Los Siete Conjuntos Numéricos

  1. NÚMEROS PRIMOS: los múltiplos ÚNICAMENTE de la unidad.
  2. NÚMEROS NATURALES: los múltiplos de la UNIDAD.
  3. NÚMEROS ENTEROS: los múltiplos positivos y negativos de la UNIDAD.
  4. NÚMEROS RACIONALES: los múltiplos de las partes alícuotas de la UNIDAD.
  5. NÚMEROS IRRACIONALES: no tienen ninguna parte alícuota con la UNIDAD.
  6. NÚMEROS REALES: son isomorfos a los puntos de la RECTA REAL.
  7. NÚMEROS COMPLEJOS: son isomorfos a los puntos del PLANO.    

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       Como CONTAR, CONTABILIZAR y MEDIR son procesos básicos y rutinarios en el quehacer cotidiano de las personas, el uso de números naturales, enteros y racionales también lo es. Pero desde un punto de vista más conceptual podemos unificar estos tres procesos y verlos como uno sólo.euclides4

      Si MEDIR es contar cuántas veces contiene una CANTIDAD a otra de su misma especie que se toma como UNIDAD, al medir ‘contamos’ y al contar ‘medimos’. Así pues, podemos UNIFICAR todos estos procesos en uno solo: EL PROCESO DE LA MEDIDA.

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    En efecto, MEDIR significa comparar una cantidad (p. e. de longitud) con otra de su misma especie que se toma como unidad (p. e. el metro) Se trata de una comparación por cociente (es decir, una razón) que determina cuántas veces contiene la cantidad en cuestión a la unidad tomada. 

   Veámoslo en un caso concreto: LAS CANTIDADES DE LONGITUD. 

Si tomamos una recta, determinamos un origen 0 y una unidad de medida 1

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vemos que a cada punto le corresponde una cantidad de longitud (su distancia al origen) y viceversa. A esa distancia se le llama abscisa del punto. 

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    Ahora, nos preguntamos si podemos asignar un valor numérico a la abscisa de cada uno de los infinitos puntos de la recta (real) para descubrir que existen     

0a1         Para SABER MÁS:   


      Vayamos por partes:

              1. Hay NÚMEROS PRIMORDIALES: LOS PRIMOS

Hay números que SON ÚNICAMENTE MÚLTIPLOS DE LA UNIDAD, números que no tienen ‘divisores propios’: no se dejan ‘medir’ nada más que por la unidad y ellos mismos.

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Se trata de los NÚMEROS PRIMOS o primordiales, ya que según asegura el teorema fundamental de la aritmética, con ellos se pueden ‘construir’ los demás números naturales. 0a1Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.

Esta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.

0A36Desde muy antiguo los números primos han sido objeto de interés y estudio. Ya en la antigua Grecia aparecen numerosos estudios.

Los pitagóricos tuvieron gran interés por ellos debido a que pensaban que los números gobernaban el mundo y tenían propiedades místicas y “mágicas”. Los números primos, por su naturaleza indivisible, presentan todas las características para ser “adorados” por los discípulos de Pitágoras.

En el libro “Los Elementos” de Euclides (300 a.C.), uno de los tratados más importantes de la historia de las matemáticas, ya aparecen estudios sobre los números primos. El propio Euclides en su libro enuncia un teorema importante sobre números primos:  

Teorema: Hay infinitos números primos.

Si quieres ver la prueba que hace Euclides de este teorema clica aquí. Se trata, posiblemente, de la primera demostración conocida mediante el método de reducción al absurdo; 0a1y este método consiste en suponer cierto lo contrario de lo que se quiere probar para llegar a una contradicción descubriendo falsa la suposición hecha.  

Hubo, y sigue habiendo muchos intentos para determinar qué números son primos. Uno de los primeros que se conocen es un procedimiento heurístico debido a otro importante matemático griego llamado ERATÓSTENES.


              2. Hay NÚMEROS PARA CONTAR: LOS NATURALES

Los MÚLTIPLOS DE LA UNIDAD DE MEDIDA 

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tendrán como abscisas los NÚMEROS NATURALES (la tabla de uno):

∴  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17…

Constituyen una SERIE (conjunto ordenado) INFINITA NUMERABLE (el infinito potencial) que sirve tanto para CONTAR como para ORDENAR los elementos de cualquier otro conjunto discreto y finito.  

Y se CLASIFICAN en PRIMOS, la UNIDAD (neutra para el producto) y COMPUESTOS:

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     Objetivos de APRENDIZAJE:
  • RECONOCER números primos.
  • DESCOMPONER un número en factores primos.
  • SABER cuando un número es divisible entre otro.
  • CALCULAR cuántos y cuáles son los divisores de un número.
  • CALCULAR en MCD y el mcm de varios números.
  • RESOLVER  situaciones que requieran el MCD o mcm.

