Geometría Elemental


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1. La GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Se encarga del estudio de

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 He aquí tres conceptos que se suelen confundir: FORMA, CUERPO y FIGURA.

  •  LOS CUERPOS existen en la realidad tangible. Están conformados de materia y energía, ocupan una cantidad limitada de espacio y poseen propiedades capaces de impresionar nuestros sentidos.0a1

Una rosa es una rosa, ¡y esto que tienes aquí NO  ES UNA ROSA! Y lo descubres en cuanto echas en falta su color, su fragancia… y su textura. Sólo un rosal puede darte una rosa, ¡los demás, jamás!

  • LAS FIGURAS son representaciones planas que nosotros hacemos de los cuerpos o de alguno de sus elementos. Sólo existen en el universo mental de las idealizaciones matemáticas.

0a1Eso que ves aquí al lado NO ES UNA FIGURA, es una mancha de ‘tinta’ que evoca en ti una figura: LA CIRCUNFERENCIA. Pero hazte consciente de que tú no puedes dibujar una circunferencia, porque lo que tú dibujas cuando lo intentas es ¡siempre! una corona circular. ¡Las líneas matemáticas no tienen ‘anchura’.

  • LA FORMA es una propiedad de los cuerpos y de las figuras que los representan. Como la belleza, es una cualidad, porque no es medible. Pero se puede describir.

0a1La FORMA es un concepto difícil de atrapar. Se trata de una esencia de los cuerpos (y de las figuras que los representan) independiente del tamaño.

Es importante darse cuenta que la FORMA, como el TAMAÑO, es un propiedad ‘relacional’: se adquiere COMPARANDO los cuerpos (o las figuras) entre sí. Pero ésta, a diferencia de aquel, busca las relaciones dentro de sí, en los ‘elementos’ que la componen.

Para definir la FORMA se recurre al siguiente artificio: se crea el concepto de SEMEJANZA que permite CLASIFICAR todos los cuerpos (y las figuras) en ‘clases de equivalencia’. Cada una de esas ‘clases’ define una FORMA.

0a1Para terminar, solo nos queda dar un PROCESO para determinar cuándo dos cuerpos (o dos figuras) son SEMEJANTES. Lo son cuando existe una homotecia que transforma uno en otro. Es decir, cuando se pueden poner ‘en posición de Thales’.

      EN RESUMEN:

  • Todos los CUERPOS  (y FIGURAS que los representan) SEMEJANTES tienen la misma FORMA, aunque pueden tener distinto TAMAÑO.
  • Existen muchas formas, pero solo las GEOMÉTRICAS se pueden describir fácilmente: por eso las llamamos ‘formas geométricas’.
  • Las FORMAS GEOMÉTRICAS son idealizaciones mentales que nosotros hacemos. En la realidad, ningún cuerpo tiene EXACTAMENTE una forma geométrica, pero algunos se aproximan mucho a ellas: LOS CUERPOS (modelos) GEOMÉTRICOS.
    Ejemplos:

8.-Teorema-del-ángulo-inscrito-y-el-centroEl ángulo plano es una de las figuras más simples, pero para describirla precisamos de un lenguaje muy técnico: figura plana formada por dos semirrectas (llamadas lados) que tienen el origen (llamado vértice) en común.

En la práctica se confunde el nombre de la figura, ÁNGULO, con el de su propiedad medible: AMPLITUD ANGULAR. Pero así son las cosas, casi nunca llevamos la precisión hasta el final.

bankoffLos arcos de circunferencia son otras figuras muy interesantes. El la figura ajunta también hay muchos conceptos técnicos: ARCOS, TANGENCIAS, LÚNULAS…

  • Es la geometría descriptiva la que se encarga de generar y dar rigor a todos esos conceptos (PARALELAS, PERPENDICULARES, CARAS, VÉRTICES…) que nos permiten describir con precisión las FORMAS.

Otro ejemplo: ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR

  • 0a1Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
  • Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
  • Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
  • Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
  • Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
  • Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
  • Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
  • Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
  • Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

Uno más: ELEMENTOS DE UN PRISMA

Prisma

  • ¿Cómo describirías estas FORMAS GEOMÉTRICAS?

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  • CLASIFICAR es una actividad muy común en geometría descriptiva:

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Para SABER MÁS:

2. La GEOMETRÍA MÉTRICA

El TAMAÑO (o como diría un griego antiguo, la MAGNITUD) de un cuerpo o de una figura es algo que no se aprecia en absoluto. Es decir, el TAMAÑO es algo relativo, que los seres humanos apreciamos por COMPARACIÓN. Y aquí radica la clave y la dificultad que entraña este concepto; un concepto que, cuando se generaliza a cualquier PROPIEDAD “medible” -no solo al tamaño- de un cuerpo o de una figura, conduce al concepto de CANTIDAD (de MAGNITUD)

0a1Las cosas no son grandes o pequeñas ‘per se’. Si sólo existiese un cuerpo en todo el universo no podríamos aplicarle ninguno de esos calificativos. El tamaño de un cuerpo se pone de manifiesto cuando está ‘al lado’ de otro cuerpo, y podemos compararlos. Es, pues, una propiedad relativa que surge de la COMPARACIÓN. Es más, para que el TAMAÑO de las cosas adquiera una significación universal deberemos compararlas SIEMPRE con el mismo objeto: la UNIDAD de medida.

