conCierto Ritmo Musical


0a1Muchos han sido los autores que han dado testimonio del atractivo estético de las matemáticas, tanto en su contemplación pasiva como en la investigación activa. Los autores clásicos, y los renacentistas, como Kepler, entonaron rapsodias a la “Áurea o Divina Proporción”. Henri Poincaré aseveró que en la creación matemática el elemento dominante no es el lógico, sino el estético. Godfrey Harold Hardy escribió: “las formas del matemático, como las del pintor o las del poeta, tienen que ser hermosas…”. El gran físico teórico Paul Dirac escribió que más importante es que haya belleza en las ecuaciones que uno formula, que hacerlas encajar con el experimento.

La ceguera e insensibilidad al componente estético de las matemáticas está muy difundida. Ello puede explicar lo corriente de sentir que las matemáticas son más áridas que el polvo, menos interesantes que una guía de teléfonos, o tan distantes de nosostros como las reglas de la caballería medieval. Por el contrario, la capacidad para apreciar y valorar este factor estético hace de las matemáticas materia extraordinariamente vivaz y maravillosamente apasionante, como ninguna otra creación de la mente parece serlo.

0a1La belleza en las artes plásticas y en la música ha sido objeto de discusión desde los tiempos platónicos cuando menos. Para analizarla se han utilizado términos tan v agos como orden, proporción, equilibrio, armonía, unidad y claridad. En generaciones más recientes se han hecho tentativas para asignar medidas matemáticas de calidad estética a las creaciones artísticas.

Con la incorporación de tales medidas a las reglas de composición de piezas musicales, y con auxilio del ordenador, por ejemplo, se ha visto que es posible recapturar en pequeña medida las cualidades mozartianas de un Mozart, pongamos por caso. No obstante, la noción de calidad estética subyacente sigue siendo muy escurridiza. Los juicios de carácter estético tienden a ser personales, a variar con las culturas y las generaciones, y a lo largo de los últimos años, las disquisiciones y análisis filosóficos sobre cuestiones estéticas han ido menos hacia la prescripciones dogmáticas de qué es lo bello que hacia la discusión de cómo operan y de qué modo funcionan los juicios de valoración estética.

0a1Existe en matemáticas el juicio estético. Tiene importancia, puede ser cultivado, puede ser transmitido de generación en generación, de maestro a alumno, de autor a lector. No obstante, la descripción formal de qué es y cómo opera es prácticamente nula. Los libros de texto y las monografías carecen de todo comentario de naturaleza estética sobre los temas que tratan, a pesar de que su estética reside en el modo mismo de hacer y en la selección que compone lo hecho. La obra de arte (una escultura de un paso de la Semana Santa sevillana, por ejemplo) no va acompañada de una descripción verbal de la singular belleza que ha quedado tallada en sus molduras. Forma parte de una tradición estética y eso basta, salvo para el estudioso.

0a1Se han hecho tentativas de análisis y aislamiento de los componentes de la estética matemática: la alternancia de tensión y alivio, la materialización de las expectativas, la sorpresa producida por la percepción de relaciones inesperadas o de elementos de unificación no sospechados, el sensual gozo visual, el placer que produce la yuxtaposición de lo simple y lo complejo, de libertad y de sujeción, y, evidentemente, el generado por todos los demás elementos estéticos familiares en las artes: armonía, equilibrio, constraste, etcétera.

0a1Se han hecho esfuerzos ulteriores tratando de localizar la fuente de estos sentimientos a nivel más profundo, en la psicofisiología o en el místico inconsciente colectivo de Jung. Ahora, si bien la mayoría de los matemáticos en ejercicio conceden a los factores estéticos gran peso y relevancia, y podrían añadir a la lista anterior categorías estéticas propias, cierto es que tenderían a mostrar escepticismo en lo tocante a explicaciones más profundas.

