La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
- Dada la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
- Dada la ecuación, determinar en un sistema de coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x) = y, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x² + y² = 4, la hipérbola xy = 1), etc.
Ecuaciones de la recta en el plano
Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.
La ecuación general de la recta es de la forma:
—
cuya pendiente es m = –A/B y cuya ordenada al origen es b = –C/B.
Una recta en el plano se representa con la función lineal de la forma:
Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él.
Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales).
Hay OTRAS ECUACIONES de la recta:
Lugares geométricos:
Lugar geométrico (LG) es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen con una condición dada. Es decir, todo LG presenta las siguientes características:
- es un conjunto de puntos.
- todos los puntos cumplen con una misma propiedad que lo caracteriza.
El LG puede ser una línea curva, una recta, un plano, una superficie curva, etc. y a veces el mismo conjunto de puntos puede satisfacer más de una propiedad. EJEMPLOS:
CICLOIDE y CARDIOIDE
CONCEPTOS PREVIOS
Distancia entre dos puntos (Teorema de Pitágoras)
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Distancia de un punto a una recta (se puede DEMOSTRAR que)
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Ángulo inscrito
Resultado Demostración
Ejemplos de lugares geométricos
ARCO CAPAZ
El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo; es decir, el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento.
EJEMPLOS
MEDIATRIZ
La perpendicular levantada en el punto medio del segmento AB es el L.G. de todos los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B.
DEFINICIÓN PROPIEDADES
TRAZADO ECUACIÓN
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BISECTRIZ
La bisectriz de un ángulo dado es el L.G. de todos los puntos del plano que se encuentran equidistantes de los lados del ángulo.
DEFINICIÓN PROPIEDADES
TRAZADO ECUACIÓN
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La trisección del ángulo es, junto a la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo, uno de los problemas clásicos de las matemáticas de la antigua Grecia. Se ha demostrado que estos tres problemas, en general, son imposibles de resolver usando únicamente regla y compás, aunque son muy recurridas las aproximaciones.
La trisección del ángulo fue el tercero de los problemas clásicos de la antigüedad griega. Se pretendía trisecar un ángulo, o dicho de otra forma, dividirlo en tres partes perfectamente iguales usando sólo una regla (no graduada) y un compás. Esto, en general, no es posible. Un ejemplo sencillo en donde sí es posible es dividir el ángulo de 90° en 30°.1 La división de un ángulo cualquiera en su tercera parte, puede lograrse introduciendo curvas auxiliares que permiten su construcción.
En la figura de la derecha, se usa la trisectriz (curva algebraica), para dividir el ángulo en su tercera parte, el ángulo .
Cónicas:
http://lasmatematicas.eu/1-secciones-planas-de-una-superficie-conica
CIRCUNFERENCIA:
- http://lasmatematicas.eu/2-la-circunferencia
- http://lasmatematicas.eu/3-potencia-de-un-punto-respecto-de-una-circunferencia
- http://lasmatematicas.eu/4-eje-radical-de-dos-circunferencias
ELIPSE: http://lasmatematicas.eu/geometria/conicas/5-la-elipse
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————–PARÁBOLA: http://lasmatematicas.eu/geometria/conicas/5-la-elipse
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HIPÉRBOLA: http://lasmatematicas.eu/geometria/conicas/6-la-hiperbola
Intersección de una Recta y una Cónica:
Resolviendo el sistema correspondiente a la ecuación de la recta y de la cónica se obtienen los puntos donde la recta corta a la cónica.
La ecuación de una cónica es una ecuación de segundo grado y la de una recta es de primer grado. Entonces, para hallar los puntos comunes a una y otra tendremos que resolver el sistema formado por ambas ecuaciones. Normalmente este sistema lo resolveremos por sustitución, despejando la incógnita y en la ecuación de la recta, y sustituyendo su expresión en la ecuación de la cónica.
Este proceso nos llevará a una ecuación de segundo grado, que podrá tener dos, una o ninguna solución. Lo mejor es verlo con un ejemplo.
EJEMPLO 1
La circunferencia x²+y²−2x−3=0 y la recta 3x+y−5=0 se cortan en los puntos solución del sistema
- x²+y²−2x−3=0
- 3x+y−5=0
Sustituyendo y=5−3x en la primera ecuación se tiene:
Resolviendo esta ecuación de segundo grado:
Por tanto los puntos de intersección son (11/5,−85) y (1,2).
En general, tal y como se ha visto, al resolver el sistema por sustitución, se obtiene una ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0, que tendrá (dependiendo del signo del discriminante Δ=b²−4ac):
- Dos soluciones (si Δ>0: la recta y la cónica son secantes.
- Una solución (si Δ=0): la recta y la cónica son tangentes.
- Ninguna solución (si Δ<0): la recta y la cónica son exteriores.