 PARA SABER MÁS

  1. NUMEROS NATURALES
  2. Resumen de la construcción de los números naturales
  3. El principio de inducción en los números naturales
  4. Teoría axiomática de los números naturales
  5. Los Números Naturales y el Concepto de Buena Ordenacion
    LOS NÚMEROS AMIGOS 

Desde muy antiguo los matemáticos se han preocupado por los distintos números y sus propiedades; así hay números pares, impares, primos, amigos, abundantes, poligonales, etc.

 El filósofo griego Jámblico atribuye el descubrimiento de los números amigos al propio Pitágoras, embelleciendo el relato del mismo con la siguiente anécdota: «Siendo preguntado Pitágoras –¿qué es un amigo?, contestó –Alter ego. Por analogía aplicó el término amigos a dos números cuya suma de partes alícuotas es igual al otro»

Dos números amigos son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número)

Un ejemplo  de números amigos es el par (220, 284), ya que:

    * los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284
    * los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220

Para los antiguos griegos ( los pitagóricos) los números amigos tenían muchas propiedades intrigantes. Alrededor del año 850, el filósofo árabe Tabit ibn Qurra descubrió una fórmula con la que podían se podían hallar números amigos:

 Decía el sabio árabe que si se cumplían las condiciones siguientes:

p = 3 × 2n-1 – 1,
q = 3 × 2n – 1,
r = 9 × 22n-1 – 1,

donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces  2npq y 2nr son un par de números amigos.

Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1.184, 1.210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). Mientras que el par de números amigos  (6.232, 6.368)  no se puede hallar por la fórmula anterior.

Hay que señalar, pues, que no todos los números amigos se obtienen con el procedimiento de Tabit, pero si son amigos todos los números que se obtienen con dicho procedimiento.

 Por otra parte hay que saber que la pareja de  números amigos (220 y 284)  ya era conocido por los griegos. El siguiente par de números amigos fue descubierto en el siglo XIII y redescubierto por Fermat en 1636 (los números 17.296 y 18.416).  El filósofo  francés R. Descartes descubrió el siguiente par: 9.363.584 y 9.437.056. Hay que reseñar que estos grandes pensadores se saltaron el par de números amigos 1.184-1.210 que fue descubierto por un niño italiano de 16 años llamado Niccolò Paganini.

Para finalizar este breve resumen no hay que olvidar al gran L. Euler, puesto que él trabajo incansablemente tratando de encontrar fórmulas para encontrar números amigos. 

 Los números sociables son una generalización de los números amigos. Tres o más números se dice que son sociables si la suma de los divisores del primero da el segundo, los del segundo, el tercero, y los del último el primero.

Respecto al problema que nos ocupa tenemos que calcular únicamente los divisores de cada número y ver qué ocurre.

–   El número 2.620  tiene exactamente 11 divisores (si excluimos el 2.620), los divisores son:
1, 2, 4, 5, 10, 20, 131, 262, 524, 655 y 1.310

     La suma de dichos divisores es igual a 2.924

–   El número 2.924  tiene también 11 divisores (si excluimos el 2.924), los divisores son:
1, 2, 4, 17, 34, 43, 68, 86, 172, 731 y 1.462

La suma de dichos divisores es igual a 2.620

Luego efectivamente 2.620 y 2.924 son números amigos.

 


       3. Hay NÚMEROS PARA CONTABILIZAR y ACOTAR: LOS ENTEROS

Si admitimos cotas o alturas negativas (bajo el nivel del mar), podemos prolongar los múltiplos de la unidad de medida a derecha (positivos) y a izquierda (negativos) Tendremos así los números enteros.0a1 Estos números aparecen siempre que una magnitud puede tomar cantidades discretas con dos signos opuestos (positivas y negativas) Por ejemplo: la carga eléctrica, las cotas, el balance de una contabilidad, la temperatura, etc. 

Z es otro conjunto infinito numerable: con la misma potencia que N. 

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           Objetivos de APRENDIZAJE:
  • ¿Cómo aparecen los números enteros?
  • RECONOCER números enteros.
  • ORDENAR número enteros.
  • OPERAR con números enteros.
  • DISTANCIA entre dos números enteros.
  • RESOLVER  situaciones que requieran números enteros.

         PARA SABER MÁS

  1. Unidad Didáctica de Números Enteros
  2. Repaso de enteros para 1º ESO
  3. CUADERNILLO Números enteros
Las reglas de los signos de las operaciones:

La intuición opera fácilmente con los números positivos; con los números negativos se resiste. Intentaré esbozar algunas reflexiones que expliquen las reglas de los signos de las operaciones.