0a1Los juicios estéticos pueden ser transitorios y encontrarse inmersos en las tradiciones de una edad y una cultura matemática concretas. Su validez es similar a la de una escuela o período artístico. Alguna vez, se mantuvo que el rectángulo más bello es el que tiene sus lados en razón áurea. Tal afirmación no sería hoy tomada en serio por una generación que se ha educado en arte y arquitectura no clásica, a pesar de los experimentos de Fechner (1876) o de los de Thorndike (1917) que, según se dice, la respaldan. El placer estético que en nuestros días produce la razón áurea parece provenir, más bien, de la insospechada variedad de los lugares donde se presenta.

Unos cuantos DOCUMENTOS que pueden interesarte:

0a1La relación entre la música y las matemáticas ha fascinado al pensamiento occidental desde la aparición de Pitágoras, el sabio de Samos que fue iniciado por los sacerdotes egipcios en los misterios del cosmos y quien creyó percibir un mismo patrón matemático, una armonía entre las estrellas y las cuerdas musicales. Un prototeorema, famosamente expresado en la frase “hay geometría en la vibración de las cuerdas, hay música en los espacios entre las esferas”. 

Quizás el mejor representante de esta tradición matemático-musical es Johann Sebastian Bach, el músico barroco alemán que nació el 31 de marzo de 1685 en Eisenach, y murió el 28 de julio de 1750. Probablemente ningún músico haya innovado y aportado tanto a la música en síntesis, organización y maestría técnica que Bach. La música de Bach parece confirmar la idea platónica de que la belleza es orden, una imagen de los principios arquetípicos de la creación. Aunque en su época no se le reconoció tanto, Bach ha ido ganándose un respeto cardenal entre músicos; Beethoven llamó a Bach “el padre original de la armonía”, reconociendo la influencia contrapuntística del maestro. 

0a1En la última etapa de su vida Bach se interesó mucho por la simetría musical, creando una serie de acertijos o problema musicales para sus alumnos. Estos acertijos o puzzles están sobre todo presentes en sus cánones y fugas, los cuales debían ser descifrados para poder ser interpretados correctamente, por ello la inscripción de Quaerendo Invenietis (“Busca y deberás encontrar”) en su colección Ofrenda musical, BWV 1079, una de las grandes obras maestras de simetría musical y en la cual se revela la visión toral de Bach: la música es una ofrenda a la divinidad, y en ella la gloria divina se transparenta.

0a1Puede decirse que algo es simétrico cuando se puede transformar y se ve igual, por ejemplo cuando se rota una imagen y se mantiene idéntica. Por ejemplo el llamado ”Cánon del cangrejo” (nombre póstumo, porque como el cangrejo, camina al revés) que sigue una única línea melódica que es tocada hacia adelante y hacia atrás simultáneamente (por lo cual se ha confundido con un anillo de Moebius, aunque esto no es del todo preciso).Mucha de la música de Bach tiene una cierta propiedad simétrica, como si fuera un flujo de relaciones geométricas, autosemejantes, que podría describirse como fractal.

0a1El “Cánon del cangrejo”, según Douglas Hofstadter en su libro Gödel, Escher y Bach, es una especie de palíndromo musical, un espejo del tema musical en el tiempo. Hofstadter explica que estas estructuras también se hallan en el ADN; una estructura similar a un extraño bucle que se encuentra en los dibujos de escaleras reversibles de Escher, en las matemáticas de Gödel, en la música de Bach y en la naturaleza.

Hofstadter aplica este mismo principio a sus diálogos paradójicos entre la Tortuga y Aquiles.En el siguiente video (minuto 3:30), el Instituto de Santa Fe ejecuta el “Contrapunctus VII” de Bach y podemos ver una gráfica de la música que muestra la repetición del tema musical con una simetría fractal.

Si bien apreciar la estructura matemática subyacente de los temas de Bach nos permite dimensionar su fuerza intelectual y quizás entender el orden de su efecto en nuestra psique, todo esto es sólo accesorio a la experiencia de escuchar su música y sentir su belleza.

