Matemáticas con Historia


MATEMÁTICAS CON HISTORIA juega ­­­con el doble sentido que tiene la palabra matemáticas: saber estructurado y mujeres que se han dedicado a la producción matemática.

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Las mujeres también hemos tenido a lo largo de la historia muchas y serias dificultades para introducirnos en el mundo de la ciencia y en concreto en el de las matemáticas. Por eso nos parece importante el dedicarles un apartado especial. Aquí recogemos algunos ejemplos donde queremos reflejar su esfuerzo y sus aportaciones.

   Ellas lucharon por sus ideales, hasta alcanzar sus metas y propósitos, obteniendo al fin plazas para distintas universidades, en las cuales hicieron grandes descubrimientos, muchos de ellos muy importantes.


0a1HIPATIA fue la más grande (que tengamos noticia) de las mujeres matemáticas de la antigüedad. Se crío y desarrolló intelectualmente en el envidiable ambiente del Museo y la Biblioteca Alejandrina. Hipatia nació alrededor del año 370 y murió en el 415 d.C (siglo V dC), junto con la Biblioteca, fruto del fanatismo y de la intolerancia religiosa. Hipatía hija de Teón, uno de los hombres más sabios de Alejandría, es la primera mujer nombrada en la historia de las matemáticas. Hipatía es recordada por sus comentarios acerca de la obra de Arquímedes, y por haber remplazado a su padre en su cátedra en la escuela de Alejandría.

La película AGÓRA ganó siete Premios Goya, incluyendo al mejor guión original para Alejandro Amenábar (director) y Mateo Gil, lo que la convirtió en la segunda película más premiada de la XXIV edición de los Premios Goya de la academia de cine español. Alejandro Amenábar no solamente nos muestra la pasión de los personajes y la lucha por el poder en Ágora, también nos ilustra sobre muchas facetas de la Cultura y de la existencia del Ser humano: Historia, Filosofía, 0a1Astronomía, Matemáticas, Física, Sociología. De manera sutil y hermosa aparecen algunos de los hitos de la historia de la matemática y de la historia de la astronomía.

A lo largo de la película el personaje de Hipatia se emociona ante los textos de los Elementos de Euclides, el cono de Apolonio, el sistema geocéntrico de Claudio Ptolomeo y el heliocéntrico de Aristarco de Samos y se apasiona y empeña en resolver el enigma astronómico que plantean los planetas (etimológicamente, astros errantes) vislumbrando en la elipse la solución que hallarán más de mil años después, en el siglo XVI, Copérnico y Kepler 0a1en su reformulación, hoy vigente, de la Teoría heliocéntrica de órbitas elípticas.

Toda la tradición espiritual, cultural, filosófica y científica de la Cuenca del Mediterráneo se decanta en una mujer que habitó en tiempos convulsos la ciudad de Alejandría.


ANA AGNESI

María Gaetana Agnesi María G. Agnesi nació en Milán en 1718, y murió también en Milán en 1799, fue una distinguida lingüista , matemática y filósofa; remplazó a su padre en la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bologna cuando éste estuvo enfermo, y fue la primera mujer en ocupar una cátedra de matemáticas. En 1748, se publicó su libro “Instituzioni Analithe” sobre cálculo diferencial, que fue muy popular; se tradujo a muchos idiomas y se usó en Europa durante muchos años.

 Fue conocida también como La Bruja de Agnesi por confundir en su libro la palabra versoria (nombre latino de la curva de una función),  por versiera otra palabra que significa abuela del diablo o bruja, de ahí viene el nombre adoptado también por  la curva; La Bruja de Agnesi, cuya ecuación es :

Ecuación de la curva de Agnesi
Gráfica de la curva de Agnesi


  SOPHIE GERMAIN

Sophie Germain    Sophie Germain nació en 1776 en París y murió también en París en 1831. Empezó a introducirse en las matemáticas a los 13 años en la biblioteca de su padre, tras leer cómo murió Arquímedes a manos de un soldado al no responderle cuando estaba ensimismado con un problema, esto la decidió a conocer las matemáticas cuando pensó ¿qué cosa tan maravillosa podía abstraer a una persona hasta dejarse matar?.

Al ser mujer tuvo muchas dificultades, la primera en su propia familia. A los 18 años quiso entrar en  “L’Ecole Polytechnique”, pero no admitían a mujeres. A través de  unos amigos que le pasaban los apuntes de las clases,  al final del semestre  Shopie presentó una memoria con un nombre masculino, “M. LeBlanc”. El profesor Lagrange, uno de los más importantes matemáticos de la época quedó impresionado por la calidad del trabajo de “Monsieur LeBlanc” (Monsieur es “señor” en francés) y quiso conocerlo personalmente. Cuando vio que se trataba de una joven quedó muy sorprendido pero reaccionó bien y pese a ser mujer, la introdujo en su círculo de investigadores.

   En 1801 presentó unos resultados interesantes sobre la teoría de números firmando con su sobrenombre, a partir de entonces estableció con Gauss, el gran matemático alemán, una correspondencia frecuente.

        Más tarde Sophie hizo descubrimientos importantes en teoría de números, de física , matemática, acústica y elasticidad. Iba a recibir el título de Doctor Honoris Causa en Gotinga pero murió un mes antes de la fecha.  


EMMY AMALIE NOETHER

Emmy Noether    Nacida el 23 de marzo de 1882 en Erlange, Baviera, Alemania. Murió el 14 de abril de 1935 en Bryn Mawr, Pensilvania, USA.

     Emmy Noether es conocida por su contribución al álgebra abstracta.

     El padre de Emmy fue Max Noether, un distinguido matemático y profesor en Erlangen. Su madre fue Ida Kanf Mann. Emmy fue la mayor de cuatro hermanos.

     Estudió alemán, inglés, francés, aritmética y empezó clases de piano y demostró interés por la danza .

     En 1900 obtuvo el certificado de profesora de inglés y de francés en la escuela de chicas en Baviera. Decidió un modo de vida distinto al de las demás mujeres de su época, estudiar matemáticas en la universidad, un camino lleno de dificultades para una mujer.

En estos años, en Alemania, las mujeres no podían matricularse en las universidades de manera oficial y tenía que solicitar permiso a cada profesor para asistir a su asignatura. Noether  obtuvo el permiso en la Universidad de Erlangen ( 1900-1902). Después fue a la Universidad de Gotinga. Entre 1903-1904 asistió a clases de matemáticos tan importantes como Blumethal, Hilbert, Klein y Minkowski.

     En 1904, Noether obtuvo permiso para matricularse en Erlanger y en 1907 obtuvo el doctorado bajo la dirección Paul Gordan.

   Después de sus brillantes estudios lo natural hubiera sido que obtuviese una plaza como profesora e investigadora en la universidad pero no pudo ser ¡por ser mujer!. Estuvo un tiempo trabajando con su padre.

    La reputación de Noether creció cuando aparecieron sus publicaciones. En 1908 fue elegida miembro del círculo Matemático de Palermo. En 1909 llegó a ser miembro de Dents the Mathematiker Vereiningung.

    Hilbert (padre de la teoría de relatividad junto a A.Einstein) y Klein pidieron a Emmy que regresara a Gotinga y mantuvieron una dura pugna con las autoridades académicas para que le concedieran una plaza. Entre tanto ella dio cursos bajo el nombre de Hilbert hasta que en 1919 consiguió una plaza.

    Emmy Noether con DubreilsLos trabajos de Noether continuaron y tuvieron importante influencia en el desarrollo del álgebra moderna y la teoría de la relatividad, aunque la mayoría de sus ideas fueron publicadas por alumnos suyos y no por ella misma.

