La Demostración Más Hermosa


La raíz cuadrada de 2, o simplemente raíz de 2, se define como el único número real positivo tal que multiplicado por sí mismo es igual a 2. Su resultado no llega a ser nunca periódico, porque siempre tiene decimales nuevos (no se repiten con una cadencia constante)

La notación tradicional, utilizando el símbolo de radicación, es √2. Y en la notación de potencias es 21/2.

La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer número irracional conocido, cuya demostración, según Platón, se basó en la diferencia entre par e impar.

En este artículo te propongo hasta SIETE DEMOSTRACIONES de este resultado, aprovechando, como el que no quiere la cosa, para recordarte MUCHAS, pero que muchas matemáticas. Empiezo por la que para algunos es la demostración MÁS HERMOSA.

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¡PARA QUE COMPARES y DISFRUTES!

OTRAS SEIS DEMOSTRACIONES MÁS

de la IRRACIONALIDAD de √2


1ª Demostración: por Reducción al Absurdo


Toda proposición (por ejemplo, √2 es racional) es verdadera o es falsa. Si demostramos que no puede ser verdadera (porque implica un absurdo), entonces tiene que ser falsa.

Supongamos que la proposición ‘√2 es racional’ es verdadera. Entonces existen dos números naturales p y q (dado que √2 es un número real positivo), tales que:

Elevando ambos términos al cuadrado y operando queda:

Por tanto p2 tiene al 2 en su descomposición en factores primos. Pero por ser un cuadrado lo tiene que tener elevado a una potencia par. Esto implicaría que q² también tendría al 2 en su descomposición en factores primos, ¡pero elevado a una potencia impar (para compensar al 2 que lo multiplica)! Lo cual es IMPOSIBLE, ya que se trata de otro cuadrado.

_________________

La esencia de esta demostración es darse cuenta de que 2 q² = p² es un IMPOSIBLE: sólo el producto de dos cuadrados perfectos da como resultado otro cuadrado perfecto.

Para quedar convencido de ello tienes que recordar qué es un CUADRADO PERFECTO:

0a1

Y el CONCEPTO DE MULTIPLICACIÓN:

0a1

Te lo repito: 2 = p²/q² es un IMPOSIBLE. No puede haber dos números cuadrados perfectos cuyo cociente EXACTO sea 2 (ni ningún otro número que no sea un cuadrado perfecto)

En efecto, el Teorema Fundamental de la Aritmética asegura que todo número natural se puede descomponer en producto de factores primos, y que esta descomposición es ÚNICA, salvo el orden. Esto implica que para calcular la descomposición en factores primos de un cuadrado perfecto, n², basta con multiplicar todos los exponentes de la descomposición factorial de n por 2.

Es decir, dados dos números naturales p y q cualesquiera,  y tienen en su descomposición en factores primos todos ellos elevados a potencias pares, luego, si p² es DIVISIBLE por q², su cociente también es un cuadrado perfecto; ya que, el cociente tiene que tener todos sus factores primos elevados a potencias PARES (para dividir potencias de igual base se restan los exponentes, y la diferencia de dos pares SIEMPRE ES PAR)

Conclusión: Raíz de 2 es irracional.

Nota: Este razonamiento de que no puede haber dos cuadrados perfectos cuyo cociente exacto sea un número primo, ya que tienen todos sus factores primos elevados a potencias pares, puede utilizarse para demostrar que la raíz cuadrada de cualquier número primo es IRRACIONAL.

Lo mismo puede generalizarse para demostrar que el producto de raíces de números primos distintos entre sí es IRRACIONAL. En efecto, dados r y t, primos DISTINTOS, si √r.√t fuese racional, existirían dos números p y q naturales, tales que:

r t q² = p²

que es imposible, porque r.t no es nunca un cuadrado perfecto.