En efecto, si solo tenemos dos segmentos de linea recta, A y B, lo único que podemos hacer es compararlos ‘por cociente’: A/B. A esta comparación por cociente A/B los griegos la llamaron RAZÓN, y determina cuántas veces el segmento A contiene al B. Como se ve en la figura adjunta, hay tres posibles resultados:

  1. 0a1Que A sea un múltiplo de B, es decir, que A contenga a B un número exacto de veces. Entonces la razón es un número entero m.
  2. Que A y B tengan una parte alícuota, es decir, que tengan un divisor común. Entonces la razón es una fracción m/n.
  3. Que A y B sean inconmensurables, es decir, que no tengan ningún divisor común. Entonces la razón es un número irracional. 

La RAZÓN0a1 es el concepto que crea la matemática para comparar dos tamaños. Una RAZÓN es un cociente entre dos ‘tamaños’ que determina cuántas veces contiene el numerador al denominador: Vesfera/Vcilindro=2/3.

Y aquí está la clave de todo este asunto, cuando el denominador es la UNIDAD DE MEDIDA, estas razones o ‘cocientes’ se convierten en CANTIDADES.

Las CANTIDADES (por ejemplo, de LONGITUD) extienden el concepto de NÚMERO en el siguiente sentido: se pueden comparar, ordenar y ‘sumar’. Esto permite cuantificarlas o expresarlas numéricamente. Pero estos nuevos números tienen la ‘potencia del continuo’: se pueden dividir… y dividir… indefinidamente (¡el infinito actual!) Es decir, no existe un límite al proceso de la partición de forma que no existe una cantidad (por ejemplo, de longitud) mínima (el infinitésimo)

En RESUMEN:

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Que tenemos que COMPRENDER y DOMINAR:

1. ESTIMAR: Emitir juicios de valor sobre la medida de una cantidad de magnitud, sin la ayuda de instrumentos de medida, valiéndonos de conocimientos previos sobre la interiorización (mental) de unidades de medida o de referentes concretos que nos permiten establecer hipótesis, mediante conjeturas, sobre el valor aproximado de una cantidad de magnitud. 

Utilidad práctica: 

  • Se emplea en multitud de situaciones en donde hay que adoptar decisiones.
  • Se utiliza para analizar si los resultados obtenidos en la resolución de múltiples problemas o tareas son razonables o no.  

Estrategias de estimación: 

  • Visualizar la unidad que se va a usar de la estimación y repetirla mentalmente sobre el objeto a medir.  
  • Servirse de objetos iguales regularmente distribuidos a lo largo de una longitud.

2. MEDIR hace referencia al uso de instrumentos de medición.  Aparatos  que se usan para comparar magnitudes físicas mediante un proceso de medición. 

Dos características importantes de un instrumento de medida son

3. CALCULAR hace referencia a emplear FÓRMULAS o TÉCNICAS que nos permiten encontrar el valor de una cantidad conociendo el valor de otras. Ese decir:

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4. APROXIMAR: dada la precisión de los instrumentos de medida, no tiene sentido dejar el valor de una medida calculado mediante una fórmula con un número excesivo de cifras decimales que no son significativas. Por eso es preciso aproximar el valor de las medidas calculadas para dejarlo con un número significativo de decimales.   

Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida. 

Se suele aproximar por REDONDEO.Para redondear un número a un determinado orden de unidades: 

  1. Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden
  2. Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior

Para SABER MÁS:

 


Estudiemos con cierta profundidad la medida de superficies: EL CÁLCULO DE ÁREAS.


     Conceptos

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de Superficie.

0a1Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos (polígonos) se puede triangular y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos.

Ocasionalmente se usa el término “área” como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie como variedad bidimensional) y la magnitud métrica (área) asociada al concepto geométrico. Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

      Conviene diferenciar entre: 

SUPERFICIE es una variedad bidimensional del espacio n-dimensional. De forma más llana: aquello que sólo tiene longitud y anchura.

EXTENSIÓN es una propiedad de las superficies cerradas que permite compararlas unas con otras. Es, pues, medible.

ÁREA es la medida de la extensión de una superficie cerrada, y su valor depende de la unidad de medida elegida.

MEDIR es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad, para determinar cuántas veces la contiene.

     Al resultado de medir se le denomina MEDIDA.

