enCanto Matemático

Toda esta serie de artículos que cuelgo bajo el epígrafe enCanto Matemático los copio literalmente del blog VicMat. Un enviable blog de Víctor Arenzana que recomiendo agradecidamente. ¡Cuánto talento! Y lo hago por miedo: miedo a que se pierdan. ¿Tengo derecho? Quizá no, ¿pero se me puede culpar por intentar preservar lo que merece memoria eterna?


CANTANDO A LA VELOCIDAD DE LA LUZ

Tomado de: https://vicmat.com/medidas-la-velocidad-la-luz-finales-del-siglo-xix/


0a1Hasta la época de Galileo (1564-1642) se consideraba que la propagación de la luz era instantánea. El gran astrónomo J, Kepler (1571-1630) lo manifestó en distintos escritos y R. Descartes (1596-1650), en su Dióptrica, aportó argumentos a favor de una luz de propagación instantánea y, por consiguiente, de velocidad infinita. Descartes decía que la luz no era otra cosa que un cierto movimiento, o acción muy viva que se dirigía a nuestros ojos a través del aire y  de los otros cuerpos transparentes, de igual forma que el movimiento o la resistencia de los cuerpos que encuentra un ciego llega a su mano a través del bastón. Con esa similitud el filósofo francés veía natural que la luz del Sol pudiera extender sus rayos hasta nosotros con sensibilidad de bastón de ciego. Todo lo que detectara la punta del bastón llegaría instantáneamente a la empuñadura y  así debía suceder aunque la distancia entre sus extremos fuera mayor que la existente entre la Tierra el Sol.

Antes de I. Newton (1642-1727), casi todos los científicos de la Europa pensaban que la luz tenía velocidad infinita. Nadie había hecho un experimento para descubrir alguna evidencia en contra de esta hipótesis.

Galileo (1563-1642) midió la velocidad del sonido en el aire de una manera sencilla y exacta para su época. Para ello, hizo disparar un cañón en la noche para poder observar el resplandor del fogonazo y el ruido. Situó el cañón en lo alto de una colina y él observó el disparo desde un monte a una distancia de unos 3500 m.  El experimento se realizó de la siguiente manera: cuando su ayudante disparó el cañón, Galileo vio el resplandor de la detonación y empezó a medir el tiempo transcurrido hasta el momento en oyó el sonido del cañonazo que fue de diez segundos. Y calculó una velocidad del sonido de 350 m/s.

Galileo aunque no consiguió medir diferencias de tiempo entre el momento del disparo y percepción del resplandor del fogonazo, lo que significaba que la velocidad de la luz era grande, pero no que fuera instantánea. Y comparaba su movimiento con el de los relámpagos que aparecían a varias millas de distancia entre nubes. En ellos se podía observar el comienzo de su luz en un lugar  determinado y su propagación desde allí. El movimiento parecía sugerir que la propagación del relámpago requería algún tiempo, puesto que si la iluminación fuera instantánea, no se podría diferenciar su origen, del resto.

Si la velocidad de la luz no era instantánea debía ser muy grande y el problema de determinar una velocidad tan enorme era difícil de abordar con distancias terrestres. La primera  medida metodológicamente fiable de la velocidad de la luz la realizó en 1676 tomando distancias astronómicas, el astrónomo danés O. Roemer (1644-1710). Éste estaba estudiando los satélites de Júpiter en el Observatorio Astronómico de Paris.

Mientras elaboraba sus tablas, observó los eclipses de los satélites de Júpiter que se ocultaban detrás del planeta, aproximadamente cada día. Y constató que cuando la Tierra, en su órbita, estaba entre el Sol y  Júpiter, se producían los eclipses con cierto retraso respecto a cuando el Sol estaba entre Júpiter y la Tierra.

Roemer achacó el retraso de la detección del eclipse al tiempo que tardaba la luz en atravesar la órbita de la Tierra. Conociendo el diámetro y el tiempo de retraso del eclipse en una y otra parte de la misma obtuvo la velocidad de la luz, estimó en unos 220.000 kilómetros por segundo, una aproximación aceptable. Roemer  había medido la velocidad de la luz estudiando siu recorrido en una distancia de aproximadamente 300 millones de kilómetros (diámetro medio de la órbita terrestre).

H. Fizeau (1819-1896)

Una distancia tan grande no se podía conseguir en la Tierra, pero en 1849, el físico francés H. Fizeau (1819-1896) tuvo una idea brillante que le permitió realizar la primera medida precisa de la velocidad de la luz en la Tierra, porque bastaba que la luz recorriera una distancia pequeña.

En el experimento original de Fizeau la luz realizó un recorrido algo más de 17 km y consistió en lo siguiente:

Se enviaba un rayo de luz sobre un espejo fijo semitransparente[1], que desviaba la luz hacia otro espejo secundario fijo situado a una distancia considerable (aproximadamente 8,5 km, que es la distancia  de Montmartre a Suresnes.

