La Resolución de Problemas


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 “Las Matemáticas avanzan por

 la Resolución de Problemas”

                                          David Hilbert

  Resolver un problema es dar con un argumento que, partiendo de un número finito de hipótesis formuladas en términos exactos, llegue a una conclusión tras un número finito de deducciones lógicas (llamadas pasos)


1.     Diferencia entre PROBLEMA y EJERCICIO

 0a16        No hay ningún método rutinario para resolver un PROBLEMA. Porque un problema no es un EJERCICIO con el que entrenamos una determinada técnica (por ejemplo, resolver ecuaciones de segundo grado) o un algoritmo (por ejemplo calcular el m.c.d.[a,b]); es algo distinto, menos inmediato, que precisa, sobre todo, un COMPORTAMIENTO ESTRATÉGICO. Es decir, a la vista de la situación ir tomando decisiones que guíen nuestra acción conscientemente. 

    Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución): NO ES UN PROCESO ALGORÍTMICO. Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por “ideas luminosas”, que se tienen o no se tienen. Lo que sí es cierto es que la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS implica todas las dimensiones (¡y son muchas!) de nuestra inteligencia. Es decir:  

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Lo más importante para resolver un problema es tu deseo de hacerlo y tu confianza en tus propias capacidades. Y el haber desarrollado un COMPORTAMIENTO ESTRATÉGICO que te guíe en la toma de decisiones que serán necesarias en cada paso que des en busca de una solución. Tienes que entender que el camino no es recto; tendrás que abandonar sendas, volver hacia atrás, descansar, tener en cuenta otras posibilidades, etc. Sólo resolviendo problemas se aprende a hacerlo. Porque LO QUE ENSEÑA ES EL CAMINO, no la solución. Sólo al andar se hace camino…  … y se adquiere la experiencia necesaria para seguir adelante.

Para SABER MÁS:  Creatividad y Resolución de Problemas

                                   Bloqueos Psicológicos en la Resolución de Problemas

                                   LA RESOLUCIÓN_DE_PROBLEMAS doc

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http:/100-problemas-maravillosos-de-matemáticas-libro-1

0a1Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y  similar formación. Suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que resultan especialmente indicados para abordar los problemas. Son los procesos que se llaman “heurísticos”: operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la ‘resolución de problemas’, ya que es una facultad entrenable:  algo que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método.


 VEAMOS ESTOS PROCESOS:


2.  PROTOCOLOS para la resolución de un problema

0a1 Un PROTOCOLO establece la secuencia de fases o etapas que conviene seguir en la resolución de un problema, y el orden en que conviene seguirlas. Es muy útil para no perderse en el camino, y sirve de guía en el proceso. Además, aconseja qué hacer en cada una de las fases. 

Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores: 

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  1.    COMPRENDER EL PROBLEMA. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático. 


EN EL BASURERO

¿Cuánta basura hay acumulada en un agujero de 1.06 m de ancho, 1.42 m de largo y 2.01 m de profundidad?


  1. Se debe leer el enunciado despacio. 
  2. ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) 
  3. ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos) 
  4. Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. 
  5.  Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación. 

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    2.    TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. 


VINO Y EL AGUA0a1

Un vaso contiene vino y otro contiene agua, ambos en la misma cantidad. Se toma una cucharadita del vaso de vino, y se la vierte en el vaso de agua. Se remueve, y seguidamente se toma una cucharadita de la mezcla y se la vierte en el vaso de vino. ¿Hay más vino en el agua que agua en el vino, o viceversa? 


  1. ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? 
  2. ¿Se puede plantear el problema de otra forma? 
  3. Imaginar un problema parecido pero más sencillo. 
  4. Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida? 
  5. ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?

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   3.    PONER EN PRÁCTICA EL PLAN. También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. 


EL BOTELLERO0a1

Un señor tenía sus mejores botellas de vino dispuestas en la cava de la siguiente manera:

Desconfiaba de su criado y todas las noches, antes de acostarse, bajaba a la cava y las contaba sumando el número de botellas que había en los tres compartimentos de cada uno de los cuatro lados. Si la suma era 21 botellas en los cuatro casos, descansaba feliz.

El criado, por su parte, sabedor de la estratagema y el bajo concepto que de él tenía el señor, decidió robarle botellas. !Y lo consiguió! Le robaba unas cuantas y redistribuía las restantes de tal modo que no perturbase los sueños del amo.

