CONTENIDOS de MCS II

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    1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

  1. Sistema de ecuaciones lineales. Solución.
  2. Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones con dos o tres incógnitas según sea compatible o incompatible, determinado o indeterminado.
  3. Sistema compatible, incompatible, determinado, indeterminado.
  4. Sistemas equivalentes. Transformaciones que mantienen la equivalencia.
  5. Transformación de un sistema en otro equivalente escalonado.
  6. Método de Gauss.
  7. Estudio y resolución de sistemas por el método de Gauss.
  8. Sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro. Concepto de discusión del mismo.
  9. Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas dependientes de un parámetro.

 

2: ÁLGEBRA DE MATRICES

  1. Conceptos básicos: vector fila, vector columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica, triangular…
  2. Operaciones con matrices: suma, producto por un número, producto. Propiedades.
  3. Matrices cuadradas, matriz unidad, matriz inversa de otra.
  4. Obtención de la inversa de una matriz, en casos sencillos, a partir de la definición.
  5. Resolución de ecuaciones matriciales.
  6. n-uplas de números reales. Dependencia e independencia lineal. Propiedad fundamental.
  7. Obtención de una n-upla combinación lineal de otras.
  8. Constatación de si un conjunto de n-uplas son l.d. o l.i. (puede hacerse a simple vista, con argumentaciones teóricas o aplicando la propiedad fundamental).
  9. Rango de una matriz.
  10. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.
  11. Discusión del rango de una matriz dependiente de un parámetro.

 

3: DETERMINANTES

  1. Determinantes de orden dos. Propiedades.
  2. Cálculo de determinantes de orden dos y aplicación de sus propiedades.
  3. Determinantes de orden tres. Propiedades.
  4. Cálculo de determinantes de orden tres por la regla de Sarrus.
  5. Menor de una matriz. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Propiedades.
  6. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.
  7. Determinante de orden n.
  8. Cálculo de un determinante “haciendo ceros” en una de sus líneas.
  9. Aplicaciones de las propiedades de los determinantes en el cálculo de estos y en la comprobación de identidades.
  10. El rango de una matriz como el máximo orden de sus menores no nulos.
  11. Determinación del rango de una matriz a partir de sus menores.

 

4: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

  1. Teorema de Rouché.
  2. Aplicación del teorema de Rouché a la discusión de sistemas de ecuaciones.
  3. Regla de Cramer.
  4. Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas determinados.
  5. Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas indeterminados.
  6. Sistema homogéneo.
  7. Resolución de sistemas homogéneos.
  8. Aplicación del teorema de Rouché y de la regla de Cramer a la discusión y resolución de sistemas dependientes de uno o más parámetros.
  9. Cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes.
  10. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones.

 

5: PROGRAMACIÓN LINEAL

Programación lineal: función objetivo, restricciones, región de validez.

  • Representación gráfica de las restricciones mediante semiplanos.
  • Representación gráfica del recinto de validez mediante intersección de semiplanos.
  • Situación de la función objetivo sobre el recinto de validez para encontrar la solución óptima.
  • Traducción al lenguaje algebraico de enunciados susceptibles de ser interpretados como problemas de programación lineal y su resolución.

 

6: LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

  1. Límite de una función cuando x ® +¥, x ® –¥  o  x ® a. Límites laterales
  2. Representación gráfica de límites cuando x ® +¥,  x ® –¥, x ® a –  x ® a +,  x ®
  3. Operaciones con límites finitos.
  4. Infinitos del mismo orden. Infinito de orden superior a otro. Operaciones con expresiones infinitas.
  5. Cálculo de límites inmediatos (operaciones con límites finitos evidentes o comparación de infinitos de distinto orden).
  6. Indeterminación. Expresiones indeterminadas.
  7. Cálculo de límites x ® +¥ o x ® –¥:
  8. Cociente de polinomios o de otras expresiones infinitas.
  9. Diferencia de expresiones infinitas.
  10. Potencia. Número e.
  11. Cálculo de límites cuando x ® a , x ® a +x ® a:
  12. Cocientes.
  13. Diferencias.
  14. Potencias.
  15. Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad.
  16. Identificación de tipos de discontinuidades.
  17. Continuidad en un intervalo. Teoremas de Bolzano, Darboux y Weierstrass.
  18. Aplicación del teorema de Bolzano para detectar la existencia de raíces y para separarlas.

