Las Investigaciones Matemáticas


0a1La diferencia entre PROBLEMA matemático e INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA es clara: un problema se termina con su resolución, una investigación, no.

Una INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA es como un terreno que tú empiezas a explorar para darte cuenta que esta tarea no tiene final, porque el campo se ensancha más y más a medida que lo recorres.

Una buena investigación matemática NO SE TERMINA NUNCA. En esto radica su potencial educativo: puedes volver a ella una y otra vez, siempre con un entusiasmo reverdecido. ¡Como con todos los buenos amores!

Una INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA se puede parcelar en una SERIE DE PROBLEMAS, pero si es buena, esta sucesión de problemas no tiene término final. Tú das por concluida la investigación cuando te cansas de ella, pero consciente de que al contestar muchas preguntas has abierto muchísimas más.

Veamos un buen EJEMPLO:


Ejemplo 1: EL PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO

0a1El problema isoperimétrico clásico data de la antigüedad. A parte de su motivación inicial, el problema isoperimétrico se puede enunciar como sigue: entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de la región que encierra?0a1

← Para → empezar, date cuenta de que una región alargada puede hacerse más redonda, manteniendo fijo su perímetro y aumentando así su área (la cantidad de superficie que encierra)

CUESTIONES EQUIVALENTES:

Se puede demostrar que esta cuestión es equivalente al siguiente problema: entre todas las curvas cerradas en el plano que cierra un área fija, ¿qué curva (si la hay) minimiza el perímetro?

PROBLEMA 1:

0a1Desde el punto de vista matemático, encontramos en los Elementos de Euclides (alrededor del 300 AC) la demostración que entre todos los rectángulos del mismo perímetro el que encierra la mayor área es el cuadrado. ¿Puedes demostrarlo?

Hay matemáticos griegos de la antigüedad que se ocuparon de estos problemas de la isoperimetría. Citemos algunos de ellos:

  • Zenodoro, quien vivió entre el 500 ac y el 400 ac en Atenas, se refirió al tema en un ensayo, ahora perdido, sobre las figuras isoperimétricas.
  • 0a1Ptolomeo (cerca 90DC, 168 DC) cita este trabajo. Esto lo conocemos por Theon de Alejandría (c. 335DC- 405 DC) -padre de Hipatia -, quien escribió un comentario sobre el trabajo de Ptolomeo, en el cual se hace referencia a Zenodoro. 

De Zenodoro podemos rescatar algunos resultados muy interesantes, que se pueden resolver con geometría elemental. ¿Te atreves con ellos?

PROBLEMA 2:

0a1Dados dos triángulos con la misma base y el mismo perímetro, el triángulo isósceles tiene el área mayor. 

PROBLEMA 3:

 Entre los polígonos con el mismo número de lados e igual perímetro el polígono regular tiene el área mayor.                    ↑Ver solución↑

PROBLEMA 4:

Dados dos polígonos regulares con el mismo perímetro, el que tiene más ángulos tiene el área mayor.

PROBLEMA 5:

El círculo tiene un área mayor que cualquier polígono regular con el mismo perímetro.

PROBLEMA 6:

También, varios autores desde la antigüedad especularon sobre las propiedades optimales de los paneles de abeja.

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En dos dimensiones, Carl F. Gauss demostró que la manera de disponer círculos idénticos de modo que tengan la mayor densidad corresponde a un ordenamiento hexagonal, en el cual los círculos son tangentes entre sí, y sus centros se ubican en los vértices de una red hexagonal (panal de abejas). ¿Te atreves a emular a Gauss?

Para SABER MÁS

La historia del PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO

El Problema Isoperimétrico en la Grecia Antigua


Ésta sería una sucesión de pasos típica en una investigación:

  1. Comenzar con una situación y petición simple.
  2. Generar ejemplos.
  3. Buscar pautas y sucesiones.
  4. ¿Continúan las pautas de esta manera?
  5. ¿Por qué?
  6. ¿Hay alguna regla general?
  7. Intenta demostrarlo.