Dos figuras son EQUIVALENTES si tienen la misma área.

      Historia de un logro:

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad.

0a1En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.

El manera de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C.

Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo, se consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.

       Unidad de medida de superficies:

Para ESTABLECER una unidad de medida hay que determinar su: 

0a1FORMA: tiene que teselar (llenar sin huecos) la superficie, en este caso (para simplificar) plana.

      Entre las muchas formas que llenan el plano escogemos la cuadrada porque queremos. 

TAMAÑO: nuestro Sistema de Medida es Métrico

      y Decimal. Es decir, se basa en el metro, por eso es natural tomar la unidad de superficie de un metro de lado.

NOMBRE: cuadrada y de un metro de lado, pues Metro Cuadrado, cuyo símbolo es m².

     El PROCESO de la medida

0a1Medir el área de una fígura es contar cuántas unidades de superficie contiene.

Pero este proceso resulta muy complicado en casi todas las ocasiones, así que vamos a deducir FÓRMULAS que nos permitan CALCULAR el área de una figura a partir de sus ‘dimensiones’

… de figuras planas cerradas.

En el plano se puede distinguir entre una infinidad de figuras que tienen formas, tamaños y posiciones particulares sobre un plano. Podemos diferenciar entre las figuras de una sola dimensión llamadas curvas y las de dos dimensiones. El término curva no se define y se usa para describir figuras en el plano.

0a1En las curvas podemos distinguir entre las curvas abiertas, las curvas cerradas, las curvas cerradas simples y las curvas cerradas no simples. Una curva es abierta si se traza de forma continua y su punto inicial es distinto de su punto final. Las curvas cerradas son aquellas que se trazan de forma continua y su punto inicial es igual a su punto final.

Una curva simple abierta es aquella que su trazado es continuo, no tiene puntos de intersección y sus puntos inicial y final son diferentes. Si una curva tiene al menos un punto de intersección decimos que es una curva no simple.

Un polígono es una curva simple cerrada compuesta por segmentos consecutivos de líneas rectas. Los segmentos de línea se llaman lados y los puntos de intersección de los segmentos se llaman vértices. Los nombres de los polígonos se asignan de acuerdo al número de lados de la figura. Un polígono de n lados se llama n-ágono.

     Estrategia: SIMPLIFICAR.

Una vez que hemos definido una Unidad de Medida (m2) y un Proceso de la Medida (contar), vamos a aplicarlo a ‘figuras simples’ 

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El proceso de CONTAR sólo es válido para figuras en las que la unidad de medida ‘encaja bien’. Es decir, en rectángulos

… y sacar conclusiones

0a1En este caso, al MEDIR la longitud de los lados CONTAMOS cuántas unidades de medida caben a lo largo y cuantas caben a lo ancho.

De donde se deduce que para calcular el área de un rectángulo basta multiplicar largura x anchura.

   La ARITMETIZACIÓN de las áreas

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A partir de aquí el proceso de CONTAR ya no es tan inmediato.

Lo mejor es cambiar de TÉCNICA y TRANSFORMAR las figuras en otras equivalentes o CONGRUENTES, siempre a un rectángulo.

Veamos como.

  Fórmulas… y más fórmulas.

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Para SABER MÁS:  ¿Y si la unidad fuera triangular?

Un logro portentoso

En geometría, la fórmula de Herón relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados ab y c:

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donde

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La fórmula de Herón se distingue de otras fórmulas para hallar el área de un triángulo, como la de la mitad de la base por la altura o la de la mitad del módulo de un producto cruz de dos lados, al no requerir ninguna elección arbitraria de un lado como base o un vértice como origen.

La fórmula se le atribuye a Herón de Alejandría, y se puede encontrar una prueba en su libro, Métrica, escrito en el 60 d.C. Se ha propuesto que Arquímedes ya sabía la fórmula dos siglos antes, y puesto que Métrica es una colección de los conocimientos matemáticos disponibles en el mundo antiguo, es posible que la fórmula preceda a la referencia que figura en dicho trabajo.

A saber, una fórmula equivalente a la de Herón:

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fue descubierta por los chinos, independientemente de los griegos. Fue publicada en Shushu Jiuzhang (“Tratado matemático en nueve secciones“), escrito por Qin Jiushao y publicado en el año 1247.

    La FÓRMULA DE HERÓN:  DESCARGAR PPT

   Figuras planas cerradas no poligonales

Un círculo, en geometría euclídea, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.

0a1En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y se utiliza indistintamente círculo por circuerencia, que es la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud (es decir, el perímetro del círculo)

Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie).