Espejo semitransparente
Espejo semitransparente

Al lado del espejo semitransparente colocó una rueda dentada de 720 dientes, que podía hacer girar a cualquier velocidad sobre un eje. Con la rueda dentada en reposo, el rayo  luz pasaba por el  hueco entre dos dientes hasta alcanzar el espejo secundario colocado a 8,5 km, el rayo de luz se reflejaba en él y hacía el mismo camino de ida que de vuelta. Por detrás del espejo semitransparente y con un telescopio Fizeau observó el reflejo de la luz que volvía a través del diente de la rueda.

Expeimento de Fizeau http://museovirtual.csic.es/salas/luz/luz17.htm
Experimento de Fizeau
http://museovirtual.csic.es/salas/luz/luz17.htm

 A continuación hizo girar la rueda aumentando gradualmente la velocidad y, cuando alcanzó una cierta velocidad angular, la luz desapareció y cuando redujo la velocidad de giro de la rueda el rayo apareció de nuevo. Fizeau concluyó que el rayo luminoso que pasaba a través del hueco entre dos dientes dejaba de pasar la luz de regreso por él porque con el giro de la rueda un diente de la misma contiguo al hueco cortaba la trayectoria del rayo. Esto sucedió cuando la velocidad angular de la rueda era de 12,5 revoluciones por segundo.

Entonces Fizeau llevó a cabo las siguientes consideraciones:

  • Primera: Si d ≈ 8,5 km es la distancia de la rueda dentada al espejo auxiliar y c es la velocidad de la luz,  el tiempo que tarda la luz en recorrer dos veces esa distancia (ida y vuelta) será:

  • Segunda: Si la rueda gira con velocidad angular cada vez mayor, llegará un momento en que el diente de la rueda impida el paso al rayo de luz. Eso sucederá cuando la rueda girar en ese tiempo tluz un ángulo:

lo que significa que la rueda debe girar a una velocidad angular:

lo que equivale a:

de donde  c = 4 · 720 · d · ω

En el experimento de Fizeau la luz realizó un recorrido 17.266 metros (ida y vuelta desde Montmartre a Suresnes) y la luz dejo de pasar cuando la rueda dentada giraba con una velocidad angular de 12,5 rev/s

c = 2 · 720 · 17,266 · 12,5 = 310.788 km/s

en un segundo luz viajaría a 310.788 km/s.

Hoy se sabe que este valor es ligeramente inferior, 299,792.458 km / s, pero teniendo en cuenta los medios que utilizó Fizeau los valores eran más que aceptables.

Leon Foucault (1819-1868)l modificó el sistema de Fizeau empleando un espejo giratorio en lugar de la rueda dentada y obtuvo el valor mucho más preciso de 298.000 km/s para la velocidad de la luz.

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[1] Es decir  un espejo que está parcialmente reflectante y parcialmente transparente  o unidireccional y cuando un lado del espejo está iluminado y el otro está oscuro se puede ver desde el lado oscuro.

 

Philosophie Naturalis Principia Mathematica Isaac Newton
Philosophie Naturalis Principia Mathematica. Isaac Newton

Las ideas científicas geniales suelen estar precedidas de largos y laboriosos períodos de gestación. La historia está llena de ejemplos de genios en diferentes materias que comparten este pensamiento.  Th. Edison (1847-1931) mantenía que para innovar, elaborar una nueva teoría o crear una obra de arte  se necesitaba más  transpiración que inspiración.

El descubrimiento genial de la Ley de Gravitación Universal de I. Newton (1643-1727) no fue un chispazo de su inteligencia, aunque su idea siga iluminando la física hasta la actualidad.  El descubrimiento de la Ley  no fue trivial ni instantáneo por varias razones. En primer lugar, hasta siglo XVII nadie se había preguntado por las razones del movimiento de los planetas, entre otras cosas, porque en el Sistema Geocéntrico los planetas y los demás astros se movían en las esferas cristalinas y se consideraban la materialización de la geometría.

J. Kepler (1571-1630) aventuró la idea de que los planetas se movían impulsados por una fuerza motriz procedente del Sol, que los arrastraba como los radios de una rueda y que perdía intensidad con la distancia. R. Descartes (1596-1650) para explicar el movimiento de los astros, echó mano de unos imaginarios torbellinos o vórtices del éter. Según esta suposición Dios habría creado un Universo lleno de materia, sin espacios vacíos, en el que unos inmensos remolinos de materia fluida sutil giraban alrededor del Sol arrastrando a los planetas, que estaban acompañados de sus propios vórtices para arrastrar sus satélites, etc.

Newton para concebir la Ley de Gravitación Universal tuvo que vencer una premisa cartesiana  fuertemente arraigada y era la de no admitir que algo se pudiera mover sin mantener contacto con un motor. Esta suposición era una idea heredada de la filosofía aristotélica, que  no aceptaba la existencia de causas que actuaran a distancia.

Newton empleó para llegar a  formular de la Ley de Gravitación Universal aproximadamente veinte años,  de 1666 a 1687.  Newton ingresó en el Trinity College de Cambridge en 1661 y,  en 1663, se le despertó el  interés por las matemáticas y por la investigación experimental de la naturaleza, que estudió por su cuenta y las clases del matemático y teólogo I. Barrow (1630-1677). Pero la época decisiva de su inspiración se inició a finales de 1665,  cuando se declaró Londres la gran epidemia de peste; la Universidad de Cambridge cerró sus puertas y Newton regresó a su casa en Woolsthorpe, donde permaneció hasta abril de 1667. Durante ese tiempo según sus palabras pensaba en las matemáticas y en la filosofía mucho más que en ningún otro tiempo desde entonces.  En periodo la cabeza de Newton bullía de ideas científicas y sus biógrafos han denominado a 1666 annus mirabilis.

