Revista Matemática


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EL ARBELOS DE ARQUÍMEDES


Es una famosa figura atribuida a Arquímedes, el polifacético sabio de la la antigua grecia, llena de coincidencias y conexiones matemáticas.

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El Arbelos [VER], también conocido como la cuchilla del zapateroes la región comprendida entre dos semicircunferencias tangentes entre sí y una semicir- cunferencia tangente a ambas y de radio la suma de los radios de las primeras.

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  • Demuestra que la longitud del arco AC más la longitud del arco CB es igual a la longitud del arco ADB.
  • El área del Arbelos es igual al área del círculo de diámetro CD.

El segmento CD, que es perpendiular a AB por C y corta a la semicircunferencia exterior en D, es la altura del triángulo ADB que es rectángulo. La altura CD es media proporcional entre los diámetros D1 y D2 de las semicircunferencias menores- Por el teorema de la altura:

CD² = D1 D2 = 4 R1 R2

Y, por tanto:                          CD = 2 √R1 √R2

Por lo que el área del círculo de diámetro CD es:   A = π R1 R2.

El área del Arbelos = semicírculo mayor-semicírculos menores=

½ [π (R1 + R2)² – π R1² – π R1² = ½ (2 π R1 R2) = π R1 R2   cqd

  • Los puntos de tangencia E y F de la recta tangente a los arcos AC y CB están en los segmentos AD y DB.

Los segmentos EF y CD son iguales y se cortan en el punto medio M, por tanto la circunferencia de diámetro CD pasa necesariamente por los puntos E y F.

  • Una de las propiedades del ARBELOS descubierta y probada por el mismo Arquímedes en su libro de lemas, es que los dos pequeños círculos inscritos en las regiones del arbelos cortadas por una línea perpendicular en la base a través del punto de contacto de los dos pequeños semicírculos, son iguales. Los círculos se han conocido desde entonces como los Círculos Gemelos de Arquímedes.

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EL CRECIMIENTO GNÓMICO


Se cuenta que el pintor Apeles pintó una batalla en un lienzo de propor- ciones bellísimas sobre el que distribuyó las figuras usando otras proporciones dentro del lienzo. Alejandro Magno se emocionó al verlo, pero pidió otro más grande. Entonces Apeles añadió un cuadrado de lado el largo de su lienzo original y continuó la batalla en él, obteniendo otra escena de batalla que contenía a la anterior y, mejor todavía, con idénticas y tan celebradas proporciones.

Herón de Alejandría definió un gnomon “como cualquier figura que, añadida a una figura original (el germen), produce una figura semejante a la original”.

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0a1A esto se le llamaba crecimiento gnómico. El crecimiento gnómico es una analogía del crecimiento cristalino. En efecto, los cristales crecen a partir de un núcleo o germen sin alterar la forma. En el caso del cuadro de Apeles, el ‘germen’ es un rectángulo  áureo, y el ‘gnomon’ es un cuadrado tal y como puede verse en la siguiente figura que reproduce el crecimiento gnómico tan característico del rectángulo áureo.

La teoría del gnomon o de la expansión gnómica tiene su base en la frase de Aristóteles: “Hay ciertas cosas que no sufren alteración salvo en magnitud, cuando crecen …” He aquí el más bello ejemplo de una de esas ‘cosas’ que al crecer por un extremo, no cambian. Ya que, sin cambiar, se extiende; sin cambiar, se agranda; y, sin cambiar, se hace más de lo que ella misma es:

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El mismo Aristóteles descubre que todo triángulo se puede dividir en dos: uno semejante al original (germen) y su gnomon. En efecto, como se ve en la figura de abajo, todo triángulo ABC se puede descomponer en dos: uno, BDA, semejante al original; y otro, BDC, que es su gnomon. Para ello basta trazar un segmente BD que forme un ángulo <BDA igual a <CBA. 