Y con este resultado podemos probar que la suma de raíces de dos números primos distintos también es IRRACIONAL. En efecto, probemos que √5 + √7 es irracional. Si fuese racional tendríamos que su cuadrado 

(√5 + √7)² = 12 + 2 √5 √7

también lo sería. Pero entonces

[(√5 + √7)² – 12] / 2  = √5 √7

también lo sería. Lo que contradice que √5 √7 es irracional.


 

 2ª Demostración: por Descenso Infinito


El comienzo es el mismo que en el caso anterior: supongamos que raíz de 2 es un número racional, es decir:

Podemos suponer sin ningún problema que p y q son positivos. Nos va a interesar concretamente que q > 0. A partir de aquí demostraremos que raíz de 2 es igual a otra fracción cuyo denominador también es positivo y además menor que q. Esto implicaría que podríamos encontrar una sucesión de número enteros positivos decreciente infinitamente, lo cual es imposible.

El siguiente paso también es igual que en el caso anterior:

Ahora veamos que la fracción cuyo numerador es 2q – p y cuyo denominador es p – q también es igual a raíz de 2 (usando en el primer paso la igualdad que acabamos de obtener):

Es decir:

0a1

Veamos ahora que 0 < p – q < q:

En el penúltimo paso hemos multiplicado por q la cadena de desigualdades y en el último hemos restado q. Por tanto hemos encontrado otro entero positivo menor que q que cumple que es el denominador de una fracción que es igual a raíz de 2. Con esta nueva fracción podríamos hacer lo mismo y encontraríamos otro entero positivo menor que p – q que cumpliría lo mismo.

Es decir, podemos encontrar una sucesión infinita y decreciente de enteros positivos cumpliendo lo anteriormente citado. Como todos sabemos eso es IMPOSIBLE, ya que no existe ninguna sucesión de enteros positivos decreciente con infinitos términos. Por tanto la suposición inicial era falsa.

Conclusión: Raíz de 2 es irracional.

Nota: Esta demostración tiene una preciosa interpretación geométrica popularizada por J. Conway alrededor de 1990. Conway atribuye la prueba al matemático de Princeton Stanley Tennenbaum (1927 – 2006) que hizo el descubrimiento en la década de 1950 cuando era estudiante en la Universidad de Chicago.

Si:

es que EXISTEN dos cuadrados con lados enteros p y q, tales que

0a1

Pero entonces basta con mover los cuadrados más pequeños

para encajarles en esquinas opuestas del cuadrado más grande. Así: 

Como se aprecia en la figura, la intersección de los dos cuadrados pequeños (los verdes) forman otro cuadrado en el centro del diagrama: el rojo. Y su unión deja dos cuadrados en las esquinas libres del cuadrado grande (los azules)

Por el ‘Teorema  de las Alfombras’, tenemos que las dos áreas son iguales:

Obviamente, estos cuadrados también tienen lados enteros. Ya que:

0a1

Con lo que volvemos a ver claramente que si existen dos números naturales p y q (dado que √2 es un número real positivo), tales que:

 entonces (la figura anterior lo prueba)0a1con p – q < q.

Como este proceso se puede repetir hasta el infinito, entramos en una contradicción con la afirmación de que p y q son números naturales.


 

 3ª Demostración: por Fracciones Continuas


Una fracción continua es una expresión del tipo

a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\ddots}}}}

donde a_0, a_1, \ldots son números enteros positivos, que en muchas ocasiones suele escribirse como [ a_0;a_1,a_2, \ldots ].  Bueno, en realidad este tipo de fracciones continuas donde los numeradores son todos 1 se denominan fracciones continuas regulares o simples.

La importancia de las fracciones continuas radica en que permiten caracterizar perfectamente la clasificación de los números reales en racionales e irracionales. Cosa que no ocurre mediante las expresiones decimales, porque los números racionales tienen asociadas expresiones decimales tanto limitadas como ilimitadas (aunque estas son siempre periódicas) Pero sí queda bien caracterizada por las fracciones continuas. Así:

0a1

Es decir, se puede probar (con un poco de trabajo) que:

  • Todo número racional tiene asociada una fracción continua FINITA.
  • Todo número irracional tiene asociada una fracción continua INFINITA.
  • Si la fracción continua es PERIÓDICA, el irracional es cuadrático.