De esa época son los comienzos del Cálculo de Fluxiones, los estudios sobre la teoría de los colores de óptica o las primeras preguntas para explicar la permanencia de la Luna en su órbita,  que le llevarían  a esbozar la hipótesis de la atracción gravitatoria.

En los veinte años que median entre 1666 y la publicación de los Principia (1687) se fragua la formulación de la Ley de Gravitación Universal. Su gestación fue lenta  porque tuvo que romper con enraizadas creencias filosóficas, realizar cálculos complicados, inventar un nuevo cálculo y definir nuevos conceptos.  En este tiempo se encaramó a los hombros de tres gigantes asimilando las obras de G. Galilei (1564-1642), R. Descartes (1596-1650) y J. Kepler.

Las tres leyes de Kepler para el movimiento planetario eran puramente matemáticas, estaban extraídas de la experiencia, pero no daban explicación alguna del movimiento de los planetas. Pero, en 1673,  Ch. Huygens (1629-1695)  publicó un libro titulado Horologium Oscillatorium publicando la fórmula de la aceleración centrífuga en el movimiento circular uniforme. Newton ya la había obtenido en 1669, aunque no publicado, según figura en un manuscrito de esa fecha. La intención de Newton al calcularla fue la de utilizar la fórmula para rebatir las objeciones de los aristotélicos contra el movimiento de rotación de la Tierra, que decían que si la fuerza centrífuga del giro de la Tierra existiera lanzaría al espacio todo lo que  hubiera en su superficie. Newton comprobó que la aceleración centrífuga en la superficie de la Tierra era despreciable frente a la aceleración gravitacional, que ya había medido Galileo. En ese momento Newton no la había relacionado la aceleración centrífuga con la gravedad.

Lo que es cierto es que, en 1673, los científicos sabían que cuando un cuerpo describía un círculo de radio  r con movimiento uniforme en un tiempo T  se podía conocer su aceleración y su velocidad con las siguientes fórmulas:

Y además, teniendo en cuenta  la tercera ley de Kepler: 2 ∝ 3  se obtenía:

Lo que ponía de manifiesto que un cuerpo al girar ejercía una fuerza hacia afuera que era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

No es extraño, por tanto, que, cuando R. Hooke (1635-1703) fue elegido en  1677  secretario de la Royal Society,  le pidiera a Newton un estudio del movimiento planetario y el cálculo de las trayectorias de los cuerpos que estaban atraídos con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, confiando que Newton, con su habilidad matemática, sería capaz de resolver el problema. Newton lo resolvió invirtiéndolo, demostrando que si un cuerpo describía una elipse, necesariamente, la fuerza que actuaba sobre él y lo apartaba de la trayectoria rectilínea y uniforme que le imponía el principio de inercia, debía ser inversamente proporcional  al cuadrado de la distancia al foco de la elipse.

Aunque parece que Newton tenía en ese momento a punto la formulación de la ley de gravitación Universal no era así, en 1675, había publicado un artículo  titulado Hipótesis que explican las propiedades de la luz, donde exponía una  teoría mecanicista para explicar la gravitación en términos de condensaciones y enrarecimientos del éter.

En 1684, sucedió  algo que desencadenó la formulación de la Ley de Gravitación y la redacción de los Principia. En  una taberna londinense  se reunieron: el arquitecto Ch.  Wren (1632-1723), el astrónomo  E.  Halley (1656-1742)  y R.  Hooke para analizar la situación de los estudios sobre  movimiento de los planetas. Los tres sabían que la fórmula de la aceleración centrífuga, con la tercera ley de Kepler implicaban una aceleración inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

Observaron que  ese razonamiento era válido sólo para una órbita circular y se preguntaban cual  sería la órbita de un cuerpo sometido a esa ley.  A Halley se le ocurrió consultar a Newton, y cundo le preguntó ¿.cuál sería la trayectoria descrita por un planeta suponiendo que la fuerza de atracción hacia el Sol fuera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a éste? Newton contestó de inmediato que  una elipse y añadió que lo había calculado hacía  tiempo, pero que reharía los cálculos y le enviaría un manuscrito en breve. Así surgió la primera versión de De Motu corporum in gyrum (Del movimiento de los cuerpos en órbita),  donde se demostraba que  la ley inverso del cuadrado implicaba  una órbita elíptica y comenzó a escribir los Principia, para lo que estuvo recluido durante los dos años siguientes.

Newton hizo tres versiones de  Motu. En la primera hablaba de la existencia de fuerzas centrípetas que mantenían a los planetas en órbita alrededor del Sol, y a los  satélites alrededor de los planetas, pero no  considera la interacción de los planetas entre sí,  por lo que las fuerzas no era universales. La posibilidad de que las órbitas se vieran perturbadas por  interacciones entre los planetas no la consideró y una de las razones sería, sin  duda, que Newton no tenía aún un concepto claro de la masa.