Esta regla general tiene dos excepciones: en los casos que nos muestran las dos figuras siguientes, a pesar de cónica y recta se cortan en un solo punto, la recta no es tangente a la cónica. La recta r paralela a una asíntota de la hipérbola corta a ésta en un sólo punto P. Sin embargo no es tangente a la hipérbola en P (la tangente es la recta t. Esto nos indica que la definición tradicional de tangente a una curva en un punto como «recta que corta a la curva solamente en ese punto», no es suficiente. Una definición correcta de tangente precisa del concepto de derivada.
En el caso de la figura siguiente, la recta r paralela al eje de la parábola, corta a ésta en un solo punto P. Sin embargo no es la tangente a la parábola en P (la tangente es la recta t).
Teniendo en cuenta todo lo anterior es posible resolver algunos problemas de tangencia como el cálculo de las tangentes desde un punto exterior de una cónica y el cálculo de la tangente en un punto perteneciente a la cónica, aunque en este último caso, el uso de propiedades geométricas y sobre todo de la derivada, simplifican enormemente los cálculos. Veamos un par de ejemplos.
EJEMPLO 2
Encontrar las tangentes a la circunferencia x²+y²=4 desde el punto exterior P(3,0)
Cualquier recta que pasa por P(3,0) cumple la ecuación
Así pues, para hallar su intersección con la circunferencia resolvemos el sistema:
- x²+y²=4
- y=m(x−3)
⇒x²+m²(x−3)²=4⇒x²+m²x²+9m²−6m²x=4⇒(1+m²)x²−6m²x+9m²−4=0
Para que esta ecuación de segundo grado tenga una sola solución, y que por tanto la recta y la circunferencia sean tangentes, se necesita que
Por tanto las tangentes son las rectas
EJEMPLO 3
Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x²+y²=4 en el punto P(1,√3)
El punto P pertenece a la circunferencia.
Podría seguirse el método del ejemplo anterior, pero resulta muy engorroso; en cambio si tenemos en cuenta que la tangente es perpendicualr al radio en el punto de tangencia tendremos lo siguiente.
Como el centro es el punto C(0,0), la ecuación del radio CP es:
Utilizando la condición de perpendicularidad, la ecuación de la tangente en P es: x/√3=y/−1
Para terminar, vamos a fijarnos en un caso de particular interés. Se trata de hallar la intersección de una hipérbola con una recta que pase por el origen de coordenadas (ver figura siguiente).
Ecuación de la hipérbola: x²/a²−y²/b²=1.
Ecuación de la recta: y=mx.
Entonces:
- x²/a²−y²/b²=1
- y=mx
⇒x²/a²−m²x²/b²=1⇒b²x²−a²m²x²=a²b²⇒(b²−a²m²)x²=a²b²
Caben tres posibilidades:
- b²−a²m²=0. En este caso resulta 0=a²b², lo cual es imposible.
- b²−a²m²<0. En este caso x²=a²b²/(b²−a²m²)<0, lo cual es así mismo imposible, pues un cuadrado no puede ser negativo.
- b²−a²m²>0. En este caso x²=a²b²/(b²−a²m²)>0, y x tiene dos soluciones.
Por tanto, el sistema sólo tiene solución si:
Si recordamos que las asíntotas de la hipérbola tenían pendientes respectivamente iguales a ba y −ba, concluimos que las rectas que pasen por el origen de coordenadas y corten a la hipérbola son las de pendiente comprendida entre las pendientes de las dos asíntotas, o dicho de modo más intuitivo: las asíntotas son las «primeras» rectas que pasan por el origen y no cortan a la hipérbola.
http://lasmatematicas.eu/interseccion-de-una-conica-y-una-recta
Es sorprendente, a pesar de que los antiguos griegos conocian bien muchas propiedades de las SECCIONES CÓNICAS no fue sino hasta 1822 cuando se conocieron las elegantes configuraciones geométricas siguientes:
Las esferas de Dandelin son usadas para probar dos teoremas que eran conocidos 15 o 16 siglos antes de Dandelin pero el hizo mas facil el modo de abordarlos.-
El primer teorema dice que una sección cónica cerrada (es decir, una elipse) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Esto ya era conocido por los antiguos matemáticos griegos como Apolonio de Perga pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dicho teorema.
- En la gráfica, el plano π intercepta al cono diagonalmente formando una elipse, como se puede apreciar en la grafica (de color azul) ademas tenemos dos esferas dentro del cono llamadas G1 sobre el plano π y la G2 bajo el plano π la intersección con el cono genera dos circulos; k1 y k2.
- Cada esfera toca al plano π en un punto de tangencia llamados F1 y F2
- P es un punto cualquiera en la curva de la elipse azul
-
El segundo teorema dice que para cualquiera de las secciones cónicas, la distancia de un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia desde una línea fija (directriz), la constante de proporcionalidad es la llamada excentricidad. Una vez más, este teorema ya era conocido por los antiguos griegos, como Pappus de Alejandría pero las esferas de Dandelin nuevamente facilitan la prueba
Otras curvas PRECIOSAS:
