Cálculo de Probabilidades


       ITINERARIO DEL VIAJE: lo que vas a ver.  
  1. Experimentos ALEATORIOS.
  2. SUCESOS en un experimento aleatorio.
  3. Operaciones con sucesos: SUCESOS INCOMPATIBLES.
  4. PROBABILIDAD DE UN SUCESO: concepto, axiomas y teoremas.
  5. PROBABILIDAD CONDICIONADA: sucesos independientes.
  6. Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.

Para SABER MÁS: http://ciberconta.unizar.es/leccion/probabil/100.HTM

http://www.masmates.com/mm1704.htm?mm04022000

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/3.html


 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS

    Los experimentos son cadenas de sucesos que pueden repetirse en las mismas condiciones cuantas veces de desee. Es decir, son reproducibles (en las mismas condiciones) a voluntad. 

0a1

  • Experimento: MODELIZACIÓN                                                          

Para estudiar los fenómenos observables hay que modelizar. Modelizar un experimento es construir un modelo matemático del mismo. 0a1Necesariamente, este modelo debe simplificar las cosas y permitir la omisión de ciertos detalles. El éxito del modelo depende de si los detalles omitidos tienen o no importancia en el fenómeno estudiado. Una de las formas de analizar la validez de un modelo es deducir un cierto número de consecuencias del mismo y luego contrastarlas con las observaciones del fenómeno. 

  • Modelo DETERMINISTA/Experimento DETERMINISTA

Se llama modelo determinista aquel que asocia a un experimento una única cadena de sucesos que conduce a un resultado final que es predecible con certeza. 

0a1

0a1Ejemplos:

  • Caída de una piedra.
  • El lanzamiento de un misil.
  • Movimiento de un planeta.


Un ejemplo clásico de modelo determinísta es la caída libre h=1/2 g t2 . Las condiciones de validez de este modelo de caída: cuerpo puntual (suficientemente pequeño), gravedad constante (cercano a la Tierra), sin aire (en un tubo con vacío). En estas condiciones se podría predecir la altura que ha perdido un cuerpo transcurrido un tiempo “t”. En la física clásica son muy comunes el uso de modelos determinísticos. Un modelo determinístico que permita predecir si una moneda cae cara o cruz necesariamente es muy complejo, dependería por ejemplo de la forma en que se lanza, del espacio que rodea la moneda, de las características de la moneda en sí. Todo esto implica mucho esfuerzo para general el modelo matemático y luego para reproducir las condiciones de validez del mismo.
 

  • Modelo ALEATORIO/Experimento ALEATORIO

Otra forma de abordar el problema es analizar los resultados posibles al lanzar una moneda y luego asignar con algún criterio probabilidad de ocurrencia a dicha asignación. 0a1Un modelo probabilístico (o estocástico) está representado en esta distribución de probabilidades entre los resultados posibles. Un modelo del mismo tipo puede generarse para estudiar los resultados al lanzar un dado.

Como otros ejemplos se puede considerar una situación meteorológica (cantidad de lluvia que caerá en una tormenta y en un lugar específicos), cantidad de bacterias en un litro de leche, cantidad de glóbulos blancos en una muestra de sangre, cantidad de días lluviosos en el año en curso, tiempo de duración de un artefacto doméstico, peso que traslada un ascensor, incerteza en la medición de la distancia Tierra-Luna, etc.  

Una de las diferencias fundamentales entre un modelo determinístico y uno probabilístico, es que el primero se utilizan consideraciones específicas para predecir resultados, mientras que en un modelo probabilístico se utilizan las mismas consideraciones para especificar una distribución de probabilidades.  0a1

Se llama experimento aleatorio aquel que, aunque se repita en las mismas condiciones, tiene asociados varios resultados posibles sin que podamos determinar con certeza cuál va a ocurrir. 

Las características de estos experimentos aleatorios pueden resumirse en: 

  • Es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar esencialmente las condiciones. 
  • Aunque en general no se pueda indicar cuál será un resultado particular, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. 
  • A medida que el experimento se repite, los resultados individualmente parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, en muchos casos, si el experimento se repite un gran número de veces, aparece un patrón definido o regularidad. 

Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son: 

  • E1: Se lanza un dado equilibrado y se observa el número que aparece en la cara superior.  
  • E2: Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas. 
  • E3: Resultado de un partido de fútbol.
  • E4: Extraer una carta de una baraja.
  • E5: Lanzar una moneda y anotar si sale cara o cruz.
  • E6: Abrir un libro al azar y anotar el número de página. 

0a1Se llama ESPACIO MUESTRAL de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Se designa por E. 

E = {R1, R2, R3,…, Rn} 

Cada uno de los RESULTADOS Rk que forman el espacio muestral se llama caso o punto muestral. El ESPACIO MUESTRAL depende de los resultados en que nos fijemos. 

Ejemplos para algunos de los experimentos aleatorios mencionados: 

  • Para E1 corresponde el espacio muestral  E1= {1;2;3;4;5;6}
  • Para E2 corresponde el espacio muestral  E2= {0;1;2;3;4}
  • Para E3 corresponde el espacio muestral E3= {(0,0), (1,0), (1,1)….}
  • Para E4 corresponde el espacio muestral E4= {1c, 2c, 3c, 4c, … Rb}
  • Para E5 corresponde el espacio muestral E5= {C, X}
  • Para E6 corresponde el espacio muestral E6={1, 2, 3, … } 

Un espacio muestral no necesariamente es un conjunto con una cantidad finita de elementos. Hay espacios muestrales con un número infinito de elementos, incluso no numerable. 

Ejemplos: 

  • Lanzar un dardo a una diana y anotar la posición del punto donde se clava.
  • Cortar a ciegas un cordel y anotar la longitud del trozo menor.
  • Elegir al azar un punto del intervalo [0, 1]
SUCESOS en un experimento aleatorio

 0a1Cada experimento aleatorio tiene asociada una familia de sucesos o ESPACIO DE SUCESOS. Un SUCESO está caracterizado por su ocurrencia o no respecto a cualquier resultado observable en la realización de un experimento aleatorio. 

Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras podemos contemplar los siguientes sucesos o eventos: 

  • S1= {Salir par} = {2, 4, 6}
  • S2= {Salir múltiplo de 3} = {3, 6}
  • S3= {Sacar más que 3} = {4, 5, 6} 

Diremos que un suceso A se verifica (o se realiza) si al efectuar una prueba del experimento aleatorio obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que VERIFICAN el suceso A. 

Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar una dado, con E={1,2,3,4,5,6}  y sea el suceso A={1,3,5} = “salir impar” Entonces diremos que A se verifica si al lanzar el dado sale 1, 3 ó 5, y diremos que no se verifica si sale 2, 4 ó 6. 

Como vemos, todo suceso tiene asociado un subconjunto del espacio muestral E, compuesto por todos los resultados que lo VERIFICAN. 

Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar una moneda:

E={C , X }      S={∅,{C},{X },{C , X }}

∅ y E son siempre subconjuntos de E. 

Ejercicio. En el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española, consideremos los sucesos A = “salir figura”, B = “salir un as”. ¿Cuándo diremos que se ha realizado el suceso A? ¿Y el suceso B? 

   TIPOS DE SUCESOS 


  •  Suceso elemental es el suceso formado por un solo punto muestral. 
  • Suceso compuesto es el suceso formado por dos o más puntos muestrales. 
  • 0a1Suceso cierto (o suceso seguro) es el que siempre se realiza. Está formado por todos los resultados posibles del experimento, es decir, coincide con E. 
  • Suceso imposible es el que no se realiza nunca. Se designa por ∅ y no tiene ningún elemento del espacio muestral.

Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar un dado:

Sucesos elementales: {1} {2} {3} {4} {5} {6}

Algunos sucesos compuestos: A={1,2} B={4,3,2} C={1,3,5,6}

Suceso cierto: E={1,2,3,4,5,6}

Suceso imposible: ∅ 

  • Suceso contrario de A, A’: Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario (o complementario) del suceso A al suceso que se realiza cuando no se realiza A, y recíprocamente. 

El suceso contrario de A se representa por Ac (o también A’ o  no A ).

El suceso Ac está formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A.

Ejercicio. En el experimento consistente en lanzar un dado, halla los sucesos contrarios de los siguientes sucesos:

A={1,2,5}        B={1,3}         C={4}           D={1,3,5,6}          E={1,2,3,4,5,6}      F=∅ 

OPERACIONES con sucesos: sucesos incompatibles. 


Como hemos visto cada SUCESO de un experimento aleatorio tiene asociado un subconjunto del espacio muestral E. Es decir, el ESPACIO DE SUCESOS es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto muestral. Conviene, pues, repasar un poco la TEORÍA DE CONJUNTOS. 

  • 0a1Cardinal de un conjunto.
  • Subconjunto de un conjunto.
  • Conjunto de las partes de un conjunto P(E).
  • Operaciones en P(E). 

Llamamos suceso unión de A y B ( A∪B ) al suceso que se realiza cuando se realizan A ó B. El suceso A∪B contiene todos los elementos de A y todos los de B. 

Llamamos suceso intersección de A y B (A∩B ) al suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente A y B. El suceso A∩B está formado por los elementos comunes de A y B.

Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar un dado. 