Tenemos la idea intuitiva de que el resultado de la suma o adición es siempre un número mayor que los sumandos. Lo contrario ocurre con la sustracción o diferencia. Esto se entiende fácilmente en estos casos:

Número positivo + Número positivo = Número positivo 

(+5) + (+3) = (+8)

Número positivo – Número positivo menor =  Nº positivo 

(+5) – (+3)  = (+2)

Usualmente se escriben así: 

5 + 3 = 8          y       5 – 3 = 2

Obsérvese lo anterior, que he llamado escritura usual, se han suprimido los signos (+)  ¿Quiere decir que son innecesarios? ¡No! Se trata de un convenio por el cual, todo número sin signo expreso supone, implícitamente, el signo (+).

El problema se complica cuando introducimos signos negativos:

Número negativo + Número negativo = Número negativo 

(-3) +  (-5) = (-8)

Y se complica aún más en estos casos de ambigüedad:

Número negativo – Número negativo = Número negativo 

(-5) – (-3) = (-2)

Número negativo – Número negativo = Número positivo 

(-3) –  (-5) = (+2)

Aquí la intuición de que el resultado de la suma o adición es siempre un número mayor que los sumandos o que en la diferencia es menor, falla; 

(-8) es menor que (-3) y (-5) y (+2) es mayor que (-3)  ó  (-5)

Les brindo una estrategia que me dio ¡Siempre! Muy buen resultado. Si al signo (+) lo asociamos a la idea de tener dinero contante y sonante y el (-) lo asociamos a deber dinero; esto es a tener que pagar, no sé que tienen los dineros que aclaran, instantáneamente, las ideas. 

La regla de los signos de la multiplicación, apareció por primera vez en un libro publicado en Francia en el siglo XV.

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Entre la ciencia del lenguaje y la ciencia de los números hay cierta analogía: dos negaciones seguidas equivalen a una afirmación. Es una regla básica y muy sencilla de aprender pero, bastante difícil de explicar ya que, es algo tan básico que, no sabemos cómo presentarlo los alumnos.

PARA SABER MÁS: 

  1. La justificación de la regla de los signos
  2. CLASIFICACIÓN
  3. Esquema Números Enteros
  4. El paisaje de los números
  5. Los Conjuntos Numéricos: UD
  6. Núm Enteros: Ejercicios 1

         Y hay NÚMEROS PARA MEDIR (Cantidades de Magnitud) 

                  4. LAS FRACCIONES: partes alícuotas de la unidad 

La UNIDAD DE MEDIDA, al contrario que la unidad de contar, lo mismo que tiene múltiplos, TIENE DIVISORES. A los divisores de la unidad de medida se les llama partes alícuotas de la unidad o fracciones unitarias. 

El Teorema de Tales nos permite, mediante regla y compás, dibujar las partes alícuotas de la unidad. Así:

0a1Evidentemente, existen infinitas partes alícuotas de la unidad: las UNIDADES FRACCIONARIAS. Y cada unidad fraccionaria tiene un número infinito de MÚLTIPLOS.  Estos múltiplos se llaman FRACCIONES.

    Las fracciones son redundantes como abscisas de puntos en la recta real.

  En efecto,  1/2 y 3/6 representan la misma abscisa (o número racional) Se dicen que son fracciones equivalentes (equivalen a la misma cantidad) Existen infinitas fracciones equivalentes a una dada, pero todas son reducibles menos una: aquella en que el m. c. d. de numerador y denominador es uno.

Objetivos de APRENDIZAJE:
  1. ¿Qué es una fracción? ¿Cómo aparecen las fracciones?
  2. ¿Qué información trasmite una fracción?
  3. Leer y escribir fracciones
  4. Representarlas en un gráfico
  5. Compararlas
  6. ¿Qué son y por qué hay fracciones equivalentes?
  7. Reducir y ampliar una fracción
  8. Reducir fracciones a común denominador
  9. Fracción opuesta y fracción inversa de una dada
  10. Operar con fracciones
  • Sumarlas / Restarlas
  • Multiplicarlas / Dividirlas
  • Potencias / Raíces 
  1. ¿Qué es un porcentaje? ¿Cómo aparecen los porcentajes?
  2. ¿Para qué se usan los porcentajes?
  3. Pasar una fracción a decimal y a porcentaje. Viceversa.
  4. Calcular la fracción de una cantidad: dos tercios de veinticuatro.
  5. Calcular la fracción de una fracción: la mitad de la tercera parte.
  6. Traducir enunciados de fracciones a gráficos

      PARA SABER MÁS

  1. EJERCICIOS DE REPASO de Naturales, Enteros y Racionales para 3º ESO
  2. EJERCICIOS de enteros y racionales
  3. U.Didáctica: Números Racionales
EXPRESIÓN DECIMAL de un número racional.

Todo número racional puede expresarse en base decimal. Esta expresión es, por decirlo coloquialmente, lo que la mayoría de gente entiende por un número con coma.

Veamos qué queremos decir con el siguiente ejemplo:

El número racional ½ puede escribirse como 0,5.

