La Identidad de Euler: i

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El producto por i efectúa rotaciones de 90º

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a  √-1  el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenía una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que √-1 era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

Potencias de i0a1

Los números de los que les hablaré se llaman números complejos. Un número complejo es algo distinto a los números que conocen, pues están hechos de dos partes: una real y una imaginaria. Un número complejo tiene la forma a+bi, donde a y b son números reales. Algunos ejemplos son:  3+3i,  √2-i,  ¾-½i  

Como casos particulares de números complejos, cuando b=0, tenemos a los números reales que ya conocemos. Si a=0 tenemos números de la forma ib, que al elevarlos al cuadrado nos darán –b², es decir, son las famosas raíces de los negativos; y se les llama imaginarios puros.

Genial, ahora empecemos con la magia

Primero truco: ¡todas las reglas del álgebra que teníamos con los números reales también funcionan para los complejos!  Suma, resta, multiplicación,  división, 

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Descargar: Formulario de complejos

potencias y raíces de cualquier estilo (inclusive pueden sacar raíz  i-ésimas ¿se lo pueden imaginar?), todo sigue funcionando sin contradicciones ni problemas.

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Descargar: Resumen de complejos

¿No les sorprende? Con solo agregar i, a parte de ganar todas las raíces negativas, hemos obtenido raices y potencias complejas totalmente gratis, sin entrar en conflictos o problemas nuevos. Pronto veremos más sobre que “significan” exactamente estas operaciones, pero bueno pasemos al siguiente truco de magia:

El teorema fundamental del álgebra

¿Recuerdan en sus clases de mate de secundaria y preparatoria cuando los ponían a resolver  ecuaciones del estilo x²+1=0,  o  x²+x+1=0 con las que felizmente decían “no tiene solución” porque de alguna forma les salía una raíz negativa? ¡Pues no más!

El teorema fundamental del álgebra, nos dice que cualquier polinomio siempre tendrá solución en los complejos. Más aún, que el número de soluciones es igual al grado del polinomio.

Es decir, si les pusieran a resolver una ecuación como está:

 123 + 25x³- x¹²³  = 0

Podrán decir felizmente “bah… es obvio que tiene 123 soluciones en los complejos, gracias al teorema fundamental del algebra”

¿Ven la potencia de los números complejos? Ya no se vale decir que no existe solución. Es decir, los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. Así:

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Descargar: Clasificación de los Conjuntos Numéricos

                            Esto apenas comienza, vamos con el siguiente truco:

La interpretación geométrica de los complejos, es decir el plano complejo

Como les dije, los números complejos están formados por una pareja de números a y b. Esto quiere decir que así como podían localizar a cada número real en una recta (recuerden 0a1sus ejercicios con la ranita saltando) un número complejo lo podrán localizar en un plano: el plano complejo. Para esto se pone al número complejo a+ib como un par de coordenadas (a,b), y ahora simplemente buscan en donde cae. Así, pues podemos visualizar un número complejo como un punto (en rojo) del plano o como un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; a +bi es la presión binomial del punto.

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Ver: El Plano complejo

Lo bello de esta idea es  que ahora podemos hacer geometría con estos números. Ok, ok, ya puedo escuchar sus protestas venir “Eso ya se podía con la geometría analítica”.

Bueno déjenme detallar un poco más. La geometría con complejos es un poco distinta, lo que tiene de peculiar son las operaciones con complejos. Esto es porque vamos a pensar a las operaciones como algo que transforma a todo el plano. No se preocupen si les suena raro, les va a quedar claro con los ejemplos.

Empecemos con la suma. La transformación que hará la suma será la de mover todo el plano, es decir, una traslación. Esto quiere decir que si tenían una figura como un triángulo ABC y aplican la operación “sumar un complejo” 1 + i, 

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terminaran trasladando a todo el triángulo en dirección del vector (1, 1), que es el vector asociado al número complejo  1 + i. 

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La multiplicación se convierte en una dilatación combinada con una rotación. Veamos que pasa si tenemos un triangulo, y multiplicamos por 2i. Supongamos que sus vértices son (1,2), (3,2) y (2,1) para que quede claro y fuera de dudas.

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Entonces al efectuar la multiplicación el punto (1,2) pasará a ser (-4,2), pues (1,2) era nuestra representación para 1 +2i que al multiplicarlo por 2i nos dará  2i+4i² = -4 +2i   Lo mismo para cada uno de los vértices.

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Siguiente truco: Apliquemos lo que ya sabemos de geometría. Por ejemplo, los puntos en el plano también se pueden localizar dando su distancia al origen y el ángulo de inclinación que tiene con respecto a la recta real. A está forma de localizar puntos en el plano se le llama “coordenadas polares”

Es decir, que un número complejo también se puede escribir como otra pareja de números (r, θ) donde a r lo llamaremos el modulo, y teta el argumento.

