La Spira Mirabilis:

logspev‘Eadem Mutata Resurgo’———

Siente la magia… y el misterio en esta maravillosa curva, capaz de hacerse concha, número, huracán, fractal, danza, flor… y SÍMBOLO.

La Espiral como Símbolo

0a1  El SÍMBOLO es una FORMA, a veces geométricaque sintetiza un pensamiento, un concepto o una idea mediante el poder de la ANALOGÍA. 

  En nuestra cultura el SÍMBOLO tiene la capacidad de una INTENSA EVOCACIÓN.    Su fuerza radica en su habilidad de recordarnos propiedades profundas del CONCEPTO al hacerlas explícitas en la FORMA.

0a1LA ESPIRAL SIMBOLIZA el crecimiento cíclico, la autosemejanza y la infinitud en sus dos polaridades: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Cuando miramos una espiral quedamos atrapados en un sueño hipnótico que nos revela que el TODO parece condensarse y esconderse en la realidad más simple, el punto -su polo u origen-, de donde emerge creativamente permaneciendo siempre igual a SÍ-MISMA.

La Vida, en su danza, parece decirnos lo mismo: semejante siempre a mí misma, sin principio ni final, mutante y permanente, evoluciono y vuelvo a resurgir siendo la misma; y lo hago mediante un ritmo cíclico, abarcando cada vez un CAMPO DE EXPERIENCIA más y más amplio que ‘profundiza’ todo lo anterior.

Lo sea o no de la Danza de la Vida, LA ESPIRAL ES UNO DE LOS SÍMBOLOS MÁS ANTIGUOS y se encuentra en todos los continentes, habiendo jugado un papel fundamental en el ‘simbolismo arquetípico’ desde su aparición en el arte megalítico.

Nautilus-03.gifEn efecto, la espiral es una figura geométrica cargada de significaciones simbólicas, presente en las culturas de todas las épocas y continentes.

La espiral es y simboliza emanación, extensión, desarrollo, continuidad cíclica pero en progreso y rotación creacional. Es un signo universal de la temporalidad, representando la permanencia del ser a través de las fluctuaciones del cambio.  

En el SÍMBOLO ESPIRAL confluyen el arte, la naturaleza, la ciencia… y la espiritualidad.

0a1Y DENTRO DE LAS ESPIRALES, el principal símbolo dinámico es una espiral equiangular, logarítmica o de crecimiento uniforme presente en el Arte Universal como el Símbolo Dinámico Arquetípico. 

  • Equiangular, porque es la única curva plana que tiene la propiedad de la equiangularidad. Como se ve en la figura, esto significa que corta todos sus vectores de radio en un ángulo constante α.
  • Logarítmica, porque la característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial: mientras el ángulo de giro crece en progresión aritmética, el radio correspondiente crece en progresión geométrica.
  • Crecimiento uniforme, porque la espiral logarítmica es la trayectoria de un punto que se mueve con celeridad constante v0. Es decir, la aceleración tangencial es nula en cualquier posición (la aceleración es perpendicular a la velocidad)

0a1Sí, la Espiral es un círculo espiritualizado. En la forma espiral, el círculo, desenrollado, devanado, ha dejado de ser vicioso… mostrando, así, una salida de la reincidencia. Cada nueva vuelta es a la vez síntesis del ciclo anterior y tesis del siguiente.  

Cuando el SÍMBOLO ESPIRAL añade en nuestra psique a sus dos dimensiones temporal y espacial (rotación y expansión) la profundidad que hay en su ser, aparece la hélice como símbolo de la elevación espiritual y de la multidimensionalidad de la existencia.

0a1La hélice, como extensión vertical de la figura espiral, señala la salida de la permanencia en un plano y, por lo tanto, la posibilidad de experimentar todas las dimensiones de la existencia.

La espiral hecha hélice en los pozos iniciáticos es, por lo tanto, un símbolo de descenso-ascenso y un medio de comunicación entre los planos subterráneos, el terrestre y los celestes, recorrido que se efectúa en cualquier iniciación y en toda génesis (la del día, la del mes, la del año, etc.) donde se debe morir a un estado para nacer a otro, regenerando una vez más el proceso cósmico del que derivan los diferentes procesos y de los que participan los astros, dioses de la tierra, y el inframundo. 

0a1     La espiral manifiesta simbólicamente un proceso arquetípico presente en toda creación, la de una energía centrípeta y una fuerza centrífuga coexistiendo en cualquier organismo, lo cual es también ejemplificado por las trombas, ciclones, tornados (o deidades benéficas-maléficas de los vientos), entre multitud de otros objetos y fenómenos.  0a1

Cuando los dos fenómenos dinámicos de rotación y expansión se unen aparece siempre la espiral.

La espiral evoca así la evolución de una fuerza. Representa la extensión, el desarrollo, la creación. Es símbolo de fecundidad, de los ritmos repetitivos de la vida, la permanencia del ser en los cambios de la vida. Es el equilibrio en el cambio, el lazo entre el interior y el exterior.

