La Divina Proporción

“Lo pequeño es a lo grande como lo grande es al Todo”

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          El Tamaño de TODO


El TODO, que es UNICIDAD,

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sin nada con qué compararse, no tenía TAMAÑO.

Así que ‘simuló’ dividirse en partes:    A = B + C

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Ahora, el TODO, podía compararse con sus PARTES y ‘adquirir’ TAMAÑO:

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Y las PARTES podían compararse entre sí y ‘adquirir’ TAMAÑO relativo:  

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        RAZÓN: la aparición del TAMAÑO

0a1Las cosas no son grandes o pequeñas ‘per se’. Si sólo existiese un cuerpo en todo el universo no podríamos aplicarle ninguno de esos calificativos. El tamaño de un cuerpo se pone de manifiesto cuando está ‘al lado’ de otro cuerpo, y podemos compararlos.

Es, pues, una propiedad relativa que surge de la COMPARACIÓN. Es más, para que el TAMAÑO de las cosas adquiera una significación universal deberemos compararlas SIEMPRE con el mismo objeto: la UNIDAD de medida.

Dos segmentos de linea recta, A y B, podemos compararlos, de forma natural, ‘por cociente’: A/B. A esta comparación por cociente A/B los griegos la llamaron RAZÓN, y determina el TAMAÑO de A tomando B como unidad. Es decir, determina cuántas veces el segmento A contiene al B. Como se ve en la figura adjunta, hay tres posibles resultados:

  1. 0a1Que A sea un múltiplo de B, es decir, que A contenga a B un número exacto de veces. Entonces la razón es un número entero m.
  2. Que A y B tengan una parte alícuota, es decir, que tengan un divisor común. Entonces la razón es una fracción m/n.
  3. Que A y B sean inconmensurables, es decir, que no tengan ningún divisor común. Entonces la razón es un número irracional.

  EN RESUMEN: TODO (por ejemplo, la cantidad de longitud A) adquiere tamaño solo por COMPARACIÓN  (por ejemplo, con otra cantidad de longitud B):

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Pero se trata de un TAMAÑO RELATIVO, porque depende de B: la UNIDAD DE MEDIDA. Con otra ‘medida’, C, TODO (A) tiene otro tamaño distinto:

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     La Forma de TODO


0a1La UNICIDAD, dándose cuenta de que podía dividirse en partes de INFINITAS FORMAS distintas, optó por la MÁS PERFECTA. ¿Cuál? ¿…? 

  • ¿La que hace todas las PARTES IGUALES…? ¡Qué aburrido!

  • ¿La que hace a unas partes especiales…? ¡Qué injusto!   ¿…?  

  • ¿…?  Sí, será la que asegurando la DIVERSIDAD mantenga la UNICIDAD. La que haga las partes SEMEJANTES entre sí, y, además, SEMEJANTES AL TODO, asegurando la AUTOSEMEJANZA. 

Como TODO es una SUMA DE PARTES y, a su vez, PARTE de una SUMA SUPERIOR, sólo cuando las PARTES y el TODO son SEMEJANTES entre sí, se consigue la AUTOSIMILITUD y, por tanto, la AUTOCONFORMIDAD del sistema. 


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0a1La Autosemejanza o Autosimilitud es un principio creativo de profunda belleza, perfección y armonía. Se consigue cuando el Todo y las Partes tienen la misma estructura o patrón subyacente; es decir, son similares.

0a1Nada como la Autosimilitud consigue dotar de BELLEZA a una estructura. Es más, si algo es bello, es seguro que la AUTOSEMEJANZA rige su ritmo estructural. Además, la Autosimilitud Infinita conduce a la Fractalidad, que son las dos características esenciales de las Estructuras Holográficas donde la Parte, sin ser el Todo, lo contiene (al contener toda su información)


Así, pues, el TODO se dio cuenta de que para dividirse en partes de una manera autosemejante tenía que seguir la REGLA DORADA (o principio de la fractalidad):

“Lo pequeño tiene que ser a lo grande, como lo grande es al Todo”

 Regla que aplicada a la cantidad se conoce como DIVINA PROPORCIÓN:

0a1La Divina Proporción es el título de un tratado sobre las propiedades de esta razón y su presencia en los poliedros regulares, debido a Fra Luca Pacioli, con el interés añadido de que la obra estuvo ilustrada por Leonardo da Vinci. En el siglo XIX y principios del XX hubo un interés muy grande por esta proporción, y desde entonces se suele indicar con la legra griega Φ, unos dicen que en honor de Fidias y otros que en relación con Leonardo de Pisa, alias Fibonacci.