Emmy Noether con Dubreils
(otro importante matemático) en 1931


SOF’JA   ALEKSADROVNA   JANOVSKAJA

Janovskaja Nació el 31 de Enero de 1896 en Polonia y murió el 24 de Octubre de 1966 en Moscú.

 Su familia se trasladó a Odessa cuando ella era joven y allí se educó en los clásicos y las matemáticas.

En los primeros años de la revolución rusa tomó parte activa en la política llegando a ser editora del periódico ” Kommunist” en Odessa.

 En 1923 volvió a su estudios ocupándose de seminarios en la Universidad Estatal de Moscú. Cerca de 1931 fue profesora allí y cuatro años después recibió un doctorado.

 Janovskaja trabajó en la filosofía y lógica de las matemáticas. Su trabajo en lógica matemática tuvo importancia en el desarrollo de la misma en la antigua Unión Soviética.

 La historia de las matemáticas fue otro tema que trató Janovskaja e hizo diversas publicaciones. (Geometría de Descartes, matemáticas egipcias, paradoja de Zenónde Elea,… etc). 


        Otros Hombros de Gigantes


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BIOGRAFÍAS

Pitágoras Eratóstenes Newton Ruffini
Tales de Mileto Tartaglia Galileo Gauss
Euclides Fibonacci Pascal Einstein
Arquímedes Descartes Euler Hawking

 PITÁGORAS

0a1Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las Matemáticas y a la Música.

Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre.

Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas.
A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el “pons asinorum”, el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.

TALES DE MILETO

0a1Geometra griego y uno de los siete sabios de Grecia. Fue el primer matemático griego que inició el desarrollo racional de la geometría.
Tuvo que soportar durante años las burlas de quienes pensaban que sus muchas horas de trabajo e investigación eran inútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus observaciones meteorológicas, por ejemplo, le sirvieron para saber antes que nadie que la siguiente cosecha de aceitunas sería magnífica. Compró todas las prensas de aceitunas que había en Mileto. La cosecha fue, efectivamente, buenísima, y todos los demás agricultores tuvieron que pagarle, por usar las prensas.

Hacia el año 600 antes de Cristo, cuando las pirámides habían cumplido ya su segundo milenio, el sabio griego Tales de Mileto visitó Egipto

El faraón, que conocía la fama de Tales, le pidió que resolviera un viejo problema: conocer la altura exacta de la Gran Pirámide. Tales se apoyó en su bastón, y esperó. Cuando la sombra del bastón fue igual de larga que el propio bastón, le dijo a un servidor del faraón: “Corre y mide rápidamente la sombra de la Gran Pirámide. En este momento es tan larga como la propia pirámide”.

Tales era ya famoso desde que, en el año 585 a.C., predijo con toda exactitud un eclipse de sol.

EUCLIDES

0a1Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego. Posiblemente vivió entre el 365 y el 300 a. c., pero se desconoce su lugar de nacimiento. Se le denomina de Alejandría por que fue en esta ciudad donde desarrolló todo su trabajo.

Su obra “Elementos de Geometría” como el texto matemático de más éxito en toda la historia. Tanto es así que hasta una época muy reciente, todavía se utiliza como texto escolar en Inglaterra.

ARQUÍMEDES

0a1Arquímedes (287-212 a.C.), Se le considera padre de la ciencia mecánica y el científico y matemático más importante de la edad antigua. Tuvieron que pasar casi dos mil años para que apareciese un científico comparable con él: Isaac Newton.

En el campo de las Matemáticas puras su obra más importante fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón mandó Arquímedes que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro.

A él le debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos enemigos.

¡ Eureka, eureka ¡ ¡Lo encontré!

Eso es lo que dicen que gritó un día el sabio Arquímedes mientras daba saltos desnudo en la bañera. No era para menos. Ayudaría ( a él y a todos nosotros después) a medir el volumen de los cuerpos por irregulares que fueran sus formas.

Medir volúmenes de cuerpos regulares (un cubo, por ejemplo) era algo que ya se sabía hacer en la época de Arquímedes, pero con volúmenes de formas irregulares (una corona, una joya, el cuerpo humano) nadie lo había conseguido.

Hasta que Arquímedes se dio cuenta de que cuando entraba en una bañera llena de agua hasta el mismo borde, se derramaba una cantidad de agua. Y tuvo la idea: si podía medir el volumen de ese agua derramada habría hallado el volumen de su propio cuerpo.

En el año 212 a.C., Siracusa fue conquistada por los romanos. Un grupo de soldados romanos irrumpió en la casa de Arquímedes al que encontraron absorto trazando en la arena complicadas figuras geométricas. “No tangere circulos meos” (No toquéis mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados pisó sobre sus figuras. En respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes.

ERATÓSTENES

0a1Eratóstenes (c. 284-c. 192 a.C.), matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Fue el primero que midió con buena exactitud el meridiano terrestre. Para ello ideó un sistema a partir de la semejanza de triángulos. Erastótenes midió en primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo meridiano: Siene (Assuán) y Alejandría.

Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra.

Después se dio cuenta que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo Erastótenes para el meridiano, en medidas modernas, viene a ser 46.250 km., cifra que excede a la medida real sólo en un 16%. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7′ de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

TARTAGLIA

0a1Niccoló Fontana conocido con el apodo de Tartaglia debido a su tartamudez, consecuencia de un golpe en la cabeza durante su infancia. Su apodo está ligado al del triángulo formado por los coeficientes de las sucesivas potencias de un binomio.

De familia muy humilde, su genio y su fuerza de voluntad le llevaron a ser un gran matemático. Resolvió una importante ecuación de 3º grado y guardó en secreto sus descubrimientos.

LEONARDO FIBONACCI

0a1Fibonacci, Leonardo (c. 1170-c. 1240), también llamado Leonardo Pisano, matemático italiano que recopiló y divulgó el conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e indios y realizó aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Fibonacci nació en Pisa, una ciudad comercial donde aprendió las bases del cálculo de los negocios mercantiles. Cuando Fibonacci tenía unos 20 años, se fue a Argelia, donde empezó a aprender métodos de cálculo árabes, conocimientos que incrementó durante viajes más largos. Fibonacci utilizó esta experiencia para mejorar las técnicas de cálculo comercial que conocía y para extender la obra de los escritores matemáticos clásicos, como los matemáticos griegos Diofante y Euclides.

Nos han quedado pocas obras de Fibonacci. Escribió sobre la teoría de números, problemas prácticos de matemáticas comerciales y geodesia, problemas avanzados de álgebra y matemáticas recreativas. Sus escritos sobre matemáticas recreativas, que a menudo los exponía como relatos, se convirtieron en retos mentales clásicos ya en el siglo XIII. Estos problemas entrañaban la suma de series recurrentes, como la serie de Fibonacci que él descubrió (kn = kn-1 + kn-2, por ejemplo, 1, 2, 3, 5, 8, 13…). A cada término de esta serie se le denomina número de Fibonacci (la suma de los dos números que le preceden en la serie). También resolvió el problema del cálculo del valor para cualquiera de los números de la serie. Le fue concedido un salario anual por la ciudad de Pisa en 1240 como reconocimiento de la importancia de su trabajo y como agradecimiento por el servicio público prestado a la administración de la ciudad.

RENÉ DESCARTES

0a1En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón mencionado más arriba es un caso particular de éste. Tuvo la inspiración para sus estudios de Matemáticas en tres sueños en la noche del 10 de Noviembre de 1619. Creó una nueva rama de las Matemáticas, la geometría analítica. Introdujo el sistema de referencia que actualmente conocemos como coordenadas cartesianas. Este nombre deriva de la forma latina de su apellido: Cartesius. Fue el pensador más capaz de su época , pero en el fondo no era realmente un matemático.