Si A={1,2,5} y B={2,3,5} , entonces A∪B={1,2,3,5} y A∩B={2,5} 

Ejercicio. Calcula la unión y la intersección de:

  1. a) C={2,4,6} y D={2,5}
  2. b) M={2,5} y N={1,3,6}

Propiedad.

  • Se cumple que A∪A = A.
  • c=E
  • A∩A = A
  • Ec=∅ 

Sucesos compatibles.

Dos sucesos A y B son compatibles sólo si:

A ∩ B ≠ Ø

Sucesos incompatibles.

Dos sucesos A y B son incompatibles sólo si:

A ∩ B = Ø

Por tanto, un suceso y su contrario son incompatibles.

  3. PROBABILIDAD de un suceso. 

0a1Si repetimos un experimento aleatorio un número muy grande de veces, y calculamos la frecuencia relativa de un suceso A, fr(A), la LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS asegura que dicha frecuencia converge hacia un determinado valor que llamaremos probabilidad de A, P(A). 

 0a1 

La probabilidad de un suceso A, P(A), mide la esperanza que tenemos de que ese suceso ocurra al realizar un determinado experimento aleatorio. 

Así pues, sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. A cada suceso A se le asocia un número, designado P(A) y llamado probabilidad de A, el cual satisface las siguientes AXIOMAS: 

  • 0 ≤ P(A) ≤ 1   

      Es decir la probabilidad es un número entre “0” [imposible] y “1” [seguro]. 

Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. p(A)=0,5, que indica que esperamos que la mitad de las veces salga par. 

  • P(E) = 1   

     Es decir la probabilidad de que ocurra el espacio muestral (suceso seguro) es “1”. 

     Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es “1”.  

  • SiA y B son sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles (sin elementos en común, intersección vacía),  P(AB) = P(A) + P(B) 

Es decir la probabilidad de que ocurra la unión de dos sucesos disjuntos entre sí es la suma de las probabilidades individuales. 

Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado {“as” o sacar “número par”} es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.

0a1

Consecuencia de los axiomas (Teoremas) 

1) P(A´) = 1  – P(A)

   Es decir la probabilidad del complemento de un suceso A es “1  – P(A)”.

   Ejemplo1: La probabilidad de sacar un número impar en un dado equilibrado es “1   menos la probabilidad de sacar par”.  

2) Si Ø es el conjunto vacío, entonces P(Ø) = 0  

        Es decir la probabilidad de un suceso imposible o conjunto vacío es “0”.

        Ejemplo: La probabilidad de sacar “7” en un dado equilibrado es 0.  

3) Si A1, A2, ………., Ai son “i” sucesos disjuntos (incompatibles)

    P(A1∪A2∪A3∪……∪Ai) = P(A1) + P(A2)+ P(A3)+………….+ P(Ai) 

Es decir la probabilidad de que ocurra la unión de “i” sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades individuales. Si la unión de estos conjuntos Aj forman el espacio muestral entonces la suma de las probabilidades es “1” 

Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado “par” o sacar “número par” es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos. 

   0a1APLICACIÓN PRÁCTICA 

Si un suceso A tiene asociado el siguiente subconjunto de E, {R1, R2, R3, … , RK}, entonces, como los resultados de un experimento aleatorio son incompatibles entre sí, para calcular la p(A) basta sumar la probabilidad de los resultados que lo VERIFICAN: 

p(A) = p (R1∪R2∪R3∪…∪RK) = p(R1) + p(R2) + p(R3) + … + p(RK) 

   REGLA DE LAPLACE 

0a1Si los n resultados de un experimento aleatorio son equiprobables (todos tienen la misma probabilidad p(Rk) = 1/n )entonces lo anterior se puede traducir así: 

p(A) = p(R1) + p(R2) + p(R3) + … + p(RK) = k p(RK) = k/n = casos favorables/casos posibles 

que es la Regla de Laplace: la probabilidad de un suceso de un experimento aleatorio con resultados equiprobables se puede calcular como el cociente entre los casos o resultados favorables a A entre los casos o resultados posibles del experimento aleatorio.

4) Si A y B son sucesos cualesquiera  

P(A∪B) = P(A) + P(B) –  P(A∩B) 

Es decir la probabilidad de que ocurra la unión de dos sucesos es la suma de las probabilidades individuales menos la probabilidad de la intersección.

4.  PROBABILIDAD CONDICIONADA. 

En muchos problemas de probabilidad hay que calcula la probabilidad de un suceso A sabiendo que ha ocurrido el suceso B. Esta información adicional restringe el espacio muestral E, a un nuevo espacio muestral B, con lo que podemos definir la probabilidad de A condicionada a B, P(A/B) de la siguiente manera:

0a1 

Donde:

P (A/B) es la probabilidad de que se de el suceso A condicionada a que se haya dado el suceso B.