        La Espiral en la Naturaleza 

contracting-animado     La espiral es una formación natural frecuente en el reino vegetal. Como queda dicho, evoca la evolución de una fuerza, de un estado. Tiene la propiedad de la ‘homotecia continua’. Es decir, aunque crezca siempre permanece semejante a sí misma. Esto permite, como en las conchas de los caracoles o los cuernos de los animales, crecer por un extremo sin cambiar la forma.

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 0a1En biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica, por ejemplo, las telas de araña y las conchas de moluscos.0a1

Hace millones de años, antes de la aparición de los peces, en la familia de los cefalópodos había muchas especies de animales con concha en forma de espiral. Los amonites iban taponando los espacios redundantes del caparazón a cada vuelta del caracol hacia la madurez. Los amonites vivieron en el Cretácico y el Jurásico, pero todavía hoy existen moluscos del género nautilus.

0a1    Los nautilus, como hacían los amonites, van sellando los tabiques de las cámaras a medida que construyen otra mayor para albergar su cuerpo que va creciendo, y ese caparazón sin bicho, lleno de gas más ligero que el agua, lo utilizan a modo de boya para flotar.0a1

— Si damos un corte transversal a la concha del nautilius veremos que está formada por compartimentos separados por tabiques y comunicados por un sifón. El animal ocupa el compartimento más externo, que es de mayor tamaño. Al ir creciendo el molusco abandona el compartimento anterior y crea uno con la misma forma pero más grande. Su borde exterior describe una curva que es siempre igual a sí misma.

0a1Sí, se trata de una espiral logarítmica o equiangular (α=81º), pero no es la espiral logarítmica áurea, la construida sobre el rectángulo áureo (α=72.97º), ya que, como se muestra en la figura, difiere bastante de ésta.

0a1     La forma de la concha del nautilus -en rojo- se ajusta con mucha exactitud a la espiral de Fibonacci formada con triángulos equiláteros. En este caso, se construye una serie de triángulos equiláteros cuyos lados son los términos de la serie de Fibonacci y se forma la espiral con arcos de las circunferencias circunscritas a los triángulos.

0a1El halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica, su mejor visión está en ángulo con su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo del grado de la espiral.

     Los insectos se aproximan a la luz según una espiral logarítmica porque acostumbran a 0a1volar con un ángulo constante a la fuente luminosa.

Normalmente el Sol es la única fuente de luz y volar de esta forma consiste prácticamente en seguir una línea recta.

0a1Un aspecto fascinante de las plantas es su capacidad de producir unos hermosos diseños en espiral. Esto ha fascinado a los matemáticos, filósofos y botánicos durante siglos, y se conoce como filotaxis, o «disposición de las hojas». Aún más asombroso fue el descubrimiento hace mucho tiempo que las espirales se ajustan a unas relaciones matemáticas precisas, en particular la Sucesión de Fibonacci. Esta sucesión, que lleva el nombre del filósofo medieval que la describió, es la secuencia de números enteros generada al añadir entre sí los dos enteros anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc.

0a1Si se observa atentamente una piña, una alcachofa, un girasol o un cactus, y se delinean las espirales, se detectan múltiples espirales tanto en sentido horario como antihorario, en ángulos cada vez más cerrados. La cantidad de espirales en cualquiera de dos direcciones contrarias son generalmente miembros de la sucesión de Fibonacci. Además, el ángulo entre las hojas en un tallo y los elementos en una espiral está generalmente cercano al «Ángulo Áureo» (137,5°), es decir, el límite de los cocientes de los sucesivos números de Fibonacci, y se relaciona con la «Razón Áurea», el rectángulo más grato a la vista, que se construye con cuadriláteros con los lados con longitudes de números crecientes de Fibonacci. 

0a1En el crecimiento de las plantas,  las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo. A medida que el tallo va creciendo, cada hoja  brota con un ángulo fijo (propio de cada especie) respecto a la hoja anterior.

Curiosamente, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas  y que éstas no se solapen unas con otras es el ángulo de oro de 137,5º.

En la imagen de abajo, que se corresponde con la de la izquierda vista desde arriba,  vemos la distribución de las hojas alrededor de un tallo y observamos que ninguna hoja está completamente sobre otra anterior. 

Si observamos esta imagen, vemos cómo las hojas se van añadiendo en la hélice ascendente que forman alrededor del tallo con un ángulo de 137,5º desde la hoja  anterior.  El porqué el ángulo áureo produce la mejor disposición de las hojas alrededor de un  tallo está ligado al concepto de número irracional. Si un ángulo es irracional por muchas veces que lo desplaces alrededor de un eje nunca regresará a la posición inicial.