Veamos con otro buen EJEMPLO


 Ejemplo 2: LOS DESARROLLOS DEL CUBO

Los poliminós son figuras en el plano construidas con diferentes cantidades de cuadrados congruentes. Fueron presentados al mundo matemático en 1954 por Golomb (profesor de Ingeniería y Matemáticas en la Universidad del Sur de California).

0a1Con ellos se hacen pasatiempos muy populares y apasionantes. El más conocido es el dominó, construido con dos cuadrados congruentes que comparten un lado. Cuando se emplean tres cuadrados, la figura se denomina triminós.

Los poliminós que se pueden obtener con cuatro cuadrados, son los tetraminós. Los que se obtienen con cinco cuadrados son los pentaminós. Los que tienen seis: hexaminós.

Algunos de los hexaminós representan desarrollos en el plano del poliedro regular conocido como cubo o hexaedro.


Desarrollos planos0a1

0a1Una forma de construir un cubo o hexaedro regular consiste en dibujar en cartulina el desarrollo plano, es decir, seis cuadrados adosados de forma que cada dos tienen un lado común, añadir las lengüetas, recortar, plegar y  pegar las aristas. El diseño típico es el de la derecha. 

Aquí tienes otras composiciones con seis cuadrados. Estudia si se podrá formar con ellos un cubo mediante plegado.0a1


0a1
UNA INVESTIGACIÓN más avanzada será obtener todos los posibles desarrollos planos de un cubo. Para conseguirlo es necesario ser muy sistemático. Primero debes conseguir todas las formas de colocar seis cuadrados adosados por el lado y ver con cuáles de ellas se puede plegar para conseguir el cubo. Las siguientes ideas te pueden servir como ayuda:

  • Sólo hay una forma de colocar dos cuadrados adosados por un lado: recibe el nombre de dominó.
  • Consigue todas las formas posibles de colocar tres cuadrados adosados por un lado (triminós).
  • Consigue todos los tetraminós y pentaminós e intenta que no se te olvide ninguno.
  • Cuando tengas todos los hexaminós, estudia cuáles de ellos se pueden plegar formando un cubo. 

0a1Aquí tienes un desarrollo del tetraedro y otro del octaedro.

INVESTIGA el concepto de dualidad, y, a partir de este concepto, INVESTIGA otros desarrollos de estos polidedros regulares.

Para SABER MÁS:


RECUERDA que el uso de las matemáticas para expresar ideas o resolver problemas comprende por lo menos tres fases:

  1. representar de manera abstracta algunos aspectos de las cosas;
  2. manejar las abstracciones mediante reglas de lógica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y
  3. ver si las nuevas relaciones indican algo útil sobre las cosas originales.

Examinémoslas PASO A PASO:


1. Abstracción y representación simbólica

0a1El pensamiento matemático comienza con frecuencia con el proceso de abstracción esto es, observar una similitud entre dos o más acontecimientos u objetos. Los aspectos que tienen en común, ya sea concretos o hipotéticos, se pueden representar por símbolos como los números, letras, otros signos, diagramas, construcciones geométricas o incluso palabras.

  • Todos los números son abstracciones que representan el tamaño de conjuntos de cosas y sucesos, o el orden de los elementos en una serie.
  • El círculo como concepto es una abstracción derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas pequeñas que se expanden;
  • la letra A puede ser una abstracción para el área de objetos de cualquier forma, para la aceleración de todos los objetos móviles o para aquellos que tienen una propiedad específica;
  • el símbolo + representa un proceso de adición, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o naranjas, horas o millas por hora.

Y las abstracciones no se hacen sólo a partir de objetos o procesos concretos; también pueden realizarse con base en otras abstracciones, como las clases de números (los números pares, por ejemplo) Tal abstracción permite a los matemáticos concentrarse en ciertas características de los objetos, además de que les evita la necesidad de guardar continuamente otras en su mente.

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En lo que a las matemáticas se refiere, no importa si un triángulo representa el área de un velero o la convergencia de dos líneas visuales sobre una estrella; los matemáticos pueden trabajar con ambos conceptos de igual manera.

