del primero coincide con el número de caras del segundo y viceversa. Además ambos deben tener el mismo número de aristas. Si dos poliedros son duales puede construirse uno a partir del otro uniendo con segmentos los centros de cada dos caras contiguas del primero. Por ejemplo:

0a1

El tetaedro es AUTODUAL. Los poliedros AUTODUALES son aquellos cuyos duales (que se obtiene de unir los centros de las caras de otro poliedro) o poliedros conjugados, son ellos mismos. Todas las pirámides son autoduales. ¿Qué más poliedros son autoduales? [DUALIDAD Word (creación propia)]

Ahora puedes investigar la relación existente entre los desarrollos planos de dos poliedros duales. ¿Cuántos desarrollos distintos tiene un cubo?   [VER]  ¿Y un octaedro? ¿Se corresponden uno a uno? [VER]

0a1

POLIEDROS-REGULARES-1

Existen MÁS FÓRMULAS que se verifican en todos los poliedros convexos. Recordemos que

  • C = Número de caras
  • V = Número de vértices
  • A = Número de aristas
  • n = Número de lados del polígono regular
  • r = Número de aristas que convergen en los vértices

Entonces, como ya hemos visto, tenemos que:

0

¿Puedes comprobarla en las siguientes familias de poliedros convexos?

  • Sólidos platónicos: Son los únicos poliedros regulares convexos. Existen 5 sólidos platónicos
  • Sólidos arquimedianos: Sus caras son polígonos regulares de dos o más tipos y tienen sus vértices uniformes. La mayoría se ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Existen 13 sólidos arquimedianos.
  • Sólidos de Catalan: Sus caras son polígonos irregulares iguales. Son poliedros duales de los arquimedianos. Existen 13 sólidos de Catalan.
  • Sólidos de Johnson: Sus caras son polígonos regulares. No hace falta que todas sus caras sean iguales o que sus aristas o vértices sean uniformes. Existen 92 sólidos de Johnson
  • Prismas: Tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y caras laterales que son paralelogramos. Tienen sus vértices uniformes. Existen infinitos prismas.
  • Antiprismas: Tienen dos bases, pero estas están giradas y las caras laterales son triángulos. Tienen sus vértices uniformes. Existen infinitos antiprismas.

[FORMULAS_DE_POLIEDROS (niño 11  años)]  FORMULA DE eULER

 


¿CÓMO SE DESCUBREN LAS FÓRMULAS?

EL CRECIMIENTO EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA


El término general de una sucesión es la expresión an que permite conocer cualquier término en función de su posición n en la serie. Nos concentraremos ahora en unas sucesiones muy especiales: las PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija r, llamada razón. Por ejemplo:

0a1

En general tenemos que:

0a1

Si conoces al primer término a1 y la razón r es posible conocer a cualquier otro término de la progresión con el uso de la siguiente fórmula:

an = a1 · rn-1

Las tablillas de arcilla de la época babilónica (2000 aC) muestran que los babilonios estudiaron las progresiones geométricas y ya habían hallado la suma de los términos de una progresión geométrica en problemas concretos, llegando a establecer la fórmula:

1+2+22 + … +29 = 210 -1

Hemos analizado ya las SERIES asociadas a varias SUCESIONES. Volvamos a retomar esta idea, pero ahora para ver qué SERIES tienen asociadas las PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.

Analicemos la PG    an = 2n

0a1

Vemos que la suma de los n primeros términos es igual al siguiente menos dos.

0a1

Esto da idea de la ‘rapidez’ con que crece una PG: en cada paso avanza casi tanto como en todos los anteriores. IMPRESIONANTE,¿no? Llevas diez pasos andados, y en el undécimo avanzas casi tanto como en los diez anteriores.

Un precioso nenúfar crece solitario en un estanque. Con todos los nutrientes para él sólo es capaz de duplicar su tamaño cada día. Con tan magnífico crecimiento, en un mes llena el estanque. ¿En idénticas condiciones, cuántos días tardarán dos nenúfares en realizar semejante proeza? ¿Y tres nenúfares? ¿Y si son cuatro?

