Geometría Analítica

0a1La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. 

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

  1. Dada la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
  2. Dada la ecuación, determinar en un sistema de coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x) = y, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x² + y² = 4, la hipérbola xy = 1), etc.

Ecuaciones de la recta en el plano

0a1Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

Ax+By+C=0 \,

—

cuya pendiente es m = –A/B y cuya ordenada al origen es b = –C/B.

Una recta en el plano se representa con la función lineal de la forma:

y = m x + b \,

0a1Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él.

Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales).

    Hay OTRAS ECUACIONES de la recta:

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Lugares geométricos:

    Lugar geométrico (LG) es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen con una condición dada. Es decir, todo LG presenta las siguientes características: 

  1. es un conjunto de puntos.
  2. todos los puntos cumplen con una misma propiedad que lo caracteriza. 

El LG puede ser una línea curva, una recta, un plano, una superficie curva, etc. y a veces el mismo conjunto de puntos puede satisfacer más de una propiedad.  EJEMPLOS:

0a1             CICLOIDE    y       CARDIOIDE

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CONCEPTOS PREVIOS   

 Distancia entre dos puntos (Teorema de Pitágoras)

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Distancia de un punto a una recta (se puede DEMOSTRAR que)

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–

–

–

–

Ángulo inscrito

Resultado                                                                Demostración

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 Ejemplos de lugares geométricos 

 0a1ARCO CAPAZ 

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo; es decir, el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento. 

                     EJEMPLOS

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                 MEDIATRIZ 

La perpendicular levantada en el punto medio del segmento AB es el L.G. de todos los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B. 

           DEFINICIÓN                                                     PROPIEDADES

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  TRAZADO                                                                                  ECUACIÓN

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 BISECTRIZ 

La bisectriz de un ángulo dado es el L.G. de todos los puntos del plano que se encuentran equidistantes de los lados del ángulo. 

             DEFINICIÓN                                                                  PROPIEDADES

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          TRAZADO                                                                               ECUACIÓN          

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0a1

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La trisección del ángulo es, junto a la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo, uno de los problemas clásicos de las matemáticas de la antigua Grecia. Se ha demostrado que estos tres problemas, en general, son imposibles de resolver usando únicamente regla y compás, aunque son muy recurridas las aproximaciones.

0a1La trisección del ángulo fue el tercero de los problemas clásicos de la antigüedad griega. Se pretendía trisecar un ángulo, o dicho de otra forma, dividirlo en tres partes perfectamente iguales usando sólo una regla (no graduada) y un compás. Esto, en general, no es posible. Un ejemplo sencillo en donde sí es posible es dividir el ángulo de 90° en 30°.1 La división de un ángulo cualquiera en su tercera parte, puede lograrse introduciendo curvas auxiliares que permiten su construcción. 

En la figura de la derecha, se usa la trisectriz (curva algebraica), para dividir el ángulo  en su tercera parte, el ángulo .

 Cónicas:
0a1

http://lasmatematicas.eu/1-secciones-planas-de-una-superficie-conica

      CIRCUNFERENCIA:

ELIPSE: http://lasmatematicas.eu/geometria/conicas/5-la-elipse

0a146C

como se trabaja

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————–PARÁBOLA: http://lasmatematicas.eu/geometria/conicas/5-la-elipse

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HIPÉRBOLA: http://lasmatematicas.eu/geometria/conicas/6-la-hiperbola   

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   Intersección de una Recta y una Cónica:

Resolviendo el sistema correspondiente a la ecuación de la recta y de la cónica se obtienen los puntos donde la recta corta a la cónica.

La ecuación de una cónica es una ecuación de segundo grado y la de una recta es de primer grado. Entonces, para hallar los puntos comunes a una y otra tendremos que resolver el sistema formado por ambas ecuaciones. Normalmente este sistema lo resolveremos por sustitución, despejando la incógnita y en la ecuación de la recta, y sustituyendo su expresión en la ecuación de la cónica.

Este proceso nos llevará a una ecuación de segundo grado, que podrá tener dos, una o ninguna solución. Lo mejor es verlo con un ejemplo.

        EJEMPLO 1

La circunferencia x²+y²−2x−3=0 y la recta 3x+y−5=0 se cortan en los puntos solución del sistema

  • x²+y²−2x−3=0
  • 3x+y−5=0

Sustituyendo y=5−3x en la primera ecuación se tiene:

x²+(5−3x)²−2x−3=0⇒10x²−32x+22=0⇒5x²−16x+11=0

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

x=(16±√256−220)/10=(16±6)/10={x1=11/5   x2=1}

Por tanto los puntos de intersección son (11/5,−85) y (1,2).

