CONTENIDOS de MATS II

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    1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

  1. Sistema de ecuaciones lineales: CONCEPTO.
    1. Sistema de ecuaciones lineales. SOLUCIÓN
  2. Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones.
  3. Sistema compatible, incompatible, determinado, indeterminado.
  4. Sistemas equivalentes. Transformaciones que mantienen la equivalencia.
  5. Transformación de un sistema en otro equivalente escalonado.
    1. Resumen de Resolución de Sistemas Lineales
  6. Método de Gauss.
    1. Método de Gauss-hoja de ejercicios
  7. Estudio y resolución de sistemas por el método de Gauss.
  8. Sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro: discusión.
  9. Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas con parámetro.

 

2: ÁLGEBRA DE MATRICES

  1. Conceptos básicos: vector fila, vector columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica, triangular…
  2. Operaciones con matrices: suma, producto por un número, producto. Propiedades.
    1. Operaciones básicas con matrices
    2. Operaciones matrices_1
    3. EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES
  3. Matrices cuadradas, matriz unidad, matriz inversa de otra.
  4. Obtención de la inversa de una matriz: método de Gauss
    1. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA-METODO GAUSS
  5. Resolución de ecuaciones matriciales.
    1. Ejercicios de ecuaciones matriciales resueltos 
    2. Sistemas de ecuaciones matriciales
  6. Dependencia e independencia lineal. Propiedad fundamental.
  7. Obtención de una n-upla combinación lineal de otras.
  8. Rango de una matriz.
    1. Ejercicios_con_solucion_Determinantes_y_Rango
  9. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.
  10. Discusión del rango de una matriz dependiente de un parámetro.
    1. Matrices-ejercicios de selectividad
    2. Ejercicios matrices de PAU
    3. Problemas resueltos de matrices y determinantes

 

3: DETERMINANTES

  1. Unidad Didáctica: determinantes
  2. Determinantes de orden dos. Propiedades.
  3. Determinantes de orden tres. Propiedades.
  4. Cálculo de determinantes de orden tres por la regla de Sarrus.
  5. Menor de una matriz. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Propiedades.
  6. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.
  7. Determinante de orden n.
    1. Teoría de Determinantes
    2. Problemas de Determinantes
  8. Cálculo de un determinante “haciendo ceros” en una de sus líneas.
  9. Aplicaciones de las propiedades de los determinantes en el cálculo de estos y en la comprobación de identidades.
  10. El rango de una matriz como el máximo orden de sus menores no nulos.
  11. Determinación del rango de una matriz a partir de sus menores.
    1. Determinantes ejercicios de PAU
    2. Problemas de Determinante PAU

 

4: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

  1. Teorema de Rouché.
    1. Enunciado del teorema de Rouché
  2. Aplicación del teorema de Rouché a la discusión de sistemas de ecuaciones.
    1. Teorema de Rouché EJERCICIOS
  3. Regla de Cramer.
  4. Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas determinados.
    1. Teorema de Rouche y Regla de Cramer
  5. Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas indeterminados.
  6. Sistema homogéneo.
  7. Resolución de sistemas homogéneos.
  8. Aplicación del teorema de Rouché y de la regla de Cramer a la discusión y resolución de sistemas dependientes de uno o más parámetros.
    1. Sistemas_lineales_con_parametros
    2. SISTEMAS DE ECUACIONES con parámetros
    3. Problemas de PAU ecuaciones con parámetros
  9. Cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes.
  10. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones.
    1. RESUMEN de ejercicios de Álgebra Lineal 
    2. RESUMEN de Álgebra Lineal
    3. Examenes_selectividad_A4

 

5: VECTORES EN EL ESPACIO

  1. Vectores en el espacio. Operaciones. Interpretación gráfica.
  2. Obtención gráfica de un vector resultado de efectuar operaciones (sumas y productos por números) con otros.
  3. Combinación lineal. Dependencia e independencia lineal. Base. Coordenadas.
  4. Interpretación gráfica de la dependencia o independencia lineal de dos o tres vectores en el espacio.
  5. Operaciones con vectores dados por sus coordenadas. Dependencia e independencia lineal.
  6. Producto escalar de vectores. Propiedades. Expresión analítica.
  7. Cálculo del módulo de un vector. Obtención de un vector con la dirección de otro y módulo predeterminado.
  8. Obtención del ángulo formado por dos vectores.
  9. Identificación de la perpendicularidad de dos vectores.
  10. Cálculo de la proyección de un vector sobre la dirección de otro.
  11. Producto vectorial de vectores. Propiedades. Expresión analítica.
  12. Obtención de un vector perpendicular a otros dos.
  13. Cálculo del área del paralelogramo determinado por dos vectores.
  14. Producto mixto de tres vectores. Propiedades. Expresión analítica. Cálculo del volumen de un paralelepípedo determinado por tres vectores.
  15. Identificación de si tres vectores son linealmente independientes mediante las aplicaciones del producto mixto.