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Como caso particular tenemos el TRIÁNGULO SUBLIME (α, 2α, 2α):

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Otro caso particular del crecimiento gnómico lo podemos contemplar en el triángulo rectángulo. Si dibujamos las tres alturas de un triángulo rectángulo nos encontramos con que dos de ellas no dan lugar a ninguna partición en él, porque coinciden con sus catetos, mientras que la tercera, la altura sobre la hipotenusa, produce una descomposición gnómica del triángulo original. Sirva como ejemplo el triángulo rectángulo ÁUREO:

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Si aplicamos estas ideas a los NÚMEROS FIGURADOS vemos que los números cuadrados perfectos tienen un crecimiento gnómico muy curioso:

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Es decir, a partir de la UNIDAD, los sucesivos gnomon son los números impares:

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de donde se deduce que:  10² = 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19.  En general:

n² = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1)

Ahora nos interesamos por la siguiente cuestión: ¿habrá algún número cuadrado perfecto n² (el germen) al que al añadirle un gnomon del mismo tamaño n² obtengamos otro cuadrado perfecto m²? Así:

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Evidentemente es lo mismo que preguntarnos si existen n y m tales que n² + n² = m², lo que implicaría que √2 = m/n. 

Para examinar esta cuestión, detallemos visualmente cómo es el crecimiento gnómico de un cuadrado perfecto n² (en verde) a fin de encontrar una fórmula que nos de el tamaño de gnomon (en azul) 

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0a1De donde se desprende que preguntarse si hay un m y un n tales que n² + n² = m², es equivalente a preguntarse si hay un n y un p tales que:

n² = 2pn + p²

O bien, si la ecuación:

n² – 2pn – p² = 0

tiene o no soluciones enteras para algún n y algún p. Pero las soluciones de la ecuación cumplen:

n = p (1 + √2)

lo cual implica que p (1 + √2) es es una solución entera de la ecuación sí, y sólo sí, es un divisor de p². Es decir, existe un q tal que p² / p (1 + √2) = p / (1 + √2) = q, lo que implicaría (1 + √2) = n/p = p/q = …  donde n < p < q… Lo que implica que existiría un descenso infinito en los números naturales, lo cual es IMPOSIBLE.


EL TEOREMA DE PITÁGORAS


0a1En todo triángulo rectángulo se verifica que la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. Es decir, el área de un cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los dos cua- drados formados por los catetos: a² = b² + c²

Hay muchísimas demostraciones (más de mil) de este sorprendente hecho matemático. Aquí te presento algunas que se explican por sí mismas con estos gif preciosos e ilustrativos.

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Una demostración muy sintética de este teorema se basa en recordar que dos figuras semejantes tienen sus áreas proporcionales al cuadrado de la razón de sus lados homólogos: Así:

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Es decir, si una figura duplica sus dimensiones, cuadriplica su área; si triplica sus dimensiones, multiplica por nueve su área. Así:

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Aplicando esto al triángulo rectángulo tenemos que:

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Donde en la última igualdad se aplica una conocida propiedad de las proporciones; si a/b = c/d, entonces, a/b = c/d = (a+c)/(b+d)  Como es evidente que el área del triángulo ABC es igual a la suma de las áreas de los triángulos ACH y CBH, eso implica que   a2 = b2 + c2

Teorema de Pitágoras generalizado

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?

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LOS ANILLOS DE BORROMEO


¿Es posible enlazar tres anillos de manera que cada pareja de anillos no está enlazada entre sí pero los tres de forma conjunta sean inseparables?

Si el anillo naranja de la siguiente animación no está enlazado ni con el verde ni con el morado y lo mismo le sucede a los otros dos ¿Cómo demonios puede ser que el conjunto completo esté indisolublemente unido? 

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Esta configuración de anillos se conoce con el nombre de enlace o anillos de Borromeo. Este nombre proviene de, ¡oh, sorpresa! De los Borromeo, nobles del norte de Italia que se lo pusieron en el escudo.  Aunque el enlace en sí es mucho más antiguo, aparece en imágenes nórdicas grabadas en piedra del siglo séptimo simbolizando el ‘valknut’ o nudo de la muerte, nombre mucho más molón.

Aunque este objeto se ha considerado precursor de ciertos espectáculos de magia como los antiguos anillos chinos y ha sido profusamente tratado en la matemática recreativa como en Knots and Borromean Rings, Rep-Tiles, and Eight Queens de Martin Gardner, se trata de un OBJETO MATEMÁTICO SERIO.

Los anillos de Borromeo pertenecen a la rama de la TOPOLOGÍA, y más concretamente, a la TEORÍA DE NUDOS aunque podemos encontrarlos en otros contextos matemáticos.