En el LENGUAJE SIMBÓLICO de las matemáticas tendríamos que:0a1

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Llegados aquí es muy importante percatarse, una vez más, de que todas las cosas (por ejemplo, las cantidades de longitud A, B y C) adquieren tamaño solo por COMPARACIÓN. Así:0a1

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Pero se trata de un TAMAÑO RELATIVO, por lo que la igualdad de TAMAÑOS RELATIVOS o PROPORCIÓN  

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nos lleva a un nuevo concepto que es independiente del tamaño: LA SEMEJANZA.

En nuestro caso,  la igualdad anterior asegura que, por ejemplo, los rectángulos de dimensiones (A, B) y (B, C) son SEMEJANTES: tienen la misma FORMA.0a1

Ver la siguiente presentación: PROPORCIONES NOTABLES

PROPORCIÓN: la caracterización de la SEMEJANZA

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Se precisa un mínimo de tres segmentos para poder establecer una ANALOGÍA o COMPARACIÓN que conduce al concepto de SEMEJANZA, y que, a su vez, queda caracterizada por la PROPORCIONALIDAD. Así:0a1

“A es a B, como B es a C”, o bien, “A/B es semejante a B/C”    

0a1Lo que tiene la traducción geométrica que se ve en la figura: Primer Teorema de Thales.

2.-Teorema-de-TalesSe dice que B es ‘media proporcional’ entre A y C, y su preciosa construcción geométrica se basa en el Segundo Teorema de Thales.

0a1La AUTOSEMEJANZA impone una condición más: que el Todo esté formado por Partes y que éstas y el Todo sean semejantes. Es decir, si tenemos un Todo A y dos Partes, B y C, entonces A = B + C y, además, éstas y el Todo son SEMEJANTES o PROPORCIONALES entre sí:

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0a1Que tiene la traducción geométrica que se ve el la figura. 

Y que, como si nada, configura un rectángulo muy especial:

EL RECTÁNGULO ÁUREO. Pero de él hablaremos más adelante.

        EN RESUMEN: Dadas dos RAZONES (dos tamaños relativos)

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su igualdad  

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establece una PROPORCIÓN. Y toda PROPORCIÓN define una FORMA.


     El Número de TODO


0a1Para que el tamaño sea algo absoluto tenemos que tomar siempre una misma UNIDAD DE MEDIDA. Entonces aparece el NÚMERO como el valor de la medida de las cantidades de magnitud (por ejemplo, la longitud) respecto a esa UNIDAD UNIVERSAL.

 En nuestro caso, si tomamos como UNIDAD DE MEDIDA la parte más pequeña, C, conseguimos que las otras dos, B y A, tengan VALOR NUMÉRICO (el valor de su MEDIDA en unidades ‘C’) Así:

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  • C = 1
  • B = (B/1) = (B/C) = x
  • A = (A/1) = (A/C) = x+1

 

Calculemos el valor numérico de x. Como hemos visto, la AUTOSEMEJANZA en TAMAÑO implica que la parte menor es a la mayor, como la mayor es al TODO. Así:

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lo que significa que B/C = Φ. Es decir, que C ‘cabe’ Φ veces en B. Y que A/C , la MEDIDA de A tomando C como unidad, es Φ+1.

EN RESUMEN: Tomando una UNIDAD DE MEDIDA UNIVERSAL vemos que el VALOR DE LA MEDIDA de TODO respecto a la parte mayor, y la de la parte mayor respecto a la menor, es Φ. Así: 

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Podemos decir que Φ es el número de TODO.

Como Φ es solución de la ecuación x² = x + 1, tenemos que

Φ² = Φ + 1

Lo que hace de Φ un NÚMERO MUY ESPECIAL: 
  • Es el número al que si se le suma 1 se obtiene su cuadrado. 

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  • Y si se le resta 1 se obtiene su inverso. 

  • Si nos fijamos que

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Tenemos que Φ, √Φ, 1 son los lados del único triángulo rectángulo que tiene sus lados en progresión geométrica.
 

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  • Φ es un número IRRACIONAL. Es decir, Φ no tienen ninguna parte alícuota con 1.