Pronto comprendió que la masa inercial era proporcional a la masa gravitacional de los cuerpos celestes y las consecuencias de este hecho fundamental  es que la tercera ley de Kepler se aplica a los planetas y a los satélites debido a esa proporcionalidad y que, por lo tanto  estamos ante una Ley Universal que es la Ley de Gravitación. Newton comprobó que el  Astrónomo Real J. Flamsteed (1646-1719) había detectado perturbaciones en las órbitas de Júpiter y Saturno cuando los planetas estaban más próximos entre sí, lo que apoyaba la universalidad de la Ley..

Para completar la teoría matemática con precisión demostró cómo se atraían dos masas no puntuales  y probó que si la ley del inverso del cuadrado era válida para cada partícula de materia una esfera, la esfera atraía a los cuerpos que la rodeaban como si toda su masa estuviera concentrada en su centro.

A Newton le preocupó esta última cuestión durante años,  ya que para aplicar sus leyes no había dificultases para objetos puntuales o si eran pequeños en relación con las distancias que los separaban, pero para un objeto cercano a la Tierra,  la fuerza atractiva total resultaba de sumar  todas las fuerzas de atracción que ejercía cada partícula de la Tierra  sobre el cuerpo. En 1686, poco antes de publicar los Principia,  escribió  una carta a Halley en la que le hablaba de la solución de este problema con la que cerraba el proceso de formulación de la Ley de Gravitación Universal  diciendo:

«Es una objeción tan importante que, sin la demostración que he hecho de esta equivalencia, un filósofo sensato no podría creer que mi teoría fuera ni aproximadamente correcta

 

Principio de Inercia
Principio de Inercia
(https://tecnologiayplastica. wordpress.com/2012/03/26/)

Todo cuerpo permanecerá en reposo o con un movimiento rectilíneo uniforme a no ser que una fuerza actúe sobre él.  I. Newton

El Principio de Inercia hoy se conoce también como la primera Ley de la Mecánica de Newton y es, seguramente el principio más importante por varios motivos. En primer lugar marca la ruptura con la forma de entender el movimiento hasta entonces y abre el paso a una nueva Física. En segundo lugar reconoce, frente a la física anterior, que el estado de movimiento de los cuerpos puede ser permanente y no una situación transitoria que los llevará a reposo.  Por último, el Principio permite establecer  relaciones entre los movimientos de los cuerpos y las fuerzas que actúan sobre ellos.  Si la fuerza es nula el cuerpo estará en reposo  o se moverá con movimiento rectilíneo uniforme, pero si la fuerza no es nula; provoca en el cuerpo un cambio de velocidad, es decir, una aceleración. Por tanto, una fuerza aplicada a un cuerpo no le imprime una determinada velocidad, sino que le transmite una cierta aceleración.

 El principio de Inercia no surgió de forma inmediata, porque no es algo observable y su formulación re­quirió un largo  proce­so de abs­trac­ción. En suma, se vislumbró  como producto de un largo proceso de es­pe­cu­la­ción abstracta co­he­ren­te con la ob­ser­vación.

Aristóteles (384-322 a.C.)
Aristóteles (384-322 a.C.)

Aristóteles (384-322 a.C.) pensaba que el movimiento no podía ser una situación permanente de la materia. En su Física expone que en la Tierra había dos tipos de movimiento.

Un movimiento natural, que tenían todos los cuerpos y les hacía buscar el estado de reposo que debían ocupar todos los cuerpos por naturaleza,  en la Naturaleza. Este en la Tierra era el vertical dirigido al centro de la Tierra, que podía ser hacia arriba, como el ascenso del humo, o hacia abajo, como la caída de una piedra.  Cualquier otro movimiento terrestre se tenía que deber a una fuerza externa que violentaba la tendencia natural. Por ejemplo, la piedra cuando era lanzada por una honda adquiría un movimiento violento, porque la honda imprimía a la piedra una  la fuerza que violentaba la tendencia natural de los cuerpos a seguir la vertical.

Los astros tenían en la física aristotélica un movimiento natural permanente, que era el circular, con el que los planetas y las estrellas se movían alrededor de la Tierra en círculos perfectos.  El movimiento circular  de los astros, por ser natural, no estaba producido por ninguna fuerza. (Giraban sin fuerza centrípeta que les hiciera alejarse del centro de giro, porque si sería necesario suponer una fuerza externa gravitatoria igual en intensidad y opuesta, que la equilibrara).

La teoría del movimiento de Aristóteles fue analizada, comentada y criticada por muchos filósofos en las universidades medievales. Jean Buridan (1300-1358)  y otros maestros parisinos elaboraron una teoría física conocida como Teoría del Impetus,  que fue la primera aproximación a la unión dela física terrestre con la celeste y anunciaba el Principio de Inercia, que vendría de la mano de G. Galilei (1564-1642) y R.Descartes (1596-1650)

Para Galileo el movimiento y reposo eran dos estados que podía tener y mantener el. El reposo no era un estado especial y un cuerpo se podía encontrar en estado de movimiento o de quieto.