 

 6: PUNTOS, RECTAS y PLANOS EN EL ESPACIO

  1. Sistema de referencia en el espacio. Coordenadas de un punto.
  2. Representación de puntos en un sistema de referencia ortonormal.
  3. Punto que divide a un segmento en una razón dada.
  4. Simétrico de un punto respecto a otro.
  5. Comprobación de si tres o más puntos están alineados.
  6. Obtención automática del punto medio de un segmento y su aplicación a la obtención del simétrico de un punto respecto a otro.
  7. Obtención razonada del punto que divide a un segmento en una razón dada.
  8. Comprobación de si tres o más puntos están alineados.
  9. Obtención automática del punto medio de un segmento y su aplicación a la obtención del simétrico de un punto respecto a otro.
  10. Obtención razonada del punto que divide a un segmento en una razón dada.
  11. Expresiones de las ecuaciones de una recta a partir de algunos de sus elementos.
  12. Estudio de las posiciones relativas de dos rectas.
  13. Determinación de un plano: ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita de un plano. Vector normal.
  14. Obtención de un plano conociendo algunos de los elementos que lo determinan.
  15. Estudio de la posición relativa de dos o más planos.
  16. Estudio de la posición relativa de un plano y una recta.

 

 7: PROBLEMAS MÉTRICOS

  1. Medida del ángulo entre rectas y planos, utilizando el producto escalar.
  2. Obtención del ángulo de dos rectas, de dos planos o del ángulo entre recta y plano.
  3. Distancia entre dos puntos.
  4. Cálculo de la distancia entre dos puntos.
  5. Distancia de un punto a una recta utilizando el producto vectorial (área de un paralelogramo dividido entre la longitud de la base).
  6. Cálculo de la distancia de un punto a una recta por diversos procedimientos.
  7. Distancia de un punto a un plano. Obtención de la fórmula.
  8. Cálculo de la distancia de un punto a un plano por diversos procedimientos.
  9. Distancia entre dos rectas utilizando los productos vectorial y mixto (volumen de un paralelepípedo dividido por el área de la base).
  10. Cálculo de la distancia entre dos rectas por diversos procedimientos.
  11. Cálculo de la distancia entre dos rectas por diversos procedimientos.
  12. Cálculo del área de un paralelogramo y de un triángulo.
  13. Cálculo del volumen de un paralelepípedo y de una pirámide triangular.
  14. Cálculo del área de un paralelogramo y de un triángulo.
  15. Cálculo del volumen de un paralelepípedo y de una pirámide triangular.
  16. FORMULARIO de Geometria 2 Bachillerato

 

8: LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

  1. Límite de una función cuando x ® +¥, x ® –¥  o  x ® a. Límites laterales
  2. Representación gráfica de límites cuando x ® +¥,  x ® –¥, x ® a –  x ® a +,  x ®
  3. Operaciones con límites finitos.
  4. Infinitos del mismo orden. Infinito de orden superior a otro. Operaciones con expresiones infinitas.
  5. Cálculo de límites inmediatos (operaciones con límites finitos evidentes o comparación de infinitos de distinto orden).
  6. Indeterminación. Expresiones indeterminadas.
  7. Cálculo de límites x ® +¥ o x ® –¥:
  8. Cociente de polinomios o de otras expresiones infinitas.
  9. Diferencia de expresiones infinitas.
  10. Potencia. Número e.
  11. Cálculo de límites cuando x ® a , x ® a +x ® a:
  12. Cocientes.
  13. Diferencias.
  14. Potencias.
  15. Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad.
  16. Identificación de tipos de discontinuidades.
  17. Continuidad en un intervalo. Teoremas de Bolzano, Darboux y Weierstrass.
  18. Aplicación del teorema de Bolzano para detectar la existencia de raíces y para separarlas.