Pero la cuestión aún persiste: ¿cómo hacen matemáticas las plantas? Es decir, ¿cómo resulta esto de procesos naturales al nivel molecular? La respuesta ha esquivado a los biólogos durante décadas, y parece que ya nos vamos acercando a la respuesta. Hojas, 0a1pétalos, flores y semillas comienzan a brotar a partir del meristemo apical (extremo de crecimiento) en sitios llamados primordios. Estos primordios tienden a actuar como sumideros para la auxina, la hormona que produce el crecimiento de la plantas. Es decir, la auxina los evita concentrándose en la superficie (L1 en la figura) Los nuevos primordios crecen efectivamente en la zona donde las concentración de auxina es mayor. Esta zona se corresponde con la zona cercana al centro del crecimiento y que se encuentra lo más alejada posible de los demás primordios. Ver figura:

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En resumen, como muestra la figura de arriba, surge un primordio (3), el crecimiento de la planta lo lleva hacia fuera de la zona central de crecimiento (DILATACIÓN) a la vez que un nuevo primordio (2) surge en la zona donde se va concentrado la auxina que evita al primordio (3) acercándose a la zona central que se corresponde con la punta de la yema (L1) y alejándose por ROTACIÓN del primordio (3).

0a1Ahora la auxina se concentra en una nueva zona que evita a los primordios anteriores (3 y 2), zona donde surge el primordio más joven (1). Este proceso de ‘búsqueda del espacio libre con máximo empacamiento’ es el que explica el surgimiento de los primordios según un patrón geométrico regido por el GIRO y DILATACIÓN. 

Ya lo tenemos: GIRO + DILATACIÓN = ESPIRAL LOGARÍTMICA.

La espiral como la clave de la creación y de la existencia

0a1Como si fuesen la firma de una inteligencia suprema estas formas espirales están inscritas a todos los niveles del espacio y el tiempo. Las hallamos en las galaxias, en el sistema solar, en el código universal de la vida (ADN), en la religión y en el arte de todas las culturas humanas. Pero, ¿cuál es su significado más profundo…? ¿Cuál es el sentido último del mensaje que nos transmiten y qué relación tienen con nuestra propia existencia como hijos de las mismas estrellas que iluminan nuestro destino…? 

0a1   La Tierra nació a partir del movimiento en espiral de una nube de gas y polvo cósmico. Desde entonces, las espirales forman parte de nuestro entorno cotidiano. Podemos contemplarlas en todas las escalas posibles, tanto en el espacio como en el tiempo. La propia naturaleza eligió dicha forma para su crecimiento y desarrollo. La forma helicoidal está presente en lo más recóndito de los seres vivos, como en la doble hélice del ADN (ácido desoxirribonucleico) que codifica nuestra herencia.

0a1El cuerpo humano también contiene la triple hélice del cordón umbilical –formado por dos arterias y una vena–. Tenemos remolinos en el pelo, rizos o tirabuzones. Las huellas dactilares, las glándulas sudoríparas y los folículos pilosos, así como la estructura torsionada de
algunos huesos y el caracol de nuestro oído interno –una de las espirales más perfectas– también evocan la misma forma, que asimismo observamos en las olas que culminan enroscándose, en las conchas de los caracoles, el movimiento de los ciclones o tornados y las curvas espirales divergentes o centrífugas de las galaxias.imagen-animada-galaxia-04

Todos estos casos constituyen ejemplos de cómo la naturaleza repite una y otra vez este motivo que nos acompaña desde que nació el sistema solar. Al fin y al cabo, éste es una espiral que integra otra mucho mayor: el inmenso remolino de la Vía Láctea, que gira vertiginosamente en el espacio en una danza que repite el mismo motivo espiral.  

  Tal vez por ello, dicha forma se convirtió desde tiempos remotos en uno de los símbolos más universales de la Humanidad y la encontramos en todas las civilizaciones como un leitmotiv omnipresente.

0a1  En las culturas precolombinas, el dios de la lluvia, Tlaloc, era representado saliendo de la boca de un caracol gigante, y Quetzalcóatl estaba estrechamente relacionado con caracoles marinos. Para los mayas, el solsticio de invierno era el momento cero en su cosmología y la espiral simbolizaba ese origen. La Venus de Milo fue representada girando sobre sí misma en movimiento ascendente, con su parte superior desnuda y la inferior cubierta, como si estuviese abandonando el ropaje de la materia en su ascenso en espiral. 

0a1El caduceo hermético, con el doble enroscamiento de las serpientes, reproduce la misma forma que el doble movimiento de los Nâdi, unos canales situados a ambos lados de la columna vertebral que ciertas prácticas yóguicas ponen en movimiento a fin de lograr el despertar de la Kundalini, para que ésta ascienda hasta el chakra (vórtice energético) situado en la cabeza. Todas estas configuraciones serpentinas reiteran idéntico leitmotiv. 

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El antiquísimo símbolo del Yin y Yang, es también una forma de espiral que carece de principio y fin. Todo se expande y multiplica, dando origen a la dualidad, para regresar de nuevo a la divinidad, una vez finalizado el proceso. En el Hinduísmo, la doble espiral representa la evolución, partiendo de su centro, y la involución, regresando al mismo. Es el Kalpa y el Pralaya, nacimiento y muerte. Para numerosos pueblos africanos, esta forma simboliza la dinámica de la vida y la expansión de los seres dentro de lo manifestado. Entre los Dogón, representa la semilla de Amma; es decir, el verbo o palabra de Dios. Este concepto se expresa mediante una espiral de cobre rojo que da tres vueltas en torno a una vasija de barro. Entre los germanos, el mismo signo rodeaba el ojo de un caballo unido a un carro solar, que representaban la fuente de toda luz.tumblr_mzqakbdhnx1su5t9oo1_400

LA ESPIRAL MARAVILLOSA, ¿cuál es la magia de su embriagadora danza…? ¿Por qué seduce tanto su forma…? ¿Qué misterios de nuestra existencia desvela…?

