De la Aritmética al Álgebra


Veamos que en primera instancia hay siete operaciones aritméticas:

  1. Suma o Adición0a1
  2. Resta o Sustracción
  3. Multiplicación
  4. División
  5. Potenciación
  6. Radicación
  7. Logaritmación
1. Suma o Adición

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir o agrupar varias cantidades en una sola. Para esto, las diferentes cantidades se van añadiendo la una a la otra.

Esta representada por el signo + (más). Veamos algunos ejemplos de sumas simples:

3 + 5 = 8 si tenemos tres unidades y le añadimos cinco más, resultaran ocho.
1 + 8 = 9 si tenemos la unidad y le añadimos ocho más, resultaran nueve.

Ahora, también podríamos tener sumas más complicadas, es decir, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 349 + 183

   1
3 4 9 +
1 8 3
– – 2
Hemos ordenado la operación de tal manera que las unidades, las decenas y las centenas queden en un mismo orden. Una vez realizado esto, sumamos las unidades: 9 + 3= 12, colocamos el 2 y el 1 lo llevamos al siguiente orden.
1 1
3 4 9 +
1 8 3
– 3 2
Ahora sumamos el orden de las decenas: 4 + 8 = 12, pero como llevábamos 1: 12 + 1 =13. Colocamos entonces el 3 y el 1 lo llevamos al siguiente orden.
1 1
3 4 9 +
1 6 3
5 3 2
Finalmente sumamos el orden de las centenas: 3 + 1 = 4, pero como llevábamos 1: 4 + 1 = 5. Colocamos el 5 donde corresponde y nos quedara el resultado final: 532

Si en esta igualdad    a + b = c    te dan a y c, para calcular b tienes que restar c menos a:

b = c – a

 luego la operación inversa de la suma es la

2. Resta o Sustracción

La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto quitarle una parte determinada a una cantidad. Esta representada por el signo – (menos).

Veamos algunos ejemplos de restas simples:

8 – 5 = 3 si tenemos ocho unidades y le quitamos cinco, nos quedaran tres.
9 – 1 = 8 si tenemos nueve unidades y le quitamos la unidad, quedaran ocho.

Puede darse el caso de restas más difíciles, o mejor dicho, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 342 – 163

   3 12
3 4 2
1 6 3
– – 9
Ordenamos la operación de manera similar al caso de la suma. Al hacer esto nos damos cuenta que las unidades no se pueden restar: 2 – 3 no se puede, entonces el número que sigue al 2 le prestara una unidad, el 2 pasara a ser 12 y el 4 que presto se convierte en 3. Ahora 12 – 3 =9.
2 13
3  4 2 –
1  6 3
– 7 9
Ahora tendríamos que restar en el orden de las decenas, pero no se puede restar 3 – 6, entonces el número que sigue le prestara una unidad, el 4, que primero se había convertido en 3, ahora pasara a ser 13, el 3 que seguía quedara como 2. 13 – 6 =7.
2
3 4 2 –
1 6 3
1 7 9
Finalmente restamos el orden de las centenas, recordemos que el 3 paso a ser 2, entonces: 2 – 1 = 1. Colocamos el 1 donde corresponde y nos quedara el resultado final: 179.

La resta no es una ‘operación cerrada’ o interna en N. Es decir, la resta de dos números naturales cualesquiera no da SIEMPRE como resultado un número natural.

Para que la resta sea una operación cerrada tenemos que ampliar el conjunto de los números naturales con el cero y los enteros negativos hasta el conjunto de los números enteros, donde la resta ya es una operación interna.

 3. Multiplicación

La multiplicación es una operación que tiene por objeto hallar el resultado o producto de sumar un número (multiplicando) tantas veces como lo indica otro (multiplicador).

Por ejemplo, queremos multiplicar 4 x 5.

4 x 5 En esta operación 4 es el multiplicando y 5 el multiplicador.
4 x 5 Entonces se nos pide sumar el numero 4 consigo mismo 5 veces.
4 x 5 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Existen las llamadas tablas de multiplicar que nos ayudan a conocer los resultados de las multiplicaciones.

Es muy importante recordar estas tablas.

Ahora, también podríamos tener sumas más complicadas, es decir, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 863 x 487

         4 2
8 6 3 x
4 8 7
6 0 4 1
Primero multiplicamos 863 x 7. Empezamos por las unidades, así 3×7 =21, coloco el 1 y llevo 2, luego hacemos 6×7 = 42 mas 2 que llevaba 44, coloco 4 y llevo 4, finalmente 8×7 = 56 mas 4 que llevaba 60.
         5 2
8 6 3 x
4 8 7
6 0 4 1
6 9 0 4
Ahora multiplicamos 863 x 8, es decir, trabajamos las decenas, así 3×8 =24, coloco el 4 y llevo 2, luego hacemos 6×8 = 48 mas 2 que llevaba 50, coloco 0 y llevo 5, finalmente 8×8 = 64 mas 5 que llevaba 69.
         2 1
8 6 3 x
4 8 7
6 0 4 1  +
6 9 0 4
3 4 5 2
4 2 0 2 8 1
Finalmente multiplicamos el orden de las centenas: 863 x 4. así tendremos 3×4 = 12, coloco el 2 y llevo 1, luego hacemos 6×4 = 24 mas 1 que llevaba 25, coloco el 5 y llevo 2, finalmente 8×4 = 32 mas dos que llevaba 34. Véase el orden en que hemos puesto los resultados parciales, dejando un espacio. Ahora que están los resultados parciales ordenados, sumamos.