 

 9: DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

  1.  Tasa de variación media.
  2. Derivada de una función en un punto. Interpretación. Derivadas laterales.
  3. Función derivada. Derivadas sucesivas.
  4. Obtención de la derivada de una función en un punto a partir de la definición.
  5. Representación gráfica aproximada de la función derivada de otra dada por su gráfica.
  6. Estudio de la derivabilidad de una función en un punto estudiando las derivadas laterales.
  7. Reglas de derivación de las funciones elementales y de los resultados operativos. Demostraciones.
  8. Cálculo de la derivada de una función.
  9. Derivada de una función implícita.
  10. Cálculo de la derivada de una función implícita.
  11. Derivada de la función inversa de otra.
  12. Cálculo de la derivada de una función conociendo la de su inversa.
  13. Derivación logarítmica.
  14. Cálculo de la derivada de una función mediante la derivación logarítmica.

 

10: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

  1. Relaciones de la derivada de una función con la forma de la curva correspondiente.
  2. Obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos.
  3. Identificación de puntos o intervalos en los que la función es creciente (decreciente).
  4. Obtención de máximos y mínimos relativos.
  5. Resolución de problemas de optimización.
  6. Relaciones de la segunda derivada de una función con la forma de la curva correspondiente.
  7. Identificación de puntos o intervalos en los que la función es cóncava o convexa.
  8. Obtención de puntos de inflexión.
  9. Regla de L’Hôpital.
  10. Aplicación de la regla de L’Hôpital. al cálculo de límites.
  11. Teoremas de Rolle y del valor medio.
  12. Constatación de si una función cumple o no las hipótesis del teorema del valor medio (o del teorema de Rolle) y obtención del punto donde cumple (en su caso) la tesis.

 

11: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

  1. Herramientas básicas para la construcción de curvas:
    1. Dominio de definición, simetrías, periodicidad.
    2. Ramas infinitas: asíntotas y ramas parabólicas.
    3. Puntos singulares, puntos de inflexión, cortes con los ejes…
    4. Identificación de posibles simetrías y periodicidades.
    5. Obtención de ramas infinitas.
    6. Obtención de puntos singulares, puntos de inflexión, puntos de corte con los ejes…
  2. Conocimiento de las peculiaridades que poseen algunas familias de funciones.
  3. Representación de funciones de diversos tipos haciendo uso, cuando se pueda, de las peculiaridades de las curvas de esa familia.

 

12: CÁLCULO DE PRIMITIVAS

  1. Primitiva de una función.
  2. Obtención de primitivas de funciones elementales.
  3. Simplificación de expresiones para facilitar su integración:
  4. Operación de radicales.
  5. Simplificaciones trigonométricas.
  6. Diferencial de una función. Nomenclatura.
  7. Obtención de la diferencial de una función.
  8. Cambio de variables bajo el signo integral.
  9. Obtención de primitivas mediante cambio de variables: integración por sustitución.
  10. Integración “por partes”.
  11. Cálculo de integrales “por partes”.
  12. Descomposición de una función racional en fracciones elementales.
  13. Cálculo de la integral de una función racional.

 

13: LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

  1. Integral definida. Propiedades.
  2. Relación del área de una figura plana conocida con la expresión de la misma mediante la forma integral.
  3. Teorema fundamental del cálculo.
  4. Relación de la gráfica de una función y la de la que se obtiene al describir el área que encierra bajo ella.
  5. Regla de Barrow.
  6. Cálculo del área entre una curva y el eje  X.
  7. Cálculo del área delimitada entre dos curvas.
  8. Cálculo del volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar un arco de curva alrededor del eje  X.

 

 9: PROBABILIDAD

  1. Experimentos aleatorios.
  2. – Concepto de espacio muestral y de suceso elemental.
    1. Suceso A: cualquier colección de resultados posibles
    2. Suceso elemental: contiene un único resultado posible
    3. Suceso compuesto: contiene más de un resultado
    4. Suceso contrario o complementario de A
  3. – Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan.
  4. – Definición  de probabilidad. Probabilidad y frecuencias.
    1. Suceso imposible (ʘ): aquel que nunca ocurre p( ʘ ) = 0
    2. Suceso seguro (E): ocurre siempre (coincide con E) → p(E) = 1
    3. Suceso contrario o complementario de A: A’ → p(A) = 1 – p(A)
    4. Sucesos incompatibles: A y B son incompatibles si no pueden ocurrir simultáneamente →  p(A∩B) = 0
  5. – Regla de Laplace de asignación de probabilidades.
  6. – Probabilidad de la unión, intersección, diferencia de sucesos y suceso contrario o complementario.
  7. – Cálculo de probabilidades
  8. – Probabilidad condicionada.
    1. Experimentos compuestos
    2. Diagramas de árbol y tablas de contingencia
    3. Teorema de la Probabilidad Total
    4. Teorema de Bayes

 

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