  Historia

     0a1El origen del estudio de esta espiral tiene que ver con la navegación. A lo largo de los siglos XVI y XVII miles de barcos surcan los océanos. Los navegantes sabían que sobre la superficie terrestre la distancia más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo. Pero para seguir un rumbo que encaje con este arco es necesario realizar continuos cambios de rumbo. Por ello sustituían este rumbo óptimo por otro en el que el ángulo que formaba la trayectoria del barco con todos los meridianos que atravesaba era constante. Así, el rumbo se mantenía constante.

Los rumbos de este tipo dibujan en la esfera terrestre una curva llamada loxodrómica. Pero los navegantes no trabajaban sobre una esfera, sus mapas eran planos, proyecciones de la esfera. La proyección de la esfera sobre un plano convierte a la loxodrómica en una espiral equiangular: una curva creciente con una propiedad similar a la de la circunferencia, que la tangente en cada punto corte el radio vector siempre con el mismo ángulo.

0a1    El ángulo es proporcional al logaritmo del radio. Se construye trazando sucesivos triángulos rectángulos semejantes, de tal forma que la hipotenusa de uno es un cateto del siguiente; y uniendo los vértices consecutivos (Esto la emparenta con el CRECIMIENTO GNOMÓNICO u homotético) Así: 

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0a1Mientras el ángulo de giro crece en progresión aritmética –sumando siempre la misma cantidad-, el radio correspondiente crece en progresión geométrica –
multiplicando siempre el radio anterior por un mismo número-.
 

0a1Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento uniforme es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones: θ = log(r/a)  Matemáticamente, incluyéndola en la categoría de curvas mecánicas, es decir aquellas cuya ecuación no es un polinomio, fue descrita por primera vez por Descartes.

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El nombre de spira mirabilis (espiral maravillosa) se lo debemos a Jacob Bernouilli (matemático suizo del siglo XVII), que la estudió en profundidad quedando cautivado por esta espiral hasta el punto de dejar escrito en su testamento que en su lápida debería figurar una espiral logarítmica con la inscripción “eadem mutata resurgo” (“Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo”) para su tumba; pero contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logarítmica (constante en el crecimiento de su 0a1radio), la espiral que tallaron los maestros canteros en su tumba fue una espiral de Arquímedes (constante en la diferencia de los radios). La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto.

9.1-Rectángulos-perfectosLa espiral logarítmica posee la notable propiedad de crecer de una manera terminal, sin modificar la forma de la figura total y ser así permanente en su forma a pesar del crecimiento asimétrico. En este caso, según nos vamos alejando del centro, la espiral se va haciendo cada vez más ancha. Y este aumento se produce de una manera continua y uniforme. Su borde exterior describe una curva que es siempre igual a sí misma. La separación de las espiras aumenta al crecer el ángulo, es decir, el radio vector crece de forma exponencial respecto del ángulo de giro. Por eso también recibe el nombre de espiral geométrica.      

          Eadem Mutata Resurgo

0a1Jacob Bernouilli descubrió varias propiedades de esta curva que les pasaron desapercibidas a Descartes y Torricelli, entre ellas el hecho de que la espiral logarítmica es la única curva que verifica que su evoluta, su involuta, su caústica, su podaria, etc., son, a su vez, una espiral logarítmica. Por ello “eadem mutata resurgo” significa que aunque me cambien, es decir, si trazan mi evoluta, mi involuta, mi cáustica de reflexión o de refracción… siempre volveré a aparecer semejante a mí misma. La autosemejanza relaciona directamente esta espiral con los objetos fractales.  

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La propia construcción de esta espiral nos sugiere el motivo de su abundante presencia como forma que rige el crecimiento de numerosos organismos vivos. Las dos ideas que inspiran este crecimiento son las de rotación más dilatación: el crecimiento aditivo autosemejante con enrollamiento.

0a1En efecto, cuando los fenómenos de rotación y expansión se unen, dan lugar a una espiral, que es una curva que surge a partir de un punto que gira y que al mismo tiempo se aleja del punto de origen.    

      Fórmula

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La Ecuación en coordenadas polares (r,θ) es:

r = abθ

o también:               θ=logb(r/a)

de aquí el nombre logarítmica.

La ecuación en forma paramétrica es:

x(θ)=abθcos(θ)

y(θ)=abθsin(θ)

con números reales positivos a y b. a es un factor de escala que determina el tamaño de la espiral, mientras b controla cuan fuerte y en que dirección está enrollada. Para |b| >1 la espiral se expande con un incremento θ, y para |b| 

0a1En geometría diferencial, la espiral puede definirse como una curva c(t) con un ángulo constante α entre el radio y el vector tangente

\arccos \frac{\langle \mathbf{c}(t), \mathbf{c}'(t) \rangle}{\|\mathbf{c}(t)\|\|\mathbf{c}'(t)\|} = \alpha

Si α = 0 la espiral logarítmica degenera en una línea recta.