¿Cómo se las ingenió y cuántas botellas, como máximo, pudo “distraer”?


  1. Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. 
  2. ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? 
  3. Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? 
  4. Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace. 
  5. Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo. 

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        4.    COMPROBAR LOS RESULTADOS. Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver. 


EL RELOJ DE ARENA0a1

En un día de clase el profesor utilizó un reloj de arena que medía exactamente 5 horas, teniendo en cuenta que el horario es de 9 a 2. Un alumno, al que nada le gustaba la clase, dio la vuelta al reloj en un descuido del profesor.

Durante el recreo, a las once y cuarto, otro alumno dio nuevamente la vuelta al reloj. La clase de aquel día terminó a las tres de la tarde.

¿A qué hora se dio la primera vuelta al reloj?


  1. Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. 
  2. Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible? 
  3. ¿Se puede comprobar la solución? 
  4. ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? 
  5. ¿Se puede hallar alguna otra solución? 
  6. Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. 
  7. Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.  

      Otro ejemplo de PROTOCOLO:


     ANÁLISIS. 

    1.    Trazar un diagrama. 

    2.    Examinar casos particulares. 

    3.    Probar a simplificar el problema. 

CRUZAR EL DESIERTO


0a1 Un hombre tiene que entregar un mensaje al otro lado del desierto. Cruzar el desierto lleva 9 días, y un hombre sólo puede llevar suficiente comida para 12 días. No hay comida disponible donde se debe entregar el mensaje. Dos hombres se ponen en marcha.

Traza un plan de viaje para que puedan entregar el mensaje y ambos puedan volver a donde salieron sin quedarse racionados de comida. (Se puede enterrar comida a la ida y usarla a la vuelta).

¿Qué desierto pueden cruzar, en las mismas condiciones, tres hombres? ¿Y cuatro? Generaliza el resultado.


       EXPLORACIÓN. 

    1.    Examinar problemas esencialmente equivalentes. 

    2.    Examinar problemas ligeramente modificados. 

    3.    Examinar problemas ampliamente modificados. 

EL BEDUINO 


0a1Un beduino desea transportar 100 bidones de agua desde un punto a otro separados por 100 Km. de desierto. Para ello dispone de un camello capaz de andar Indefinidamente descargado, o de cargar con un solo bidón, necesitando en este caso cada vez que completa 100 Km. cargado beber una cantidad de agua igual a la que el bidón contiene. El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de éstos podrán llegar a la otra parte del desierto?


     COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA. 

    1.    ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: 

           a)    ¿Utiliza todos los datos pertinentes? 

           b)    ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? 

           c)  ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio  de escala? 

    2.    ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?: 

           a)    ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? 

           b)    ¿Puede quedar concretada en caso particulares? 

           c)    ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? 

           d)    ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido? 

LA GRAN PARTIDA DE BOLAS


0a1

Juanito y Claudio tienen entre los dos 26 bolas.

Claudio y Nicolás tienen entre los dos 17 bolas.

Nicolás y Pablo tienen entre los dos 31 bolas.

Pablo y Pedro tienen entre los dos 13 bolas.

Pedro y Juanito tienen entre los dos 23 bolas.

¿Cuántas bolas tienen en conjunto Juanito, Claudio, Nicolás, Pablo y Pedro?


 Tienes que memorizar algún protocolo (las etapas que hay que cubrir y las cosas que conviene hacer en cada una de ellas) y seguirlo fielmente en el proceso de resolución. Eso evitará que te despistes y abandones con facilidad.


      Para SABER MÁS:

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3.   TÉCNICAS de uso frecuente

 TÉCNICAS que conviene conocer y dominar para transitar con éxito por cada una de estas fases. Son procedimientos rutinarios que utilizamos para conseguir un objetivo muy concreto. Por ejemplo:


      1. Reconocer los datos, las incógnitas y las condiciones del problema.


0a1LOS TRES PLATOS

Tres viajeros se reparten la comida. El primero pone cinco platos, el segundo tres platos, y el tercero, que no tiene ningún plato, da 8 euros a los otros dos. ¿Cómo se reparten estos ocho euros entre los dos primeros viajeros, si los ocho platos valen el mismo dinero?


