Proporcionalidad y Trigonometría


0a1La GEOMETRÍA tiene dos joyas. Se trata de los teoremas de            THALES  

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                        ⇐ y de PITÁGORAS

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  Teorema de Tales

0a1Existen dos teoremas en relación a la  geometría clásica que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Thales de Mileto en el siglo VI a. C. 

Primer Teorema de Thales

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes, es decir, que tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. 

0a1Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B’C’,  a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB’C’ semejante a ABC.

Es decir,  cuyos ángulos son iguales y cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Lo que se traduce en la fórmula B=B’  y  C=C’

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Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario. 

0a1Del primer teorema de Thales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

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 Segundo teorema de Thales:

0a1El segundo teorema de Thales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:2.-Teorema-de-Tales

 

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.

Leyenda

Según la leyenda (relatada por Plutarco1 ), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de  Guiza  (conocidas como Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. 0a1Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que, A/B=D/C, por lo tanto la altura de la pirámide es  D= A.C/B, con lo cual resolvió el problema.

Demostración del Teorema de Thales

0a1Los triángulos AA’B y AA’B’ tienen igual área porque comparten una base (AA’) y su altura correspondiente (h).

Como también se cumple:

 área de AA’B = AB.x/2 

área de AA’B’ = A’B’.x’/2 

En consecuencia,  AB.x/2 =    A’B’.x’/2 , de donde  x/x’ = A’B’/AB (1)

De otra parte tenemos que, si expresamos el área de OAA’ tomando como

base OA, el área de este triángulo es OA.x/2 y, si tomamos como base OA’,

 también será  OA’.x’/2. Igualando las dos últimas expresiones y operando,

tendremos que  x/x’ = OA’/OA  (2)  

Mirando las igualdades (1) y (2) concluimos que OA’/OA = A’B’/AB que es lo que afirma el teorema de Tales.

CONSECUENCIAS: 

  1. Por las propiedades de las proporciones

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como se cumple que OA’+A’B’ = OB’ y OA+AB = OB,  tendremos que

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  1. Si trazamos una paralela por A’ a la recta OB y aplicamos el último resultado tomando como vértice a B’ en lugar de O:

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           y como CB = A’A, tenemos que   0a1

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Las relaciones métricas en el triángulo rectángulo son aquellas que tratan las relaciones entre las longitudes de los lados del triángulo, entre las cuales se destaca el Teorema de Pitágoras (que es válido exclusivamente en el triángulo rectángulo) y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, de la hipotenusa, de la altura relativa a la hipotenusa y de los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos de triángulo.

Triángulo rectángulo es el que tiene uno de sus ángulos es recto, es decir, de  90°. Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Y se deducen del hecho de que los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes entre sí (Teorema de Thales)

Denotaremos así a los principales elementos del triángulo rectángulo:

0a1a es la hipotenusa,
b el cateto mayor,
c el cateto menor,
h la altura relativa a la hipotenusa,
m la proyección del cateto b y
n la proyección del cateto c.

  • La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.

a = m +n

  • TEOREMA DE LA ALTURA: El cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones de los catetos.

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  • TEOREMA DE LOS CATETOS: El cuadrado de un cateto, es igual al producto     entre su proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.

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  • 0a1TEOREMA DE PITÁGORAS: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Sumando, miembro a miembro, los teoremas de los catetos, tenemos que b2 + c2 = am + an = a (m + n) = a2.      

b2 + c2 = a2

         Para SABER MÁS:

Monstruos imposibles

Ser grande tiene sus inconvenientes. Los animales muy grandes tienen algunas servidumbres que no tienen los animales pequeños. No todo iban a ser desventajas para los pequeños. Me explico. Si colocamos, una junto a la otra, una figura de una gacela y otra de un elefante, ambas del mismo tamaño, enseguida vemos que entre las dos hay una diferencia fundamental: la del elefante es una figura mucho más redonda o compacta, y la de la gacela, más estilizada, más grácil. El tronco del elefante es más redondeado que el de la gacela, desde luego, pero la diferencia más evidente está en las extremidades. Las del elefante son mucho más gruesas que las de la gacela, y me refiero, claro está, a las proporciones, porque ya he señalado que ambas figuras tendrían en la imagen el mismo tamaño.

Gacela de Grant (Imagen: Nevit Dilmen; fuente: Wikipedia)Elefante (imagen: Eugenia y Julián; fuente: Wikipedia)

Fue Galileo Galilei el primero que dejó constancia escrita de ese hecho y lo hizo en 1637, en su ensayo “Conversaciones sobre dos nuevas ciencias”. Como explica Salvati, -uno de los contertulios en esas conversaciones-, los seres vivos no pueden alcanzar determinados tamaños (por grandes), por la misma razón que no se pueden construir edificios de tamaño gigantesco. Las ramas de árboles demasiado grandes se romperían por efecto de su propio peso, y los huesos de los animales gigantes tendrían que ser tan gruesos que no podrían desarrollar su función correctamente.