Y entonces leemos cero coma cinco en vez de un medio.

Esta expresión es útil si nos estamos refiriendo, por ejemplo a un precio o longitud, donde es necesario hacerse una idea del valor del número racional.

0a1Esta expresión en base decimal no puede ser siempre exacta ya que por ejemplo 1/3=0,33333 y deberíamos escribir infinitos 3, lo que nos llevaría demasiado tiempo. En este caso diremos que el resultado es cero coma tres periódico. Siempre que digamos periódico nos referiremos a que el número debe ser repetido infinitas veces. Lo escribimos poniendo una barra encima del número periódico. En nuestro ejemplo 1/3=0,3ˆ.

Por tanto, podemos pensar en los números racionales a través de su expresión decimal. Y esta expresión decimal no es más que una secuencia de dígitos. Hemos visto que los numero racionales corresponden con las secuencias de dígitos que acaban siendo periódicas. Así

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Para SABER MÁS:  Expresiones decimales de números racionales     Números racionales

FRACCIONES CONTINUAS

Las fracciones continuas, tan presentes en la historia de las matemáticas, están en la actualidad prácticamente olvidadas, especialmente en las aulas de Secundaria. Si acaso aparecen es como mera “gimnasia algebraica”.

Pero son uno de los temas más interesantes dentro de la teoría de números, así como también uno de los más antiguos. Su origen se remonta a la antigua Grecia, Euclides (330 a.C – 275 a.C) estudió por primera vez este tipo particular de fracciones en el Libro 8 de los Elementos.

Además, permiten una CLASIFICACIÓN más fina de los subconjuntos numéricos. Así:

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     Para SABER MÁS

La escala “Pitagórica”

La escala griega de siete notas que ha sobrevivido de forma escrita estaba basada en quintas y cuartas perfectas. Esta escala se conoce en todas partes como afinamiento “Pitagórico”, pero en realidad fue introducido por Aristógeno de la escuela de los Teoristas en sus 12 polémicas, un ataque escrito al sistema musical pitagórico. Pitágoras y sus discípulos, que eran conocidos como los Harmonistas, en realidad usaban los siete Modos Aulos descritos en una sección posterior. Por lo tanto, la escala griega basada en cuartas y quintas perfectas que vamos a describir debería llamarse en realidad escala Aristogeniana. La premisa básica de esta escala es que contenga tantas cuartas y quintas perfectas como sea posible. Más adelante mostraré un antiguo método chino que permite calcular las escalas “pitagóricas” de cinco notas (pentatónica) y de siete notas (heptatónica), ambas carentes de la última nota: la octava.

La longitud de todos los intervalos en esta escala, incluyendo la octava, pueden obtenerse fácilmente usando seis “saltos” alternativos de una cuarta perfecta (un intervalo de cuatro notas con un cociente de 4/3) o una quinta perfecta (un intervalo de cinco notas con un cociente de 3/2), de forma ascendente o descendente según convenga, dependiendo de la nota en la que queramos “aterrizar”. La Figura 6 muestra dos alternativas diferentes de efectuar esos saltos para completar las ocho notas de la escala.

Aristoxenus diatonic octave generation

Figura 6: Dos formas posibles de obtener las ocho notas de la escala “pitagórica” mediante saltos alternativos de una cuarta o una quinta perfecta, ya sea de forma ascendente o descendente.

Cada salto proporciona el cociente acumulado desde la tónica hasta la nota de “aterrizaje” multiplicando los cocientes correspondientes (como se describe en la Figura 1 de arriba). Por ejemplo si seguimos la primera secuencia de saltos, la séptima nota se alcanza en el paso 4, y su cociente es (4/3)·(4/3) = 16/9. El resultado final despues de los seis pasos de la primera secuencia se muestra en la Figura 7a. ¿Cuántos intervalos individuales distintos hay en esta escala? Para calcular la longitud de cada intervalo individual hay que dividir sus cocientes acumulados. El resultado sorprendente es que hay tan sólo dos longitudes de intervalo diferentes como se muestra en la Figura 7b: la de un tono completo “pitagórico” (9/8 o  203.91 cents, véase la Figura 4b), y la de un semitono “pitagórico” (243/128 o 90.22 cents, Figura 3). El semitono “pitagórico” es menor (en el argot musical más llano) que medio tono completo. La Figura 7c muestra los nombres comúnmente aceptados para las siete notas de la escala diatónica (que también pueden verse como intervalos acumulados respecto a la tónica).

Aristoxenus scale C key(a)
(b)
(c)
Figura 7: (a) El cociente acumulado de cada nota en la escala “Pitagórica” obtenida después de la primera secuencia de seis pasos que se detalla en la Figura 6. (b) Esta escala contine sólo dos intervalos individuales distintos. (c) Los nombres comunmente aceptados de cada nota de la escala diatónica; cada nota puede verse también como un intervalo acumulado desde la tónica.