EL ESQUELETO DEL ICOSAEDRO


Si consideramos tres rectángulos áureos, esto es, rectángulos de lados a y b en proporción áurea (por ejemplo de longitudes 1 y (1+√5)/2. Y los encajamos cortándose en ángulos rectos entre sí como si de tres planos coordenados en el espacio euclídeo tridimensional se tratasen. Y después unimos con segmentos los 12 vértices de los tres rectángulos obtenemos el ICOSAEDRO.

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Pero eso no es todo, los perímetros de los rectángulos áureos están enlazados como los anillos de Borromeo. Cada pareja de anillos no está enlazada entre sí, pero los tres de forma conjunta sean inseparables.

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LOS CUADRADOS MÁGICOS


Cuenta una leyenda china que alrededor del año 2100 a. C. el emperador Yu vió emerger del río a una tortuga. En su caparazón tenía unas marcas, que puedes ver simbolizadas en el siguiente dibujo. A la derecha tienes la representación numérica. Es de orden 3 y su constante mágica es 15.

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¡Es el primer cuadrado mágico conocido! Se le atribuyeron propiedades mágicas y religiosas. Posiblemente fueron los chinos los primeros en descubrir las  peculiaridades matemáticas de estos cuadrados. 

En Occidente los cuadrados mágicos surgen por primera vez  en el año 130 d.C. Se han encontrado en documentos del astrónomo griego Teón de Esmirna. Muchos matemáticos y astrónomos de la Edad Media creían en la importancia de estos arreglos numéricos. Atribuían a ciertos números propiedades misteriosas o  cabalísticas . Los  cuadrados mágicos se utilizaron para predecir el futuro y curar enfermedades. La superstición era muy común entonces y creían que los cuadra- dos mágicos eran amuletos y servían de protección. Un cuadrado mágico de plata, colgando del cuello, era un amuleto que evitaba el contagio de la peste negra.

0a1En el Renacimiento, se estudiaron desde el punto de vista matemático y varios científicos y artistas los usaron como ilustraciones para sus obras, entre ellos Durero. Alberto Durero (1471-1528) En su grabado Melancolía, este gran matemático incluyó uno de los cuadrados mágicos más conocidos y fascinantes. Es de orden 4 y su constante mágica es 34. La característica más visible es que en su parte inferior aparece 1.514, el año en que fue grabado. Todas sus columnas, filas y diagonales; sus cuatro esquinas, el cuadrado central, y sus cuatro cuadrantes suman 34.

Durante siglos se ha pensado que el cuadrado mágico de Durero es un “arquetipo lleno de significado y misticismo”. El matemático Cornelio Agripa (1486 – 1535) construyó cuadrados mágicos con los módulos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que representaban simbólicamente los siete planetas: Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Venus, Mercurio y la Luna. Para Cornelio el cuadrado con una casilla con el número 1, simbolizaba la unidad y la eternidad de Dios. El no poder construir un cuadrado con 4 casillas, lo atribuía a la imperfección de los cuatro elementos: aire, tierra, agua y fuego.

 Agripa, fue acusado de ejercer hechicería y le condenaron a un año de prisión. Benjamín Franklin (1706-1790) dedicó mucho tiempo a estudiar y crear cuadrados mágicos.  Genios matemáticos como Fermat , Euler, Pascal y  Leibnitz, hicieron admirables estudios sobre cuadrados mágicos.

¿Cómo se hacen los cuadros mágicos?

0a1Hay varias maneras sobre cómo hacer cuadros mágicos, pero quiero mostrarte estrategias sencillas para crear cuadrados mágicos. Por ejemplo, para crear un cuadro mágico de orden impar de orden tres, el más pequeño posible, usaremos los números del 1 al 9. Empieza dibujando el esqueleto de tu cuadrado. Después añade casillas en todos los laterales, hasta formar un rombo. De esta forma:

0a1Ahora, empieza en el extremo superior con el 1 y coloca todas las cifras siguiendo las diagonales alternas formadas en el rombo. Observa que quedan casillas en blanco. Sólo te falta completar el cuadrado mágico. ¿De qué forma?. Tienes que “colocar” los números que están en las casillas exteriores del cuadrado, al lugar que les corresponde. ¡Dentro!

0a1¿Cómo? Utilizando simetría! Primero usamos una simetría horizontal. Las celdas externas de la parte superior pasan a completar la parte inferior, como si lo doblásemos. Y las de la parte inferior pasan a la parte superior. De la misma forma usamos después una simetría vertical.Con una imagen se entiende mejor. El cuadrado quedaría así. ¿Te suena?