Si α = ± π / 2 la espiral logarítmica degenera en una circunferencia.

Cualquier línea recta al origen cortará a la espiral logarítmica con el mismo ángulo α, que puede calcularse (en radianes) como arctan(1/ln(b)).

0a1El grado de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral posee con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln(b)). Una espiral logarítmica de grado 0 (b = 1) es una circunferencia; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 o b = ∞) es una línea recta desde el origen.

logspevComenzando en un punto P y moviéndose hacia dentro, a lo largo de la espiral, hay que rodear el origen infinitas veces antes de alcanzarlo; sin embargo, la distancia total de este camino es finita. El primero en darse cuenta de esto fue Torricelli incluso antes de que se ideara el cálculo infinitesimal. La distancia total es r/cos(α), donde r es la distancia en línea recta desde P al origen.

0a1La demostración está en el enlace del gif.

Se pueden construir espirales logarítmicas de grado 17,03239 utilizando la sucesión de Fibonacci o la proporción áurea. La espiral construida utilizando rectángulos con la proporción áurea resulta ser una buena aproximación a la espiral logarítmica.

También podemos trazar la espiral a través de un transcurso de aproximaciones sucesivas. En este caso comenzamos con una agrupación de rayos separados por un ángulo constante, luego elegimos un punto sobre uno de los rayos que sea lo suficientemente cercano al centro y allí trazamos una línea perpendicular al rayo que pase por el punto que hemos elegido ,tal como se muestra en la siguiente figura:

De esta forma tendremos determinado un punto sobre el rayo continuo en el sentido horario. Entonces nuevamente trazamos la perpendicular al rayo adyacente por el punto que acabamos de hallar y encontrando un tercer punto sobre el siguiente rayo en este caso. Continuando con este proceso tendremos como resultado una figura semejante a la espiral.

Véase el ejemplo de la figura adjunta.

El número e

La espiral logarítmica está generada por el número e, la constante de Euler, desde una fórmula abierta que crece exponencialmente hacia el infinito en progresión geométrica.   

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Al número e también se le conoce como Número de Euler o Constante de Napier.

Precisamente éste último nombre se debe a la primera referencia a la existencia de esta constante que hay registrada. En 1618 John Napier introdujo el número e en unas tablas referenciadas en el apéndice de un estudio sobre los logaritmos. Pero en estas tablas, no daba un valor concreto para el número e, sino que simplemente daba una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta nueva constante.

Unos años más tarde, Jacob Bernoulli estudió el problema del interés compuesto. En él hacía cálculos sobre los beneficios de una cantidad de dinero con un interés anual del 100% dependiendo de los periodos en los que se pague a lo largo de un año. Elevando el número de periodos al límite, terminó hallando una ecuación que sin que el propio Bernoulli fuera consciente definió por primera vez el valor de la constante matemática e.

Para encontrar el primer uso del número e, así como el primer cálculo de los primeros decimales nos tenemos que trasladar al ‘reinado matemático’ de Leonhard Euler. Euler se refirió por primera vez a la constante en 1727, y la mencionó con la letra e por primera vez en la publicación Mechanica de 1737. También fue el primero en definir una serie para facilitar un cálculo mediante fracciones continuas, y hallar de hecho los primeros 18 decimales del número e.


Con el paso de los años, aparecieron muchos otros métodos de cálculo para el número e, así como nuevas definiciones aprovechando la evolución del cálculo matemático. Todo esto permitió que el número de decimales conocidos del número e fuera en aumento, siendo William Shanks el primero en llegar a las 200 cifras en 1871, gracias otra de las definiciones del número e hecha por Euler mediante la suma infinita del inverso de factoriales, que permite con tan sólo los 25 primeros términos de la suma hallar los primeros 22 decimales.

Al igual que en el caso del número pi, la llegada de la era computacional, ha hecho que el cálculo de los decimales de e se haya convertido en toda una obsesión, siendo el record actual el conseguido por Alexander J. Yee el pasado febrero con 500.000 millones de decimales.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert — también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.

          Definición del número e

 El área entre el eje x y la gráfica y = 1/x, entre x = 1 y x = e es 1.

La definición más común de e es como el valor límite de la serie

que se expande como

e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+

Otra definición habitual dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación: ln(x)=1

que implica  dt/t=1 (entre 1 y x)

es decir que se define e como el número para el que  ln(e)=1

o lo que es lo mismo, el número para el que  dt/t=1 (entre 1 y e)

La función exponencial f(x) = e^x es su propia derivada y su valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva también:  de^x/dx=e^x

y   e^x=e^dt

Además, e es el límite de la sucesión de término general: (1+1/n)^n

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:  e=lim(x∞)(1+1/x)^x

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal.