Galileo Galilei (1564-1642)
Galileo Galilei (1564-1642)

Galileo argumenta la nueva visión del movimiento en su libro  Demostraciones y consideraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias (1638) y razona con planos inclinados observando que La velocidad máxima que alcanza un objeto que cae por un plano la alcanza en un plano vertical y disminuye a medida que el plano sobre el desciende se hace más horizontal.

Cuando el plano se acerca a la horizontal, el cuerpo no tiene tendencia a moverse ni ofrecerá resistencia alguna a ser movido, con lo cual concluye que ese movimiento a lo largo de la horizontal puede ser uniforme y perpetuo.

Galileo justifica la persistencia del movimiento uniforme en forma de diálogo que se muestra a continuación entre dos personajes ficticios, en  su obra  Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo (1632), Salviati, que  defendía las ideas del Galileo y Simplicio mantenía las ideas vigentes, que eran las del escolasticismo, basado en la filosofía aristotélica.

SALVIATI (dirigiéndose a Simplicio): Y así pues, decidme: si vos tenéis una superficie plana, tan lisa como un espejo, y de materia dura como el acero, que no esté paralela al horizonte, sino un poco inclinada, y colocáis sobre ella una bola perfectamente esférica y de materia grave y , por ejemplo, de bronce, dejada en libertad ¿qué creéis vos que haría?; ¿no creéis vos, como yo lo creo, que ella permanecería quieta?.

SIMPLICIO: Yo no creo que permaneciese quieta, sino que estoy seguro de que se movería por la pendiente con toda espontaneidad.

SALVIATI: Así es. Y ¿cuánto duraría en su movimiento esta bola y con qué velocidad? Advertid que he hablado de una bola perfectamente redonda y un plano exquisitamente pulimentado y liso, para así alejar todos los impedimentos externos y accidentales; y así también, quiero que vos hagáis completa abstracción del aire, con su resistencia, y de todos los otros obstáculos accidentales, si es que otros pueden existir.

SIMPLICIO: Lo he comprendido todo perfectamente; en cuanto a vuestra pregunta, respondo que la bola continuará en movimiento infinitamente, si tanto durase la pendiente del plano, y con un movimiento continuamente acelerado; pues esa es la naturaleza de los móviles graves, que vires acquirunt eundo; y cuanto mayor fuese la inclinación, mayor sería la velocidad.

SALVIATI: Y si alguien quisiese que esa misma bola se moviese hacia arriba sobre esa misma superficie, ¿creéis vos que se movería?

SIMPLICIO: Espontáneamente no, sino lanzada o empujada con violencia.

SALVIATI: Y con algún movimiento violento comunicado, ¿cuál y cuánto será su movimiento?

SIMPLICIO: El movimiento iría languideciendo y retardándose siempre, por ser contrario a su naturaleza, y sería más o menos largo, según el mayor o menor impulso que hubiera recibido y según la mayor o menor inclinación del plano.

SALVIATI: Me parece, pues, que vos nos habéis explicado hasta ahora los accidentes de  un móvil sobre dos puntos diversos; que en el plano descendente, el grave se mueve espontáneamente y su movimiento es constantemente acelerado, y que para retenerlo en reposo es necesario usar de la fuerza; pero, en el plano ascendente, se necesita fuerza para empujar al móvil e incluso para detenerlo, y que el movimiento comunicado va decreciendo continuamente hasta que al fin desaparece. Decid aún que, en un caso y en otro, se origina diversidad, del hecho de ser la inclinación del plano mayor o menor; que de la mayor inclinación, se sigue mayor velocidad; y al contrario, que en el plano  ascendente, el mismo móvil, empujado por la misma fuerza, se mueve en mayor distancia  según que la elevación sea menor. Ahora decidme lo que sucedería al mismo móvil, con una superficie que no fuese inclinada.

SIMPLICIO: …. Si no hay inclinación, en el plano, no se da tendencia natural hacia el movimiento, de modo que el móvil sería indiferente a la propensión y a la resistencia al movimiento; me parece, por tanto, que debería parecer naturalmente quieto…

SALVIATI: Así sucedería siempre que el móvil fuera colocado en estado de reposo; pero si le fuese comunicado algún movimiento, ¿qué sucedería?

SIMPLICIO: Sucedería que se movería hacia aquella parte hacia la que fue empujado.

SALVIATI: Pero, ¿con qué clase de movimiento, con el continuamente acelerado, como  sucede en los planos descendentes, o con el sucesivamente retardado, como sucede en los planos ascendentes?

SIMPLICIO: Yo no creo que se diera causa de aceleración o de retraso, al no haber  ninguna clase de inclinación.

SALVIATI: Sí, pero si no existiese causa de retraso, tampoco debería haberla de quietud; ¿cuánto tiempo creéis vos que el móvil continuaría en su movimiento?

SIMPLICIO: Tanto cuanto durase la longitud de esa superficie no inclinada.

SALVIATI: Por tanto, si ese espacio no tuviese fin, ¿el movimiento por él sería igualmente  sin fin, es decir, perpetuo?