¿Te atreves ahora a hacer un cuadrado mágico de orden 3 usando sólo números impares? Te dejo otro ejemplo; un cuadrado de orden 5 y constante 65. No es difícil. Tu también puedes hacerlo con los números que quieras y sorprender a tus amigos. Recuerda las condiciones para hacer magia!

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Cuadro mágico de orden parAhora vas a hacer un cuadrangular de orden 4. Sitúa el número 1 (o la primera cifra de una serie) en el extremo superior izquierda. Ahora desplazándote cómo si escribieras por filas todos los números seguidos, pero anotando solo los que correspondan a una casilla de las dos diagonales principales.

Por último, sitúate en la última celda en blanco (casilla 15). Aquí pones el número 2 (o la 2ª cifra de la serie). 0a1Ahora te desplazas de derecha a izquierda y hacia arriba para ir completando los números que faltan por orden. Una imagen te aclarará tus posibles dudas. ¡Nuestro cuadrado ya está resuelto!

Si prestas atención, podrás comprobar que este cuadrado es completamente simétrico al de Durero. De hecho si aplicamos el método situando la cifra 1 en el extremo inferior derecho y lo hacemos todo a la inversa ¡¡obtendremos el cuadrado mágico de Durero. De la misma forma, podrás hacer un cuadrado mágico con cualquier progresión aritmética. Tienes infinitas posibilidades …

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Cuadrado mágico «en un tablero de ajedrez» 

De orden 8, formado por los números del 1 al 64. Suma de filas,columnas y diagonales = 260 Suma de las 4 esquinas y los 4 números centrales = 1040 Suma casillas blancas=suma casillas negras= 1040

0a1Cuadrado mágico doble.  Existen cuadrados mágicos que pueden tener la notable propiedad de contener otro cuadrado mágico en su interior. Aquí tienes uno de orden 5, que contiene otro de orden 3 en su interior. La constante del cuadrado mayor es igual a 75. El cuadrado verde más pequeño juega al 45. Como has podido ver las posibilidades que ofrecen los cuadrados mágicos son enormes. Espero que te haya resultado interesante.

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LA SUPERFICIE DE LA ESFERA


0Excelente exposición de 3Blue1Brown en la que propone dos respuestas a una pregunta: ¿por qué la superficie de una esfera es cuatro veces su sombra?

Recordemos que la superficie de una esfera de radio R tiene su área igual a 4πR2, precisamente cuatro veces el área del círculo del mismo radio. De ahí la pregunta planteada.

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Los subtítulos en castellano permiten seguir perfectamente el razonamiento, que es muy interesante.

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EL DESCENSO MÁS RÁPIDO: la braquistocrona


Una curva braquistócrona es la curva que representa la forma de una rampa que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe desplazarse a lo largo de la rampa hasta llegar al segundo punto bajo la única acción de una gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.descensoLa intuición nos dice que esa rampa tendría que tener una forma de una línea recta. Esto conseguiría que la distancia entre los dos puntos fuera la menor posible pero no que el descenso durase el menor tiempo.

En la animación adjunta se puede observar el problema, en donde respectivas bolas se deslizan, respectivamente, a través de una recta, una parábola, un círculo, una cicloide y una polinómica de sexto grado. La respuesta correcta es que la curva braquistócrona  debe ser una curva cicloide.

Johann Bernoulli resolvió el problema en 1696, aunque varios matemáticos más intervinieron en la solución, entre ellos Leibniz, Newton o L’HôpitalÉsta fue la primera resolución con una nueva teoría matemática: el cálculo de variaciones.

cicloide1Además, la cicloide es, también, una curva tautócronaEs decir, el tiempo empleado en llegar al punto más bajo de una rampa cicloide por parte de un objeto que deslice sin rozamiento con gravedad uniforme es independiente de su punto de partida. Esto lo apreciamos en esta otra animación: en su parte superior aparece la gráfica espacio-tiempo para cada objeto y las flechas azules representan la aceleración de cada objeto.