El ahorro de esfuerzo resultante es muy útil siempre y cuando al hacer la abstracción se ponga cuidado en no soslayar las características que juegan un papel importante en la determinación de los resultados de los sucesos que se están estudiando.


2. Manipulación de los enunciados matemáticos

Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las representaciones simbólicas de ellas, los símbolos se pueden combinar y recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con exactitud.

0a1En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo; en otras, se hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que sucede. A veces, una manipulación apropiada se puede identificar fácilmente a partir del significado intuitivo de las palabras y símbolos de que se compone; en otras ocasiones, una serie útil de manipulaciones se tiene que resolver por tanteo.

Es común que el conjunto de símbolos se combine en enunciados que expresan ideas o proposiciones. Por ejemplo,

  • el símbolo A para el área de cualquier cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud del lado del cuadrado, para formar la expresión A = s². Esta ecuación específica de qué manera se relaciona el área con el lado y también implica que no depende de nada mas. Las reglas del álgebra común se pueden utilizar, entonces, para descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un cuadrado, el área de éste se cuadruplica. En sí, este conocimiento hace posible que se descubra lo que le sucede al área de un cuadrado sin importar cuánto varíe la longitud de sus lados y, por el contrario, cómo cualquier cambio en el área afecta a los lados.

0a1El discernimiento matemático en las relaciones abstractas ha aumentado a lo largo de miles de años y todavía sigue ampliándose y en ocasiones se revisa. Aunque las matemáticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y medir, han evolucionado a través de muchas etapas de abstracción y ahora dependen mucho más de la lógica interna que de la demostración mecánica. Entonces, en cierto sentido, la manipulación de las abstracciones es casi un juego:

  • comenzar con algunas reglas básicas,
  • después hacer cualquier movimiento que las cumpla el cual incluye la invención de reglas adicionales
  • y encontrar nuevas relaciones entre las antiguas.

La prueba para validar las ideas nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen lógicamente con las demás.


Ejemplo 3: LA ARITMETIZACIÓN DE LAS ÁREAS

 El área del rectángulo es igual a la m0a1edida de la longitud de la base multiplicada por la medida de la longitud de la altura del rectángulo.

En esta frase estamos dando por supuesta la unidad de referencia, ya que lo que queremos decir es: el número de cuadrados unidad que caben en un rectángulo (área del rectángulo en unidades cuadradas) es igual al producto entre el número de veces que cabe el lado de la unidad en la base (medida de la longitud de la base en unidades el lado del cuadrado), y el número que cabe en la altura (medida de la longitud de la altura) del rectángulo.

Las fórmulas del área de las figuras dependen de la forma y el tamaño de la UNIDAD DE MEDIDA. En la figura podemos ver cómo cambia la fórmula para calcular el área de un rectángulo cuando la unidad de medida pasa de ser cuadrada a ser triangular:

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UNA INVESTIGACIÓN que te ayudará mucho a comprender el CONCEPTO DE LA MEDIDA es ir viendo cómo cambian las conocidas fórmulas para el CÁLCULO de áreas de polígonos cuando la unidad es TRIANGULAR.

El esquema siguiente te da una pista de por dónde tirar:

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Para SABER MÁS


3. Aplicación

Los procesos matemáticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a partir de los cuales se obtendrían profundizaciones de la cosa misma.

Cualquier relación matemática que se obtenga por medio de la manipulación de enunciados abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que se está modelando.

Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres, y la operación matemática abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de azúcar se añaden tres tazas de té caliente y se realiza la misma operación, cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado sólo un poco más de cuatro tazas de té muy dulce.

0a1La simple suma de volúmenes es apropiada para la primera situación, pero no para la segunda lo que podría haberse predicho sólo conociendo algo sobre las diferencias físicas en los dos casos. Así, para utilizar e interpretar bien las matemáticas, es necesario estar interesado en algo más que la validez matemática de las operaciones abstractas, así como tomar en consideración qué tan bien se corresponden con las propiedades de las cosas que representan.