El denominado problema del trigo y del tablero de ajedrez (a veces puede aparecer expresado en términos de granos de arroz), es un problema matemático que pretende ejemplificar, también, lo que significa el crecimiento en PG. El enunciado es el siguiente:

Si se colocase sobre un tablero de ajedrez (lo suficientemente grande) un grano de trigo en el primer casillero, dos en el segundo, cuatro en el tercero y así sucesivamente, doblando la cantidad de granos en cada casilla, ¿cuántos granos de trigo habría en el tablero al final?

Sólo en la última casilla habría:

0a1

Un poco más de 9 trillones en la escala numérica larga, lo que es una cifra mucho más alta de lo que la mayoría de la gente esperaría de forma intuitiva. Y en todos el tablero habría, según lo ya explicado

0a1

Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilogramo de trigo hay unos 20 000 granos. Lo cual nos permite realizar los siguientes cálculos:

En toneladas métricas son:

La producción mundial de trigo de la cosecha del año 2017​, según la FAO, fue de:

Por lo tanto, tomando este valor como cosecha anual media, se deberían poner sobre el tablero las cosechas mundiales de:

Por lo tanto serían necesarias las cosechas mundiales de 1195 años para sumar esa cantidad de trigo.

Carl Sagan comenzaba su libro Miles de Millones. Pensamientos de vida  y muerte en la antesala del milenio (1997) con una explicación sobre la necesidad de manejar grandes números para expresar con ellos las medidas del universo.

Sagan manifestaba la vaguedad y la imprecisión que suponía hablar de miles de millones, o de miles de miles de millones para describir números grandes, cuando realmente lo se quería indicar era cuantos ceros seguían a la unidad cuando escribimos ese número. Los números grandes se expresan habitualmente en notación exponencial.

En la naturaleza se dan  muchas situaciones y muchos procesos en los que es necesario darles una notación exponencial, tal es el caso del crecimiento exponencial de una colonia de bacterias que duplica su número cada  hora o la propagación de una noticia a través de las redes sociales.  Se dice que el tamaño de una magnitud crece exponencialmente si en cada unidad de tiempo su tamaño se multiplica por una cantidad fija, llamada razón.

Por ejemplo, una población P de bacterias de se duplique cada hora seguirá la siguiente evolución:

POBLACIÓN
Inicial 1ª Hora 2ª Hora 3ª Hora 10ª Hora Hora enésima
P P P = 22·P P = 23·P 1024·P = 210·P 2n·P

El comportamiento del crecimiento exponencial se pone de manifiesto haciendo dobleces sucesivas en un papel. Doblaremos un papel por la mitad, luego ese papel dobldo otra vez por la mitad y seguimos indefinidamente ese proceso imaginario (Porque en la realidad ¿cuántas dobleces sucesivas se pueden hacer en un folio?).

Sabemos que un papel tiene aproximadamente un grosor de 0,1 mm. Si se hace una dobles el grosor será 0,2 mm,   algo más de un centímetro. Si seguimos el proceso, con 13 dobles 0,1 · 213 = 819,2 mm = 0,8192 m, que se acerca al metro, pero en unos pocos pasos más, cuando hacemos (supuestamente) 42 dobleces alcanzamos un grosor  de 0,1 mm · 213 = 439.804 Km, que más distancia que de la distancia de la Tierra a la Luna.

Tras los inocentes porcentajes  también se esconde un crecimiento exponencial. Para ello nos plantemos una pregunta ¿Qué significa que el consumo de Energía Eléctrica aumenta en un país cada año el 7 % ? 