Por si fuera poco, este espléndido vídeo elaborado por profesores del IES Historiador Chabàs de Dénia, Alicante, nos aclara aún más el concepto:


EL PRINCIPIO DEL PALOMAR


En este artículo te quiero hablar del principio de Dirichlet, también conocido como el principio del palomar. Verás que es un principio muy sencillo y muy evidente, pero que demuestra curiosidades que nunca te habías planteado. La lógica matemática está llena de grandes trivialidades matemáticas. ¿Sabías por ejemplo, que en cada instante hay al menos un lugar en el mundo donde no sopla el viento? Pues con el principio del palomar demuestra situaciones como ésta. ¡Vamos a ver en qué consiste!

El principio del palomar

El principio del palomar es una poderosa herramienta utilizada en matemáticas combinatorias. La idea de este principio es simple y se puede explicar con la siguiente situación:

0a1Imagínate que tenemos 10 palomas y hay que colocarlas 9 casilleros. ¿Se puede hacer? La respuesta es sí, pero hay un problema: independientemente de cómo se coloquen las palomas, una de las casillas va a contener más de una paloma. Es así de simple. Sin embargo, esta lógica puede generalizarse para situaciones más complejas. En general, el principio del palomar establece que si se colocan m palomas en n casilleros, m>n, algunos casilleros deben contener más de una paloma.

Si bien el principio es evidente, sus implicaciones son sorprendentes. Este principio es útil para demostrar la existencia (o imposibilidad) de cualquier fenómeno en particular.

10 Curiosidades del principio del palomar en la vida real

1. Por cada frase de 28 palabras en cualquier texto en español, por lo menos dos palabras comenzarán con la misma letra.

El abecedario español tiene 27 letras, por tanto, si tenemos 28 palabras, al menos 2 palabras van a empezar con la misma letra.

2. En la ciudad de Nueva York, hay dos personas que tienen la misma cantidad de pelos en la cabeza.

La cabeza humana puede contener hasta varios cientos de miles de pelos, con un máximo de unos 500.000 pelos. En comparación, hay millones de personas en Nueva York. En consecuencia, al menos dos de ellos deben compartir la misma cantidad de pelos en la cabeza.

3. Como mínimo, dos personas que lean este blog cumplen los años el mismo día.

Hay 366 posibles cumpleaños (incluyendo 29 de febrero en un año bisiesto) y este blog tiene más de 367 lectores. Por lo tanto, dos de vosotros habéis nacido el mismo día.

4. En un concierto con más de 800 personas, habrá dos personas que tendrán las mismas iniciales de su nombre y de su primer apellido.

Cada inicial puede tener una de las 27 letras del abecedario, lo que significa que hay 27 x 27 = 729 posibles combinaciones entre nombre y apellido. Si en un concierto hay más de 800 personas, consecuentemente, dos de ellas deben compartir las mismas iniciales de su nombre y de su primer apellido.

5. Si escoges cinco cartas de una baraja francesa estándar de 52 cartas, al menos dos serán del mismo palo.

Una baraja tiene 4 palos. Cada una de las cinco cartas puede pertenecer a uno de los cuatro palos, pero por el principio del palomar, dos o más deben pertenecer al mismo palo.

6. Si tienes 10 calcetines negros y 10 calcetines blancos y estás eligiendo calcetines al azar, sólo tendrás que elegir tres para encontrar un par que coincida.

De los tres calcetines, al menos dos serán del mismo color según el principio del palomar. Otra forma de ver esto es pensando calcetín por calcetín. Si el color del segundo calcetín coincide con el primero, entonces hemos terminado. De lo contrario, los dos primeros calcetines ya cubren las dos posibilidades de color y necesitas sacar un tercer calcetín, que debe ser de uno de esos colores y formará un par que coincida.

7. Si escoges cinco números enteros al azar, del 1 al 8, entonces dos de ellos deben sumar hasta 9.

Cada número puede ser emparejado con otro para sumar nueve. En total, hay cuatro pares de este tipo: los números 1 y 8,2 y 7,3 y 6, y por último, 4 y 5. Cada uno de los cinco números pertenece a uno de esos cuatro pares. Por el principio del palomar, dos de los números deben ser del mismo par que sume  9.

8. En cualquier fiesta con dos o más personas, debe haber al menos dos personas que tengan el mismo número de amigos. (asumiendo ser amigo es algo recíproco, es decir, que si x es un amigo de y, entonces y es un amigo de x.)

Imagina que una fiesta tiene a «n» gente. Entonces cada persona puede ser amigo de cualquier persona desde 0 a n-1 personas.