0a1Pitágoras creía que cierta música podía usarse como medicina y como una herramienta para aumentar la conciencia de sus estudiantes. La música de Bach tiene cualidades sorprendentes, como explica Joel Robertson en su libro Natural Prozac, es capaz de relajar y energizar a las personas, incluso estimulando la producción natural de serotonina.

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También puedes encontrar el RITMO en la naturaleza.


Podemos encontrar el número de oro como una relación (razón) entre dos segmentos en que se divide un tercero: el mayor es al menor, como el total es al mayor. Sabemos además que un  rectángulo es áureo si el cociente entre sus dos longitudes, la mayor entre la menor es el número de oro (Φ).

¿Se podría  extender de forma análoga esta relación a los ángulos además de a los segmentos? ¿Se podría encontrar un ángulo de oro?

Recordamos  la relación que deben cumplir dos segmentos para que estén en proporción áurea.

 

 

Análogamente, se puede extender esta relación y encontrar el ángulo de oro.

El ángulo de oro  es el que se obtiene al dividir el círculo en dos ángulos tales que el cociente entre el mayor y el menor sea el número Φ.

Los valores resultantes son 225,5º y 137,5º  (redondeados a las décimas)

El ángulo de 137,5º es conocido como ángulo áureo. 

¿Se encuentran  ángulos de oro en la naturaleza?

Contemplar, asombrados, la distribución armónica de las hojas

En el crecimiento de algunas plantas,  las hojas se distribuyen alrededor de un tallo en ángulos áureos.  (Filotaxis: disposición de las hojas en un tallo).

Las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo. A medida que el tallo va creciendo, cada hoja  brota con un ángulo fijo respecto a la hoja anterior.

Curiosamente, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas  y que éstas no se solapen unas con otras es el ángulo de oro de 137,5º. En la siguiente imagen, la de la derecha vista desde arriba,  vemos la distribución de las hojas alrededor de un tallo y observamos que ninguna hoja está completamente sobre otra anterior.

El porqué el ángulo áureo produce la mejor disposición de las hojas alrededor de un  tallo está ligado al concepto de número irracional.

Si un ángulo es irracional por muchas veces que lo desplaces alrededor de un eje nunca regresará a la posición inicial.

Si observamos esta imagen, en  la que vamos añadiendo hojas con un ángulo de 137,5º desde la hoja  anterior:

a) Las dos primeras hojas están separadas el número áureo, 137,5º en un sentido o 222,5º en el otro.

b) Las tres primeras hojas   están  bastante distanciadas unas de otras ( la 2 de la 1 y la 3 de la 2 tienen una separación de 137,5º, el ángulo áureo)

c)  Las tres siguientes, la 4,  la 5 y la 6 tienen una separación de 52,5º respecto a las más cercanas ( la 1, la 2 y la 3 respectivamente)

d) La 7ª tiene un ángulo respecto a la más cercana la 2 de 32,5º y respecto de la 4 de 52.5º así … observamos que  ninguna hoja tapa a una inferior.

El  vídeo encontrado en YOUTUBE:  Ángulo de oro y FILOTAXIA, subido por  C. R. IPIÉNS, nos ayuda a clarificar todo esto. 

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A partir de 1:50 minutos tenemos la obtención del  ángulo áureo por medio de arcos de circunferencia y a partir del minuto  2:23 se explica con detalle  la distribución de las hojas alrededor de un tallo según la proporción áurea.

La RIMA también está en un rectángulo


Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial.

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Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo. Sólo por curiosidad, invitamos al lector a que mida y obtenga las proporciones de las ventanas de su casa, de su cuadro preferido, del mueble que más le agrada, muy probablemente serán rectángulos áureos.0a1 Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial como se puede ver en la animación.

   El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo (recursivo diría alguien dedicado a la computación) y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo. Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.