Si en esta igualdad     a • b = c     te dan a y c, para calcular b tienes que dividir c entre a:  

b = c / a

 luego la operación inversa de la multiplicación es la

4. División

La división es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

Por ejemplo, queremos dividir 20 ÷ 5.

20 ÷ 5 En esta operación 20 es el dividendo y 5 el divisor.
20 ÷ 5 Necesitamos saber que número multiplicado por 5 nos da 20.
20 ÷ 5 El número que cumple esa condición es 4. Entonces: 20 ÷ 5 = 4

Puede darse el caso de divisiones más difíciles, o mejor dicho, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 745 ÷ 12

745     ÷ 12 Como no podemos hacer directamente 745 entre 12, utilizaremos en principio los dos primeros dígitos del dividendo (en este caso de 745)
745     ÷ 12
72           6
2
Ahora hacemos 74 ÷ 12 = 6
Pero 12 x 6 = 72, y restamos este resultado del 74 que teníamos.
745     ÷ 12
72           62
25
24
    1
Bajamos el 5 que aun no habíamos empleado, quedando 25. Acto seguido dividimos 25 ÷ 12 = 2
Pero 12 x 2 = 24, y restamos este resultado del 25 que teníamos.
El cociente o resultado será 62 y el residuo será 1

Es muy importante saber las tablas de multiplicar también para realizar estas operaciones.

La división no es una ‘operación cerrada’ o interna en Z. Es decir, la división de dos números enteros cualesquiera no da SIEMPRE como resultado un número entero salvo que el dividendo sea un múltiplo del divisor (que no puede ser nunca cero)

Para que la división sea una operación cerrada tenemos que ampliar el conjunto de los números enteros a los racionales (las fracciones), donde la división ya es una operación interna.

5. Potenciación

Una potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica por si mismo la cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo general se representa bn, donde b es la base y n el exponente

Ahora voy a resolver la siguiente potencia: 54.

54 En esta operación 5 es la base y 4 el exponente.
54 Tenemos que multiplicar 5 por si mismo 4 veces.
54 5 x 5 x 5 x 5 = 625

Algunos ejemplos de potenciación:

22 = 2 x 2 = 4
43 = 4 x 4 x 4 = 64
75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16807

Tenemos también dos casos especiales:

a) Cuando el exponente es cero:
Si el exponente es cero, no importara cual sea la base, el resultado siempre será 1.

Ejemplos:
50 = 1
110 = 1
1230 = 1

b) Cuando el exponente es uno:
Si el exponente es 1, el resultado será la base.

Ejemplos:
01 = 0
31 = 3
431 = 43 

Para SABER MÁS

Memostarción de 0^0=1

Si en esta igualdad     a² = b    te dan b, para calcular a tienes que:

a = √c

luego la operación inversa de la potenciación es la

6. Radicación

Es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√ , donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este ultimo irá un numero denominado radicando.

Se buscara un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de como resultado el radicando.

Veamos el caso de 2√25:

√25 El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.
√25 Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.
√25 Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5.

Algunos ejemplos se detallan a continuación:

3√27 = 3        Porque 33 = 27
3√64 = 4        Porque 43 = 64
4√81 = 3        Porque 34 = 81

Podemos profundizar más el tema, podemos ver el método para resolver una raíz cuadrada (grado 2).

Para SABER MÁS

Si en esta igualdad     bª = c     te dan b y c, para calcular a tienes que:

a = log c / log b

luego la potenciación tiene otra operación inversa, la 

7. Logaritmación

La logaritmación es otra operación inversa a la potenciación en la cual, a diferencia de la radicación, se busca el exponente al cual debo elevar un numero (denominado base del logaritmo) para llegar a otro número incluido también en la operación.

Por ejemplo, queremos resolver log3 9.

log3 9 El subíndice 3 representa la base del sistema (base del logaritmo).
log3 9 Necesitamos saber a que potencia debemos elevar 3 para tener 9.
log3 9 El número que cumple esa condición es 2: 32 = 9. La respuesta es 2.

Algunos ejemplos sobre logaritmación:

log7 49 = 2        Porque 72 = 49
log3 243 = 5      Porque 35 = 243
log2 256 = 8      Porque 28 = 256

Tenemos un caso especial en los logaritmos de base 10, también llamado logaritmos vulgares.