Pues significa que si un año se consumen N  KW de energía,  al año siguiente se consumirán: (1 + 0,07) · N KW de energía. Lo que quiere decir que cada año se multiplica el consumo por una cantidad  fija que es 1,07

En diez años, se habrá multiplicado el consumo diez veces por esa cantidad y el consumo será  1,0710· N = 1,97·N ≈ 2· N, es decir, que cada diez años, con un crecimiento anual de la demanda de energía del 7%, se duplica el consumo.

Puede calcularse que, con un crecimiento de la demanda del 7 %, el consumo en un siglo se multiplicará por mil.

Otra forma de visualizar este crecimiento tan característico de las PG es mediante una gráfica. Si colocamos en un banco un capital inicial CI a un rédito r, el capital al terminar el periodo sería

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período:

Repitiendo esto para un tercer período continuo:

Por lo que el capital al final del enésimo período es:

Vemos que el capital crece en PG. Si el capital inicia fuese 100 000 euros al 10% de rédito anual tendríamos la siguiente tabla y su correspondiente gráfica

    • 0a1100.000
    • 110.000
    • 121.000
    • 133.100
    • 146.410
    • 161.051
    • 177.156,1
    • 194.871,71
    • …..
    • ……
    • ……
    • ……

Ahora que ya nos hemos entrenado, vamos a suponer que depositamos 1€ en un banco que nos da el 100% de interés (¡!) Imposible, ya lo sabemos, pero nos va a venir muy bien para ver dónde se esconde nuestro famoso número e.

Vamos a hacer los periodos de capitalización cada vez más cortos y veremos cuánto tendríamos en cada caso al finalizar un año.

Capitaliz
Periodos Interés Fórmula Capital al cabo de 1 año
Anual 1 1 2
Semestral 2 1:2 2,25
Trimestral 4 1:4 2,44140625
Mensual 12 1:12 2,61303529
Diario 365 1:365 2,714567482
Cada hora
8760 1:8760 2,718126692
Cada minuto
525600 1:525600 2,718279243
Cada segundo
31536000 1:31536000 2,718281781

Si observamos la cifra que obtenemos al finalizar el año, vemos que va creciendo, que cuanto más pequeño es el periodo de capitalización, más favorable es para nosotros. Pero también es cierto que esa cifra se va estabilizando, que nunca llegaremos a 2,72€.

Si nos fijamos bien en la sucesión de capitales que hemos formado, vemos que si el periodo de capitalización fuera una décima de segundo, apostaríamos a que el capital final sería 2,7182… pero no sabríamos con certeza cuál es la cifra que sigue.

Si llamamos  al número de periodos de capitalización, el término general de la sucesión es

Podríamos acortar tanto el tiempo de los periodos de capitalización hasta considerarlos instantáneos. Hablaríamos entonces de interés continuo. En ese caso, el número de periodos de capitalización es muy grande —es decir,  tiende a infinito— y los términos de la sucesión se van aproximando a un número, pero del que no podemos saber todas sus cifras decimales porque son infinitas y no periódicas. Se trata de un número irracional, el número e.

El número e podemos definirlo como

Ahora podemos DEFINIR la función exponencial como el siguiente límite:

Esto nos permitirá calcular en cuánto se convierte nuestro euro cuando vayamos a una entidad financiera real y nos paguen un interés anual real. Claro que ninguna entidad te aplica la capitalización continúa, pero si así fuese, veamos qué pasaría.

  • Si te dan, como actualmente, un 0% de interés, al final del primer año tendrías:  e0= 1. ¡El euro depositado!
  • Si te dan un 10% es que el banco va a quebrar, pero tendrías:  e0,1=1,11. El centimillo se lo tienes que agradecer a la capitalización continua. 

Para esto valen las funciones. Son como cajas negras, tú metes por la ranura de entrada el valor de la variable independiente, el rédito anual que te pagan; y la caja negra te devuelve el valor que toma la función para ese valor. [VER]

Veamos ahora que la función exponencial de base natural es una función muy, pero que muy, muy especial. Porque es la única función (y = ex) para la que su derivada (y’ = dy/dx =ex) y su integral (∫ ex dx = ex + C) coinciden con la función misma. Así que:

0a1

​Es decir, en un punto cualquiera x, ex representa tanto el valor de la función en ese punto, como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, como el área encerrada en entre la curva, el eje de abscisas y la recta x = x.