     2. Trazar gráficos o dibujos pertinentes a la situación.


0a1

LAS CALLES DEL PUEBLO

Todas las calles de un pueblo son rectas, sin que haya dos paralelas. Al emplazar una farola en cada cruce, se colocaron 66 farolas. ¿Cuántas calles tenía el pueblo como mínimo?


     3. Emplear tablas para recoger y presentar información.


0a1

E0a1L NENÚFAR EN EL LAGO

Un nenúfar en un lago dobla su tamaño todos los días. En un mes ha recubierto la totalidad del lago. ¿Cuánto tiempo habrían tardado dos nenúfares en recubrir todo el lago? 


     4. Diagramas en árbol para realizar recuentos.


0a1

LA REUNIÓN

0a1A una reunión va un número determinado de parejas (hombre-mujer). Cada persona saluda con un apretón de manos a todos los demás menos a su compañero o compañera.  Si en total han dado 60 apretones de manos, ¿cuántas personas se han reunido?


      5. El cálculo aritmético.


 CRIPTOGRAMA MÁGICO

0a1En la siguiente adición, cada letra distinta represente una cifra distinta, de 0 a 9. ¿De qué suma se trata?   


     6. Utilizar buenas notaciones.


0a1 LOS MARIDOS CELOSOS

Dos maridos celosos y sus esposas deben cruzar un río en una barca con capacidad para dos personas (¡qué fatalidad!). ¿Cómo pueden hacerlo de manera que ninguna mujer se quede con el marido de la otra sin que su marido esté presente?


     7. El cálculo algebraico.


0a1

 CADA MOCHUELO A SU OLIVO

Cada mochuelo a su olivo, y sobra un mochuelo. Cada dos mochuelos a un olivo, y sobra un olivo. ¿Cuántos mochuelos y cuántos olivos hay?

COMBINACIONES

La suma de 2+2 es igual a su producto: 2 x 2. ¿Podrías encontrar otros ejemplos de pares de números que cumplan la misma condición? ¿Cuántos?


     8. El cálculo probabilístico.


 LA PRUEBA DE LA BODA

       Antiguamente, en cierta isla del Pacífico, para poder casarse era precisa la “aprobación de los dioses”. Para obtenerla, la pareja debía superar la “prueba de las cuerdas” en presencia del sacerdote:

       Este tomaba 6 trozos de cuerda iguales y, juntos, los ataba con un nudo central. Después, cada novio debía anudar de dos en dos los seis cabos de uno de los lados.

0a1

0a1Finalmente, el sacerdote deshacía el nudo central y sólo si las 6 cuerdas aparecían unidas (formando un ciclo) concedía el permiso para la boda.

¿Qué probabilidad tienes de casarte en esa isla?


     9. Grafos.


 LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG

0a1Königsberg fue una populosa y rica ciudad de la Prusia Oriental. Hoy en día su nombre es Kaliningrado y pertenece a Rusia. Está situada en las orillas y en las islas del río Pregel, que en el siglo XVIII estaba atravesado por siete puentes. Es conocida por ser la cuna del filósofo I. Kant (1724-1804), pero en la historia de las Matemáticas es famosa por la disposición de sus puentes que dio lugar a un PROBLEMA, precisamente en la época de Kant, que atrajo la atención de los más famosos matemáticos del momento.

El PROBLEMA consiste en lo siguiente: ¿Es posible planificar un paseo tal que se crucen todos los puentes sin pasar por ninguno más de una vez?

Algunos de los habitantes de Königsberg opinaban que sí y otros que no. ¿Y TÚ?


     10. … … … 


0a1UN POCO DE GEOMETRÍA

Un campo triangular esta rodeado por tres campos cuadrados, cada uno de los cuales tiene un lado común con el triángulo. Las superficies de estos tres campos son iguales a 505, 233 y 52 ha. ¿Cual es la superficie del campo triangular?

 


Conviene conocerlas, entrenarlas y convertirlas en una rutina.

      Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que aprender a utilizar los instrumentos que conocemos, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo, que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás.


——Para SABER MÁS:

  1. Guía práctica para la Resolucion de Problemas
  2. Estrategias para la resolución de problemas
  3. La Resolución de Problemas como Recurso Metodológico

 

4.     ESTRATEGIAS útiles para resolver problemas.

 ESTRATEGIAS que guían nuestra acción. Consisten en pautas que te indican el camino a seguir y te permiten afrontar con éxito situaciones donde has de decidir y cuya solución no conoces. Establecen un plan de acción y vigilan su ejecución. Además, nos sugieren en cada caso qué técnica podemos emplear. Conviene conocer el mayor número posible y dominar su aplicación. Veamos algunas:    


   –    Ensayo-error. 