Caso 1: todo el mundo tiene al menos un amigo Si todos tienen al menos un amigo, entonces cada persona tiene entre 1 y 1 amigo. Cada uno de los asistentes a la fiesta puede ser clasificado como uno de los valores n-1, y por lo tanto dos de los asistentes deben tener el mismo valor, es decir, el mismo número de amigos, por el principio del palomar.

Caso 2: alguien no tiene amigos Si a alguien le falta algún amigo, entonces esa persona es un extraño para todos los demás huéspedes. Debido a que el amigo es recíproco, el valor más alto que cualquier otro puede tener es n – 2, es decir, que sería amigo de todos excepto de la persona que no tiene amigos. Por lo tanto, cada uno tiene entre 0 y n – 2 amigos. Este medio de los n fiesteros puede ser clasificado como uno de los valores n-1, y por lo tanto dos de los fiesteros deben tener el mismo valor, o número de amigos.

9. Imagina que estás tratando de cubrir un tablero de ajedrez con piezas de dominó cada una que cubra exactamente dos cuadrados. Si quita dos esquinas diagonalmente opuestas, será imposible cubrir el tablero de ajedrez.

10. En un grupo de seis personas, siempre habrá tres personas que sean amigos o extraños mutuos. (asumiendo otra vez que ser amigo es recíproco: si x es un amigo de y, entonces y es un amigo de x)

El problema se puede pensar geométricamente. Imagina a las seis personas como puntos y deja que un borde entre los puntos indique la amistad. Independientemente de cómo se dibuje el gráfico, queremos mostrar que hay un conjunto de tres puntos que están todos conectados o un conjunto de tres puntos que no tienen bordes de conexión.

Considera cualquier punto en particular. Hay otros cinco puntos a los que podría conectarse. Según el principio del palomar, el punto está conectado a al menos otros tres puntos o no está conectado a al menos otros tres puntos. Caso 1: el punto está conectado a (al menos) otros tres puntos Si alguno de estos puntos está conectado entre sí, entonces hemos encontrado un triángulo de tres amigos mutuos. (Estos dos puntos están conectados, además de que ambos están conectados al punto original)

De lo contrario, eso significa que ninguno de estos tres puntos está conectado y por lo tanto son mutuamente extraños. Esto sería un conjunto de tres puntos sin aristas. Caso 2: el punto no está conectado a (al menos) otros tres puntos Si alguno de estos puntos no está conectado entre sí, entonces hemos encontrado un triángulo de tres mutuos extraños. (Estos dos puntos no están conectados, además de que ambos no están conectados al punto original). De lo contrario, eso significa que todos estos tres puntos están conectados y por lo tanto son amigos mutuos. Esto sería un conjunto de tres puntos con todos los bordes de unión.

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LOS TRES IRRACIONALES MÁS FAMOSOS


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  1. La Divina Proporción: Φ
  2. La Cuadratura del Círculo: π
  3. La Spira Mirabilis: e

Relaciones INSOSPECHADAS ENTRE NÚMEROS IRRACIONALES:

 

 

 

 

 

Desarrollo en FRACCIÓN CONTINUA del

 

 

 

 

 

 

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

  1. La suma de un número irracional con un número racional, da como resultado un número irracional.
  2. La resta entre un número irracional y un número racional, da como resultado un número irracional.
  3. El producto (resultado de una multiplicación) entre un número racional y un número irracional, da como resultado un número irracional.
  4. El cociente (resultado de una división) entre un número racional y un número irracional, da como resultado un número irracional.
  5. El inverso (elevado a menos uno) de un número irracional, da como resultado un número irracional.
  6. El resultado de un binomio conformado por un racional y un radical de segundo orden es un número irracional.
  7. Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, siempre y cuando los catetos del triángulo rectángulo no sean racionales.
  8. La raíz cuadrada de un número natural que no de cuadrado perfecto, es un número irracional.