Por ejemplo, si x = 1, en ese punto la función vale e, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1, e) es también e. Y el área encerrada por la curva, el eje de la X y la recta x = 1 es, también, e unidades cuadradas (esos cuadraditos que tienes en la imagen llenando todo el plano)

Si x= 0, en ese punto la función vale 1; la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (0, 1) es 1 (la recta tangente forma un ángulo de 45º con la horizontal); y el área encerrada entre la curva, el eje X y la recta x=0, es una unidad cuadrada (uno de esos cuadraditos que tienes en la imagen)

Que la derivada de esta función sea ella misma, la emparenta con la PG {an = 2n } que estamos estudiando, ya que si calculamos sus DIFERENCIAS de cualquier orden tenemos que:

0a1

las diferencias de cualquier orden ‘reproducen’ la sucesión original. Esta maravillosa propiedad es característica de las PG: se reproducen a sí mismas en las ‘diferencias parciales’.

Otra PROGRESIÓN GEOMÉTRICA muy interesante es

0a1

Ya que es la ÚNICA PG ‘sumativa de dos tiempos’: un término cualquiera es igual a la suma de los dos anteriores (lo que la emparenta con la sucesión de Fibonacci Fn = Fn−1 + Fn−2)

0a1

Esto, por sí sólo, te permite calcular el valor de Φ. ¡Hazlo! Un poco más difícil es probar que esta fórmula también te da el valor de Φ. ¡Ya ves, existen FÓRMULAS INACABADAS! 

0a1

Al ser ésta una PG ‘sumativa de dos términos’ se propaga con suma elegancia allí donde ‘anida’ poniendo orden y armonía en la belleza:

0a1

La PROGRESIÓN GEOMÉTRICA de razón Φ tiene PROPIEDADES SORPRENDENTES. ¡Estúdialas en profundidad! Te sorprenderás [VERFunciones-Logaritmicas-Exponenciales

 

¿CÓMO SE DESCUBREN LAS FÓRMULAS? [VER]

LAS PARADOJAS DE ZENÓN y LAS SUMAS INFINITAS


Las sumas de infinitos sumandos han despertado la curiosidad de los matemáticos desde la antigüedad. Zenon de Elea (siglo V a.C.) en sus aporías planteó problemas que implicaban sumas infinitas.

Simplificando un poco, te diré que Zenón presenta cuatro argumentos contra el movimiento, según nos indica Aristóteles en su Física, y amplían los comentaristas griegos, que constituyen el entramado básico de sus aporías. Aquí te presento la que se conoce como LA DICOTOMÍA:

Suponte que quieres recorrer cien metros en línea recta. Antes de que puedas llegar allí, debes recorrer la mitad del camino. Después tienes que recorres la mitad del camino que te queda. Después la mitad de la mitad que te queda, es decir, una cuarta parte del mismo. Después, debes completar una octava parte; y una dieciseisava; y así indefinidamente. La figura resume bien los infinitos ‘saltos’ que te separan de cualquier cosa que desees alcanzar:

0a1

Zenón planteaba la imposibilidad de dar estos infinitos ‘saltos’ en un tiempo finito. Por lo que argumentaba que el movimiento no se puede analizar en base a un tiempo y espacio infinitamente divisible.

Aquí la pregunta que nos planteamos es si la suma de infinitas cantidades diferentes de cero puede ser alguna vez algo finito. En lenguaje de series (de sumas infinitas), lo que nos plateamos es si hay series CONVERGENTES, o todas son necesariamente divergentes. La cuestión no es trivial: echas en un montón infinitos trozos de piedra, todos con cierto volumen. Cuando termines este arduo proceso, ¿el montón será finito o infinito? 