P (A ∩ B) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B

P (B) es la probabilidad a priori del suceso B 

0a1

Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6. Se dice que son:

Sucesos dependientes.

Dos sucesos A y B son dependientes sólo si:

p(A/B) ≠ p(A)   ó   p(B/A) ≠ p(B)

 

          SUCESOS INDEPENDIENTES

Dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:

Sucesos independientes.

Dos sucesos A y B son independientes sólo si:

p(A/B) = p(A)    ó     p(B/A) = p(B)

Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.

Dos sucesos independientes son compatibles pero no necesariamente dos sucesos compatibles son independientes, pueden ser dependientes o independientes.

Dos sucesos incompatibles son necesariamente dependientes pero no es cierto que dos sucesos dependientes sean necesariamente incompatibles, pueden ser compatibles o incompatibles. El siguiente diagrama resume estas relaciones.

0a1

Aunque choque a nuestra intuición dos sucesos incompatibles son totalmente dependientes, puesto que si se sabe que ha ocurrido uno automáticamente la probabilidad de que ocurra el otro pasa a ser 0.

Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B.

P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A.

Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.

Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B también es independiente del suceso A.

De donde se deduce que si dos sucesos son independientes tenemos que:

REGLA DEL PRODUCTO

P (A ∩ B) = P (A) * P (B) es decir, la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B.

Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B 

P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).

P (B ∩A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.

P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par. 

Por lo tanto:  P (B ∩A) = 1/6, P (A) = ½, P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3

Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).

Página muy buena: http://www.masmates.com/mm1704.htm?mm04022000

EXPERIMENTO COMPUESTO 


Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples. 

Cuando un experimento o suceso aleatorio sigue un modelo dinámico, es decir, cuando se puede a su vez dividir en subexperimentos, que se realizan consecutivamente en el tiempo, se puede estudiar como modelo aleatorio multidimensional, o bien, como un modelo de aleatorio de experimentos simples, estudiando según el resultado que ocurra tras cada experimento simple, y los posibles resultados del siguiente experimento. 

Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto. 

En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para encontrar el espacio muestral del mismo. 

La probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se calcula a partir de las probabilidades de los experimentos simples que lo forman. 

Página muy buena: http://www.masmates.com/mm1704.htm?mm04022000

PROBABILIDAD COMPUESTA 

      Regla de la Multiplicación 

Del concepto de probabilidad condicional, obtenemos una fórmula para hallar la probabilidad de la intersección (o producto) de los eventos A y B.

 0a1 

y también

 0a1 

Este resultado en probabilidades se denomina REGLA DE LA MULTIPLICACION  o probabilidad de la intersección, (o probabilidad conjunta); expresa la probabilidad de que ocurran los eventos A y B. 

0a1

Teorema de las Probabilidades Totales: 

Para SABER MÁS: http://probabilidad-condicionada.htm


    P(a) = P[(A∩a)U(B∩a)] = P(A∩a) + P(B∩b) = P(A).P(a/A) + P(B).P(a/B)

 Si un SUCESO se verifica en varias ramas del árbol, la probabilidad de ese suceso es la suma de las probabilidades de cada una de estas ramas. 

      EJEMPLO 

Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.

  1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
  2. b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna?

Solución:   Hacemos un diagrama en árbol:

0a1
0a1         0a1                  

0a1TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL y de BAYES. 

SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS 

Los sucesos A1, ,A2,…, An de un experimento aleatorio constituyen un sistema completo de sucesos si se verifica: 

  1. A1∪A2∪A3∪…∪An=E
  2. A1,A2,…, An son incompatibles dos a dos, es decir, Ai∩Aj=∅ Para todo i, j 

Ejemplo. 

  • Sea el experimento consistente en lanzar un dado. Para este experimento los sucesos A= {Salir par} y B = {Salir impar} forman un sistema completo de sucesos, ya que A∪B = E y A∩B=∅. 
  • Sea el experimento consistente en lanzar un dado. Para este experimento los sucesos A={1,2,6} , B={3,4} y C={5} forman un sistema completo de sucesos, ya que A∪B∪C=E  y   A∩B=A∩C=B∩C=∅ 
Teorema de la Probabilidad Total 

Sea B1, B2, …., Bk una Partición de E , entonces para cualquier evento A en E se cumple:

0a1 

CONSECUENCIA

Si B es un evento en  E tal que     0  < p[B]  <  1, entonces para cualquier evento A en  E 

0a1

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Teorema de Bayes 

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total: 

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente). 

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?). 

La fórmula del Teorema de Bayes es:

 0a1

 Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que lo mejor es explicarla con un ejemplos. 

Página muy buena:
  1. http://www.masmates.com/mm1704.htm?mm04022000
  2. https://nocturnix.gnomio.com/course/view.php?id=150&section=5
  3. tema4_orig
Para SABER MÁS:

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