Resulta importante observar que no todos los intervalos de cuatro notas consecutivas forman una cuarta perfecta. La cuarta perfecta contiene dos tonos completos “pitagóricos” y un semitono. Cualquier combinación de dos tonos completos más un semitono es una cuarta, pero no será perfecta (cociente exacto de 4/3 o 498.04 cents) si varía la longitud de cualquiera de sus constituyentes: por ejemplo si uno de los tonos completos se reduce a 10/9 como sucede en la Escala de los Intervalos Justos (véase más adelante). De forma similar, una 5ª perfecta contiene exactamente tres tonos completos “pitagóricos” más un semitono “pitagórico” (cociente exacto de 3/2 o 701.96 cents).

PARA SABER MÁS:   Música y Matemáticas     Pitágoras y la Música  


               5.  LOS IRRACIONALES: cantidades que no se dejan medir.

0a1Esta simple construcción con regla y compás nos descubre abscisas de puntos (en rojo) que puede demostrarse que no son fracciones. Es decir, no tienen ninguna parte alícuota con la unidad (no se pueden escribir como una fracción)

La IRRACIONALIDAD de √2

Supongamos que ∃p∈Z y ∃q∈N tal que √2 = p/q ⇒ 2q² = p² ⇒ que en la descomposición factorial de p² hay un número IMPAR de doses, cosa del todo ¡IMPOSIBLE!, porque un cuadrado perfecto tiene TODOS sus factores primos elevados a una potencia par (es el cuadrado de un número) ⇒ √2 ≠ p/q, ∀p∈Z y q∈N ⇒ √2 no es RACIONAL.

0a1Entonces, ¿qué es…? Sí, eso, ¿qué es…? ¿…?

El mismo razonamiento vale para √a, siempre que a no sea un NÚMERO CUADRADO PERFECTO.

B2EAsí que estos números “irracionales” (no son ‘medibles’ mediante la unidad) se terminan mostrando muy abundantes en la recta real (hay un infinito no numerable de ellos, y sólo unos pocos tienen nombre y símbolo: π, Ф, e,√2 ,…)

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Los Números Irracionales Algebraicos Euclidianos

Se dice que un número irracional es euclidiano si es ‘construible con regla y compás’.

En 1837, Pierre Wantzel publicó en el Journal de Liouville la demostración del siguiente teorema: “Un número real es construible con regla y compás si verifica dos condiciones (además son necesarias y suficientes): (1) El número es algebraico sobre Q; (2) El polinomio irreducible que lo contiene como raíz es una potencia de 2” .

0a1Con este resultado Wantzel pone fin a la antigua polémica sobre si un problema geométrico puede o no ser resuelto mediante regla y compás, demostrando así que el problema clásico de la duplicación del cubo es irresoluble con las condiciones impuestas en sus inicios.  

         Objetivos de APRENDIZAJE:
  • ¿DÓNDE aparecen los números irracionales?
  • RECONOCER números irracionales.
  • REPRESENTAR números irracionales en la RECTA REAL.
  • APROXIMAR números irracionales.
  • CALCULAR cotas de error de las aproximaciones de los irracionales.
       PARA SABER MÁS
  1. Incommensurables
  2. Viajepor5númerosmatemáticos
  3. Los Conjuntos Numéricos: UD
  4. CLASIFICACIÓN 1
  5. Apuntes racionales e irracionales
  6. Las Aventuras Matemáticas de Daniel
¿Cuadrado, Pentágono o Círculo? 

    No estamos seguros de cuál fue el primer número irracional descubierto en la historia de la humanidad. Pero todo parece indicar que los irracionales se descubrieron en las diagonales de los polígonos regulares.

   Evidentemente no pudo tardarse mucho en hacerse las siguientes preguntas (aunque no sepamos en qué orden se hicieron): 

  • 0a1¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado uno? 


El Teorema de Pitágoras te ayuda a encontrar la respuesta:

 

           Pero, ¿qué es √2? Es un número que multiplicado consigo mismo da 2.

 

  • 0a1O, ¿cuánto mide la diagonal de un pentágono de lado uno?

 

El Teorema de Tales te ayuda a encontrar la respuesta: Ф

      Pero, ¿qué es Ф? Se trata del Número de Oro, la Divina Proporción o la Sección Áurea.

 

  • 0a1Hay otra pregunta pendiente, ¿cuál es la longitud de una circunferencia de diámetro uno? 

Esta vez se trata de π = 3,14159………… 

Pero, ¿qué es π? Se trata de una razón, π  cuenta cuántas veces cabe el diámetro en la longitud de su circunferencia.