0a1Claro, toma una roca, divídela por la mitad y empieza con una de esas dos mitades a formar tu montón. La mitad que te queda, la divides otra vez por la mitad. Echas una de las dos mitades que obtienes al montón. Vuelves a repetir el proceso hasta el infinito. ¿Qué tendrás en el montón cuando acabe este proceso? La piedra entera. Pero si la roca se deja dividir hasta el infinito, tendrás un montón con infinitas piedras.

¿Es eso posible? Sí, se argumentaría con posterioridad a Zenón, porque existen los infinitésimos: esas cantidades infinitamente pequeñas que te permiten tomarlas en cantidades infinitas sin que sobrepasen una cantidad finita. ¡Toda una proeza!

En nuestro caso, es fácil ver que en la siguiente suma infinita, la mayoría de sus sumandos, una infinidad de ellos, son infinitésimos:

0a1

Lo tienen que ser, porque esta suma es finita (convergente) y vale 1. Evidentemente la suma anterior describe una PARTICIÓN DE LA UNIDAD en infinitas cantidades todas distintas de cero: la mitad, más la mitad de la mitad, más la mitad de la mitad de la mitad, más la mitad de la mitad de la mitad de la mitad… Luego la suma de todas las partes nos tiene que devolver la UNIDAD de partida.

Otra maravillosa partición INFINITA de la unidad, más armónica que la anterior, es ésta:

0a1

¿Te atreves a realizarla con una regla (sin marcas) y un compás?

Existe otra manera de demostrar que la suma de los infinitos inversos de las potencias de 2 es 1. La SUCESIÓN de la que deriva esta SERIE es un progresión geométrica de razón r = 1/2. Echando mano de la conocida fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, tenemos que:

0a1

Por lo que:

0a1

0a1¿Podrías aplicar esta misma idea para demostrar que los infinitos términos de la PG de razón r=1/Φ y a1=1/Φ suman Φ?

No creas que las Aporías de Zenón de Elea se zanjan con afirmar simplemente que existen series convergentes. Tienen mucho más calado que el aquí expuesto, ya que, esencialmente, van contra la existencia de la pluralidad. Siguiendo a su maestro Parménides, Zenón postuló que la unidad y la indivisibilidad iban inevitable- mente juntas. La pluralidad es una noción en sí contradictoria porque implica un conjunto de unidades (indivisibles): «La pluralidad es una suma de unidades», e igualmente implicaría que la realidad es divisible.

0a1Ahora bien, si es así, habrá de ser infinitamente divisible, porque tiene que ser una magnitud, y toda magnitud es divisible en partes que, a su vez, siguen siendo magnitudes y, por consiguiente, en sí divisibles, por muy pequeñas que sean. Pero si esto es así, no habrá nada que pueda llamarse unidad, porque cualquier cosa que se tome como tal puede dividirse aún y, por tanto, no es unitaria. De lo que se deduce que, puesto que la pluralidad es una pluralidad de unidades, la pluralidad no podrá existir tampoco.

0a1Básicamente estoy de acuerdo con Zenón, pero no profundizo más, esto no es lo que toca hoy.

Hoy queremos ver que en matemáticas se pueden y se deben plantear sumas infinitas. Y si las podemos resolver. Porque el manejo del infinito crea retos difíciles de resolver o no. De hecho, fue el manejo del infinito el que llevó a los griegos a sufrir la primera gran crisis de la historia de las matemáticas con el descubrimiento de magnitudes inconmensurables y de los números irracionales. Esto tuvo consecuencias en la matemática griega. 

Por ejemplo, la Geometría Griega se apartó del infinito por las controversias que generaba. Aristóteles (384-322 a.C.) se declaró finitista en el Libro III de su Física, donde afirmaba que los matemáticos no necesitaban el infinito actual y que les bastaba con el infinito potencial. Es decir, rechazaba los conjuntos infinitos, las rectas infinitas, y los infinitesimales.