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Descargar: Mapa Conceptual

¿Qué ventajas tiene hacer esto? Pues que ahora podemos aplicar un poco de trigonometría básica, y escribir nuestro número complejo como una suma de seno y coseno. (Una cosa que no les he dicho… así como la x la usamos para detonar números cualesquiera, se suele usar la z para denotar números complejos cualesquiera)

z = r (cosθ +i senθ)

El argumento θ  y módulo localizan un punto en un diagrama de Argand; z = r (cosθ +i senθ)  que es la expresión polar del punto.

0a1Una consecuencia natural de que los números complejos se puedan escribir en términos de senos y cosenos es que inmediatamente se conectan con el poderoso número e.

Basándose en series de Taylor y cálculo diferencial, Euler llegó, como se intenta justificar en la imagen de al lado, a esta fórmula: la Fórmula de Euler.

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0a1¿Cómo más podrían describir esto sino como algo mágico? No sé ustedes pero a pesar de que conozco está expresión desde hace ya algunos años, me sigue sorprendiendo. Está expresión se conoce como la Fórmula de Euler. ¡Simplemente hermoso!

¿Qué pasará si sustituye en la Fórmula de Euler θ por π?

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¡Es la identidad de Euler!

La identidad más famosa de las matemáticas

La Identidad de Euler es la fórmula más famosa de las matemáticas, ya que liga los cinco números más famosos de la matemática e, i, π , 1 y 0. ¡Sólo falta Φ!

La belleza de esta fórmula radica en su extraordinaria sencillez y en el hecho de que se podría decir que en ella está resumida casi toda la matemática. En ella encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad. Tenemos también, como queda dicho, los cinco números fundamentales:

El número e

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que es el número más importante del análisis matemático;

El número PI

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que es el número más importante de la geometría;

El número i

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que es el número más importante del álgebra;

Y los números 0 y 1,

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 que son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros, respectivamente, de la adición y la multiplicación.

¿De dónde viene esta identidad?

Leonard Euler fue un gran matemático y físico, nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Es considerado el mejor matemático de siglo XVIII y uno de los mejores de la historia. Aportó grandes ideas en los campos del cálculo, geometría, lógica, teoría de números, hidrodinámica, mecánica, electromagnetismo y demás. Fue verdaderamente un genio. Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación más elegante y magnífica de todas.

Como he dicho, mediante series numéricas, Euler encontró que,

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Ver: La Fórmula de Euler

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Por lo tanto, si hacemos

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que es la identidad de Euler, considerada como decía por muchas personas como la ecuación más elegante de las matemáticas.

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El producto por i efectúa rotaciones de 90º

De hecho, ahora conocen ésta expresión para los complejos se vuelve obvio porque la multipliacion funciona como funciona0a1

Es decir se multiplican los modulos (dilatación) y se suman los argumentos (rotación) De hecho les dejo como tarea deducir la expresión para el seno y coseno del doble de angulo, y de paso el triple ángulo. Van a ver que es muy fácil de encontrar ahora que saben la formula de Euler.

Esto se empieza a alargar, pero ¡adivinen que! ¡Apenas estamos rozando las primeras capas de magia de los complejos! 
Así que agárrense que vamos a profundizar más. Claro, cuanto más profundicemos, mayor será  el nivel de abstracción para entender los conceptos, pero confíen en mí, de verdad vale la pena detenernos un rato a apreciar la belleza de este número. Haré lo posible por explicar de forma sencilla y que todos puedan entender. Vamos a empezar con una operación sencilla que aparecerá muchas veces en los complejos:0a1

El congujado.

Es muy fácil entender  que es el conjugado de un complejo, solo se trata de cambiar el signo de la parte imaginaria del número. Por ejemplo el conjugado de 4+2i, es 4-2i. El conjugado se denota poniendo una rayita arriba del número, es decir si su número es z su conjugado es z¯  ¿Sencillo no? Ahora, recordaran que podemos representar a los complejos de varias formas distintas, por ejemplo como un punto en el plano. Así que geométricamente, el conjugado es la reflexión a través del eje real (el eje x)0a1 

También podíamos representarlos en términos de su magnitud y su ángulo con respecto al eje real como z = r e^iθ. Entonces el conjugado es simplemente cambiar el signo al ángulo z = re^-iθ

¡Genial! Ahora que ya  sabemos que es el conjugado de un complejo, vamos a ver algunos trucos mágicos que podemos hacer con él.