El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:  e^ix=cosx+isinx,

El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler  e^iπ+1=0.

de lo que se deduce que:   loge(1)=iπ.

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

(cosx+isinx)^n=(e^ix)^n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)

que es la fórmula de De Moivre.

      La Espiral de Teodoro de Cirene

     Utilizando el teorema de Pitágoras podemos representar las raíces de los números naturales, formando una espiral conocida como “Espiral de Teodoro”

     Uno de los catetos de cada uno de los triángulos rectángulos consecutivos que forman la espiral, mide la unidad, el otro es √n y la hipotenusa es √(n+1)

 Espiral de Teodoro de Cirene 0a1

La distancia entre dos «vueltas» de la espiral tiende a π; es su propiedad más conocida. Si además se numeran las intersecciones y se colorean las posiciones que ocupan los números primos, uniéndolas con trazos, surgen esos curiosos patrones.

0801.1441 (ver artículo)

Teodoro de Cirene (actualmente Shahhat en Libia) vivió en el siglo IV aC .

Fue maestro de Platón. Según su discípulo, fue el primero en demostrar que las raíces cuadradas de los nº naturales (no cuadrados) desde el 3 al 17, son números irracionales.

La Espiral de Durero

La Espiral de Durero o Espiral Áurea es una curva que surge de dibujar arcos de circunferencia en el interior de los sucesivos cuadrados que se obtienen al construir sucesivos rectángulos áureos. Fue Alberto Durero quien la descubre y la estudia.

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0a1No es una espiral puramente logarítmica (Spira Mirabilis), pero apunta a ella.

En la figura adjunta se aprecia la mínima diferencia entre la espiral de Durero (en rojo) y la espiral logarítmica áurea (en verde).

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Siendo tan parecida a la espiral logarítmica áurea, no es de extrañar su relación con la sucesión de Fibonacci, tal como se aprecia en las figuras de abajo. Esto explicaría su relación con Φ, con la Belleza y con la Armonía. 

 

       Espiral celta 

 Simbolizaba la creación y el giro constante de las estrellas en el cielo de la noche. Las 

0a1estaciones cambiaban y retornaban cada año como puntos de una rueda gigante, y las estrellas de los cielos parecían rodar arriba, girando en un eje que era el de la Estrella del Norte. En efecto, los celtas creían que la Estrella del Norte era la localización del cielo, y el movimiento, evidente, de las estrellas alrededor de este eje, formaba una trayectoria espiral, o escalera, en la cual las almas ascendían hacia su vida futura.

     El continuo y expandente movimiento de la espiral también simbolizaba la siempre expandible naturaleza de la sabiduría y el conocimiento

La espiral en la simbología druida 

El elemento más definitorio y más potente de una espiritualidad son los símbolos que la definen. Toda la ideología, toda la esencia de una religión, de una espiritualidad debe quedar reflejada en el símbolo o símbolos que la definen. Cuando nos adentramos profundamente dentro del mundo espiritual nos encontramos con estos elementos que representan de manera invariable tanto a la propia espiritualidad como a aquellos conceptos que representa dicha filosofía. 

0a1Un símbolo se define como la imagen o figura con que materialmente o de palabra se representa una idea, concepto o sentimiento. Eso sí, todo símbolo necesita de una interpretación y sin ella, el símbolo pierde su significado. 

   Un símbolo es una representación de un concepto o idea que es perceptible por medio de al menos uno de los sentidos. 

Del latín simbolum, y éste del griego síµßolon, el símbolo es la forma de exteriorizar un pensamiento o idea más o menos abstracta, así como el signo o medio de expresión al que se atribuye un significado convencional y en cuya génesis se encuentra la semejanza, real o imaginada, con lo significado. Afirmaba Aristóteles que no se piensa sin imágenes, a lo que podríamos añadir que tampoco sin el símbolo que es su sustituto. 

0a1   En cuanto al símbolo dentro de la espiritualidad, en las formas exteriores de las religiones semíticas como la asiria y fenicia, en la hindú y en las indoeuropeas, como la greco-latina, impera el símbolo pues en ellas se dio la representación de los fenómenos de la naturaleza personificados en seres mitológicos que terminaron por encarnar los valores morales de la sociedad. 

En el “Diccionario de Símbolos” podemos leer: “El símbolo, por lo tanto, no sólo representa, sino que, en cierto, modo exige una cierta realización y deviene en el centro sobre el que gravita la actividad intelectual que él mismo desencadena. Por valernos de un ejemplo, unas alas estampadas sobre el uniforme de un aviador serán tan sólo un signo; en cambio, esas mismas alas, en el talón de mercurio, constituyen el símbolo del viajero nocturno, del anhelo del viaje. Con el signo, en suma, nos desenvolvemos en un terreno firme, continuo e inequívoco, mientras que con el símbolo nos adentramos en una ruptura del plano, en una discontinuidad que nos sitúa en una dimensión preñada de recovecos.” 

