Con Ritmo, Rima y Compás


Ángulo de oro: cómo gira la naturaleza.

Podemos encontrar el número de oro como una relación  entre dos segmentos en que se divide un tercero. Sabemos además que un  rectángulo es áureo  si el cociente entre sus dos longitudes, la mayor entre la menor es el número de oro (φ).

¿Se podría  extender de forma análoga esta relación a los ángulos además de a los segmentos? ¿Se podría encontrar un ángulo de oro?

Recordamos  la relación que deben cumplir dos segmentos para que estén en proporción áurea.

 

Análogamente, se puede extender esta relación y encontrar el ángulo de oro.

 El ángulo de oro  es el que se obtiene al dividir el círculo en dos ángulos tales que el cociente entre el mayor y el menor sea el número fi.

 Los valores resultantes son 225,5º y 137,5º  (redondeados a las décimas)

El ángulo de 137,5º es conocido como ángulo áureo.

¿Se encuentran  ángulos de oro en la naturaleza?

Ángulo de oro y Filotaxis. 

En el crecimiento de algunas plantas,  las hojas se distribuyen alrededor de un tallo en ángulos áureos.  (Filotaxis: disposición de las hojas en un tallo).

Las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo.
A medida que el tallo va creciendo, cada hoja  brota con un ángulo fijo respecto a la hoja anterior.

Curiosamente, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas  y que éstas no se solapen unas con otras es el ángulo de oro de 137,5º.

En la siguiente imagen, la de la derecha vista desde arriba,  vemos la distribución de las hojas alrededor de un tallo y observamos que ninguna hoja está completamente sobre otra anterior.

El porqué el ángulo áureo produce la mejor disposición de las hojas alrededor de un  tallo está ligado al concepto de número irracional.
Si un ángulo es irracional por muchas veces que lo desplaces alrededor de un eje nunca regresará a la posición inicial.

Si observamos esta imagen, en  la que vamos añadiendo hojas con un ángulo de 137,5º desde la hoja  anterior:

a) Las dos primeras hojas están separadas el número áureo, 137,5º en un sentido o 222,5º en el otro.

b) Las tres primeras hojas   están  bastante distanciadas unas de otras ( la 2 de la 1 y la 3 de la 2 tienen una separación de 137,5º, el ángulo áureo)

c)  Las tres siguientes, la 4,  la 5 y la 6 tienen una separación de 52,5º respecto a las más cercanas ( la 1, la 2 y la 3 respectivamente)

d) La 7ª tiene un ángulo respecto a la más cercana la 2 de 32,5º y respecto de la 4 de 52.5º así … observamos que  ninguna hoja tapa a una inferior.

0a1El  video encontrado en YOUTUBE:   Ángulo de oro y FILOTAXIA,subido por  C. R. IPIÉNS, nos ayuda a clarificar todo esto.

A partir de 1:50 minutos tenemos la obtención del  ángulo áureo por medio de arcos de circunferencia y a partir del minuto  2:23 se explica con detalle  la distribución de las hojas alrededor de un tallo según la proporción áurea.

Un rectángulo muy especial

 Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo. Sólo por curiosidad, invitamos al lector a que mida y obtenga las proporciones de las ventanas de su casa, de su cuadro preferido, del mueble que más le agrada, muy probablemente serán rectángulos áureos.

 Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial como se puede ver en la animación.

   El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo (recursivo diría alguien dedicado a la computación) y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo. Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.

 Una vez construida esta sucesión de rectángulos áureos encajados, si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una curva llamada Espiral de Durero. En realidad esta curva no es una espiral puesto que está formada por arcos de circunferencia pegados. Es una aproximación de una espiral logarítmica.

 

Existe otra espiral basada en el número áureo que se construye a partir de un triángulo isósceles de ángulos 36º, 72º y 72º. Se comienza trazando la bisectriz de uno de los dos ángulos iguales, por ejemplo el ángulo A, que corta a uno de los lados iguales en el punto D. Se forma así un nuevo triángulo ADC que es semejante al anterior. Si repetimos el proceso trazando la bisectriz del ángulo ACD que corta al lado AD en el punto E se vuelve a formar otro triángulo isósceles ACE que es semejante a los anteriores. Al repetir el proceso indefinidamente, los triángulos que se van formando son todos semejantes y verifican que los cocientes entre el lado mayor y el lado menor de cada triángulo tienden hacia el número de oro, de ahí el nombre de triángulos áureos.


Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales.1 Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 a. C./428 a. C.347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos,sólidos perfectos, poliedros de Platón o, en base a propiedades geométricas, poliedros regulares convexos.

SÓLIDOS PLATÓNICOS Tetraedro Hexaedro,Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
Animación Tetrahedron.gif Hexahedron.gif Octahedron.gif Dodecahedron.gif Icosahedron.gif
Desarrollo Tetraedro desarrollo.gif Cubo desarrollo.gif Octaedro desarrollo.gif Dodecaedro desarrollo.gif Icosaedro desarrollo.gif
Número de caras 4 6 8 12 20
Polígonos que formanlas caras Triángulos Equiláteros Cuadrados Triángulos Equiláteros Pentágonos Regulares Triángulos Equiláteros
Número dearistas 6 12 12 30 30
Número devértices 4 8 6 20 12
Caras concurrentesen cada vértice 3 3 4 3 5
Vértices contenidosen cada cara 3 4 3 5 3
Grupo de simetría Tetraédrico (Td) Hexaédrico (Hh) Octaédrico (Oh) Icosaédrico (Lh) Icosaédrico (Lh)
Poliedro conjugado Tetraedro(autoconjugado) Octaedro Hexaedro, Cubo Icosaedro Dodecaedro
Símbolo de Schläfli {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5}
Símbolo de Wythoff 3 | 2 3 3 | 2 4 4 | 2 3 3 | 2 5 5 | 2 3
Ángulo diedro 70.53° = arccos(1/3) 90° 109.47° = arccos(-1/3) 116.56° 138.189685°
Radio externo  R= \frac{ \sqrt{6} }{4} \cdot a  R= \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot a  R= \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot a  R=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a  R=\frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}}
 \approx  0.612 \cdot a  0.866 \cdot a  0.707 \cdot a  1.401 \cdot a  0.951 \cdot a
Radio interno  r= \frac{ \sqrt{6} }{12} \cdot a  r= \frac{ {a} } {2} r= \frac{ \sqrt{6} }{6} \cdot a r=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } r=\frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right)
 \approx  0.204 \cdot a  0.5 \cdot a  0.408 \cdot a  1.113 \cdot a  0.756 \cdot a

Fuente: WIKIPEDIA

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