 Una vez construida esta sucesión de rectángulos áureos encajados, si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una curva llamada Espiral de Durero. En realidad esta curva no es una espiral puesto que está formada por arcos de circunferencia pegados. Es una aproximación de una espiral logarítmica.

 

Existe otra espiral basada en el número áureo que se construye a partir de un triángulo isósceles de ángulos 36º, 72º y 72º. Se comienza trazando la bisectriz de uno de los dos ángulos iguales, por ejemplo el ángulo A, que corta a uno de los lados iguales en el punto D. Se forma así un nuevo triángulo ADC que es semejante al anterior. Si repetimos el proceso trazando la bisectriz del ángulo ACD que corta al lado AD en el punto E se vuelve a formar otro triángulo isósceles ACE que es semejante a los anteriores. Al repetir el proceso indefinidamente, los triángulos que se van formando son todos semejantes y verifican que los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de cada triángulo tienden hacia el número de oro, de ahí el nombre de triángulos áureos.

Sabemos que existe un sólo triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión aritmética, el triángulo 3-4-5 de Pitágoras. De forma similar, existe un único triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión geométrica, conocido como el triángulo de Kepler. 

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¿Adivinas qué número mágico rige este triángulo? Sí, como no podía ser de otra forma ¡es la Razón Aurea! Los lados del triángulo de Kepler obedecen a la progresión 1:√φ:φ.

 

Y el COMPÁS en la VESICA PISCIS


Es una de las más significativas figuras de la Geometría Sagrada. Representa la unión creadora de lo Sagrado Masculino y lo Sagrado femenino.

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También es llamada la Vagina de la Diosa, pues es la primera figura que se forma en la creación de la Flor de la Vida. Por ello es considerada La antesala del Nacimiento.

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 Como se aprecia en esta figura, la Vesica Picis es un mágico compendio de algunos de los irracionales más famosos de la matemática.

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Ésta construcción con regla y compás permite hallar el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia dada

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Aquí mostramos cómo la UNIDAD es media proporcional entre Φ y 1/Φ. 

¡Lógico!, ¿no? 

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Y para terminar, este precioso regalo:

  1. Construcciones-con-regla-y-compas-i-primeras-construcciones/
  2. Construcciones-con-regla-y-compas-ii-los-problemas-delicos/
  3. Construcciones-con-regla-y-compas-iii-los-poligonos-regulares/
  4. Construcciones-con-regla-y-compas-iv-la-construccion-del-heptadecagono/
  5. Construcciones con Regla y Compás PDF

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Construcción de

 polígonos regulares con regla y compás

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GRACIAS por este lúcido trabajo sobre construcciones con regla y compás.

Pentagon_construct

Pentágono regular

HexagonConstructionAni

Hexágono regular

OctagonConstructionAni

Octógono regular

 Pertenecen, todos ellos, a los llamados polígonos construíbles.

Pero algunos polígonos regulares no pueden construirse con estos medios.

Gauss

demostró que un polígono regular de n  lados puede construirse con regla y compás siempre que los factores primos impares de n  sean primos de Fermat distintos. Conjeturó que esta condición debía ser también necesaria, pero no llegó a demostrarla.  Lo hizo, en 1837, Pierre Wantzel.

 

El heptágono regular es el primer polígono de esas características: no se puede construir con regla y compás, aunque hay un método que permite hacerlo de manera aproximada:

heptagono

Heptágono regular

De la misma forma, el eneágono regular puede construirse de manera aproximada así:

Approximated_Nonagon_Inscribed_in_a_Circle

Eneágono regular

pero es imposible hacerlo de manera exacta con regla y compás.

Para ampliar el tema, os remito a este trabajo de Ricardo Ramírez Chaparro (Universidad Nacional de Colombia, 2011).

⇒  ricardoramirezchaparro.2011 (BUENÍSIMO)

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