Además, la fracción continua asociada a un número real es única siempre que no acabe en 1.

Se llama número irracional cuadrático a todo número real que es solución de una ecuación de segundo grado y que no es un número racional (es decir, la raíz cuadrada que aparece en su expresión no es exacta) La fracción continua de este tipo de números posee la curiosa característica de ser periódica. Es decir, de un punto en adelante, sus coeficientes tiene un período que se repiten indefinidamente. De hecho, este resultado es un si y sólo si, ya que toda fracción continua periódica corresponde con un número cuadrático irracional.

Luego para demostrar que  \sqrt {2} es un número irracional cuadrático sólo tenemos que demostrar que su desarrollo en fracción continúa es periódico. Pero esto es muy fácil si tenemos en cuenta la siguiente identidad:

(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1

a partir de ella es fácil ver que:

0a1Es decir:

0a1

\sqrt{2}=[1;2,2,2,\dots].

Luego el desarrollo en fracción continua de \sqrt {2} es PERIÓDICO.

Conclusión: Raíz de 2 es irracional cuadrático.

Nota: Si llamamos x=√2-1, entonces es fácil probar que

0a1

Y a partir de ahí, es muy fácil demostrar que el desarrollo en fracción continua de √2 es [1; 2, 2, 2, …]


 

4ª Demostración: por el Algoritmo de Euclides


Esta demostración está íntimamente relacionada con la anterior y se centra en el concepto de ‘parte alícuota’ o común divisor.

Dados dos segmentos, se dice que tienen una parte alícuota cuando existe un tercer segmento que divide a los dos. Es decir, cuando tienen una medida común (o un divisor común)

La demostración que se propone se basa en el siguiente hecho: todo número racional p/q tiene una ‘parte alícuota’ con la unidad: 1/q. En caso contrario, si no tiene parte alícuota con la unidad, es irracional.

Euclides describe en la proposición VI I.2 de sus Elementos un método que permite hallar la mayor parte alícuota de dos segmentos (números). Es decir, la mayor medida común posible de dos números (segmentos) Si los números son primos entre sí esta medida es 1.

El algoritmo se basa en darse cuenta de que si dos segmentos M > N tienen un divisor común S, entonces S también es divisor del resto R que queda tras dividir M entre N (M=nN+R). Y este proceso se puede repetir con N > R (el resto) Así, hasta llegar a un resto cero. Entonces el mcd(M,N)=r∼(el último resto distinto de cero)

Podemos formalizar el proceso como sigue:

Euclides VII-2.svg

  1. Dados dos segmentos AB y CD (con AB>CD), restamos CD de AB tantas veces como sea posible. Si no hay residuo, entonces CD es la máxima medida común.
  2. Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos repetir el proceso: restamos EA tantas veces como sea posible de CD. Si al final no queda un residuo, EA es la medida común. En caso contrario obtenemos un nuevo residuo FC menor a EA.
  3. El proceso se repite hasta que en algún momento no se obtiene residuo. Entonces el último residuo obtenido es la mayor medida común.

El hecho de que, si los segmentos son conmesurables, el proceso termina tarde o temprano es clave para la demostración que proponemos.

Apliquemos, ahora, este algoritmo a √2 y a 1 para demostrar que este proceso no termina nunca. Es decir, que los residuos nunca se hacen cero. Esto prueba que √2 y 1 no tienen ninguna parte alícuota común. Por tanto, √2 no es conmensurable con la unidad.

En efecto, si demostramos por inducción que:

0a1

entonces tenemos que:

0a1

En la preciosa cadencia que se muestra en la tabla observamos que los restos nunca alcanzan el cero. Por tanto no existe ningún divisor común a √2 y a 1.

Conclusión: Raíz de 2 es irracional.