0a1También añade lo siguiente en esta introducción al concepto de símbolo: “Buceando en la historia del símbolo, constatamos que todo objeto puede revestirse de cierto valor simbólico, ya se trate de un objeto natural (piedras, metales, frutos, animales, ríos y océanos, todos ellos símbolos figurativos) o abstracto (formas geométricas, conceptos, números)”. 

    El uso de símbolos nos permite adentrarnos en la parte más recóndita de nuestro subconsciente, nos ayuda a navegar a través de los conceptos arquetípicos para conocer más sobre nuestros propios pensamientos.

ufodUno de los psiquiatras que más han indagado en este aspecto de los arquetipos, que no son más que la esencia, el modelo original de algo, de una idea o arte, ha sido Jung, que comenta respecto al símbolo: “El Símbolo no es ni una alegoría ni un simple signo, sino más bien una imagen para designar lo mejor posible la oscura naturaleza, apenas sospechada del espíritu (es decir, lo consciente y lo inconsciente), una imagen que concentra las producciones religiosas, éticas y estéticas del hombre y que confiere vivacidad y dinamismo a las actividades intelectuales, imaginativas y emotivas del individuo, por cuanto supone a la naturaleza biológica y mantiene en constante tensión los contrarios que se hayan en la base de nuestra vida psíquica”.

Para aclarar el concepto indica Jung que “el símbolo no explica, sino que se proyecta más allá de sí mismo, hacia un sentido aún en el más allá, inasible, apenas presentido que ninguna palabra de la lengua que hablamos podría expresar de forma satisfactoria”. 

0a1 Bajo estas premisas intentamos descifrar lo que los antiguos druidas nos trasmitían. De esta manera, a través de los símbolos podemos acercarnos a las enseñanzas de nuestros ancestros de tradición y ver el uso y significado de los distintivos de su espiritualidad, que es la nuestra. 

   Hay conceptos e ideas inherentes e inseparables de la definición de druidismo y si nos atenemos al sistema trinario druídico, podemos definir precisamente tres símbolos que definen al druidismo. Estos son, enumerados del más simple al más complejo, la Espiral, el Laberinto y el Triskel. Estos tres símbolos, tanto por separado como en un estudio conjunto de ellos, nos muestra este camino druídico, este triple camino definido por sus respectivos conceptos. 

0a1    El triple camino druídico, el camino de ascensión celta viene dado por estos elementos: Naturaleza, Verdad y Conocimiento. A través de estas tres nociones podemos acercarnos al corazón del camino druídico hacia la Ascensión, hacia la Awen. Y a cada uno de estos conceptos se le puede asignar, y le define, uno de los símbolos mencionados anteriormente. Así pues, podemos relacionar a la Naturaleza con la Espiral, el Laberinto con la Verdad y el Conocimiento con la triple espiral, con el Triskel. 

    La Naturaleza es la Gran Maestra del Druida, su mayor fuente de conocimiento. Se dice que para saber si algo es adecuado o no, los maestros druidas decían que se observara en la naturaleza y si se daba en ella, si la naturaleza mostraba ese aspecto bajo alguna de sus formas, es que ese concepto era bueno, esa idea era correcta. La naturaleza es venerada y preservada por los druidas y a ella acuden como fuente de inspiración. 

 imagen-animada-galaxia-04  Y la naturaleza es una espiral. Desde lo más grande que conoce el ser humano, las galaxias, al más pequeño elemento definitorio de la vida, la espiral se hace presente en forma y presencia. La elipse de la tierra y del resto de los planetas alrededor del sol es una espiral. El ADN es una doble espiral. Y de nuevo se hace realidad la máxima de: cómo es arriba, es abajo. Macrocosmos y microcosmos. El universo y el ser humano. 

     El druidismo nos invita a conocer la naturaleza y a través de su estudio, a nuestro conocimiento interno, a una comprensión de nuestro yo más íntimo y por lo tanto de nuestra conciencia. 

     Y es a través de la espiral como un druida se acerca a la naturaleza y a través de esta naturaleza a la misma esencia del Todo, del Increado. Y es por esta razón por la que una de las formas que el druidismo tiene de representar a la Fuente de Todo es precisamente con una espiral. 

0a1   Pero la vida, la existencia del hombre en el universo no es algo tan simple como una espiral. Se retuerce y se complica hasta formar el siguiente símbolo de nuestro estudio: el Laberinto. El Laberinto es la complicación de la espiral. Antiguamente se creía que el Laberinto era la representación del camino hacia la divinidad, que se hallaría en su centro en el modelo neoplatónico que asemeja la vida de los hombres como un retorno al centro de este laberinto, que no sería sino el regreso al Todo. 

     El laberinto es un símbolo poderoso, utilizado por muchas culturas. Desde oriente, en donde se usaba como protección y distracción frente a los malos espíritus, hasta el norte de Europa, en Escandinavia, donde se utilizaba en rituales paganos. Cuando un druida se acerca al concepto de verdad recorre un laberinto. Cuando un druida vive, recorre un laberinto.  