En general, tal y como se ha visto, al resolver el sistema por sustitución, se obtiene una ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0, que tendrá (dependiendo del signo del discriminante Δ=b²−4ac):

  1. Dos soluciones (si Δ>0: la recta y la cónica son secantes.
  2. Una solución (si Δ=0): la recta y la cónica son tangentes.
  3. Ninguna solución (si Δ<0): la recta y la cónica son exteriores.

conicas 29

conicas 30Esta regla general tiene dos excepciones: en los casos que nos muestran las dos figuras siguientes, a pesar de cónica y recta se cortan en un solo punto, la recta no es tangente a la cónica. La recta r paralela a una asíntota de la hipérbola corta a ésta en un sólo punto P. Sin embargo no es tangente a la hipérbola en P (la tangente es la recta t. Esto nos indica que la definición tradicional de tangente a una curva en un punto como «recta que corta a la curva solamente en ese punto», no es suficiente. Una definición correcta de tangente precisa del concepto de derivada.

conicas 31En el caso de la figura siguiente, la recta r paralela al eje de la parábola, corta a ésta en un solo punto P. Sin embargo no es la tangente a la parábola en P (la tangente es la recta t).

Teniendo en cuenta todo lo anterior es posible resolver algunos problemas de tangencia como el cálculo de las tangentes desde un punto exterior de una cónica y el cálculo de la tangente en un punto perteneciente a la cónica, aunque en este último caso, el uso de propiedades geométricas y sobre todo de la derivada, simplifican enormemente los cálculos. Veamos un par de ejemplos.

EJEMPLO 2

Encontrar las tangentes a la circunferencia x²+y²=4 desde el punto exterior P(3,0)

Cualquier recta que pasa por P(3,0) cumple la ecuación

y=m(x−3)

Así pues, para hallar su intersección con la circunferencia resolvemos el sistema:

  • x²+y²=4
  • y=m(x−3)

⇒x²+m²(x−3)²=4⇒x²+m²x²+9m²−6m²x=4⇒(1+m²)x²−6m²x+9m²−4=0

Para que esta ecuación de segundo grado tenga una sola solución, y que por tanto la recta y la circunferencia sean tangentes, se necesita que

Δ=b²−4ac=(−6m²)²−4(1+m²)9m²−4)=0⇒-20m²+16=0⇒m²=4/5⇒m=±√4/√5=±2/√5

Por tanto las tangentes son las rectas

y=2√5/5(x−3);    y=−2√5/5(x−3)

EJEMPLO 3

Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x²+y²=4 en el punto P(1,√3)

El punto P pertenece a la circunferencia.

Podría seguirse el método del ejemplo anterior, pero resulta muy engorroso; en cambio si tenemos en cuenta que la tangente es perpendicualr al radio en el punto de tangencia tendremos lo siguiente.

Como el centro es el punto C(0,0), la ecuación del radio CP es:

(x−0)/(1−0)=(y−0)/(√3−0)⇒x=y/√3

Utilizando la condición de perpendicularidad, la ecuación de la tangente en P es: x/√3=y/−1

conicas 32Para terminar, vamos a fijarnos en un caso de particular interés. Se trata de hallar la intersección de una hipérbola con una recta que pase por el origen de coordenadas (ver figura siguiente).

Ecuación de la hipérbola: x²/a²−y²/b²=1.

Ecuación de la recta: y=mx.

Entonces:

  • x²/a²−y²/b²=1
  • y=mx

⇒x²/a²−m²x²/b²=1⇒b²x²−a²m²x²=a²b²⇒(b²−a²m²)x²=a²b²

Caben tres posibilidades:

  1. b²−a²m²=0. En este caso resulta 0=a²b², lo cual es imposible.
  2. b²−a²m²<0. En este caso x²=a²b²/(b²−a²m²)<0, lo cual es así mismo imposible, pues un cuadrado no puede ser negativo.
  3. b²−a²m²>0. En este caso x²=a²b²/(b²−a²m²)>0, y x tiene dos soluciones.

Por tanto, el sistema sólo tiene solución si:

b²−a²m²>0⇒b²>am²⇒b²a²>m²⇒ba>|m|⇒ba>m>−ba

Si recordamos que las asíntotas de la hipérbola tenían pendientes respectivamente iguales a ba y −ba, concluimos que las rectas que pasen por el origen de coordenadas y corten a la hipérbola son las de pendiente comprendida entre las pendientes de las dos asíntotas, o dicho de modo más intuitivo: las asíntotas son las «primeras» rectas que pasan por el origen y no cortan a la hipérbola.

    http://lasmatematicas.eu/interseccion-de-una-conica-y-una-recta

Es sorprendente, a pesar de que los antiguos griegos conocian bien muchas propiedades de las SECCIONES CÓNICAS no fue sino hasta 1822 cuando se conocieron las elegantes configuraciones geométricas siguientes:

Estas esferas se conocen como Esferas de Dandelin y fueron descubiertas por dos matemáticos belgas: Lambert Jacques Quetelet (1796 – 1874) y Germinal Pierre Dandelin (1794 – 1847)
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En geometría analítica a las curvas formadas por la intersección (no degenerada) de un plano con un cono se les llama secciones cónicas. Siempre que existen una o dos esferas interiores al cono que son simultáneamente tangentes al plano y al cono se les llama esferas de Dandelin estas tocan al plano de interseccion con el cono en un foco de la sección cónica. A veces también son llamadas esferas focales.
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Las esferas de Dandelin son usadas para probar dos teoremas que eran conocidos 15 o 16 siglos antes de Dandelin pero el hizo mas facil el modo de abordarlos.
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    1. El primer teorema dice que una sección cónica cerrada (es decir, una elipse) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos como Apolonio de Perga  pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dicho teorema.
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Analicemos el teorema de acuerdo a la gráfica para entender mejor lo que plantea:
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  • En la gráfica, el plano π intercepta al cono diagonalmente formando una elipse, como se puede apreciar en la grafica (de color azul) ademas tenemos dos esferas dentro del cono llamadas G1 sobre el plano π  y la  G2 bajo el plano π la intersección con el cono genera dos circulos; k1 y k2.
  • Cada esfera toca al plano π en un punto de tangencia llamados F1 y F2 
  • P es un punto cualquiera en la curva de la elipse azul 
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Ahora bien; el primer teorema nos dice que la figura formada por la interseccion del plano π con el cono y los dos puntos de tangencia de las esferas al plano π es una elipse tal como se muestra en el .gif siguiente: 
Prueba:
La suma de las distancias d(F1, P) + d(F2, P) se mantiene constante para cualquier posición que adopte el punto P a lo largo de la curva.
Una línea que pasa por el punto P y por el vértice S del cono intersecta a los círculos k1 y k2 en los puntos P1 y P2,  si se mueve el punto P a lo largo de la elipse, tambíen se moveran P1 y P2 a lo largo de los dos círculos (ver la animación) ahora bien, la distancia de F1 al punto P es la misma que la distancia de P1 a P, por ser PF1 y PP1 líneas que se intersectan en P y además ser tangentes a una misma esfera G1 (lineas color rosa) del mismo modo que  la distancia de F2 a P es la misma que la distancia de P2 a P, por ser PF2 y PP2 líneas que se intersectan en P y además ser  tangentes a una misma esfera G2.(lineas color amarillo)
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En consecuencia, la suma de las distancias d(F1, P) + d(F2, P) debe ser constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva porque la suma de las distancias d(P, P1) + d(P, P2)  también se mantiene constante.y ademas el punto P se halla en la recta de P1 a P2, y la distancia de P1 a P2 se mantiene constante. 
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Si recordamos la definición de ELIPSE como el lugar geométrico de los puntos P tal que d(F1, P) + d(F2, P) = 2a (siendo 2a una constante igual al eje mayor), entonces el análisis anterior prueba que la intersección del plano π con el cono genera una elipse. 
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El resultado de esta demostración no es novedoso, ya era conocido desde la época de Apolonio de Perga ( 262 aC –  190 aC), lo que si resulta novedoso es la sencillez con la que demuestra lo mismo utilizando otro método, la construcción geométrica de las esferas de Dandelin.
 
Veamos ahora el segundo teorema relacionado: 
 
    1. El segundo teorema dice que para cualquiera de las secciones cónicas, la distancia de un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia desde una línea fija (directriz), la constante de proporcionalidad es la llamada excentricidad. Una vez más, este teorema ya era conocido por los antiguos griegos, como Pappus de Alejandría pero las esferas de Dandelin nuevamente facilitan la prueba 
 
La recta directriz de una sección cónica se puede encontrar utilizando la construcción de Dandelin.
Cada esfera de Dandelin intercepta al cono en un círculo, cada uno de estos círculos k1 y k2 define su propio plano (πk1 y πk2), estos planos son paralelos entre sí y perpendiculares al eje del cono. Las intersecciones de estos dos planos con el plano π definirán en general dos líneas Df1 y Df2 (rojas en la figura), paralelas entre si, perpendiculares al eje del cono y externas al cono, estas líneas son conocidas como las directrices de las secciones cónica.
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La parábola es un caso particular porque sólo puede tener una esfera de Dandelin, y por lo tanto tendrá una sola directriz, la circunferencia es el otro caso particular dado que el plano π de intersección con el cono es paralelo a los círculos k1 y k2 y en consecuencia no se produce intersección alguna, lo que implica que la circunferencia no tiene recta directriz.
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Usando de las esferas Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos para los que la distancia de un punto llamado foco es proporcional a la distancia de la directriz.
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Los antiguos matemáticos griegos como Pappus de Alejandría ya eran conscientes de esta propiedad, pero nuevamente las esferas de Dandelin facilitan mucho la prueba.
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Es interesante resaltar, para finalizar que ni Dandelin ni Quetelet utilizaron las esferas focales para demostrar la propiedad foco-directriz. El primero en hacerlo fue (aparentemente) Morton Pierce en 1829 La propiedad de foco-directriz es esencial para demostrar que los objetos astronómicos se mueven a lo largo de secciones cónicas alrededor del Sol.
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