        ENSAYO Y ERROR. (Prueba distintas soluciones y vete ajustándolas)


 COMBINACIONES

0a1Construye todos los números del 1 al 20 utilizando cuatro cuatros y los signos algebraicos (+, -, x, : ,Ѵ). Por ejemplo:

0a1CRIPTOGRAMAS

Cada letra es una cifra que

tienes que descubrir  


   –    Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo.

        PARTICULARIZACIÓN. (Resuelve antes casos particulares muy sencillos)


 Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. Si se aprende a conducir un coche, lo mejor es circular primero despacio, sin necesidad de cambiar marchas, y en descampado, para poder jugar con el volante. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle.

En matemáticas sucede lo mismo. Un problema puede resultar difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. Para empezar, debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente. 

Procediendo así, obtenemos varios provechos: 

  • De orden psicológico. Empezamos animándonos con el probable éxito.
  • De orden racional. En el problema sencillo suelen aparecer, más transparentes, principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial.
  • Manipulación más fácil. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas.
  • La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño, sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. Incluso, aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica, se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva.   

TRAYENDO AGUA DEL RÍO

0a1Pilar le dice a su hija Isabel que vaya al río y traiga 7 litros de agua. Isabel tiene sólo dos cubos de 3 y 5 litros de capacidad respectivamente. ¿Cómo puede arreglárselas para traer exactamente los 7 litros pedidos? Y si Pilar le hubiese pedido 4 litros únicamente, ¿podría Isabel satisfacer nuevamente a su madre? 

Con dos recipientes de 9 y 4 litros, ¿cómo pueden traerse 6?


    –    Manipular y experimentar manualmente. 


0a1EL SEIS

Es fácil conseguir que aparezca el seis en la pantalla de tu calculadora empleando tres veces el mismo número y las operaciones de tu calculadora. ¿Con cuantos números los puedes conseguir?


    –    Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar)

          ATOMIZACIÓN. (Divide el problema en partes)


 EL ENGRANAJE

0a1Un engranaje consta de 121 ruedas dentadas, cuyos centros están todos en el mismo plano, de forma que la primera rueda engarza con la segunda, la segunda con la tercera, etc., la 120 con la 121, y ésta con la primera. ¿Puede girar el engranaje?


   –    Experimentar y extraer pautas (inducir)

         INDUCCIÓN. (Intenta encontrar pautas o regularidades)


0a1  INDUCCIÓN MATEMÁTICA

¿Qué puedes deducir de estas pautas?

¿Qué relación existe entre

ny  n3? 

¿Puedes demostrarla?

 


  –    Resolver problemas análogos (analogía)

       ANALOGÍA. (Intenta recordar si has resuelto algún problema parecido)


EL CURA Y EL SACRISTÁN

0a1Un cura dice una mañana a su sacristán: “He encontrado tres personas cuyo producto de edades es igual a 2450. La suma de sus edades es igual al doble de la de usted. ¿Cuáles son esas edades?”.

Por la tarde el sacristán le dice al cura que no puede responder a su pregunta, porque le falta un dato.

El cura añade: “le diré además que una de esas tres personas es mayor que yo”. ¿Cuál era la edad del cura?


    –    Seguir un método (organización)

         ORGANIZACIÓN. (Se sistemático en analizar todas las posibilidades)


 BALANZAS

0a1Disponemos de una balanza con cinco pesas de 3, 6, 8, 12 y 32 gramos respectivamente. También tenemos 33 objetos de 1, 2, 3, 4… y 33 gramos respec-tivamente. Uno de estos objetos no puede equilibrarse con las pesas. ¿Cuál es?

 Calcula el juego de cuatro pesas que es necesario tener para poder pesar en una balanza de platillos (por comparación) cualquier cantidad entera de uno a cuarenta kilos.