SIMPLICIO: Me parece que sí, si el móvil fuera de materia duradera

Descartes (1596-1650) resolvió el problema de la persistencia del movimiento  con un principio metafísico. En los  Principios de Filosofía  (1644) decía que  Dios había creado la materia con movimiento y reposo y que Dios conservaba la  cantidad de materia y de movimiento siempre igual. Por lo tanto, la ley fundamental  del universo era la ley de la persistencia. La cantidad de materia y de movimiento, una vez creados, permanecen constantes eternamente. Descartes no se conformó con esta explicación teológica del movimiento y, formuló unas leyes de la naturaleza que servirían de inspiración a las Leyes de Newton

Ley 1.- (Persistencia o perseverancia de los estados) Cada cosa persevera siempre en su estado; y así, lo que es movido una vez continúa moviéndose siempre y permanece en el mismo estado y nunca puede  cambiarse sino por causas.

Ley 2.- (La tendencia de los cuerpos en movimiento a seguir  trayectorias rectilíneas)  Ninguna de las partes de la materia, considerada en sí misma, tiende a continuar moviéndose en línea curva, sino solamente en línea recta.

René Descartes (1596-1650)
René Descartes (1596-1650)

Cuando los cuerpos se mueven en círculos, tienden a alejarse del centro.  Lo que sugería que existía una fuerza centrífuga, de modo que los cuerpos que se mueven circularmente tienden  alejarse de los centros de su rotación. El movimiento circular uniforme, eterno y perfecto  de las estrellas y de los planetas dejaba de ser movimiento natural en el sentido aristotélico.

Ley 3.- (La ley del choque) Un cuerpo, al entrar en contacto con otro más fuerte, no pierde nada de movimiento, sin embargo, al entrar en contacto con uno más débil, pierde, debido a la transferencia que se hace hacia este.

Descartes formuló adecuadamente el principio de inercia, en la medida en que identifica un movimiento en ausencia de fuerzas como movimiento uniforme y rectilíneo. Galileo, aunque seguramente lo dio por supuesto, no lo estableció como principio fundamental de la nueva física (aunque aplicó la composición de movimientos en el estudio del tiro parabólico). La formulación cartesiana fue decisiva, ya que permitió justificar el movimiento circular como la trayectoria de un móvil sometido a una fuerza atractiva central opuesta a la fuerza centrífuga que se produce en todo movimiento circular.

 

Arquimedes en la bañeraCuenta a leyenda que el Rey Hierón II de Siracusa (306-215 a. C.) había encargado a un orfebre diseñar y confeccionar una corona de oro y que para fabricarla le entregó un lingote de oro puro al artista. Cuando el orfebre  terminó la corona el rey quedó satisfecho con el resultado.   Comprobó que la corona pesaba  exactamente lo mismo que el lingote, pero le llegaron dudas sobre la honradez del artesano y sospechó que le había engañado sustituyendo, a la hora de fundir el lingote,  parte del oro por algún material más barato, como la plata.

Al rey  Hierón le gustaba la corona y no quería destruirla para averiguar su composición, pero expuso sus sospechas a Arquímedes (287 – 212 a. C.), que era el mejor de la matemáticos griegos de su época y uno de los más grandes científicos de todos los tiempos, y le propuso que determinara si el artista lo había engañado sin romper la corona, ni cortarla, ni fundirla, porque el orfebre podía ser un pillo, pero la corona era bellísima.

Este relato se considera como una leyenda porque se cuenta por primera vez en la obra De architectura de Vitruvio (80 a.C-15d.C), que fue arquitecto de Julio César,  y la obra fue escrita aproximadamente  dos siglos después de la muerte de Arquímedes.

Cuenta Vitruvio que Arquímedes comenzó a pensar sobre el problema inmediatamente y le dio vueltas y vueltas a la  cuestión hasta el punto que no se separaba de la corona en ningún momento del día. Hasta que un día, al meterse en la bañera se le ocurrió como abordar el problema y resolverlo.

Se le ocurrió que el volumen del agua que se desplazaba la corona al sumergirla en el agua tenía que ser igual al volumen de la corona, por lo tanto, si medía el agua que rebosaba al meter la corona en un recipiente completamente lleno de agua, conocería el volumen de la misma y luego podría compararlo con el volumen de un objeto de oro (un lingote) del mismo peso que la corona y si midiendo ambos volúmenes resultaran ser diferentes, sería una prueba concluyente de que la corona no era de oro puro.

Vitruvio dice que esta idea se le ocurrió a Arquímedes mientras se estaba bañando y que, por la excitación que le produjo el descubrimiento, salió del baño desnudo hacia el palacio de Hieron gritando ¡Eureka!, ¡Eureka!, que significa: «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!».

Eso es la historia del descubrimiento del Principio de Arquímedes en forma literaria, pero la realidad es que Arquímedes, en su obra Sobre los cuerpos flotantes, en la que sentó las bases de la Hidrostática, en la proposición siete del libro primero de expone claramente el principio que lleva su nombre de la siguiente forma:

Si un cuerpo es más pesado que un fluido y se abandona en éste, se sumergirá hasta el fondo; y si el cuerpo se pesa en el fluido será más ligero que su verdadero peso en un peso igual al peso del líquido desalojado

Numéricamente el problema es sencillo teniendo en cuenta la densidad de los metales y que el peso de un cuerpo es igual al producto del volumen por su peso específico. Supongamos que el lingote de oro pesara un kilogramo.