Para el estagirita el geómetra podía considerar segmentos tan largos como quisiera, pero no necesitaba para nada una recta que avanzara y progresara hacia el infinito. En suma, Aristóteles admitía un atisbo de la noción de lo sería el límite en matemáticas, pero no aceptaría el trabajo con los conjuntos infinitos de Cantor.

No obstante, mediante la geometría se podían realizar sumas infinitas y era posible comprobar, haciendo uso del infinito potencial, que:

0a1

Tal y como se puede observar en la figura siguiente, en la cual un cuadrado de lado unidad se puede dividir en tres sucesiones idénticas de cuadrados de lado 1/2 , 1/4, 1/8, 1/16 …., por lo que la suma de las áreas de los cuadrados de cada una de ellas tiene que valer 1/3.

0a1

También se podía calcular por procedimientos geométricos la suma de la serie:

0a1

0a1Para “calcular” geométrica- mente el valor de la suma partimos de un rectángulo de 2 u de largo por 1 u de ancho y que, por tanto, se puede dividir en dos cuadrados iguales. El cuadrado de la derecha, que tiene área 1u2, lo dividimos en una sucesión alternada de rectángulos semejantes al rectángulo de partida (de áreas 1/2, 1/8, 1/32 …  u2) y de cuadrados (de áreas 1/4, 1/16, 1/64 …  u2) que lo llenan completamente y cuyas áreas son, sucesivamente, los sumandos de las serie (1).

El desarrollo de la aritmética, del lenguaje algebraico y, sobre todo, del Cálculo Infinitesimal y del Análisis abrió las puestas al manejo del infinito y a poder calcular la suma de series más más complejas que las progresiones geométricas, que acabamos de ver.

Se observó que había series cuya suma era infinita, como, por ejemplo, la serie armónica que era la suma de los inversos de los números naturales:

0a1

Esta serie no estaba acotada, porque, asociando los sumandos adecuadamente, como se indica a continuación, cada uno de los corchetes arrojaba una suma mayor que 1/2.

0a1

Con lo que:

0a1

Esta demostración se basa en la propiedad siguiente: para todo número natural  n se verifica que:

0a1

Una serie que trajo cabeza a los mejores matemáticos alrededor de cien años fue la de la suma de los inversos de los números naturales. Esta serie difícilmente se podría calcular por métodos geométricos. En 1644 el matemático P. Mengoli (1625-1686), discípulo de B. Cavalieri (1598-1647), propuso el problema de calcular la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales, es decir, hacer la suma:

0a1

El cálculo de la suma de esta serie rebasaba con mucho las limitaciones del lenguaje geométrico para resolver cuestiones relacionadas son el infinito. Se sabía que la serie era convergente, porque se podía acotar superiormente por una serie convergente: la serie telescópica, de la siguiente forma:

0a1

Con esa acotación se probaba que su suma era menor que dos, pero no se sabía cuánto sumaba. El problema se resistió a los mejores matemáticos. Fue popularizado por Jakob Bernoulli (1655-1705) en 1689 y lo intentaron resolver por grandes matemáticos como, Johann Bernoulli (1647-1748) o G. Leibniz (1646-1716 ), pero ninguno logró resolverlo hasta que fue abordado por el genial L. Euler (1707-1783), el cual se mostró en este caso, como en otros muchos, como un virtuoso del cálculo.

El problema de calcular la suma de la serie se conoce como Problema de Basilea por ser esta la cuidad de la familia Bernoulli y de L. Euler, el cual, en su obra Introducción al análisis de los infinitos (1748), obtuvo el resultado: 

0a1

Asimismo logró calcular la suma de los recíprocos de las cuartas y sextas potencias:

0a1

0a1

También descubrió el conocido número:

0a1

Donde los puntos suspensivos te invitan a que sigas tú INVESTIGANDO sobre sumas infinitas. Porque yo me doy.

Quede esto, por hoy, aquí, así, para ti.

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