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A HOMBROS DE GIGANTES


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El corazón de Iris late aceleradamente mientras se dirige al Ascensor Espacial que la va a llevar a la Estación Orbital Newton, donde está invitada a realizar una estancia turística de diez días, viajes incluidos. Es el premio por haber ganado el concurso escolar sobre Nuevos Materiales en el Siglo XXI convocado por la Agencia Espacial Euroasiática con ocasión del centenario del comienzo de la fabricación industrial del grafeno (y todos sus derivados)

Mientras se acomoda en su asiento/cabina (donde permanecerá cuarenta y ocho horas), y se familiariza con los controles del simulador de gravedad, rememora lo que ha estado estudiando sobre este prodigio de la ingeniería que permite los viajes espaciales sin el despilfarro que supone la propulsión a chorro: el Elevador Espacial. Es la materialización de una idea que el científico ruso Konstantin Tsiolkovsky formuló a finales del siglo XIX: la posibilidad de construir un ascensor capaz de elevarnos a plataformas geoestacionarias. Evidentemente se trataba sólo de un desarrollo teórico, porque él (como le ocurría a Leonardo da Vinci o a Julio Verne con sus ideas sobre máquinas futuristas) carecía de la tecnología y, sobre todo, de los materiales capaces de convertirla en algo tangible. 0a1

El tiempo que le toma al Ascensor adquirir la velocidad de crucero, y en el que Iris permanece inmovilizada, lo dedica a repasar mentalmente las propiedades del grafeno (resistencia -el material más resistente del mundo-; alta elasticidad y dureza; semiconductor; alta conductividad térmica y eléctrica­­; soporta la radiación ionizante; es muy ligero, como la fibra de carbono, pero más flexible… y, además, autorrepara sus fisuras) que ha estudiado para el segundo parcial de Tecnología de décimo grado, el curso en el que está matriculada. Sonríe al pensar que ya sólo le separan de la universidad dos cursos más. Hace años que tiene decidido lo que va a estudiar: Física de Materiales. Esta fascinación se ha ido desarrollando en ella a la par que ha ido tomando consciencia de hasta qué punto todo el bienestar del que disfruta depende del esfuerzo realizado por el genero humano en imaginar, primero, y en desarrollar después, materiales capaces de satisfacer las demandas cada vez más exigentes del confort y de la tecnología. 0a1

La voz de un audiovisual la saca de su ensimismamiento, y abriendo los ojos, presta atención. En una pantalla extraplana de nanotubos de grafeno que se despliega ante su asiento puede contemplar la epopeya tecnológica que ha supuesto la construcción del Ascensor Espacial. Escucha como la primera referencia a un elevador se encuentra en las obras del arquitecto romano Vitruvio, donde asegura que  Arquímedes había construido un primer ascensor (probablemente en el 236 a. C.) Pero en el espacio exterior a la Tierra no tenemos ningún soporte fijo para anclar los cables tractores. Esta dificultad se supera con un poco de física newtoniana: se trata del mismo principio que mantiene tirante una honda al hacerla girar a velocidad sobre nuestra cabeza. Es la llamada fuerza centrífuga, que ha dado muchas alegrías a los científicos en situaciones muy diversas, por ejemplo, permitiéndoles separar –usando súper centrifugadoras- los isótopos de un elemento químico aprovechando que tienen diferente masa atómica.B9vkBj0

El documental informa que fue el descubrimiento del proceso que permite la producción industrial del grafeno, lo que hizo posible construir la cinta a la que mediante unos rodillos giratorios se agarra el Elevador permitiéndole ascender con una velocidad media de 750 km/h. La fuerza centrífuga creada entre los dos extremos de la cinta, uno en la Tierra y el otro en un pequeño asteroide que la orbita, es lo que mantiene tensa esta ‘carretera hacia el cielo’. La clave está en que todo el sistema asteroide/cinta se posicione en órbita geoestacionaria ecuatorial, para lo cual su centro de gravedad tiene que situarse a 35 786 km sobre el nivel del mar, justo donde se encuentra la Estación Orbital Newton. Se trata de una fabulosa fábrica/lanzadera espacial de ciento setenta mil toneladas (de grafeno ¡claro!), con una estructura modular que no para de crecer, y desde la que empezó a construirse el Ascensor.0a1

Terminada la proyección Iris desenrolla de su muñeca un colorido brazalete de grafeno que, con unos hábiles toques, convierte en un computador con el que realiza los cálculos de la enorme cantidad de energía que ‘gastará’ el Elevador en su ascensión. ¡Será suministrada por la propia cinta, que es un colosal panel solar!  Y sonríe al pensar en la frase que su profesora hace aparecer frecuentemente en el proyector holográfico del aula de Física y que atribuye a Newton: si vemos tan lejos es porque nos hallamos aupados a hombros de gigantes. ¡Ella si que está subida ahora mismo en un gigantesco logro humano que le permite contemplar a la Madre Tierra en todo su esplendor!


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