Es una regla universal. En proporción, los animales grandes tienen los huesos más gruesos que los animales pequeños, y como consecuencia de ello, los animales de menor tamaño son más gráciles. Esa es la razón por la que el elefante y la gacela tienen aspectos tan diferentes.

¿Y por qué ocurre eso? ¿Por qué ha de aumentar tanto el grosor de los huesos al aumentar el tamaño del animal? ¿Por qué determina el tamaño la forma? La respuesta a estas preguntas es fácil, pero hemos de recurrir a una explicación matemática para responderlas.

La resistencia de una estructura depende de su sección superficial que, por tratarse de una dimensión superficial, es función cuadrática de la dimensión lineal. Así pues, cuando aumenta la altura de un animal o la longitud de un hueso (a los efectos son equivalentes), la sección superficial aumenta de acuerdo con la siguiente fórmula: S = a x L2, donde S es la superficie, L la longitud y a un coeficiente. Por otro lado, la masa de un animal, como es proporcional a su volumen, es función cúbica de su dimensión lineal (longitud, por ejemplo).

Esto es: W = a’ x L3, donde W es la masa, L vuelve a ser la longitud y a’ otro coeficiente. [Podemos olvidarnos de los coeficientes, porque a los efectos que nos interesan aquí, no tienen importancia].

Por razones estrictamente geométricas, y tal y como puede derivarse de las dos ecuaciones anteriores, cuando aumenta la dimensión lineal de un animal, su masa aumenta en mayor medida que la resistencia de sus huesos. Así pues, cuando aumenta el tamaño de los animales, para que la resistencia de los huesos aumente en la misma medida que la masa, los huesos han de ser, en proporción, cada vez más gruesos. Y eso es lo que ocurre con el elefante.

D’Arcy Thompson, en su libro On Growth and Form (1961), da los siguientes datos: los huesos representan el 8% de la masa del ratón, el 14% de la del perro y el 18% de la del ser humano. Como hemos visto, esa secuencia tiene un fundamento físico-geométrico claro. Por otro lado, y como ocurre con las proporciones, cuando la de un componente disminuye, la de otros u otros ha de aumentar, y en este caso, los animales pequeños tienen un mayor porcentaje de piel. Dicho de otra forma, al aumentar el tamaño de un animal, en la medida que aumenta su porcentaje de masa ósea, disminuye el de la piel. La razón de que sea la piel la que ve disminuir su proporción, también es geométrica pero no vamos a dar aquí la correspondiente explicación.

Para terminar, una última observación. En muchas películas fantásticas o de ciencia ficción, los protagonistas son animales gigantes, monstruos como Godzilla, o terribles primates también de tamaño enorme, como King Kong. Pues bien, lo normal es que las proporciones de los miembros del cuerpo de esos animales no sean realistas. Los personajes animales basados en osamentas de dinosaurios fósiles suelen estar razonablemente conformados, porque están basados en las magnitudes de restos fósiles reales, pero la mayoría de los que está basados en una extrapolación de animales actuales no están bien diseñados. Un primate como King Kong no podría saltar o correr sin romperse las piernas; quizás podría permanecer de pie, pero poco más. Y a Godzilla le ocurriría algo parecido. Son monstruos imposibles.

Autor: http://zoologik.naukas.com/2016/05/19/monstruos-imposibles/

 


 TRIGONOMETRÍA


3F3LA TRIGONOMETRÍA enseña a resolver TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS. Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente.

  La resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado)

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 Para SABER MÁS:

  Materiales de MOISES VILLENA MUÑOZ 
Resolución de TRIÁNGULOS:

121Se proponen a continuación cuatro problemas de trigonometría para profundizar un poco más en esta parte de las matemáticas. Estos apuntes de trigonometría os pueden servir para aprender o repasar los conceptos fundamentales. Estos mismos conceptos los podéis ver en la siguiente presentación sobre trigonometría.

Es importante intentar hacerlos antes de hacer clic sobre el desplegable para ver la resolución del problema correspondiente.

Problema 1

Dos vías de tren de 1,4 m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un ángulo de corte es de 40o, ¿cuánto valdrá el lado del rombo?

Problema 2

problemas trigonometria 01Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B, fijamos dos puntos C y D tales que CD=300 m, y medimos los siguientes ángulos: ADBˆ=25, BDCˆ=40, ACDˆ=46 y ACBˆ=32. Calcula la distancia entre Ay B.

Problema 3

En un círculo de 15 cm de radio, halla el área comprendida entre una cuerda de 20 cm de longitud y el diámetro paralelo a ella.

Problema 4

Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden 9 m y 4 m. Halla el ángulo 2α, que forman sus tangentes comunes.

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 Para SABER MÁS:


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