Producto punto y producto cruz

Existe una forma fantástica y sencilla de juntar el producto punto y producto cruz en los complejos. Quizá algunos de ustedes se estén preguntando ¿qué es eso de producto punto (escalar) y cruz (vectorial)? Simplemente son dos formas en las que se pueden multiplicar vectores (pueden pensar un vector como una “flechita”, que tiene magnitud y dirección)

El producto punto (escalar) entre dos vectores se interpreta como la proyección de uno sobre el otro. Pueden imaginarlo como “la sombra” que proyectaría  uno sobre el otro en un día soleado.

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Sí saben un poco de trigonometría podrán ver fácilmente que el producto punto es lo mismo que |a| |b|cos(θ)  donde |a| y |b| simplemente son la magnitud de los vectores

El producto cruz (vectorial), tiene más que ver con áreas. Si ustedes tienen dos vectores, pueden construir un paralelogramo con ellos. El módulo del producto cruz les dirá cuánto vale el área de ese paralelogramo.

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Resulta que el área de este paralelogramo es|a| |b|sen(θ)  y en realidad es muy fácil comprobarlo, solo hay que calcular el área de la mitad del paralelogramo, es decir,  un triángulo y luego multiplicar por 2.

Y calcular el área de un triángulo es lo más fácil del mundo, base x altura /2, pero el truco será cambiar la altura|a| sen(θ), (por eso en la figura les dibujo los dos triángulos y el ángulo entre los vectores) sustituyendo el área del triángulo es |a| |b|sen(θ) / 2

Para el paralelogramo es eso mismo x 2.

¡Genial! Ahora vamos a juntar esto con lo que vimos del conjugado

¿Cuánto valdrá a‾ z?

Aaah pues muy fácil, ya sabemos que multiplicar es rotar y dilatar, así que multiplicar por a‾ simplemente será mover a z un angulo θ y ampliarlo |a| veces

Para hacerlo más visual ¿qué pasará con el triángulo rectángulo formado por el vector a‾z   y  el eje de abscisas?

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¡Guau! ¡Vieron eso!

¿Cuánto vale la parte real de este producto? ¡Pues el producto punto!

¿Y cuánto vale la parte imaginaria? ¡El producto cruz!

No sé ustedes, pero cuando yo vi eso, me sorprendí mucho (bueno… tampoco tan difícil sorprenderme) Es una forma fácil y sencilla de juntar los dos productos más famosos entre vectores.

En fin, disfrutemos esto unos segundos y sigamos que la magia no se hará sola…. Ya sabemos qué hace la multiplicación, la suma y el conjugado, así que naturalmente la magia continua con:

1/z

Probablemente estén pensando que sí ya vimos la multiplicación, seguramente la división es lo mismo pero al revés.

Bueno, sí, tienen toda la razón, pero vale la pena ver con nuestros propios ojos que pasa, porque la división incluye en ella un concepto muy poderoso: la inversión.

¿Qué es esto de la inversión? Es una operación que voltea al plano alrededor de un círculo. Todo lo que se encuentra dentro del círculo se sale, y todo lo que está a fuera, entra.

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Aaah ¿verdad que suena loco?

Hay muchas cosas interesantes que salen de esto

Por ejemplo, a la hora de invertir, los puntos que estaban más alejados del origen, son ahora los más cercanos a él. Eso hace que figuras que se van al infinito (como las rectas) se conviertan en figuras que pasan por el origen. Es decir, técnicamente le estamos pegando un “punto al infinito”

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¡Oooh! ¿Entonces ahora todas las rectas se cortan no? En el infinito.

Algo igual, o más sorprendente es que ¡los ángulos se conservan! Es decir, si tenían dos figuras que formaban un ángulo recto, y las invierten, seguirán teniendo un ángulo recto.

Les dejo como ejercicio a su imaginación, ¿qué pasará si invierten dos rectas no paralelas? ¿Qué pasará si invierten círculos? ¿Sí invierten rectas que sean tangentes al círculo de inversión? Ya tienen muchas preguntas interesantes con las que entretenerse.

En fin, la división es exactamente lo mismo que la inversión, pero además las figuras quedan volteadas de cabeza, porque a diferencia de la multiplicación, en la división los ángulos se restan. Es decir, pueden pensar en la división como una inversión combinada con un conjugado.

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Evidentemente la figura no está en la escala correcta… si lo estuviera el Pikachu estaría más cachetón

SACADO DE:

https://imperiodelaciencia.wordpress.com/el-magico-numero-i


0a1PARA SABER MÁS:

  1. Teoría números complejos
  2. Números complejos 1
  3. Los números complejos
  4. Números_Complejos 2
  5. Números complejos 3
  6. Resumen_complejos
  7. Números complejos 4
  8. Ejercicios números complejos
  9. Cálculo_con números complejos
  10. Monografía de números complejos

 

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