 

 7: DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

  1.  Tasa de variación media.
  2. Derivada de una función en un punto. Interpretación. Derivadas laterales.
  3. Función derivada. Derivadas sucesivas.
  4. Obtención de la derivada de una función en un punto a partir de la definición.
  5. Representación gráfica aproximada de la función derivada de otra dada por su gráfica.
  6. Estudio de la derivabilidad de una función en un punto estudiando las derivadas laterales.
  7. Reglas de derivación de las funciones elementales y de los resultados operativos. Demostraciones.
  8. Cálculo de la derivada de una función.
  9. Derivada de una función implícita.
  10. Cálculo de la derivada de una función implícita.
  11. Derivada de la función inversa de otra.
  12. Cálculo de la derivada de una función conociendo la de su inversa.
  13. Derivación logarítmica.
  14. Cálculo de la derivada de una función mediante la derivación logarítmica.

 

8: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

  1. Relaciones de la derivada de una función con la forma de la curva correspondiente.
  2. Obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos.
  3. Identificación de puntos o intervalos en los que la función es creciente (decreciente).
  4. Obtención de máximos y mínimos relativos.
  5. Resolución de problemas de optimización.
  6. Relaciones de la segunda derivada de una función con la forma de la curva correspondiente.
  7. Identificación de puntos o intervalos en los que la función es cóncava o convexa.
  8. Obtención de puntos de inflexión.
  9. Regla de L’Hôpital.
  10. Aplicación de la regla de L’Hôpital. al cálculo de límites.
  11. Teoremas de Rolle y del valor medio.
  12. Constatación de si una función cumple o no las hipótesis del teorema del valor medio (o del teorema de Rolle) y obtención del punto donde cumple (en su caso) la tesis.

 

9: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

  1. Herramientas básicas para la construcción de curvas:
    1.       Dominio de definición, simetrías, periodicidad.
    2.       Ramas infinitas: asíntotas y ramas parabólicas.
    3.       Puntos singulares, puntos de inflexión, cortes con los ejes…
    4. Identificación de posibles simetrías y periodicidades.
    5. Obtención de ramas infinitas.
    6. Obtención de puntos singulares, puntos de inflexión, puntos de corte con los ejes…
  2. Conocimiento de las peculiaridades que poseen algunas familias de funciones.
  3. Representación de funciones de diversos tipos haciendo uso, cuando se pueda, de las peculiaridades de las curvas de esa familia.

 

10: INICIACIÓN A LAS INTEGRALES

  1. Primitiva de una función.
  2. Cálculo de primitivas de funciones elementales.
  3. Cálculo de primitivas de funciones compuestas.
  4. Área bajo una curva.
  5. Relación analítica entre el área y la función.
  6. Identificación de la magnitud del área bajo la curva de una función concreta. (Por ejemplo: bajo una función v-t, el área significa  v · t,  es decir, espacio recorrido.)
  7. Teorema fundamental del cálculo.
  8. Dada la gráfica de una función
    y = f(x), elegir correctamente, entre varias, la gráfica de
  9. Construcción aproximada de la
  10. gráfica de  y = f(x).
  11. Regla de Barrow.
  12. Aplicación de la regla de Barrow para el cálculo automático de integrales definidas.
  13. El signo de la integral. Diferencia entre “integral” y “área encerrada por la curva”.
  14. Cálculo del área encerrada entre una curva y el eje X entre dos abscisas.
  15. Cálculo del área encerrada entre dos curvas.