En ellos la base del logaritmo se omite. Por ejemplo:

log 1 = 0            Porque 100 = 1
log 10 = 1          Porque 101 = 10
log 100 = 2        Porque 102 = 100

Para SABER MÁS

logaritmos y numero e

La radicación no es una ‘operación cerrada’ o interna en R. Es decir, en el conjunto de los números reales no existe solución, por ejemplo, para las raíces cuadradas de números negativos.

Para que la radicación sea una operación cerrada tenemos que ampliar el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos.

Ampliaciones de los conjuntos numéricos

Los Números Naturales se utilizan para contar y para ordenar, y con ellos podemos sumar y multiplicar. Estas operaciones son cerradas en N, pero la resta y la división, no. Por eso tenemos que ampliar el conjunto de los números naturales.

  • Con los Números Enteros ya se puede restar en todos los casos,
  • y con los Números Racionales se puede dividir siempre un número entero entre otro que no sea el cero.

Podemos definir la raíz cuadrada de un número racional como otro número tal que multiplicado por sí mismos da el radicando.

  • Esta operación sólo está bien definida para los racionales positivos en el conjunto de los Números Reales,
  • y con cualquier real (positivo o negativo) está bien definida en el conjunto de los Números Complejos.
0a1

Para SABER MÁS:

Las OPERACIONES: de SIETE a CUATRO

  • Si definimos el OPUESTO de un número a como:   op (a) = -a

Entonces, para restar sólo tenemos que sumar el opuesto: a – b = a + (-b). Es decir, para restar sumamos. ¡ADIÓS A LA RESTA!

  • Si definimos el INVERSO de un número a (≠0) como:   inv (a) = 1/a

Entonces, para dividir sólo tenemos que multiplicar por el inverso: a/b =a·(1/b). Es decir, para dividir multiplicamos. ¡ADIÓS A LA DIVISIÓN!

  • 0a1Si definimos la raíz como una potencia fraccionaria

¡ADIÓS A LA RADICACIÓN!

0a1

El asunto no es baladí, porque reduces las operaciones, y ya no tienes que memorizar las propiedades de siete, sino de cuatro. 

De la Aritmética al Álgebra: de lo concreto a lo abstracto

   Consideraremos un conjunto numérico E, a sus elementos los representaremos por letras minúsculas: a, b, c, …

  Se define operación interna entre los elementos de un conjunto E como:

es decir, se trata de una aplicación lineal de forma que al elemento (a , b) de E×E se le hace corresponder un elemento c del conjunto E, lo cual se expresa:  a * b = c

 Ejemplos típicos de operaciones internas son el conjunto Z de los números enteros , Z = {… , -3, -2, -1, 0, +1, + 2, +3, … }, y la suma:

a + b = c

si sumamos dos números enteros su resultado es otro número entero, por tanto se dice que la operación suma es una operación interna.

Sin embargo no sucede esto con la operación división en Z, la división de los enteros 3 y 5:

3 : 5 = 0,6 

que es un número no-entero, por tanto en Z la división no es una operación interna.

  A las operaciones internas también se las llama leyes de composición.

  
    Propiedades de las operaciones.

  Sea un conjunto E, denotemos por a, b, c, … sus elementos, y por  *, o, …  diversas operaciones con estos elementos. Entonces según las propiedades de la operación se habla de:

   

     Estructuras algebraicas

  Dado un conjunto y una operación interna definida en él, hay ciertas estructuras algebraicas que vienen definidas según las diversas propiedades que cumplen. 

  SEMIGRUPO:

  Se trata de un conjunto S con una operación *, (S, *),  que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.

   GRUPO:

   Es un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.

      SUBGRUPO:

       Dado un grupo G, una parte C de G se llama subgrupo de G si C tiene estructura de Grupo para la operación *. Es decir el elemento neutro de * está en C y todo elemento de C tiene su inverso en C.

   La condición necesaria y suficiente para que C sea subgrupo puede expresarse así:

  GRUPO ABELIANO (Conmutativo):

   Es un conjunto G con una operación  *, (G, *), que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.
 5)  * es conmutativa.

   ANILLO:

  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *.
 5a)  * es conmutativa.   — (A, *) es un grupo abeliano–

 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     — (A, º) es un semigrupo –
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.

         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

    ANILLO CONMUTATIVO:

  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *.
 5a)  * es conmutativa.   — (A, *) es un grupo abeliano–

 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     — (A, º) es un semigrupo –
 3b)   º es conmutativa.

 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

   CUERPO:

  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *.
 5a)  * es conmutativa.   — (C, *) es un grupo abeliano–

 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.
 3b)   Hay elemento neutro para º.

 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º.  — (C, º) es un grupo (si exceptuamos al elemento neutro para *)–
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.

         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

  CUERPO CONMUTATIVO:

  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *.
 5a)  * es conmutativa.   — (C, *) es un grupo abeliano–

 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.
 3b)    Hay elemento neutro para º.

 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º.  
 5b)  º es conmutativa.   — (si exceptuamos al elemento neutro para *) (C, *) es un grupo abeliano–
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.

         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

0a1

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