Nota: La tabla anterior tiene esta preciosa interpretación geométrica

0a10a1


5ª Demostración: Una demostración geométrica


Esta demostración es una variante de la de ‘descenso infinito’. Se le atribuye al matemático estadounidense Tom Apostol (aunque parece que el matemático ruso A. P. Kiselev ya la había anticipado en 1892) Parte de un triángulo rectángulo isósceles como el que aparece en la figura: con n un número entero. Por el teorema de Pitágoras, tenemos que el valor de la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo es

h=\sqrt{n^2+n^2}=\sqrt{2 n^2}=\sqrt{2} \; n

Supongamos que \sqrt{2} es un número racional, digamos \textstyle{\frac{p}{q}}. Entonces podremos construir triángulos como el anterior donde la hipotenusa sea un número entero. Por ejemplo, cualquiera en el que los catetos midan un múltiplo de q, ya que así el producto \sqrt{2} \, n= \textstyle{\frac{p}{q}} \; n será un número entero. En efecto:

0a1

Esto nos lleva a que si \sqrt{2} es un número racional, entonces podemos construir triángulos rectángulos isósceles en los que sus tres lados son números enteros. ¿Bien hasta aquí? De acuerdo, sigamos.

Dado que los números enteros positivos, que son los que estamos considerando en este problema (el lado de un triángulo no puede ser negativo ni cero) tienen un mínimo (el 1), es evidente que habrá un triángulo rectángulo isósceles para el cual los catetos medirán lo mínimo posible. Esto es, el triángulo rectángulo isósceles más pequeño posible que cumple que sus tres lados son números enteros. Dicho triángulo debe existir porque hay un límite a la hora de crear triángulos cuyos lados sean todos números enteros, ya que si los hacemos muy pequeños alguno de los lados medirá menos que 1, por lo que no será entero.

Dicho de otra forma. Supongamos que existen r y t, NÚMEROS NATURALES, tales que son los lados de un triángulo rectángulo isósceles (como muestra la figura), entonces

0a1

Supongamos que tenemos ese triángulo rectángulo isósceles más pequeño posible, al que llamaremos triángulo mínimo. No podría haber, por tanto, triángulo rectángulo isósceles cuyos lados sean todos números enteros que sea más pequeño que nuestro triángulo mínimo.

Lo que vamos a ver es que en realidad sí se puede construir un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados son todos números enteros más pequeño que el triángulo mínimo, hecho que a todas luces es contradictorio y que, en consecuencia, nos asegurará que \sqrt{2} es irracional. Vamos a realizar esta construcción.0a1

Partimos del triángulo ABC que aparece en la figura:

Por hipótesis, las longitudes de sus tres lados, AB, BC y AC, son todas ellas números enteros positivos.

Con centro en C y radio AC trazamos un arco de circunferencia, que corta al lado BC en un punto, al que llamamos D:

0a1Como AC y CD son radios de la misma circunferencia, entonces miden lo mismo. Y como AC es entero (es un lado del triángulo inicial) entonces CD también es un número entero. Ahora, BC es un número entero, por ser una lado del triángulo inicial. Por otra parte, BD=BC-CD, es decir, es el resultado de la resta de dos números enteros positivos y además es positivo al ser BC mayor que CD. Por tanto la longitud del segmento BD es un número entero positivo.

Trazamos ahora la recta perpendicular al lado BC que pasa por el punto D. Esa recta corta al lado AB en un punto, al que llamamos E. Trazamos el segmento DE. La cosa queda tal que así:

0a1Claramente el triángulo BDE es isósceles, siendo BD y DE sus dos lados iguales (ya que DE es el simétrico de BD respecto de la recta perpendicular al lado AB que pasa por D). Por ello, la longitud del segmento DE también es un número entero.

Fijémonos ahora en los segmentos AE y DE. Son tangentes a un arco de circunferencia desde el mismo punto, el punto E, por lo que son iguales. Como sabemos ya que la longitud de DE es un número entero, entonces la longitud de AE también lo es. Pero AB también tiene longitud entera, y además BE=AB-AE. Por tanto, de forma análoga a lo que ocurría con BD, la longitud del segmento BE es un número entero positivo.