 

11. CÁLCULO DE PROBABILIDADES

  1. Sucesos y sus operaciones. Propiedades.
  2. Reconocimiento u obtención de sucesos complementarios, incompatibles, unión de sucesos, intersección de sucesos…
  3. Frecuencia y probabilidad.
  4. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso.
  5. Ley de Laplace.
  6. Propiedades de la probabilidad.
  7. Aplicación de la ley de Laplace para el cálculo de probabilidades sencillas.
  8. Probabilidad condicionada e independencia de sucesos.
  9. Reconocimiento de la dependencia o la independencia de dos sucesos.
  10. Cálculo de probabilidades condicionadas.
  11. Fórmula de la probabilidad total.
  12. Cálculo de probabilidades totales.
  13. Fórmula de Bayes.
  14. Cálculo de probabilidades “a posteriori”.
  15. Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y relaciones probabilísticos: tablas de contingencia.
  16. Manejo e interpretación de las tablas de contingencia para plantear y resolver algunos tipos de problemas de probabilidad.
  17. Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y relaciones probabilísticos: diagrama en árbol.
  18. Utilización del diagrama en árbol para describir el proceso de resolución de problemas con experiencias compuestas. Cálculo de probabilidades totales y probabilidades “a posteriori”.

 

12. MUESTRAS ESTIDÍSTICAS

  1. Población y muestra.
    1. El papel de las muestras.
    2. Por qué se recurre a las muestras: identificación, en cada caso, de los motivos por los que un estudio se analiza a partir de una muestra en vez de sobre la población.
    3. Características relevantes de una muestra: representatividad
  2. – tamaño
  3. – aleatoriedad
    1. Constatación del papel que juega el tamaño de la muestra, su aleatoriedad en las conclusiones que se extraigan de ella.
    2. Distinción de muestreos aleatorios de otros que no lo son.
    3. Muestreo. Tipos de muestreo:
  4. – Aleatorio simple.
  5. – Aleatorio sistemático.
  6. – Aleatorio estratificado.
    1. Obtención de muestras mediante muestreo aleatorio simple, sistemático y estratificado.
    2. Utilización de los números aleatorios para obtener al azar un número de entre N.

 

13. INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 

  1. Distribución normal.
  2. Manejo diestro de la distribución normal.
  3. Obtención de intervalos característicos.
  4. Comportamiento de las medias de las muestras de tamaño n: teorema central del límite.
  5. Aplicación del teorema central del límite para la obtención de intervalos característicos para las medias muestrales.
  6. Estadística inferencial.
  7. Estimación puntual y estimación por intervalo.
  8. – intervalo de confianza
  9. – nivel de confianza
  10. Descripción de cómo influye el tamaño de la muestra en una estimación. En concreto, cómo varían el intervalo de confianza y el nivel de confianza.
  11. Intervalo de la confianza para la media.
  12. Obtención de intervalos de confianza para la media.
  13. Relación entre el tamaño de la muestra, el nivel de confianza y la cota de error.
  14. Cálculo del tamaño de la muestra que debe utilizarse para realizar una inferencia con ciertas condiciones de error y de nivel de confianza.

 

14. INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPOECIÓN

  1. Distribución binomial.
  2. Aproximación a la normal.
  3. Cálculo de probabilidades en una distribución binomial mediante su aproximación a una normal.
  4. Distribución de proporciones muestrales.
  5. Obtención de intervalos característicos para las proporciones muestrales.
  6. Intervalo de confianza para una proporción (o una probabilidad).
  7. Obtención de intervalos de confianza para la proporción.
  8. Cálculo del tamaño de la muestra que debe utilizarse para realizar una inferencia sobre una proporción con ciertas condiciones de error máximo admisible y de nivel de confianza.

 

15. INFERENCIA ESTADÍSTICA: CONTRASTES DE HIPÓTESIS

  1. Hipótesis estadística:
  2. – hipótesis nula
  3. – hipótesis alternativa
  4. Comprensión del papel que juegan los distintos elementos de un test estadístico.
  5. Test de hipótesis:
  6. – nivel de significación
  7. – zona de aceptación
  8. – verificación
  9. – decisión
  10. Enunciación de tests relativos a una media y a una proporción.
  11. Influencia del tamaño de la muestra y del nivel de significación sobre la aceptación o el rechazo de la hipótesis nula.
  12. Contrastes unilaterales y bilaterales.
  13. Realización de contrastes de hipótesis:
  14. – de una media
  15. – de una proporción
  16. Identificación del tipo de error que se pueden cometer en una situación concreta. Comprensión del papel que desempeña el tamaño de la muestra en la posibilidad de cometer error de uno u otro tipo.

 

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