    –    Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación) 

          REPRESENTACIÓN. (Emplea una representación adecuada)


ATERRIZA COMO PUEDAS

0a1Un avión despega de Madrid y vuela 1000 km. hacia el Norte, siguiendo un meridiano. Cambia de dirección y vuela otros 1000 km. hacia el Este, siguiendo un paralelo. Nuevamente cambia de dirección y vuela 1000 km. hacia el Sur, siguiendo un meridiano. Cambia de nuevo de dirección y vuela 1000 km. hacia el Oeste, siguiendo un paralelo, y aterriza. Determina la posición del punto de aterrizaje respecto a Madrid. 


    –    Hacer recuentos (conteo)


  CONTANDO RECTÁNGULOS

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Sobre una malla rectangular formada por 6×5=30 cuadrados se pueden trazar (siguiendo las líneas de la malla) muchos rectángulos. Teniendo en cuenta que el cuadrado es un rectángulo especial, ¿cuántos rectángulos se pueden trazar?


    –    Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico 

         CODIFICACIÓN. (Emplea símbolos o notaciones para analizar situaciones)


 CRUZANDO RÍOS

En una orilla de un río se encuentran tres caníbales y tres exploradores. Desean (todos) pasar a la orilla opuesta y como sólo disponen de una barca con capacidad para dos personas se ponen de acuerdo en colaborar. Pero los exploradores no se fían, ya que saben que su integridad peligra en cuanto en número de caníbales supere al de exploradores. ¿Cómo pueden proceder para asegurar un traslado seguro?


    –    Cambio de estado.  


LA ALABARDA

0a1Durante la guerra de 1914-1928 fue descubierta la tumba de un soldado francés muerto el último día de un mes durante otra guerra, en Italia. La alabarda del soldado se encontraba a su lado. El producto del día del mes inscrito en su lápida por la longitud en pies de la alabarda, por la mitad de los años transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba, y finalmente por la edad del comandante francés de la expedición en que murió el soldado, es igual a 902132. ¿Quién era el comandante francés que mandaba la expedición?

EL BARCO 

Un barco velero da la vuelta alrededor del mundo. ¿Qué parte del barco ha recorrido mayor distancia?     


    –    Sacar partido de la simetría. 


 0a1¿CUÁL ES LA FIGURA?

Si el perímetro es 12, ¿cuál es la figura?

0a1LAS HUELLAS DEL CUADRADO

¿Cuál es el menor número de puntos que deben quedar tras borrar un cuadrado para que podamos reconstruirlo de nuevo? 


   –    Deducir y sacar conclusiones.

         DEDUCCIÓN. (Vete avanzando desde lo que sabes)


 CUADRATURA DEL RECTÁNGULO

Tenemos un rectángulo con razón de sus lados de 3 a 2 (ver figura). Mediante dos tijeretazos SABIAMENTE DIRIGIDOS, (por supuesto, siguiendo líneas rectas), cortarlo en cuatro piezas con las que construir un cuadrado de superficie equivalente.


    –    Conjeturar. 

         CONJETURA. (Supón el problema resuelto y saca las consecuencias oportunas)


LAS VACAS DE NEWTON

0a1Se instalan vacas en un prado donde la hierba es igual en toda su extensión y crece a velocidad constante. Sabiendo que a vacas comen en b días la hierba de c áreas y la hierba que ha crecido en esas c áreas durante esos b días. Y que d vacas comen en e días la hierba de f áreas y la hierba que ha crecido en esas f áreas durante esos e días.

¿En cuántos días g vacas comerán la hierba de h áreas y la hierba que ha crecido durante esos días en esas h áreas?

Todas las vacas comen la misma cantidad de hierba cada día.   


 –    Analizar los casos límite.


0a1ROJAS, BLANCAS Y AZULES

Tenemos seis bolas, dos rojas, dos blancas y dos azules. En cada par una de las bolas es levemente más pesada que la otra, siendo por lo demás indistinguibles. Las tres más pesadas (una de cada color) tienen pesos idénticos, y lo mismo es cierto para las tres más livianas.

Haciendo únicamente dos pesadas con una balanza de platillos, ¿cómo podríamos identificar en cada par la bola más pesada y la más liviana? 


    –    Reformular el problema. 


LA CUADRILLA

Hay que pintar dos fachadas de una casa. La primera tiene un área doble que la segunda. Una cuadrilla de pintores trabaja pintando en la fachada grande la mitad de una jornada. Después la cuadrilla se divide en dos equipos iguales y durante la segunda mitad del día uno de los grupos termina de pintar la facha da grande, mientras que el otro equipo trabaja en la fachada pequeña. Al final de la jornada la fachada grande queda enteramente pintada, pero no la pequeña, que para acabarla tiene que trabajar un pintor de la cuadrilla una jornada completa. ¿Cuántos pintores tiene la cuadrilla?