Si el orfebre hubiera  la corona solamente con el lingote de oro,  como el peso específico del oro es de 19,32 g/cc, el  volumen de la corona sería:

1000 = V · 19,32     ⇒      V = 51,76 cc

Si el orfebre hubiera hecho trampas y hubiera empleado, por ejemplo, 700 g de oro y sustituidos los 300 restantes por plata, cuyo peso específico es de 10,5 g/cc:

El volumen de oro en la corona del orfebre:  700: 19,32   = 36,23 cc

El volumen de la plata  en la corona:             300: 10,5     = 28,57 cc

Por lo tanto,  la corona del orfebre tenía un  volumen total = 64,8 cc

Es decir, la corona del orfebre tramposo tenía mayor volumen que el que debería tener si hubiera sido fabricada con oro puro. La diferencia  de volumen era de unos 13 cc, que es aproximadamente el volumen de una cucharada sopera de un líquido, y, aunque no es excesivamente grande, es apreciable.

La ciencia tiene la propiedad de poder englobar los hechos observacionales en el seno de una teoría general que relaciona diferentes hechos. El principio de Arquímedes, tal y como lo cuenta la leyenda, es un hecho observacional, está relacionado con otros dentro de la Hidrostática y más concretamente, gracias a la ecuación fundamental de la hidrostática y al  principio de Pascal, con fenómenos como el equilibrio de gases, la prensa hidráulica y fenómenos relacionados con la presión. El principio de Arquímedes es una consecuencia inmediata de  la ecuación fundamental de la hidrostática y al  principio de Pascal tal y como se esboza a continuación:

Principio fundamental de la hidroestática

Fig 2: http://slideplayer.es/slide/163138/

La ecuación fundamental de la hidrostática establece que la presión en un punto del interior de un fluido (presión hidrostática) es directamente proporcional a la densidad del fluido y a la la profundidad que se encuentre dicho punto  P = d·g·h, donde: P es la presión en un punto del fluido,  d es la densidad del fluido, es la aceleración de la gravedad en el lugar donde se encuentre el fluido y h es la profundidad a que se encuentre el punto respecto a la siperficie del líquido.

El principio de Pascal dice que en un fluido incompresible,  en reposo y dentro de un recipiente de paredes indeformables, un cambio de presión aplicado en un punto  se transmite íntegramente en todas las direcciones del fluido y actúa perpendicularmente a las paredes que lo contienen.

Si introducimos un cilindro recto de base cubase mide A y de altura H (su volumen será Vcil = A·H).

Sobre cara superior, que se encuentra a una profundidad h1 se ejerce una presión hacia abajo:

P1 = d·g·h1,  es decir, que la base superior soporta una fuerza F1 = d·g·h1·A

y sobre cara inferior del cilindro, que se encuentra a una profundidad h, se ejerce una presión una presión hacia arriba

P2 = d·g·h2,  es decir que la base superior soporta una fuerza F2 = d·g·h2·A

El empuje será la diferencia de las dos fuerzas

E = F2 – F1= d·g·A·(h2 – h1) = d·g·A·H =  d·g· Vcil

(se ha tenido en cuenta que  la altura del cilindro H = h2 – h1 )

Lo que  es el principio de Arquímedes aplicado al cilindro de base A y altura H,  que dice que el empuje, E, es igual al peso del volumen del líquido desalojado por el cilindro.

 

Aristóteles había observado la caída libre de los cuerpos y concluyó que la velocidad de caída de los cuerpos era directamente proporcional a su peso, es decir, que al dejar caer desde una misma altura cuerpos de pesos distintos sus tiempos de caída serían diferentes y los cuerpos más pesados llegarían al suelo antes que los más ligeros. Esta creencia errónea, ya que una bola de hierro una bola de hierro de un kilogramo caería cien vecese más rápido que otra bola de diez gramos. Pero el error se mantuvo casi dos milenios, sin que nadie refutara su veracidad con mediciones cuidadas.

La razón de que no se hubiera realizado ningún experimento se debía a que la caída libre de los cuerpos se realizaba a tal velocidad que resultaba prácticamente imposible medir el tiempo de caída de un cuerpo y su velocidad porque no había relojes tan precisos. Galileo fue el primero que estudió matemáticamente el movimiento realizando medidas y midiendo los tiempos de caída. Pero esa no fue la única dificultad. Primero Galileo tuvo un punto de inspiración cuando, estudiando el movimiento pendular, reparó  en que  la velocidad que alcanzaba la bola del péndulo.

La idea le vino de la observación de que un péndulo de longitud  AB que pendía de A  y que en el extremo tenía una bola  de plomo B. cuando se le interponía un clavo E en una posición intermedia en la vertical AB, modificando con ello la longitud del péndulo, en el punto más bajo de la trayectoria la velocidad era la misma en ambos  sentidos de la oscilación, ya que en los dos alcanzaba la misma altura. Por lo tanto, la velocidad de la bola en el punto más bajo no dependía de la longitud del péndulo, sino de la altura de la que partía la oscilación.