                    Los números metálicos

La familia de los números metálicos, introducida por la matemática argentina Vera de Spinadel en 1994, está formada por las raíces positivas de las ecuaciones de la forma x2 = p x + q, o su equivalente x2 – p x – q =0, donde p y q son números enteros positivos.

Algunos de estos números metálicos tienen nombre propio y son muy conocidos. El más famoso de todos ellos se obtiene cuando p = 1 y q = 1. En tal caso la ecuación que nos resulta es x– x – 1 = 0, cuya raíz positiva es el número de oro:

En la siguiente tabla puedes ver los nombres de algunos de los números metálicos: 

p q                      Nombre del número                        
1 1 Número de oro
2 1 Número de plata
3 1 Número de bronce
1 2 Número de cobre
1 3 Número de níquel
2 2 Número de platino

Algunas propiedades comunes de los números metálicos son fundamentales en campos actuales de la investigación sobre la estabilidad de sistemas físicos, desde la estructura interna del ADN hasta las galaxias astronómicas.

PARA SABER MÁS:


               6.  LOS NÚMEROS REALES.

 R es un CUERPO CONMUTATIVO (un CAMPO), ARQUIMEDIANO, ORDENADO Y COMPLETO, el mínimo que contiene a Q. Ya ves, ¡siempre lo mismo! Unas cuantas palabras que no significan nada hasta que ¡construimos su significado! Sí, nosotros. Los demás nos muestran el camino, pero no pueden recorrerlo por nosotros. ¡ÁNIMO! Sólo son cuatro conceptos más.

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         PARA SABER MÁS
La Lambda de Platón y las tres medias

La famosa disposición de las tres primeras potencias de los números 2 y 3 conocida como la Lambda de Platón (Figura 20a) nos ayudará a introducir las tres medias (aritmética, geométrica y armónica) en las escalas musicales. Los números en negro de la Lambda original siguen unaprogresión geométrica, luego cada número es la media geométrica entre su número precedente y el siguiente (por ejemplo 9=32 es la media geométrica entre 3=31 y 27=33). La Lambda “completa” contiene también los números rojos de enmedio (6, 8 y 12) los cuales pueden obtenerse fácilmente a partir de sus vecinos mediante la media aritmética y armónica. La Figura 20b nos recuerda cómo calcular las tres medias y cómo están relacionada entre sí.

Plato's Lambda

        Arithmetic, Geometric and Harmonic means

(a) La Lambda de Platón                                         (b) La tres medias

Figura 20: Los números en negro en la Lambda de Platón (a la izquierda) siguen una progresión geométrica, luego cada uno es la Media Geométrica (GM) entre los números precedente y siguiente. Los números en rojo pueden obtenerse a través de la Media Aritmética (AM) y la Media Armónica (HM) definidas en la derecha.

La relación entre tods estos números y las tres medias se entiende mejor si se reagrupan en lo que se conoce como la Tabla de Nicómaco (Figura 21a). Cada número en una fila dobla su predecesor; eso es así tanto en la primera fila (potencias de 2) como en todas las demás. Cada número es la media aritmética de los dos números por encima de él, por ejemplo 9 = (6+12)/2, y la media armónica de los dos números por debajo de él, por ejemplo 8 = 2·6·12/(6+12). El lector probablemente se estará preguntando qué tiene todo esto que ver con los intervalos musicales: la explicació se encuentra en la Figura 21b. Allí podemos ver que los números de la Tabla de Nicómaco, tomados en la dirección apropiada, forman los intervalos de una octava (2), una  4ª perfecta (4/3), y una 5ª perfecta (3/2).

 Nichomachus Table and the Geometric, Arithmetic and Harmonic means     

(a) Tabla de Nicómaco                              (b) Intervalos musicales

Figura 21: (a) Los números de la Lambda de Platón pueden reorganizarse en forma de una tabla también conocida como Tabla de Nicómaco. Cada número de la tabla puede obtenerse como la media geométrica, aritmética o armónica de dos números de su alrededor. (b) Los números de la tabla de Nicómacotambién están relacionados a través de los intervalos musicales más básicos de una 4ª perfecta (4/3), una 5ª perfecta (3/2) y una octava (2).

Consideremos que cada número de las tablas superiores representa la frecuencia de una nota. Los números 6 y 12 forman una octava. La nota inferior de la octava se suele llamar tónica. Los números 8 y 9 están contenidos en esta octava. El número 8 forma un intervalo de una 4ª perfecta con la tónica 6 puesto que forman el cociente 8/6 = 4/3, y el número 9 forma una 5ª perfecta con la tónica porue 9/6=3/2. El hecho interesante es que la 4ª perfecta (en este ejemplo 8) es la media armónica de los dos extremos de la octava (6 y 12), y la 5ª perfecta (en este caso 9) es su media aritmética. Eston son los dos pilares de la escala “pitagórica” discutida en la sección previa. La Figura 22 ilustra este hecho. En las secciones siguientes voy a mostrar cómo estas dos medias son también el corazón tanto de la Escala de los Intervalos Justos cómo de los antiguos Modos Aulós griegos.