ISAAC NEWTON

newtonNació el día de la Navidad de 1642, año en que moría Galileo. De muchacho daba la impresión de ser “tranquilo, silencioso y reflexivo” pero lleno de imaginacion. Se divertía construyendo artilugios con los que provoca admiración entre sus compañeros: un molino de viento, un reloj de agua, un carricoche que andaba mediante una manivela accionada por el propio conductor, cometas con articulaciones y luces, etc.

Durante los primeros años de escuela Isaac no dio signos de su futura grandeza.

Lo que le sacó de este estado fue su primera riña con su compañero de la escuela que, además de ser uno de los mejores estudiantes de la clase, era muy agresivo hacia los otros muchachos. Al recibir un golpe en el vientre que le asestó este camorrista, Newton le desafió a luchar y le venció a causa de su “espíritu superior y resolución”. Después de haber ganado en el aspecto físico, decidió completar su victoria en la batalla de la inteligencia y, trabajando esforzadamente, llegó a ser el primero de su clase. Después de ganar otra batalla con su madre que quería dedicarle a la agricultura, entró en el colegio de la Trinidad a la edad de 18 años y se consagró al estudio de las matemáticas.

La lectura y estudio de un ejemplar de la obra de Euclides le hizo inclinarse por las matemáticas.

En 1665 se declaró una epidemia de peste que le obligó a permanecer en su casa, donde comenzó a formular los principios de su teoría de la gravitación, demostró su teorema del binomio, y pulió lentes no esféricas, indicando así sus estudios sobre la luz. En 1669 fue nombrado profesor de matemáticas en el Trinity College, cargo que desempeñó hasta su renuncia en 1701,y desde el que pronunció sus famosas “lecturas” en las que expone la mayoría de sus descubrimientos científicos y a las que, sin embargo, casi nadie asistía.

GALILEO

0a1Galileo nació Pisa en 1564, hijo de un músico. Aunque había ido a la universidad para estudiar medicina, decidió inclinarse hacia las matemáticas. A sus veinticinco años fue nombrado profesor de matemáticas en la universidad de Pisa, donde comenzó a investigar sobre mecánica y sobre el movimiento de los cuerpos.

Sus descubrimientos astronómicos fueron importantes, siendo él el primero en hacer del telescopio, recién inventado, un instrumento útil para la observación astronómica.

Pero su contribución más interesante fue la de establecer el lazo a partir de entonces, nunca roto, entre física, en particular la mecánica, y las matemáticas, que hasta entonces se habían considerado como ciencias separadas.

Galileo murió en 1642, el mismo año del nacimiento de Newton, a quien dejó el camino abierto para la consolidación de la mecánica.

PASCAL

0a1Pascal, Blaise (1623-1662), filósofo, matemático y físico francés, considerado una de las mentes privilegiadas de la historia intelectual de Occidente. Nació en Clermont-Ferrand el 19 de junio de 1623, y su familia se estableció en París en 1629. Bajo la tutela de su padre, Pascal pronto se manifestó como un prodigio en matemáticas, y a la edad de 16 años formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, conocido como el teorema de Pascal y descrito en su EnsayPascal formuló la teoría matemática de la probabilidad, que ha llegado a ser de gran importancia en estadísticas actuariales, matemáticas y sociales, así como un elemento fundamental en los cálculos de la física teórica moderna o sobre las cónicas (1639). En 1642 inventó la primera máquina de calcular mecánica.

EULER

0a1Euler, Leonhard (1707-1783), matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. Leonhard euler fue, probablemente uno de los investigadores más fecundos de las matemáticas, hasta que el punto de que el siglo XVIII se conoce como la época de Euler.

Euler era una persona de extraordinario talento y con gran facilidad para los idiomas.

Se casó y tuvo trece hijos, de cuya educación se preocupó personalmente. Se dice que su capacidad de trabajo era tan grande que escribía memorias matemáticas mientras jugaba con sus hijos.

En 1735, cuando solo contaba con 28 años, perdió la visión de un ojo, pero este accidente no disminuyó en nada sus tareas de investigación.
En 1741 a consecuencia de una enfermedad, perdió la vista del otro ojo y quedó totalmente ciego. Pero ni siquiera esta fatalidad disminuyó su producción. En 1783 falleció de repente mientras jugaba con unos de sus nietos.

RUFFINI

0a1Matemático y médico italiano. Dedicó muchos años de su vida al estudio del problema, que había mantenido ocupados a generaciones de matemáticos, de mostrar la imposibilidad de encontrar una expresión con radicales que resuelva una ecuación algebraica de quinto grado. En el año 1799 publico el libro “Teoría general de las ecuaciones”, en el cual aparece la regla que lleva su nombre.

GAUSS

0a1Niño prodigio de clase obrera que llegó a ser el mejor matemático de su tiempo. Todavía hoy, dos siglos después de su nacimiento, sus ideas y sus innovadores métodos siguen siendo actuales. Su personalidad era contradictoria, era un hombre frío y concentrado en su trabajo, un perfeccionista que no admitía que sus trabajos fuesen publicados antes de que estuviesen totalmente pulidos y revisados.

Sobre la infancia de Gauss se cuentan innumerables anécdotas sobre su temprana genialidad (él mismo solía decir que había aprendido ha contar antes que hablar ). Una de las historias más famosas es que cuando tenía diez años, estando en clase de aritmética, su profesor propuso el problema de sumar los cien primeros números naturales 1+2+3…….+100. Mientras que todos los alumnos se devanaban los sesos con la interminable suma, Gauss (que descubrió el camino rápido) escribió un sólo número en su pizarra ante la perplejidad del profesor. Como podéis suponer Gauss fue el único que dio la respuesta correcta. Por lo que el profesor le regaló un libro de aritmética que Gauss leyó (y corrigió) rápidamente.

A lo largo de la historia ha habido varios niños prodigio en matemáticas pero la mayoría se limitaban a una gran capacidad de cálculo, sin embargo, Gauss iba mas allá, alcanzando elevadas cotas de razonamiento, invención e innovación.

Gauss estudió Matemáticas y llegó a ser catedrático de Matemáticas de Kazán, catedrático de Astronomía de Gotinga. Se interesó e hizo descubrimientos en casi todas las ramas de las Matemáticas.

EINSTEIN

0a1Su madre observó alarmada a su hijo, su cabeza era tan grande y angulosa que creyó que era deforme. Más tarde, la lentitud con que aquel chico callado y gordo aprendió a hablar le hizo pensar que era retrasado mental. Al crecer también creció el orgullo que su madre sentía por él y la ambición por su futuro.

El dormitorio de Einstein parecía la celda de un monje. No había en él cuadros ni alfombras…

Se afeitaba sin muchos miramientos, con jabón de fregar. En casa solía ir descalzo. Tan sólo cada dos o tres meses dejaba que Elsa (su esposa) le descargara un poco la pelambrera… Pocas veces encontraba necesaria la ropa interior. También dejó de lado los pijamas, y mas tarde los calcetines. “¿para qué sirven?”, solía preguntar, “no producen más que agujeros”. Elsa llegó a perder la paciencia un día en que lo pilló cortando de codo abajo las mangas de una camisa nueva. Su explicación fue que los puños requieren botones o gemelos y es necesario lavarlos con frecuencia, total, una pérdida de tiempo. “Toda posesión” decía Einstein “es una piedra atada al tobillo”.

STEPHEN HAWKING

0a1Quizá sea una de esas extrañas coincidencias de la suerte que el 8 de enero de 1942 fuera a la vez el tricentenario de la muerte de una de la mayores figuras intelectuales de la historia, el científico italiano Galileo Galilei, y el día que Stephen William Hawking nació a un mundo desgarrado por la guerra y la contienda global. Pero, como señala el propio Hawking: “alrededor de otros doscientos mil bebés nacieron aquel mismo día, de modo que quizá, después de todo, no sea una coincidencia tan sorprendente”.