Con esa observación, Galileo vislumbró la similitud entre el péndulo y el plano inclinado y pensó que si una bola rodaba por un plano inclinado y a continuación  se encontraba otro plano inclinado hacia arriba y seguía su movimiento, la bola alcanzaría la misma altura que la del punto del que partió, tal y como sucedía con el péndulo. Y, como ocurría en el péndulo, la altura alcanzada no dependía de la pendiente del segundo plano sino la velocidad con que iniciara la subida. Por lo tanto, (y esta es la observación genial de Galileo) la velocidad con que una bola, que descienda por un plano inclinado desde el reposo hasta el suelo no dependerá de la inclinación del plano con respecto a la horizontal, sino de la altura o desnivel vertical del que hubiera partido.

Galileo midió la velocidad de caída de un cuerpo con las siguientes ideas básicas:

Primera: Reparó en que las velocidades alcanzadas por un mismo móvil, en planos de diferente inclinación, son iguales cuando las alturas de los mismos planos son también iguales. Es decir que si dejamos caer libremente unas bolas verticalmente o deslizándose por los planos AC, AD, o AF, las velocidades que alcanzan en los puntos B, C, D, E son las mismas.

 Segunda: Con la observación anterior la tarea de medir la velocidad de caída libre de un cuerpo se podía hacer calculando la velocidad de caída por un plano inclinado que tardaba más tiempo en alcanzar la velocidad. Galileo había conseguido aumentar el tiempo que tardaba un cuerpo alcanzar una velocidad, puesto que tardaba más deslizarse por el plano inclinado AE que la caída libre AB. Para medir el tiempo recurrió a la clepsidra o reloj de agua, que consiste en una vasija grande  llena de agua, que podía verter  un hilillo de agua, que recogía en una probeta durante todo el tiempo que la bola descendía.  Luego pesaba el agua recogida en cada descenso con lo que relaciones entre los pesos de agua  daban relaciones entre de los tiempos de descenso.

Tercera: Con el reloj de agua  midió el tiempo empleado para recorrer diferentes partes de un plano inclinado un ángulo α con la horizontal  al que le había practicado con un canalillo y encerado para evitar desviaciones y, en lo posible, el rozamiento.

Midiendo las distancias recorridas por una bola que se deslizaba libremente desde la parte más alta sobre un plano inclinado, observó que en el primer intervalo de tiempo recorría una distancia L, en el segundo intervalo 3L, en tercero 5L, en el cuarto 7L, en el enésimo (2n-1) L. De donde obtuvo las siguientes conclusiones: (supondremos L lo expresamos en centímetros y que cada intervalo de tiempo es un segundo)

Galileo estudiando la caída de una bola por un plano inclinado
https://www.timetoast.com/timelines/la-caida-libre

Conclusión 1.– El movimiento era uniformemente acelerado ya que el espacio recorrido cada segundo (la velocidad) aumentaba  2L cm/s, luego la aceleración era de 2L cm/s2.

Conclusión 2.- El espacio s recorrido en t segundos era proporcional a t2, ya que

s = L + 3+ 5+ 7L + ···+ (2t-1) L =

= [1 + 3 + 5 + 7 + ··· + (2t-1)] L = t2·L = t2·L,

Como la aceleración  a = 2L, se obtiene:

Por tanto, la distancia total recorrida durante cierto período de tiempo era proporcional al cuadrado de este tiempo

Conclusión 3.- Las distancias recorridas en intervalos sucesivos de tiempo estaban en la proporción 1 : 3 : 5 : 7, etc. siempre, Cuanto más inclinado estaba el plano mayores era las distancias recorridas, pero sus relaciones seguían siendo las mismas. Galileo, concluyó que esas relaciones se debían cumplir cuando el ángulo α = 90º, esto es para la caída vertical

Conclusión 4.- Galileo dedujo que la velocidad el movimiento uniformemente acelerado era proporcional  tiempo: vt = a·t. Como la velocidad aumenta cada segundo una cantidad fija  Si conocemos la velocidad en el instante inicial  v0  y al cabo de t segundos vt se tiene que  vt – v0 = a·t y como v= 0, entonces vt = a·t.

 

Conclusión 5.- Para calcular g, que es la aceleración cuando el plano está vertical realizó un razonamiento que expreso en lenguaje actualizado  como sigue:

Si una bola desciende por un plano inclinado AM, adquirirá una aceleración y recorre el plano en un tiempo t, el espacio recorrido y la velocidad de la bola cuando llega al suelo serán respectivamente:

Si la bola desciende en caída libre por la vertical AN, adquirirá una aceleración g y  tardará un tiempo t’, pero en los puntos B y B’, C y C’ y en todos los que definen una línea paralela a la horizontal llevarán la misma velocidad:

Dividiendo ambas ecuaciones y teniendo en cuenta que AN s’ = s·sen α,  siendo el ángulo que forma el plano con la horizontal

De dónde se obtiene que  t’ = t· sen α   

Y como la velocidad con que llegan suelo ambas bolas es la misma;

vt = vt’       a·t = g·t’

entonces  a·t = t·g·sen α   y, por lo tanto:   a = g·sen α  

Galileo, para calcular la aceleración gravitatoria,  g, midió  la aceleración, a, en un plano con un ángulo de inclinación  α respecto a la horizontal y obtuvo:

 

 

 

 

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