  El área del círculo

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En RESUMEN tenemos que:

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   Para seguir avanzando…

Como hemos visto, en geometría elemental se deducen fórmulas para las área de muchas figuras planas, pero un poco de reflexión hace ver que raramente se da una definición aceptable de área. El área de una región se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que caben en una región, pero por ejemplo el círculo de radio unidad tiene por área el número irracional  π, pero no está claro cual es el significado de π cuadrados. En general se tiene la percepción intuitiva de que una región contenida dentro de una curva cerrada posee un “área” la cual mide el número de unidades cuadradas dentro de la curva. Las propie-dades básicas del área que la intuición sugiere son:

  1. El área es un número (positivo, dependiente de la elección de la unidad de longitud)
  2. Este número es el mismo para figuras congruentes o equivalentes.
  3. Para todos los rectángulos el área es el producto de las longitudes de los lados adyacentes, es decir, de sus dimensiones.
  4. Para una región descompuesta en secciones el área total es igual a la suma (o resta) de las áreas de las secciones.

Una consecuencia inmediata es el hecho de que para una región A que es parte de una región B, el área de A no puede ser mayor que el área de B.

… necesitamos más rigor matemático…

0a1Estas propiedades permiten el cálculo directo del área de cualquier figura que pueda ser descompuesta en un número finito de rectángulos. Más generalmente para asignar un valor S al área de una región (zona azul y roja) consideramos otras dos regiones R’ (inscrita zona azul)) y R’’ (circunscrita, zona azul más roja más amarilla) de áreas S’ y S’’ respectivamente y que se pueden descomponer en rectángulos donde R’’ contiene a R’ está contenido en . Se sabe al menos que S’<S<S’’.

El valor de S quedará completamente determinado si se encuentran sucesiones de regiones circunscritas Rn y regiones inscritas Rn’’ que puedan ambas descomponerse en rectángulos y tales que las áreas Sn y Sn’’ tengan el mismo límite cuando n tiende a infinito. Esto es (remontándonos a la antigüedad) el método de exhaución, el cual es usado en geometría elemental para calcular el área de un circulo.

… ¡y mucho ingenio!

0a1Aquí intentamos mostrar como Arquímedes descubrió el área de un segmento parabólico.

El área de un segmento parabólico es 4/3 el área del triángulo que tiene la misma base y vértice.

0a1Arquímedes llegó a este resultado “viendo” geométricamente que el área de la parábola puede descomponerse en (o “agotarse” con) una suma infinita de triángulos: además del inscrito de área T, dos de un octavo de ese área, cuatro de un sesentaycuatroavo, …
Es decir   P = T + 2T/8 + 4T/64 +…= T + T/4 + T/16 +…

0a1Tenemos el segmento de parábola, delimitado por la propia parábola y la cuerda AC. Su área se aproxima inicialmente por el área del triángulo inscrito ABC, que será el primer término de la “progresión de agotamiento”. El punto medio de la cuerda AC es D. El proceso de agotar el segmento de parábola a base de sucesivos triángulos, más numerosos y más pequeños, presenta una simetría especular izquierda-derecha respecto de la línea BD. Entre el segmento de parábola y el triángulo ABC hay un par de huecos iguales a ambos lados del punto B.

Cada uno de estos huecos se rellena con sendos triángulos más pequeños, que juntos formarán el segundo término de la progresión de agotamiento.

A la derecha tenemos el BHC, un triángulo con el mismo área que el triángulo DFC. La clave es que E es el punto medio entre D y C, por lo que el punto H sobre la parábola, por ser parábola, es tal que BD/IH=DC2/DE2=4

0a1En esta figura restando de la parábola azul la recta AC también azul, nos queda la versión “derecha“, es decri, la parábola roja con la cuerda horizontal como base del segmento. Esto de paso sirve para comprender que el segmento parabólico y el triángulo inscrito pueden no estar derechos, como los azules, y que esa situación más general es reducible a la de segmentos de parábola derechos, como el rojo. El vértice de la parábola roja queda en la vertical del punto B de tangencia a la parábola azul de la paralela a la cuerda AC. En la parábola azul, esta cuerda AC y la cuerda infinita que parte de B y pasa por D son conjugadas, es decir, BD∞corta por el punto medio a todas las cuerdas paralelas a AC, aunque estas cuerdas no hagan en este caso lo recíproco. Siempre la cuerda conjugada infinita es paralela al eje de la parábola.


  Materiales de MOISES VILLENA MUÑOZ 

Figuras planas: triángulos y teorema de pitágoras

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1049

Demostración del teorema de Pitágoras

http://Demostraciones_1.htm#TERCERA%20DEMOSTRACI%C3%93N

Formas poligonales: clasificación de cuadriláteros:

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1037

Los cuadriláteros

http://Los_cuadrilateros__fmi/index.htm

Ángulos en un polígono

http://angulospoligonoregular/index.htm

Área de figuras planas:

http://areas/index.htm

Poliedros

http://poliedros/index.htm

Recta de Euler

http://departamentos/matem/euler.htm


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