Proporcionalidad y Trigonometría


0a1La GEOMETRÍA tiene dos joyas. Se trata de los teoremas de            THALES  

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                        ⇐ y de PITÁGORAS

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  Teorema de Tales

0a1Existen dos teoremas en relación a la  geometría clásica que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Thales de Mileto en el siglo VI a. C. 

Primer Teorema de Thales

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes, es decir, que tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. 

0a1Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B’C’,  a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB’C’ semejante a ABC.

Es decir,  cuyos ángulos son iguales y cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Lo que se traduce en la fórmula B=B’  y  C=C’

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Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario. 

0a1Del primer teorema de Thales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

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 Segundo teorema de Thales:

0a1El segundo teorema de Thales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:2.-Teorema-de-Tales

 

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.

Leyenda

Según la leyenda (relatada por Plutarco1 ), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de  Guiza  (conocidas como Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. 0a1Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que, A/B=D/C, por lo tanto la altura de la pirámide es  D= A.C/B, con lo cual resolvió el problema.

Demostración del Teorema de Thales

0a1Los triángulos AA’B y AA’B’ tienen igual área porque comparten una base (AA’) y su altura correspondiente (h).

Como también se cumple:

 área de AA’B = AB.x/2 

área de AA’B’ = A’B’.x’/2 

En consecuencia,  AB.x/2 =    A’B’.x’/2 , de donde  x/x’ = A’B’/AB (1)

De otra parte tenemos que, si expresamos el área de OAA’ tomando como

base OA, el área de este triángulo es OA.x/2 y, si tomamos como base OA’,

 también será  OA’.x’/2. Igualando las dos últimas expresiones y operando,

tendremos que  x/x’ = OA’/OA  (2)  

Mirando las igualdades (1) y (2) concluimos que OA’/OA = A’B’/AB que es lo que afirma el teorema de Tales.

CONSECUENCIAS: 

  1. Por las propiedades de las proporciones

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como se cumple que OA’+A’B’ = OB’ y OA+AB = OB,  tendremos que

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  1. Si trazamos una paralela por A’ a la recta OB y aplicamos el último resultado tomando como vértice a B’ en lugar de O:

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           y como CB = A’A, tenemos que   0a1

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Las relaciones métricas en el triángulo rectángulo son aquellas que tratan las relaciones entre las longitudes de los lados del triángulo, entre las cuales se destaca el Teorema de Pitágoras (que es válido exclusivamente en el triángulo rectángulo) y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, de la hipotenusa, de la altura relativa a la hipotenusa y de los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos de triángulo.

Triángulo rectángulo es el que tiene uno de sus ángulos es recto, es decir, de  90°. Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Y se deducen del hecho de que los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes entre sí (Teorema de Thales)

Denotaremos así a los principales elementos del triángulo rectángulo:

0a1a es la hipotenusa,
b el cateto mayor,
c el cateto menor,
h la altura relativa a la hipotenusa,
m la proyección del cateto b y
n la proyección del cateto c.

  • La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.

a = m +n

  • TEOREMA DE LA ALTURA: El cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones de los catetos.

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  • TEOREMA DE LOS CATETOS: El cuadrado de un cateto, es igual al producto     entre su proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.

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  • 0a1TEOREMA DE PITÁGORAS: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Sumando, miembro a miembro, los teoremas de los catetos, tenemos que b2 + c2 = am + an = a (m + n) = a2.      

b2 + c2 = a2

         Para SABER MÁS:


 TRIGONOMETRÍA


3F3LA TRIGONOMETRÍA enseña a resolver TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS. Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente.

  La resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado)

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 Para SABER MÁS:

  Materiales de MOISES VILLENA MUÑOZ 
Resolución de TRIÁNGULOS:

121Se proponen a continuación cuatro problemas de trigonometría para profundizar un poco más en esta parte de las matemáticas. Estos apuntes de trigonometría os pueden servir para aprender o repasar los conceptos fundamentales. Estos mismos conceptos los podéis ver en la siguiente presentación sobre trigonometría.

Es importante intentar hacerlos antes de hacer clic sobre el desplegable para ver la resolución del problema correspondiente.

Problema 1

Dos vías de tren de 1,4 m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un ángulo de corte es de 40o, ¿cuánto valdrá el lado del rombo?

Problema 2

problemas trigonometria 01Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B, fijamos dos puntos C y D tales que CD=300 m, y medimos los siguientes ángulos: ADBˆ=25, BDCˆ=40, ACDˆ=46 y ACBˆ=32. Calcula la distancia entre Ay B.

Problema 3

En un círculo de 15 cm de radio, halla el área comprendida entre una cuerda de 20 cm de longitud y el diámetro paralelo a ella.

Problema 4

Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden 9 m y 4 m. Halla el ángulo 2α, que forman sus tangentes comunes.

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 Para SABER MÁS:


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