    0a1.JPGEs a través de la Verdad como un druida se acerca a la Naturaleza, lejano de artificios, lejano de apariencias. Es a través de la verdad como un druida intenta desentrañar el Laberinto de la Vida. Camina a través de los senderos en espiral del laberinto, alejándose en ocasiones del centro, acercándose en otras ocasiones, observando en definitiva el centro, o la Verdad, o en definitiva el Todo, desde todos los puntos de vista posibles, sin prejuzgar, sabiendo que en cada vuelta del laberinto la visión de ese centro, de esa Verdad puede ser diferente y sin ninguna duda, lo recorre sabiendo de antemano que el camino emprendido puede ser el erróneo y puede haber transitado por un sendero inane o por caminos que no comprende.

0a1 Pero eso no impide que un druida siga caminando por la Espiral Laberíntica. Y eso nos lleva a la sublimación de la espiral. La triple espiral o Triskel. Porque para un druida no existe una realidad en su existencia, sino tres: el mundo físico, el mundo psíquico y el espiritual. Así pues, un druida sabe que para llegar al centro de ese Laberinto, para recorrer la Espiral, no solo debe recorrer una única espiral sino que debe seguir el camino marcado por el Triskel y adentrarse en el conocimiento completo. La comprensión es el arma que utiliza un druida para avanzar a través del Laberinto vital. 

El druida hace suyo el triskel como símbolo final de su espiritualidad. 

0a1    Este es el reto al que se enfrenta el druida: el discernimiento del mundo y por tanto en el conocimiento de sí mismo. Es dicho conocimiento el motor y el objetivo del druida. Sólo recorriendo esta espiral y haciéndolo de manera triple, desde una concepción holística de la existencia y a través del triskillion, de la triple espiral, es como el druida llega al centro del Laberinto, como recorre la espiral.  

   Y así, invierte el viaje y desde el conocimiento accede a la verdad y a través de la verdad es como llega a la unión con la Naturaleza y por lo tanto como se hace uno con la Awen, la fusión con el Todo. 

La Escala de Jacob

0a1 Se trata de la escalera que aparece en el célebre sueño de Jacob, relatado en el capítulo 28 del Génesis: “una escalinata que estaba apoyada sobre la tierra y cuyo extremo superior tocaba el cielo. Por ella subían y bajaban ángeles de Dios” (Gén 28, 12).  Al despertar, Jacob pronuncia estas palabras: “¡Qué temible es este lugar! Es nada menos que la casa de Dios y la puerta del cielo” (Gén 28, 17). 

 En el simbolismo tradicional de las diferentes  Escuelas de los Misterios, La Escala de Jacob representa un camino de ascenso-descenso por los Planos de la Realidad. Y los ángeles, o seres divinos, que suben y bajan por sus peldaños, simbolizan los distintos estadíos o Grados en la Evolución de la Consciencia Humana. 

0a1Maravillosamente recreada en los pozos iniciativos de los jardines de la Quinta de Regaleira en Sintra (Portugal), de quince en quince escalones y en forma de espiral, se descienden nueve plataformas que nos hacen bajar al abismo o subir al cielo. Las nueve plataformas son una referencia a los nueve círculos del Infierno, las nueve secciones del Purgatorio y los nueve cielos del Paraíso de la Divina Comedia de Dante. En el fondo está la Cruz de los Templarios grabada en mármol rosa sobre una rosa de los vientos, que era el indicativo de la Orden Rosacruz. 

       La Pentaflor

Dos familias de curvas se dice que son ortogonales cuando en un punto común en el que coincida una curva de cada familia, las tangentes forman ángulos rectos. Las familias de  espirales logarítmicas 

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o sea, las levógiras y las dextrógiras, forman haces de curvas ortogonales, que no sólo es un motivo ornamental muy utilizado, sino que es también una pauta de crecimiento para algunos tipos de flores.


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La Geometría Sagrada  es un concepto planteado por el esoterismo y el gnosticismo. La creencia básica es que existen ciertas relaciones entre la geometría  matemática  y diversos conceptos místicos. 

La Pentaflor es la imagen de poder más acabada de la Geometría Sagrada. Refleja la vista superior de la molécula dodecaédrica del ADN y es una imagen que nos sirve para generar un punto de implosión y ordenar la energía, las ondas y la materia de manera armónica. 

0a1La Pentaflor es una bella fusión del Pentagra, la Espiral Áurea, la Autosemejanza y el Infinito. Es un símbolo construido con diez espirales de proporción áurea ordenadas sobre un pentágono, de las cuales cinco giran hacia la derecha y cinco a la izquierda, creando una imagen de poder que hace referencia a la energía femenina de la creación (el Pentáculo) 

Su base matemática, como se ha visto en apartados anteriores, es el crecimiento homotético y la secuencia numérica de Fibonacci o la secuencia de la vida. 

         Epílogo

Siente la magia… y el misterio en esta maravillosa curva (SPIRA MIRABILIS), capaz de hacerse concha, número, huracán, fractal, flor… y SÍMBOLO.    

Si has llegado hasta aquí, párate, serénate, relájate, respira… y SONRÍE.  No pienses… ¡SIENTE!

MIRA, VE y RECONOCE. 


            Quede esto así, escrito para ti.


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