   –    Suponer que no (reducción al absurdo)

        REDUCCIÓN AL ABSURDO. (Demuestra que lo contrario es absurdo)


 TERNAS PITAGÓRICAS

¿Existe alguna terna pitagórica (tres números enteros a, b, c tales que a2+b2= c2) en que los números sean todos impares?


    –   INVERSIÓN. (Vete de atrás hacia delante)

        Empezar por el final (dar el problema por resuelto) 


 EULER

Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera clienta adquirió la mitad de todos los huevos que tenía más medio huevo. La segunda compró la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo. La tercera sólo compró un huevo, porque no quedaban más. ¿Cuántos huevos vendió?

0a1Tengo 48 cerillas distribuidas en tres montones. Si quitando cerillas del primer montón duplico el número que tiene el segundo, y si, a continuación, quitando cerillas de éste duplico las que tiene el tercero, y, por último, tomando cerillas del tercero paso al primero tantas como tiene hasta ese momento, resulta que los tres montones terminan por tener igual número de cerillas. ¿Cuántas cerillas había en cada montón al principio?

 Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida pagará a los otros dos una cantidad igual a la que cada unos tenga en ese instante. Después de perder sucesivamente cada jugador una partida, resulta que cada uno tiene 16 euros. ¿Cuánto tenía cada jugador al empezar la partida?


      –    Principio del palomar.


 Este interesante principio fue formulado por primera vez de manera formal por Peter Gustav Lejeune

Dirichlet (1805-1859), y en consecuencia se conoce a veces como el principio de distribución de Dirichlet o el principio de la caja de Dirichlet.

Dirichlet contribuyó mucho en las matemáticas aplicadas y la teoría de números. Además realizó un trabajo fundamental con respecto a la definición de una función. Su trabajo enfatizaba la relación entre dos conjuntos de números y no pedía la existencia de una fórmula o expresión que relacionara los dos conjuntos.

Si m palomas ocupan n nidos y m > n, entonces al menos un nido tiene dos o más palomas en él

Ejemplo

Una oficina emplea a 13 oficinistas, por lo que al menos dos de ellos deben cumplir años durante el mismo mes.
Los 13 oficinistas son las palomas y los 12 meses del año son los nidos. A cada paloma le corresponde un nido (el mes en que cumple años). Como hay más palomas que nidos, hay al menos un nido (mes) con dos o más palomas (oficinistas que cumplen en ese mes).

Ejercicios
  1. Demuestre que si 8 personas están en una habitación, al menos dos de ellas cumplen años el mismo día de la semana.

Las palomas son las personas y los nidos son los días de la semana. Como hay 8 palomas y 7 nidos, hay algún nido con más de una paloma, es decir, hay algún día de la semana en el cual cumplen años dos (o más) de esas personas.

  1. En una lista de 600.000 palabras, donde cada palabra consta de 4 o menos letras minúsculas, ¿pueden ser las 600.000 palabras distintas?

El número de palabras diferentes de 4 o menos letras es
274 + 273 + 272 + 27 = 551.880 (sumamos todas las palabras posibles de 4 letras, todas las palabras de 3 letras, todas las de dos letras y todas las de 1 letra.)
Las 551.880 palabras son los nidos y las 600.000 palabras de la lista son las palomas, por lo que al menos una palabra se repite.

  1. Si una persona puede tener no más de 200.000 cabellos, ¿es posible que en una ciudad de 300.000 habitantes haya dos personas con la misma cantidad de cabellos en la cabeza?

Si, es seguro que existen dos personas con la misma cantidad de cabellos.
Las palomas son las 300.000 personas y los nidos son las cantidades de cabellos (0,1,2,…,200.000). A cada “paloma” le corresponde uno de esos “nidos”. Como hay más palomas que nidos, hay algún nido (cantidad) con más de una paloma (habitante).

  1. ¿Cuántas veces debemos tirar un sólo dado para obtener el mismo resultado
    1. al menos dos veces?