La imagen de Stephen es la del estudiante y empollón, con su uniforme gris de la escuela y su gorra. Era excéntrico y desmañado, delgado e insignificante. Su uniforme escolar siempre parecía estar hecho un lío y, según sus amigos, farfullaba antes que hablar claramente, era ese tipo de chico presente en todas las escuelas, un objeto de diversión para toda la clase, incordiado y en ocasiones intimado por los demás, respetado en secreto por algunos ,evitado por la mayoría. Parece que en la escuela sus talentos fueron objeto de ciertas discusiones: cuando tenía doce años, uno de sus amigos apostó a ser nada. Como el propio Hawking dice ahora modestamente: “ignoro si esta apuesta fue pagada alguna vez ,y si lo fue, en qué sentido lo fue”.
En el tercer año, Stephen era considerado por sus maestros como un buen estudiante, pero sólo un poco por encima de la media en la clase superior de este año.

Stephen W. Hawking ocupa actualmente la cátedra Lucasian matemáticas de la Universidad de Cambridge, desempeñada en otro tiempo por Newton.
Considerado el mayor genio del siglo XX después de Einstein, es ya una leyenda por su coraje frente a su enfermedad terrible que desde hace 25 años ha ido destruyendo inexorablemente su cuerpo, confinándolo a una silla de ruedas y privándolo de la capacidad de hablar. pero su cerebro, indemne, no ha dejado de escrutar el sentido del universo: por qué es, y por qué existe.


La injusticia de los podium

Hace ya unos años la revista Británica The Guardian, publicó una lista de lo que serían, para el autor de dicho artículo, los diez mejores matemáticos de la historia. 

Empecemos por aclarar que Alex Bellos, el autor del artículo original, basa su lista en: “Genios matemáticos, cuyos aportes revolucionaron nuestro mundo”.

Hacer una lista de los mejores, no solo en el ámbito de las matemáticas sino en cualquier tema, lleva a controversia, pues cada quien tiene sus opiniones y sus veredictos, cada quien conoce matemáticos que han logrado un impacto tremendo en ciertas ramas, que quizás no estén en esta lista. 


Pitágoras

Pitágoras es considerado como el primer matemático, célebre por el famoso teorema que lleva su nombre: el teorema de Pitágoras

pitaC^2=A^2+B^2

Una de los hechos mas reconocidos acerca de Pitágoras, fue de su “secta” llamada los pitagóricos. Algunos resultados matemáticos que se le atribuyen a Pitágoras son:

  1. La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos veces un ángulo recto, dicho de otra forma, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. Ellos también conocían una generalización a este teorema, el cual establece que la suma de los ángulos internos de un polígono de n-lados es igual a 2n-4 veces un ángulo recto, además la suma de los ángulos externos es igual a 2n-4 veces cuatro ángulos rectos.
  2. El teorema de Pitágoras.
  3. Construcción de figuras de un área dada y álgebra geométrica.
  4. Los irracionales. Como había indicado, los Pitagóricos, y Pitágoras, creían que todo estaba hecho de números, ya sean enteros, o la razón de dos enteros. Sin embargo, ellos mismos fueron consientes de la imposibilidad de representar ciertos números como razón de dos enteros, como lo es el número \sqrt{2}.
  5. Los cinco sólidos regulares. De hecho, se cree que Pitágoras sabía como construir los primeros tres.
  6. Pitágoras creía que la tierra era una esfera que se encontraba en el centro del universo, además, sabía que la órbita de la luna estaba un poco inclinada con respecto al ecuador.

Hypatia

Considerada como la primer mujer en hacer una contribución a las matemáticas, a pesar de no existir evidencia de haber producido resultados propios. Por su parte, asistió a su padre, Theon, en la escritura de la onceaba parte de el libro Almagesto de Ptolomeo. También ayudó a su padre en la producción de una nueva versión de el libro de Euclides, Los Elementos.

Hypatia, además, comentó el libro Aritmética de Diofanto, Cónicas de Apolonio y los trabajos en astronomía de Ptolomeo.

Los trabajos de Hypatia están perdidos, sin embargo, existen referencias a ella, además de algunas cartas que envió a Sinesio de Cirene.


Girolamo Cardano

Nacido el 27 de septiembre de 1501 en Italia, es sin lugar a dudas, uno de los matemáticos mas admirables. Muy reconocido por su trabajo en las ecuaciones cúbicas y cuárticas.

Cardano fue uno de los primeros matemáticos en trabajar con números complejos, a pesar de no comprender del todo su naturaleza. En Ars Magna, al resolver una ecuación cúbica él escribió

Dismissing mental tortures, and multiplying 5+\sqrt{-15} by 5-\sqrt{-15}, we obtain 25-(-15). Therefore the product is 40. …. and thus far does arithmetical subtlety go, of which this, the extreme, is, as I have said, so subtle that it is useless.

El texto nombrado (Ars Magna) contiene los métodos dados por Cardano para solucionar las ecuaciones de grado tres y cuatro.

Muy conocida (creo) es la disputa entre Cardano y Tartaglia, acá puedes ver de qué trató todo esto.


Leonhard Euler

Un peso pesado. Uno de los matemáticos más prolíficos de toda la historia, altamente reconocido por la constante de Euler y por la fórmula de Euler

euler

De Euler, en teoría de números, conocemos la función Phi, sin embargo, él también trabajó en el área de geometría. De hecho, parte de su trabajo fue base para el posterior desarrollo de la Característica de Euler para poliedros.

carac

Otro aporte que nos dio fue una teoría completa acerca de los logaritmos complejos, el cual publicó en el año 1751. Además de trabajar con ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias. Descubrió las ecuaciones de Cauchy-Riemann y además, encontró una conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos

zeta

De hecho, dio una fórmula para evaluar la función zeta de Riemann en los números pares, fórmula que usa los números de Bernoulli.


Johann Carl Friedrich Gauss

El príncipe de las matemáticas. Fue Gauss quien, por primera vez, dio una demostración correcta de la ley de reciprocidad cuadrática, además de dar la primera demostración rigurosa del teorema fundamental del Álgebra. Uno de los resultados más conocidos, que de hecho llevan su nombre, es el Lema de Gauss, el cual es un criterio de irreducibilidad para polinomios sobre dominios de factorización única.

En el marco de teoría de números, lo más reconocido fue su escrito Disquisitiones arithmeticae, libro en el cual recoge resultados obtenidos por varios matemáticos posteriores a él, además de algunos aportes propios.

Con fama de ser un niño prodigio, la anécdota más recordada viene edad de siete años: el profesor les puso a sumar todos los números desde uno hasta 100, resolviéndolo muy rápidamente, gracias a una genial observación, observación que se puede resumir en

gauss

Existen otras anécdotas acerca de Gauss: En 1800 Gauss se interesó en la existencia de geometría no euclidea. Algunos de los matemáticos con los cuales discutió tal hecho, fue con Farkas Bolyai. En 1831, Farkas envió una carta a Gauss en el cual le mostraba el trabajo de su hijo János Bolyai. La respuesta de Gauss fue

… alabarlo sería alabarme a mí mismo.

Una década después, Gauss fue informado acerca del trabajo de Lobachevsky acerca del tema, tiempo después, en una carta a Schumacher en 1846, Gauss afirmó

he tenido la misma convicción por 54 años.

Es decir, desde que tenía 15 años de edad. Sin querer dudar de las capacidades de Gauss, es poco creíble.

Aún así, Gauss fue un gran matemático, y su puesto en esta lista está bien merecido.


Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Mejor conocido como Georg Cantor. Matemático Ruso, nacido en San Petersburgo. Hablar de Cantor, es hablar del infinito, pues es esto lo que más resalta de él. En el blog Gaussianos, se encuentran muchas historias acerca de él y del infinito (Enlace).

En el año 1873 Cantor demostró, nada mas y nada menos, que los números racionales son contables, es decir, están en correspondencia uno a uno con los números naturales. Además, mostró que los números algebraicos, aquellos que son raíces de polinomios con coeficientes enteros, también son contables.

En diciembre de 1873, Georg Cantor probó que los números reales no son contables. Dejando así la sensación de que casi todos los números son trascendentes, ¿en qué sentido? Un número trascendente es un número irracional que no es raíz de un polinomio de coeficientes reales, al haber demostrado que los números algebraicos son contables, y los reales no lo son, se da la sensación de que casi todos los números son trascendentes, pues al escoger un número de manera aleatoria, es más probable que caiga en un real no algebraico. En otras palabras, hay “más” trascendentes que algebraicos

En 1877 Georg Cantor escribió a Dedeking, dando una demostración acerca de una correspondencia uno a uno entre el intervalo [0,1] y puntos en un espacio p-dimensional. En la misma nota, Cantor escribió

Lo veo, ¡pero no lo creo!

Otros resultados obtenidos por Cantor, fue la demostración de la unicidad de la representación de una función como serie de funciones trigonométricas, problema que había sido tratado por varios matemáticos sin lograr un resultado positivo. Así, en 1872, Cantor publicó su artículo sobre series trigonométricas, en el cual definió los números irracionales en términos de sucesiones convergente de números racionales.

Hilbert describió el trabajo de Cantor como “… el producto más fino de un genio matemático y uno de los logros supremos de la pureza de la actividad humana a nivel intelectual”


Paul Erdős

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John Horton Conway

Matemático nacido en Liverpool, Inglaterra. Conocido a nivel mundial por su juego “Game of the Life“. Dicho juego se caracteriza por ser muy sencillo, pero capaz de dar resultados sorprendentes.

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También a aportado a otras ramas de las matemáticas. Por ejemplo, en teoría de números, John demostró la conjetura de Edward Waring, la cual asegura que todos números enteros se pueden escribir como la suma de 37 potencias de números números enteros.

Son muchas las ramas de las matemáticas a las cuales ha aportado, haciendo de John Conway un matemático polifacético, tanto así que hasta ha aportado a la física teórica.


Grigori Yakovlevich Perelman

El genio detrás de la conjetura de Poincaré. Con un pasado brillante, casi que hecho para ser un gran matemático, sorprendió a todos resolviendo uno de los problemas del milenio, y volvió a sorprender rechazando la medalla Field y un millón de dolares.

Este matemático ruso, aprendió desde muy pequeño a tocar violín gracias a la iniciativa de Lubov Lvovna, la madre de “Grisha”, como le llamaban cuando pequeño. Su padre Yakov Perelman, tuvo más influencia en la resolución de problemas. Grigori se refirió a su padre, diciendo

Él me dio problemas de lógica y otros problemas de matemáticas para que yo pensara acerca de ellos. Él me dio muchos libros para leer. Él me enseñó como jugar ajedrez. Él esta orgulloso de mi.

La madre de Grigori, profesora de matemáticas, también cultivó sus conocimientos de matemáticas, siendo, a la edad de diez años, parte de las competiciones matemáticas del distrito, mostrando gran talento.

A lo largo de su biografía se puede ver muchos éxitos, problemas resueltos y otras conjeturas que logró resolver. Pero fue alrededor de 1996, cuando él leyó un artículo de Hamilton acerca de la conjetura de Poincaré, que empezó su interés por este problema. Grigori, al ver que Hamilton no había progresado en el problema, envió una carta ofreciendo su ayuda. Al no recibir respuesta alguna por parte de él, Grigori decidió resolver la conjetura de Poincaré solo… y lo logró.


Terence Chi-Shen Tao

Más conocido como Terence Tao, o Terry Tao. Otro personaje con un pasado asombroso. Como todo un niño prodigio, a la edad de dos años ya se hizo ver como una persona distinta, al ser visto por sus padres como le enseñaba a niños de cinco años como sumar y deletrear números. Cuando le preguntaron donde aprendió eso, dijo que del programa televisivo Sesame Street, conocido en latino-américa como Plaza Sésamo y en España como Barrio Sésamo.

Ya a la edad de diez años, empezó a participar en las olimpiadas internacionales de matemáticas. En el año 1986 ganó medalla de bronze, en 1987 medalla de plata, finalmente, en el año 1988, una medalla de oro, convirtiéndose en el ganador de medalla de oro más joven en la historia. Son varias los logros que ha logrado Terence Tao en su pre-adolescencia.

En 2004, Terence, de la mano de Ben Green, publicaron un artículo, a modo de borrador, en el cual demostraban que los números primos contenían progresiones aritméticas de cualquier longitud. Por ejemplo, los números tres, cinco y siete, están en una sucesión aritmética de longitud tres, cuya separación es dos; el teorema de Terence y Green, demuestra que también hay una sucesión de longitud cuatro, de longitud cinco, y en general de cualquier longitud, donde todos los términos son números primos.

Este además de otros aportes a las matemáticas, le hicieron merecedor de la medalla Fields en 2006.


PITÁGORAS, LOS NÚMEROS, LA GEOMETRÍA Y EL ESOTERISMO. 

Es indudable que existen individuos dotados de mayor sensibilidad para intuir lo bello y establecer así, las normas o cánones de belleza, lo mismo en un pensamiento que en las matemáticas, en la música o en cualquiera de las artes. Uno de estos prohombres fue Pitágoras.  Él concebía la Creación como un ordenamiento basado en los números y la geometría y afirmó que la esencia de todas las cosas era el número, es decir el  orden mensurable y como gran filósofo y matemático que fue, trato de adaptar el conocimiento a los números. De su geometría y de sus matemáticas, se deriva la fórmula intrínseca de la proporción, componente elemental de la belleza.

0a1         Pitágoras (c.582-497 A.C.) incluido entre los siete sabios de Grecia,  ejemplifica con su legado filosófico y científico el esplendor de la antigua Hélade. De origen jonio, nació en la isla de Samos aproximadamente en el año 582 antes de Cristo. A los veinte años de edad, había conocido a Tales y Anaximandro en Mileto, pero habiendo oído hablar del saber prodigioso de los sacerdotes egipcios y de sus misterios formidables, decidió partir para Egipto con el objetivo de hacerse iniciar por los sacerdotes de Memphis, en los tiempos del faraón Amasis . Allí pudo profundizar las matemáticas sagradas, la ciencia de los números o de los principios universales, que fue el centro  de su sistema filosófico y que después formuló de manera nueva. “La ciencia de los números y el arte de la voluntad son las dos claves de la magia, decían los sacerdotes de Memphis; ellas abren todas las puertas del universo” 4 

     Su iniciación duró veintidós años bajo el pontificado del sumo sacerdote Sonchis. Luego vino la invasión y conquista de Egipto por Cambises, rey de los persas y los medos, e hijo de Ciro el Grande, al que sucedió en el trono entre  528 y 522 a. C. Déspota y cruel, Cambises después de decapitar a miles de egipcios, destierra a Pitágoras a Babilonia junto con una parte del sacerdocio egipcio. Aquí tiene contacto con los herederos de Zoroastro y con los sacerdotes de tres religiones diferentes: la caldea, la persa  y la judía lo que le permite a Pitágoras ensanchar su horizonte filosófico y científico. Después de esto, sabía mas que cualquiera de sus contemporáneos griegos. Había podido comparar las ventajas e inconvenientes del monoteísmo judío, del politeísmo griego, del trinitarismo indio y del dualismo persa. Sabía que todas esas religiones eran rayos de una misma verdad. Después de doce años de internamiento en Babilonia, tenía la clave del conocimiento esotérico, es decir, la síntesis de todas esas doctrinas. Era pues tiempo de volver a Grecia después de treinta y cuatro años, a cumplir su misión. 4 