Algunas veces, el sentido común es suficiente para decidir si los resultados de las matemáticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de una joven cuando tenga 20 años si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa de 2.54 cm por año, el sentido común sugiere rechazar la respuesta simple de “tasa por tiempo” de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a algún otro modelo matemático, como las curvas que aproximan valores restrictivos.

0a1Sin embargo, en ocasiones, puede ser difícil saber qué tan correctos son los resultados matemáticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la bolsa de valores, o los terremotos.

Con frecuencia, sucede que una sesión de razonamiento matemático no produce conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la manera en que se hizo la representación o en las mismas operaciones. De hecho, se dan saltos entre pasos hacia adelante y hacia atrás y no hay reglas que determinen cómo se debe proceder. El proceso avanza típicamente a empujones, con muchas vueltas erróneas y callejones sin salida. Este proceso continúa hasta que los resultados son suficientemente buenos.

0a1Pero, ¿qué grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la forma en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y el posible costo de modelar y estimar una respuesta más precisa. Por ejemplo, un error de 1% al calcular la cantidad de azúcar en una receta para pastel podría ser insignificante, pero un grado de error similar en el cálculo de la trayectoria de una sonda espacial podría resultar desastroso. Sin embargo, la importancia de la pregunta “suficiente” ha llevado al desarrollo de procesos matemáticos para estimar qué tan lejos podrían llegar los resultados y cuánto cálculo se requeriría para obtener el grado de precisión deseado.


Ejemplo 4: LAS TESELACIONES DEL PLANO

Teselacionesmostriani

Una teselación es cuando cubres una superficie con un patrón de formas planas de manera que no se superponen ni hay huecos.

Ejemplos:

   
Rectángulos
 
Octágonos y cuadrados
 
Pentágonos

Teselaciones regulares

Una teselación regular es un patrón que se consigue repitiendo un polígono regular. Sólo existen 3 teselaciones regulares:

   
Triángulos
 
Cuadrados
 
Hexágonos
3.3.3.3.3.3
 
4.4.4.4
 
6.6.6

Fíjate en un vértice…

Un vértice es simplemente “una esquina”. ¿Cuáles son las formas que coinciden en un vértice?
En este vértice coinciden tres hexágonos,
y un hexágono tiene 6 lados.Así que esta teselación se llama “6.6.6”.
 
En una teselación regular, ¡el patrón es el mismo en todos los vértices!

Teselaciones semi-regulares

Una teselación semi-regular está hecha con dos o más polígonos regulares. ¡El patrón debe ser el mismo en todos los vértices! Sólo existen 8 teselaciones semi-regulares:

   
3.3.3.3.6   3.3.3.4.4   3.3.4.3.4
         
   
3.4.6.4   3.6.3.6   3.12.12
         
     
4.6.12   4.8.8    
         
Para darle un nombre a una teselación, da la vuelta a un vértice y escribe cuántos lados tiene cada polígono en orden… por ejemplo “3.12.12”.
Y siempre se empieza por un polígono que tenga el mínimo número de lados, así que es “3.12.12”, no “12.3.12”
Pregunta: En las teselaciones de arriba, ¿el patrón es el mismo en todos los vértices?

Otras teselaciones

También existen otros tipos de teselaciones, como las “demiregulares”, ¡pero los matemáticos todavía no se han puesto de acuerdo en cuáles son esas exactamente!

Y también se pueden permitir formas curvas (no sólo polígonos) con lo que tienes teselaciones como estas:

   
Formas curvas
 
Círculos
 
¿Águilas?

Artista de teselaciones

Todas estas imágenes están hechas con nuestro Artista de teselaciones (hemos añadido un poco de color con un programa de dibujo).

Tú también puedes probar, ¡a lo mejor inventas una teselación nueva!

Proceso constructivo Pajarita Nazarí
Porque las TESELACIONES DEL PLANO es una de esas maravillas con las que no te cansas de jugar
 —
Proceso constructivo Clavo Nazarí

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Para SABER MÁS



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