Los “nidos” son los 6 resultados posibles (1,2,3,4,5,6). Las “palomas” son las tiradas, cada una de ellas “cae” en un nido.
La cantidad de palomas necesaria para que en alguno de los 6 nidos haya dos o más, es 7.
Alcanza con que el dado se tire 7 veces.

    1. al menos tres veces?

Queremos que haya un nido con 3 o más palomas. Si hay 12 palomas (o menos) esto no está garantizado, pues podrían ubicarse dos en cada nido. Pero si hay 13 palomas está claro que tiene que haber 3 o más en algún nido.

||| || || || || ||— — — — — — 1  2  3  4  5  6 

Se necesitan 13 tiradas.

    1. al menos n veces, para n >= 4?

Queremos que haya un nido con (al menos) n palomas. Podemos pensar qué cantidad máxima de palomas puede haber, sin la necesidad de que haya un nido con n palomas. Esto ocurre cuando hay n-1 palomas en cada nido, es decir 6(n-1)palomas. En este punto, si se agrega otra paloma, habrá n palomas en un nido.

                     1n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1— — — — — — 1   2   3   4   5   6 

Se necesitan 6(n-1) + 1 tiradas.

  1. Cualquier subconjunto de tamaño 6 del conjunto A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} debe contener dos elementos cuya suma es 10. Justificarlo.

Los pares de elementos de A que suman 10 son: {1,9}, {2,8}, {3,7} y {4,6}. Estos son los nidos. Las palomas son los 6 números del subconjunto. Cada número va al “nido” correspondiente, por ejemplo, el 1 va a {1,9}, el 2 va al {2,8}, y así. Como 6 > 4, hay al menos dos números que van al mismo nido, es decir, hay dos números que suman 10. (Si uno de los números es el 5, no lo consideramos, de todas maneras hay 5 palomas y 4 nidos.)

   1     2 8    3 7      4   {1,9}, {2,8}, {3,7} y {4,6}

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 UNA MOSCA ANTOJADIZA: EL PROBLEMA QUE NO RESOLVERÁS


Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:

0a1 Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?  

                              Solución:

Son muchas 25 monedas. Vamos a probar con menos, por ejemplo, con 2×2=4 monedas. Así: 

 O  O 

 O  O

Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil. 

Probemos con 3×3=9 monedas. Así: 

 O  O  O 

 O  O  O

 O  O  O

    Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro, también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene imposible. 

    Así, en el caso de 3×3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no.

Podemos sospechar que en el de 5×5=25 monedas suceda algo parecido. 

    ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? 

    Señalemos los centros de las monedas con coordenadas: 

 (-1,1)   (0,1)   (1,1) 

 (-1,0)   (0,0)   (1,0)

 (-1,-1)  (0,-1)  (1,-1)

    Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)! En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares. 

    Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería:  Impar     Par     Impar     Par     …

    Si terminase en impar, habría más vértices impares que pares. Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! 

    Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5×5 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.


     Algo en que pensar: La altura del edificio de Böhr

La siguiente anécdota es anónima y muy posiblemente apócrifa, en especial si nos fijamos en esa última línea que defiende la “absoluta veracidad” de la historia pero nos oculta la fuente y la identidad del narrador. Hecha esta salvedad, tampoco importa demasiado: aunque sea pura ficción, su defensa del pensamiento original sigue siendo interesante.

Sir Ernest Rutherford, presidente de la Sociedad Real Británica y Premio Nobel de Química en 1908, contaba la siguiente anécdota:

Hace algún tiempo, recibí la llamada de un colega que estaba a punto de poner un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física, pese a que éste afirmaba con rotundidad que su respuesta era absolutamente acertada.

Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fui elegido yo. Leo la pregunta del examen y decía: “Demuestre cómo es posible determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro”.

El estudiante había respondido: “Lleva el barómetro a la azotea del edificio y átale una cuerda muy larga. Descuélgalo hasta la base del edificio, marca y mide. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio”.

Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta correcta y completamente. Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de sus estudios, obtener una nota más alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel.

Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física. Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le pregunté si deseaba marcharse, pero me contestó que tenía muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. Me excusé por interrumpirle y le rogué que continuara.

En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta: “Coge el barómetro y déjalo caer al suelo desde la azotea del edificio, calcula el tiempo de caída con un cronómetro. Después se aplica la fórmula altura igual 0,5 por g por t al cuadrado. Y así obtenemos la altura del edificio”. En este punto le pregunté a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le dio la nota más alta.

Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta.

—Bueno —respondió—, hay muchas maneras, por ejemplo: coges el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro y la longitud de su sombra. Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio.

—Perfecto —le dije—, ¿y de otra manera?

—Sí —contestó—, éste es un procedimiento muy básico para medir un edificio, pero también sirve. En este método, coges el barómetro y te sitúas en las escaleras del edificio, en la planta baja. Según subes las escaleras, vas marcando en la pared la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas al final la altura del barómetro por el número de marcas que has hecho y ya tienes la altura. Éste es un método muy directo. Por supuesto, si lo que quieres es un procedimiento más sofisticado, puedes atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Dado que cuando el barómetro está a la altura de la azotea la velocidad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad, al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla fórmula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio. En este mismo estilo de sistema, atas el barómetro a una cuerda y lo descuelgas desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo puedes calcular la altura midiendo su período de precesión. En fin —concluyó—, existen otras muchas maneras. Probablemente —siguió—, la mejor sea coger el barómetro y golpear con él la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle: señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo.

En este momento de la conversación, le pregunté si no conocía la respuesta convencional al problema (la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares). Evidentemente, dijo que la conocía, pero que durante sus estudios sus profesores habían intentado enseñarle a pensar. El estudiante se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922, más conocido por ser el primero en proponer el modelo de átomo con protones y neutrones, y los electrones que los rodean. Fue fundamentalmente un innovador de la teoría cuántica. Al margen del personaje, lo divertido y curioso de la anécdota, lo esencial de esta historia, es que LE HABÍAN ENSEÑADO A PENSAR.

¡Y que los PROBLEMAS tienen muchas soluciones!

 RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS. 


 Todos losPROBLEMAS han sido elegidos por la belleza de su solución. Son característicos de un ESTADO DE ESPÍRITU DISTINTO al de las matemáticas “serias”, ya que requieren ALGO MÁS que el dominio de unas cuantas técnicas y destrezas.

Se trata de obras de arte cuya paternidad debería ser reconocida tanto como la de un poema o la de un cuadro célebre. Y el, placer de dar con su solución está reservado SÓLO a los esforzados. ¡ÁNIMO!  

  • No son cuestiones con trampas ni acertijos. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos, cuando se les plantean problemas, tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento, seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de “magia”. La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando.
  • Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés es por ellos mismos. Así como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan), el interés de los problemas es por el propio proceso. Pero a pesar de ello, los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que, más tarde, se pueden aplicar a muchos otros campos.
  • Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad, aunque si se tienen que señalar cuáles son, es bien dificultoso hacerlo. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos.
  • Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez intenten resolverlos. Pasa como con los chistes que nos gustan, que los contamos enseguida a otros, y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión. Lo mismo sucede con los buenos problemas.
  • Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin capacidad de reacción. Y puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. Desde un punto de vista psicológico, sólo nos planteamos aquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Por eso, si un problema sólo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal, difícil es que nos “embarquemos” en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas.
  • Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de experimentar. La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera. Incluso, en la enseñanza, la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden prefigurar la inclinación de los estudios futuros. Y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente, se las quiere o se las odia (como aparece en múltiples estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que las aprecian.

Una vez señaladas las características de los buenos problemas, hay que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. Pensemos, que, como dice Polya (1945) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento»; pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, «este género de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida».


  1. EL VENDEDOR INGENIOSO
  2. EL CASO DE LA CAÑA DE PESCAR
  3. EL CASO DE LOS HERMANOS GEMELOS
  4. EL REY CAPRICHOSO
  5. FABRICANDO PESAS
  6. LA COMIDA DE LOS EXCURSIONISTAS
  7. LA CUADRILLA DE SEGADORES
  8. LA HERENCIA
  9. LAS CESTAS
  10. LAS ESCALERAS
  11. PARTIDO DE FÚTBOL
  12. Una cuerda muy importante
  13. Bipartición de bacterias y tiempo
  14. EL LINGOTE DE ORO
  15. EL MAGO CIEGO
  16. LA HERENCIA MISTERIOSA
  17. LAS JARRAS
  18. LAS NARANJAS PERDIDAS
  19. LAS POTENCIAS DEL 7
  20. Problemas para empezar II
  21. Problemas para continuar II