    Pitágoras se dirige a Delfos, localizada al pie del monte Parnaso. Aquí se encontraba el templo de Apolo, famoso por sus oráculos que emitía por mediación de la pitia o pitonisa.  En este templo Pitágoras transmitió sus conocimientos y preparó a los sacerdotes y a la gran pitonisa Teoclea enseñándoles los secretos de su doctrina. Después de un año entero, el maestro partió hacia Crotona, ciudad localizada al sur de Italia, en Calabria. En los tiempos de Pitágoras, el sur de Italia, incluyendo la isla de Sicilia, eran ocupadas por colonias griegas. Allí fundó una escuela de filosofía esotérica que sería conocida como la secta pitagórica;  Pitágoras llamaba matemáticos a sus discípulos  porque su enseñanza superior comenzaba por la doctrina de los números. El  NUMERO no se consideraba solo como una cantidad abstracta, sino como la virtud intrínseca  y activa del UNO supremo que es Dios. La Unidad que contiene al Infinito.

 Según Edouard Schure,4 “En  las matemáticas trascendentes se demuestra algebraicamente que  cero multiplicado por infinito es igual a uno. Cero, en el orden de las ideas absolutas significa el Ser indeterminado. El infinito, lo eterno, en el lenguaje de los templos se simbolizaba por un círculo o por una serpiente que se muerde la cola, que significa el infinito, moviéndose a sí mismo. Y, desde el momento que el Infinito se determina, produce todos los números que en su grande  unidad contiene, y que gobierna en una perfecta armonía.”

 Un oráculo de Zoroastro dice:  “El número tres reina en el universo, y la mónada (uno, único, unidad)  es su principio”. 

La  Mónada representa la esencia de Dios. Para Pitágoras  el mundo real es triple y regido por la Tríada o Ley del ternario.

 El universo está formado por tres esferas concéntricas: el mundo natural, el mundo humano y el mundo divino.

 De igual  modo, el hombre se compone de tres elementos distintos pero fundidos uno en otro: cuerpo, alma y espíritu. Este es el intelecto otorgado por Dios y estrechamente unido al alma.

El mundo divino, representado por Dios, también es una trinidad: Padre, Hijo y Espíritu Santo. “Tres personas distintas y un solo Dios verdadero” para la religión cristiana. El culto trinitario de la India está representado por Brahama, Vishnú y Siva. 

En el mundo natural  podremos aplicar, como veremos más adelante, la ley de los tercios a todos los cuerpos armoniosamente proporcionados.

Las tres esferas del Universo representadas por el  mundo natural, el mundo humano y el mundo divino, resumidos en la Mónada, constituyen la “Tétrada  sagrada”. 

Pitágoras además de la enseñanza de las matemáticas puras, iba mucho más lejos con el significado de los números 5  y decía que los principios esenciales están contenidos en los cuatro primeros números: 1, 2, 3 y 4, porque adicionándolos o multiplicándolos se encuentran todos los demás. El número 1, “unidad” representa a Dios; el 2 y su cuadrado (22) a la mujer y el 3 al hombre, el elemento del 3 es el agua y su figura geométrica correspondiente es el triángulo.  El 4 cuya figura geométrica es el cuadrado, es considerado como el número cósmico y número de la armonía por ser el cuadrado de 2 (22  = 2 x 2 = 4); el 2 (principio maternal) se ensancha hacia los cuatro costados del Cosmos ( puntos cardinales), y son las cuatro estaciones del año la expresión de la madre tierra. También son los cuatro elementos eternos que componen el Universo de Empédocles (c.490 a.C): aire, fuego, agua y tierra. El cristianismo lo adopta en sus cuatro evangelistas y desde tiempos remotos los templos y los altares se han construido sobre plantas cuadradas o cuadrados oblongos (más largos que anchos). El cubo, en tanto que poliedro de seis caras cuadradas es otro de los cinco sólidos platónicos y en la filosofía platónica representa  a la tierra.  El 5 según Pitágoras, es el número perfecto del microcosmos hombre; el 5 en tanto que suma de los elementos femenino (2) y masculino (3)  era símbolo del matrimonio y de la síntesis;  es el número de los dedos de la mano y el pie y  de los 5 sentidos. Su figura geométrica es el pentágono formado por tres triángulos del cual se deriva el pentagrama o estrella de 5 puntas; Pitágoras y los pitagóricos, adoptaron este símbolo como identificación de su secta y significaba para ellos la salud y el conocimiento; es una figura geométrica rica en secciones doradas (f).  El pentágono junto con el triángulo equilátero y el cuadrado (polígonos simples) forman la base de los 5 sólidos platónicos (polígonos regulares de tres dimensiones) : tetraedro (cuatro caras), octaedro (ocho caras), icosaedro (veinte caras), exaedro (seis caras) y duodecaedro (doce caras). Los tres primeros están basados en el triángulo, el exaedro en el cuadrado y el duodecaedro en el pentágono. Todos estos polígonos están saturados de secciones doradas. La escuela pitagórica influenció a Platón y este trató de explicar la composición del mundo en base al simbolismo de los polígonos. Este conocimiento, y toda la geometría helénica, fueron  compendiados en el libro XIII de la obra de Euclides “Los Elementos”. 

Siguiendo con los números, la adición de los cuatro primeros números da como resultado el número diez: 1+ 2 + 3 + 4 = 10. Esta suma era conocido entre los pitagóricos como Tetractis. Esta es una palabra griega que significa literalmente “número cuatro”, sinonimia de quaternión (cuaternario) la cual se aplicaba a un símbolo de Pitágoras que se compone de diez puntos distribuidos en forma triangular. La figura en conjunto era en sí, el emblema Tetragrama o nombre sagrado de cuatro letras,  en este caso cada lado del triángulo está formado por cuatro puntos. Es posible que Pitágoras lo haya aprendido en su estancia en Babilonia. Las partes que lo componen, eran también símbolos fecundos, por cuya razón, el punto vértice era el símbolo del principio creador; los dos puntos que siguen hacia abajo representan el principio de la materia (también a la mujer); los tres puntos que le siguen, el mundo que precede de su unión (también al hombre); y los cuatro últimos el de las artes liberales y las ciencias que completan y perfeccionan el mundo.  Pitágoras explicaba que la palabra Tetractys, significa en realidad, la fuente de la naturaleza que se mueve perpetuamente. La pirámide que es la primera figura sólida, se encuentra en el cuaternario o  tetractys, símbolo universal de lainmortalidad”6. Los egipcios construyeron sus pirámides para enterrar a sus faraones y propiciar su inmortalidad en el otro mundo. Curiosamente, la unidad monetaria del actual sistema económico mundial, el dólar, lleva  la pirámide y en su vértice el ojo “divino”. Es significativa también, la inscripción en latín: novus ordo seclorum, ( nuevo orden para los siglos).

 Como pudimos apreciar, de la suma de los cuatro primeros números resulta el diez; este es el número perfecto por excelencia, puesto que representa todos los principios de la divinidad evolucionados y reunidos en una nueva unidad. El número 7 (siete), siendo el compuesto de 3 y 4, significa la unión de la tríada humana con la  sagrada. El 7 es el número de los adeptos y de los grandes iniciados. Hay siete notas musicales, son siete los días de la semana; siete por cuatro son 28 y estos son los días de un mes lunar. Siete son los colores del arco iris, o lo que es lo mismo, representa la composición física de la luz  refractada a través de las gotas de lluvia, igual que sucede cuando la luz pasa a través del prisma inventado por Newton. 