Perfect 4th (Harmonic mean) and Perfect 5th (Arithmetic mean)
Figura 22: 4ª perfecta (media armónica) y 5ª perfecta (media aritmética)
La escala del Temperamento Igual

Antes de entrar en la descripción y la estructura de las escalas de Intervalos Justos tanto antiguas como más recientes, vamos a introducir la escala moderna de 12 notas del Temperamento Igual (también llamada 12-tet), la cual es el sistema de afinación utilizado hoy en día en la mayoría de pianos. Esta escala habitualmente se da por supuesta de uso universal en los intrumentos de teclado, pero resulta importante saber que no existía en la práctica musical común con instrumentos hasta principios del siglo XX. Según William Sethares [1] “muchos músicos y compositores occidentales modernos incluso desconocen que existen alternativas. Esto no sorprende, ya que la mayoría de libros sobre escalas y harmonía musical se focalizan exclusivamente en el 12-tet, y muchas escuelas musicales ofrecen pocos cursos sobre música fuera del 12-tet, a pesar de que una porción significativa del repertorio musical histórico fuera escrito antes de que el 12-tet fuese común”.

La idea del Temperamento Igual es muy simple: se fuerza que las 12 notas de la escala cromática suenen separadas una misma distancia. Es decir, la escala se divide en 12 semitonos iguales. Si el semitono tiene un cociente S y queremos alcanzar la octava después de 12 semitonos, la ecuación que se debe resolver es S12=2, de la cual el cociente de frecuencias de cada semitono tiene que ser la raíz doceava de dos, S=21/12=1.05946… Por lo tanto el cociente de frecuencias entre notas sucesivas ya no resulta una fracción (número racional) sino un número real, irracional. En el dominio logarítmico la longitud de un semitono es exactamente 1200·log2(21/12)=(1200/12)·log2(2)=100 cents. Siguiendo nuestra notación gráfica, la Figura 23 muestra la escala 12-tet así como la escala diatónica que contiene en su interior:

Equal Temperament Diatonic and Chromatic Scales
Figura 23: La escala del Temperamento Igual diatónica y cromática.

Tan sólo tres de las doc notas de la escala 12-tet están relacionadas con una de las medias introducidas en la sección previa. Se pueden deducir fácilmente si uno se da cuenta de que la media geométrica de dos intervalos es equivalente a la media aritmética de sus valores correspondientes en cents. Así pues, si dividimos la octava en dos mitades (en cents) obtenemos el tritono, y si volvemos a dividir por dos cada una de las dos mitades, obtenemos la 3ª Menor y la 6ª Mayor. A partir de aquí se necesita dividir cada nuevo intervalo en tres partes para obtener las ocho notas restantes, lo cual equivale a realizar la raíz cúbica en el dominio lineal. Según Maria Renold “esto puede explicar por qué la calidad de los doce intervalos de esta escala es completamente diferente. Los tritonos, terceras menores y sextas mayores se experimentan como genuinas, mientras que las quintas, cuartas, terceras mayores, sextas menores segundas mayores y las dos séptimas suenan falsas [..] es decir falsificadas al oido humano. Este hecho es comunmente reconocido.”


               7.  LOS NÚMEROS COMPLEJOS:

 El CAMPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS extiende a R de forma natural, es decir, cierra las SIETE OPERACIONES aritméticas. En C ya existe siempre solución a cualquier ecuación polinómica entera, lo que permite enunciar el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA: toda ecuación polinómica entera de grado n, tiene n soluciones. Vamos, dicho a la llana, los números negativos ya tienen raíz cuadrada… ¡y cuarta!.. y…

0a1          PARA SABER MÁS
  1. Nº COMPLEJOS: mapa conceptual
  2. Formulario de Complejos
  3. APUNTES Números Complejos
  4. UD1: Números Complejos
  5. UD2: Números Complejos

  LOS SIETE CONJUNTOS NUMÉRICOS: P, N, Z, Q, I, R, C

¡Cuánto trabajo! ¡Cuánta matemática encierra la clasificación que tienes aquí debajo! Y todo por empeñarnos en asignar un par de coordenadas a TODOS y CADA UNO de los infinitos puntos que vemos en el plano,… y por hacer continuas al funciones polinómicas reales. Pero la BELLEZA, SIMETRÍA… y CREATIVIDAD derrochada en este empeño hablan muy bien de nuestro talento. ¡Y DE NUESTRA CABEZONERÍA! 0a1

Pero no te confundas, también nos podríamos haber empeñado en lo contrario. Mira, si no, LO QUE HACE ROBINSON con el Análisis No-Estándar... y lo que pasa en GEOMETRÍA cuando te empeñas en quitar el quinto postulado. Que tienes infinitas geometrías diferentes y ¡TODAS VÁLIDAS!