Todo ello significa que el triángulo BDE  es un triángulo isósceles cuyos lados miden todos números enteros positivos que además es menor que el que llamamos anteriormente triángulo mínimo. Pero esto es imposible, ya que el anterior era el mínimo posible en lo que a longitud de los lados se refiere.

En consecuencia nuestra hipótesis inicial, que \sqrt{2} era racional, es falsa.

Por tanto, \sqrt{2} es un número irracional.

0a1Nota: En la última figura se aprecia la íntima relación de esta demostración con la que hemos llamado de ‘descenso infinito’. El triangulo grande (amarillo) y el pequeño (verde) son semejantes, luego tienen sus lados proporcionales. Lo que implica que:

0a1

(con p – q < q)

Proceso geométrico que se puede repetir hasta el infinito, lo que CONTRADICE el hecho de que p y q son números naturales (porque este conjunto tiene un elemento mínimo: el 1)

6ª Demostración: Demostración Algebraica


En álgebra, el teorema de la raíz racional o la prueba de la raíz racional indica una restricción en las soluciones racionales (o raíces) de la ecuación polinómica con coeficientes enteros:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0\,\!

Si a0 y an son diferentes de cero, entonces cada solución racional x, cuando está escrita como fracción irreducible x = p/q, satisface

  • p es un factor (divisor) del término independiente a0, y
  • q es un factor (divisor) de, an, coeficiente del término de mayor grado, siendo
  • p y q son coprimos:

Así, una lista de las posibles raíces racionales de la ecuación se puede derivar usando la fórmula

x=\pm {\frac {p}{q}}

           COROLARIOS

  • Si an = 1, del teorema de la raíz racional, se deduce que las únicas raíces racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros son números enteros.
  • Del teorema de la raíz racional se deduce que las únicas raíces enteras de una ecuación polinómica con coeficientes enteros son divisores del término independiente:

Por ejemplo:

Si tengo un polinomio cualquiera  con coeficientes enteros (para simplificar voy a representar uno de grado 2):

p(x)= A x2 + B x + C

Me dicen que m es un número entero raíz de dicho polinomio

p(m)= A m2 + B m + C = 0
m ( A m + B) + C = 0
m (A m + B) = -C
Por tanto, C es múltiplo de m, o lo que es lo mismo: la raíz, m, tiene que dividir al término independiente, C, del polinomio.

 

La demostración de que √2 no es racional pasa por probar que una ecuación polinómica con coeficientes enteros que tiene √2 como solución, NO TIENE SOLUCIONES RACIONALES.

Sea x = √2. Entonces, elevando ambos miembros al cuadrado y pasando todos los términos al mismo miembro, tenemos la siguiente ecuación:

x² -2 = 0

Como se ve es una ecuación polinómica con coeficientes enteros cuyas únicas soluciones racionales, según el teorema de la raíz racional, tienen que ser divisores de 2. Pero los únicos divisores enteros de 2 son ±1 y ±2, ¡que no son raíces de dicha ecuación!

Conclusión: la ecuación no tiene soluciones racionales.

Por tanto, √2 es un número irracional

Nota: Utilizando el mismo razonamiento podemos probar, por ejemplo, que √2 + √5 es irracional.

Sea x = √2 + √5   =>  x – √2 = √5, elevando ambos miembros al cuadrado tenemos que:

x² + 2 -2x√2 = 5   =>   x² – 3 = 2x√2 

Volviendo a elevar ambos miembros al cuadrado y pasando todos  los términos a un miembro tenemos que:

0a1.JPG

Ecuación polinómica con coeficientes enteros que, como se comprueba fácilmente, no tiene soluciones racionales. 


AQUÍ PUEDES ENCONTRAR MUCHAS DEMOSTRACIONES MÁS:

http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml


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