Además de la  iniciación filosófica, Pitágoras trajo consigo desde Babilonia y Egipto, los conocimientos geométricos que le hicieron famoso. Especial mención requieren el triángulo y el  cuadrado ( donde aparecen otra vez los números 3 y 4 de sus respectivos lados).

 Para los esotéricos, el Triángulo Equilátero representa a Dios, o la armonía. Entre los fracmasones tiene un extenso campo de significados: la fuerza, la belleza y la sabiduría de Dios; los reinos mineral, vegetal y animal; las tres fases de la evolución del hombre separatio, fermentatio y putrefactio (el nacimiento, la madurez y la muerte); la mesura en el hablar, el pensar y el actuar. Para los cristianos es el símbolo de la Trinidad (padre, hijo y espíritu santo) combinado con un ojo o una mano dentro del triángulo.5  

El triángulo rectángulo de proporciones armónicas 3, 4 y 5 entre sus lados, dio origen al famoso teorema que lleva el nombre de Pitágoras y que dice: “La suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el ángulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el lado mayor que une a los catetos)”. La importancia de este teorema radica en que su uso permite calcular las superficies o los volúmenes, tan importante para los babilonios y los egipcios que lo utilizaron en la medición de las tierras de cultivo en las márgenes de sus ríos y en sus fastuosas construcciones. Recuérdense las pirámides de Egipto, diseñadas bajo estricta geometría y seguramente motivadas  con una mezcla de sentimiento religioso y conocimiento astrológico.

 Los lados de las pirámides egipcias, al igual que las aztecas y mayas, están dirigidas a los cuatro puntos cardinales. Aunque coincidentales, es difícil suponer una comunicación entre los dos pueblos, separados en el tiempo y el espacio terreno. Sin  embargo sus construcciones  nos demuestran que, al igual que la mayoría de las antiguas culturas, los constructores eran poseedores del saber geométrico y astronómico elementales, adquiridos seguramente por la observación de los fenómenos naturales, cuyo análisis les permitía conocer el cambio de las estaciones y aplicarlas a la agricultura y a la medición del tiempo. Cuando no podían explicarse un fenómeno, para ellos  incomprensible, tuvieron que recurrir a la imaginación de un Creador Supremo, es decir, tuvieron que “inventar” a  sus dioses. 

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David Hilbert

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David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental14 de febrero de1943, Göttingen, Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional.
Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática.
Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.
En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teoría general de la relatividad, David Hilbert se adelantó a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse el mérito.
VIDA

Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Kaliningrado, Rusia). Se graduó en el liceo de su ciudad natal y se matriculó en la Universidad de Königsberg(“Albertina”). Obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (“Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares”). Hermann Minkowskicoincidió con Hilbert en la misma universidad y momento como doctorando, y llegaron a ser amigos íntimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recíproca en varios momentos de sus carreras científicas.
Hilbert permaneció como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de Göttingen, que en aquél momento era el mejor centro de investigación matemática en el mundo, donde permanecería el resto de su vida.

EL TEOREMA DE FINITUD

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le llevó en 1888 a la demostración en su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado elteorema de la finitud de generadores para formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este método a funciones con más de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el Teorema de la Base de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes de cuánticas en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algorítmica sino mediante un teorema de existencia.
Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen. Gordan, el experto en teoría de invariantes para la Mathematische Annalen, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue:

Esto es teología, ¡no matemática!

Klein, por otro lado, reconoció la importancia del trabajo y se aseguró de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Tras leer el manuscrito, Klein le escribió, diciendo:

Sin duda éste es el trabajo más importante en álgebra general que los Annalen han publicado nunca.

Más adelante, cuando la utilidad del método de Hilbert había sido reconocida universalmente, el propio Gordan diría:

He de admitir que incluso la teología tiene sus méritos.
AXIOMATIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA
Artículo principal: Axiomas de Hilbert

El texto Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría) que Hilbert publicó en1899 sustituye los axiomas de Euclides tradicionales por un conjunto formal de 21axiomas. Evitan las debilidades identificadas en los de Euclides, cuyos trabajos seguían siendo usados como libro de texto en aquél momento. El estudiante estadounidense de 19 años Robert Lee Moore publicó de forma independiente y contemporánea un conjunto equivalente de axiomas. Algunos de ellos coinciden, mientras que algunos de los axiomas del sistema de Moore son teoremas en el de Hilbert, y viceversa.
El enfoque de Hilbert marcó el cambio al sistema axiomático moderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometría puede tratar de cosas, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado explícito a los conceptos indefinidos. Como dice Hilbert, los elementos tales como el punto, la recta, el plano y otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute son sus relaciones definidas.
Hilbert comienza enumerando los conceptos sin definición: punto, recta, plano, incidencia (una relación entre puntos y planos), estar entre, congruencia de pares de puntos y congruencia de ángulos. Los axiomas unifican la geometría plana y la sólida de Euclides en un único sistema.

LOS 23 PROBLEMAS
Artículo principal: Problemas de Hilbert

Hilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Se reconoce de forma general que ésta es la recopilación de problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida nunca por un único matemático.
Tras reescribir los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podía haberlo extrapolado al resto de las matemáticas. Este enfoque difiere, sin embargo, de los posteriores ‘fundacionalista’ Russel-Whitehead o el ‘enciclopedista’ Nicolas Bourbaki, y de su contemporáneo Giuseppe Peano. La comunidad matemática al completo podría embarcarse en problemas que él identificó como aspectos cruciales en las áreas de la matemática que él considero como claves.
Lanzó el conjunto de problemas en la conferencia “Los problemas de la matemática” presentada durante el curso del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Ésta es la introducción a la conferencia de Hilbert:

¿Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cual será el objetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?

Presentó menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas. Extendió el panorama en una publicación posterior, y con ella llegó la formulación canónica actual de los 23 Problemas de Hilbert. El texto al completo es importante, dado que la exégesis de las cuestiones puede seguir siendo materia de debate inevitable, cada vez que se preguntan cuántas han sido resueltas.
Aquí están los 23 problemas

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.
8. El problema de la distribución de los números primos.
9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.
21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.

Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo XX, y actualmente se ha llegado a la conclusión de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continúan siendo actualmente un reto para los matemáticos.

FORMALISMO

Siguiendo la tendencia que se había convertido en estándar a mitad de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert también constituía una especie de manifiesto, que abrió la vía para el desarrollo de la escuela formalista, una de las tres escuelas matemáticas más importantes del siglo XX. De acuerdo al formalismo, la matemática es un juego carente de significado en el que uno juega con símbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. Por tanto es una actividad de pensamiento autónoma. Sin embargo, hay margen para la duda al respecto de si la propia visión de Hilbert era simplistamente formalista en este sentido.

EL PROGRAMA DE HILBERT
Artículo principal: Programa de Hilbert

En 1920 propuso de forma explícita un proyecto de investigación (en metamatemática, como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas. Creía que, en principio, esto podía lograrse, mostrando que:

  1. toda la matemática se sigue de un sistema finito de axiomas escogidos correctamente; y
  2. que tal sistema axiomático se puede probar consistente.