Sí, esto es un JUEGO, ¡y las reglas las ponemos nosotros! Sólo que este juego a veces, muchas veces, nos enseña cosas interesantes: a manejar la electricidad, a calcular el tamaño del Sol… y a ver cómo funciona NUESTRA RACIONALIDAD.

¡TE ANIMAS A JUGAR! ¡A ReCreArte!

          PARA SABER MÁS

Números y cantidades en la antigua Grecia

80Los griegos de la antigüedad distinguían entre “número” y “cantidad” (de “magnitud”)

Para ellos un número era un agregado de unidades. Podemos precisar más. Un número es una multiplicidad que se obtiene por repetición de un individuo – la unidad –, cuyas partes están separadas – son discontinuas – y tienen fronteras bien definidas. Por todo ello, una característica esencial de los números era su carácter discreto. Por otra parte, los números no tienen sentido si se separan de los objetos materiales o ideales a los que enumeran. Así, “tres árboles” tiene sentido, pero “tres” por sí mismo carece de significado. Es decir, un número es un atributo de un grupo de objetos y carece de autonomía propia.

Una “cantidad” puede ser, entre otras cosas, tiempo, longitud, volumen, velocidad o masa. La característica esencial de la cantidad es su continuidad. Una cantidad puede dividirse indefinidamente, pero no está formada por partes separadas que son réplicas de una unidad, sino que sus componentes están unidos entre sí por fronteras comunes: donde acaba uno empieza otro.

Por ejemplo, un área plana puede dividirse en trozos que, al estar unidos unos con otros, pierden su singularidad quedando como partes indiferenciadas de un todo. Por otra parte, los matemáticos griegos no estudiaron la cantidad como algo abstracto, para ellos las cantidades tienen siempre un carácter concreto: son una cantidad de algo.

0a1El concepto de cantidad estaba estrechamente ligado a la Geometría. Una proporción entre dos segmentos es una cantidad que a veces puede expresarse con ayuda de números. Cuando dichos segmentos admiten una unidad de medida común podemos decir que la razón de uno a otro es, por ejemplo, de 7 / 10 pero, para los griegos, 7 / 10 no es un número sino una forma de expresar una cantidad concreta, que podría leerse algo así como “siete partes de diez”.

Ellos solamente consideraban como números los enteros positivos y ni siquiera consideraban como número a la unidad. La unidad era, eso, “la unidad” de la que estaban formados los números, pero ella misma no era un número.

          Para SABER MÁS


       Siete… ¡SON SIETE! ¿O son cuatro?

Los NÚMEROS no aparecen independientemente de las operaciones que se pueden realizar con ellos. De hecho junto con los NÚMEROS descubrimos las SIETE OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS que se pueden efectuar con ellos:

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PARA SABER MÁS:

  1. RESUMEN DE ARITMÉTICA- las siete operaciones básicas 
  2. Las_7_operaciones
  3. LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
  4. http://www.project2061.org/esp/publications/sfaa/online/chap2.htm

        También son siete… ¡estos CONCEPTOS INASEQUIBLES!

0a1         Y ASÍ, AQUÍ, contemplamos uno de los logros más grandes de la matemática como lenguaje, su propio coraje imaginativo para enfrentar los conceptos más inaccesibles y paradójicos que haya podido pretender la fragilidad temporal del intelecto humano:

ORDENADO, DENSO y NUMERABLE

Entre 2 números enteros cualesquiera, consecutivos entre sí, existe una infinidad de números racionales. Por ejemplo, los enteros consecutivos 2 y 3 son frontera de una cantidad infinita de números racionales de la forma “2+(1/n)” = “(2n+1)/n”. Sin embargo, entre esa infinita cantidad de racionales, comprendidos entre 2 y 3, se puede tomar 2 de ellos tan próximos entre sí como se desee, tales como “2 + ½” y “2+(1/3)” y todavía encontrar entre estos últimos una infinidad de números racionales, y así sucesivamente e ilimitadamente:

Monografias.com

0a1El sentido común, sin hacer más averiguaciones, nos dictaría que es sensato pensar que los números racionales, o el conjunto Q de ellos, llenarían la recta numérica y la saturarían; es decir, todo punto (ente adimensional) de la recta numérica quedaría nombrado por un elemento de Q (esto es: por un número racional), y ya no quedaría absolutamente ningún punto sin nombrar. Al parecer, ésta fue la manera de ver la geometría que tuvieron los sabios griegos de la antigüedad durante un cierto periodo de tiempo.

EN CONCLUSIÓN: Q es ‘ordenado’, ‘denso’ y ‘numerable’

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PARA SABER MÁS:

Numerable, denso y continuo      René Thom y la hipótesis del continuo      Denso en R


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