Parecía tener razones técnicas y filosóficas para formular esta propuesta. Esto afirmaba su disgusto por lo que se había dado a conocer como ignorabimus, que aún era un problema activo en su tiempo dentro del pensamiento alemán, y que podía rastrearse en esa formulación hasta Emil du Bois-Reymond.
El programa sigue siendo reconocible en la filosofía de la matemática más popular, donde se le llama normalmente formalismo. Por ejemplo, el grupo Bourbaki adoptó una versión selectiva y diluida como adecuada para los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir trabajos fundamentales enciclopédicos, y (b) dar soporte al sistema axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha tenido éxito e influencia en relación con el trabajo de Hilbert en el álgebra y el análisis funcional, pero no ha conseguido cuajar igual con sus intereses en física y lógica.

El trabajo de Gödel

Hilbert y los matemáticos de talento que trabajaron con él en esta empresa estaban dedicados al proyecto. Su intento de dar soporte a la matemática axiomatizada con principios definidos, que eliminaría las incertidumbres teóricas, iba sin embargo a acabar en derrota.
Gödel demostró que no se podía demostrar la completitud de ningún sistema formal no contradictorio que fuera suficientemente amplio para incluir al menos la aritmética, sólo mediante sus propios axiomas. En 1931 su teorema de la incompletitud mostró que el ambicioso plan de Hilbert era imposible tal como se planteaba. El segundo requisito no podía combinarse con el primero de forma razonable, mientras el sistema axiomático sea genuinamente finitario.
Sin embargo, el teorema de completitud no dice nada al respecto de la demostración de la completitud de la matemática mediante un sistema formal diferente. Los logros posteriores de la teoría de la demostración como mínimo clarificaron la relación de la consistencia con las teorías de interés principal para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había empezado lógico en su camino a la clarificación; la necesidad de entender el trabajo de Gödel llevó entonces al desarrollo de la teoría de la recursividad y después de la lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930-1940. De este ‘debate’ nació directamente la base para la informática teórica de Alonzo Church y Alan Turing.

LA ESCUELA DE GÖTTINGEN

Entre los estudiantes de Hilbert se encontron Hermann Weyl, el campeón de ajedrezEmanuel Lasker, Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John von Neumann fue asistente suyo. En la Universidad de Göttingen, Hilbert se encontró rodeado por un círculo social constituido por algunos de los matemáticos más importantes del siglo XX, como Emmy Noether y Alonzo Church.

ANÁLISIS FUNCIONAL

Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecuaciones diferenciales e integrales; su trabajo tuvo consecuencias directas en partes importantes el análisis funcional moderno. Para poder llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de unespacio euclídeo de infinitas dimensiones, llamado más tarde espacio de Hilbert. Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó la base de importantes contribuciones a la matemática de la física en las dos décadas siguientes, aunque en direcciones que por entonces no se podían anticipar. Más tarde, Stefan Banach amplificó el concepto, definiendo los espacios de Banach. El espacio de Hilbert es por sí misma la idea más importante del análisis funcional, que creció a su alrededor durante el siglo XX.

FÍSICA

Hasta 1912, Hilbert fue de forma casi exclusiva un matemático “puro”. Cuando planeaba hacer una visita a Bonn, donde estaba inmerso en el estudio de la física, su amigo y colega matemático Hermann Minkowski hacía chistes diciendo que tenía que pasar 10 días en cuarentena antes de poder visitar a Hilbert. En realidad, Minkowski parece ser responsable de la mayoría de investigaciones de Hilbert en física anteriores a 1912, incluido su seminario conjunto sobre el tema en 1905.
En 1912, tres años tras la muerte de su amigo, cambió su objetivo hacia este tema de forma casi exclusiva. Arregló que se le asignara un “tutor en física”.2 Empezó estudiando la teoría cinética de los gases y pasó luego a la teoría elemental de radiación y a la teoría molecular de la materia. Incluso tras el estallido de la guerra en 1914, continuó celebrando seminarios y clases donde se seguían de cerca los trabajos de Einstein entre otros.
Hilbert invitó a Einstein a Göttingen para que impartiera una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su teoría de la gravedad en desarrollo (Sauer 1999, Folsing 1998). El intercambio de ideas llevó a la forma final de las ecuaciones de campo de la Relatividad General, en concreto las ecuaciones de campo de Einstein y la acción de Einstein-Hilbert. Aunque Einstein y Hilbert no llegaron nunca a enzarzarse en una disputa pública sobre prioridad, ha habido algo de discusión sobre el descubrimiento de las ecuaciones de campo.
Además, el trabajo de Hilbert anticipó y asistió a varios avances en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Su trabajo fue clave para el de Hermann Weyl yJohn von Neumann sobre la equivalencia matemática de la mecánica de matrices deWerner Heisenberg y la ecuación de onda de Erwin Schrödinger, y su espacio de Hilbertjuega un papel importante en la teoría cuántica. En 1926, von Neumann mostró que si los estados atómicos se entendiesen como vectores en el espacio de Hilbert, entonces se corresponderían tanto con la teoría de función de onda de Schrödinger como con las matrices de Heisenberg.
Mediante esta inmersión en la física, trabajó en darle rigor a la matemática que la sostiene. Aunque es muy dependiente de la matemática avanzada, el físico tiende a ser “descuidado” con ella. Para un matemático “puro” como Hilbert, esto era “feo” y difícil de entender. Al empezar a comprender la física y la manera en que los físicos usaban la matemática, desarrolló una teoría matemáticamente coherente para lo que encontró, principalmente en el área de las ecuaciones integrales. Cuando su colega Richard Courant escribió el clásico Métodos de física matemática incluyó algunas ideas de Hilbert, y añadió su nombre como coautor incluso aunque Hilbert no llegó a contribuir al escrito. Hilbert dijo que “la física es demasiado dura para los físicos”, implicando que la matemática necesaria estaba lejos de su alcance por lo general; el libro de Courant-Hilbert les facilitó las cosas.

TEORÍA DE NÚMEROS

Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897Zahlbericht (literalmente, “informe sobre números”). Abatió el problema de Waring en el sentido amplio. Desde entonces tuvo poco más que decir sobre el tema; pero la emergencia de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante implica que su nombre está más unido a un área importante.
Propuso una serie de conjeturas sobre la teoría de cuerpos de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribución queda patente en los nombres delcuerpo de clase de Hilbert y el símbolo de Hilbert de la teoría local de cuerpos de clases. Los resultados sobre estas conjeturas quedaron probados en su mayoría sobre 1930, tras el importante trabajo de Teiji Takagi que lo estableció como el primer matemático japonés de nivel internacional.
Hilbert no trabajó en las áreas principales de la teoría analítica de números, pero su nombre quedó unido a la conjetura de Hilbert-Pólya, por razones anecdóticas.

CHARLAS, ENSAYOS Y CONTRIBUCIONES MISCELÁNEAS

Su paradoja del Grand Hotel, una meditación sobre las extrañas propiedades del infinito, se usa a menudo en textos populares sobre números cardinales infinitos.

ÚLTIMOS AÑOS

Hilbert vivió para ver a los nazis purgar a la mayoría de miembros facultativos sobresalientes de la Universidad de Göttingen, en 1933. [1]. Entre aquellos forzados a marcharse estuvieron Hermann Weyl, que había ocupado la cátedra de Hilbert al retirarse en 1930, Emmy Noether y Edmund Landau. Uno de los que hubo de dejar Alemania fue Paul Bernays, colaborador de Hilbert en lógica matemática y coautor con él del importante libro Grundlagen der Mathematik (que acabó presentándose en dos volúmenes, en 1934 y 1939). Ésta fue una secuela del libro de Hilbert-AckermannFundamentos de lógica teórica de 1928.
Alrededor de un año después, asistió a un banquete, y le sentaron al lado del nuevo Ministro de Educación, Bernhard Rust. Rust le preguntó, “¿Cómo va la matemática en Göttingen ahora que ha sido liberada de la influencia judía?” A lo que Hilbert contestó, “¿La matemática en Göttingen? Ya no queda nada de eso”.

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