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  • Evidentemente Φ es un IRRACIONAL ALGEBRAICO  ya que es solución de una ecuación de segundo grado que se resuelve mediante radicales

x² = x + 1

0a1B2E

 

  • Φ es un IRRACIONAL ALGEBRAICO EUCLIDIANO, es decir, se puede dibujar con regla y compás

 

  • 0a1

    DESCARGAR: NÚMEROS METÁLICOS

    Φ es un IRRACIONAL ALGEBRAICO EUCLIDIANO CUADRÁTICO, es decir, tiene un desarrollo en fracción continua que es periódico [1; 1, 1, 1… ]. ¡El de más lenta convergencia entre los irracionales cuadráticos!

  • Y, SOBRE TODO, vemos que 1 y Φ principian una progresión geométrica muy, MUY ESPECIAL, la Progresión Geométrica que participa de la esencia aritmética en el siguiente sentido: un término cualquiera es suma de los dos anteriores.

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     El Secreto de TODO: LA FRACTALIDAD


0a1No nos queda más remedio que rendirnos a la evidencia: TODO es una suma de PARTES, que a su vez es PARTE de una suma SUPERIOR. Y siendo las partes semejantes entre sí, y semejantes al TODO, la FRACTALIDAD es la Ley de Organización Universal.

Visualizamos aquí esta relación existente entre la SECCIÓN ÁUREA y la FRACTALIDAD: la sección áurea es la única que se ‘propaga’ a sí misma mediante ‘restas’ (o sumas) de los elementos anteriores. Una vez que hemos ‘seccionado’ un segmento ‘áureamente’, un simple movimiento de compás nos permite repetir este proceso indefinidamente, consiguiendo, así, una PARTICIÓN AUTOSEMEJANTE INFINITA del segmento original. Esto la hace imprescindible en el diseño de PARTICIONES AUTOSEMEJANTES mediante la regla y el compás.

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En efecto, en la sucesión decreciente de segmentos azules y rojos cada uno de ellos es “sección” áurea del anterior, siendo Φ el factor de la progresión. Aproximando a las milésimas los valores nominales de sus medidas tenemos que:

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 0a1En esta ‘deconstrucción’ del PENTAGRAMA podemos apreciar, una vez más, como esta ‘partición asimétrica’ de un segmento conduce a una Proporción que podemos calificar de Divina ya que principia una progresión geométrica que participa del carácter aritmético, lo que asegura la COMPACIDAD de esta ‘Partición Asimétrica’. Es decir, allí donde aparece lo hace de forma reiterada y muy ‘compacta’ (muchas veces)  

Además, muestra una ‘partición infinita’ de la UNIDAD muy especial.

1 = 1/Φ² + 1/Φ³ + …    

     En RESUMEN


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… “El TODO, que es UNICIDAD, tenía CONSCIENCIA de SÍ-MISMO, pero no tenía CONOCIMIENTO matemático de SÍ-MISMO.

 “Por ejemplo, no conocía de manera ‘experiencial’ su FORMA, ni su NÚMERO, ni su TAMAÑO, que son tres de las cosas que conforman el auténtico conocimiento:

EL CONOCIMIENTO DE UNO MISMO  ⇒

“La UNICIDAD, queriendo tener conocimiento matemático (veraz) de SÍ-MISMA, se percató de que el CONOCIMIENTO

   de la FORMA                     del  NÚMERO                       y del TAMAÑO

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IMPLICA la COMPARACIÓN. 

Pero como no tenía con quién compararse ideó un artificio:

DIVIDIRSE EN PARTES DE UNA MANERA ARMONIOSA.

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“Y la UNICIDAD vio que la forma MÁS ARMONIOSA de ‘dividirse’ en partes estaba regida por un ‘PRINCIPIO CREADOR’ que generaba la AUTOSEMEJANZA o AUTOSIMILITUD, y que, por ende, aseguraba la AUTOCONFORMIDAD de la DIVERSIDAD en la UNICIDAD.

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“Un ‘Principio Creador’ que era a la vez FORMA (la divina proporción), NÚMERO (el número de oro) y TAMAÑO (la razón áurea): Φ

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Tamaño, Número y Forma:

tres conceptos sutiles, ingrávidos y gentiles como pompas de jabón. ¿Te gustaría de nuevo verlos pintarse de Φ, volar bajo el cielo de las abstracciones matemáticas… y no quebrase? Escucha, entonces, esta hermosísima sinfonía polifónica en tres actos. 


     Primer Acto: la Sección Áurea


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Seccionar en dos partes un segmento de línea recta no parece entrañar ningún misterio, pero no es así cuando buscas el equilibrio, la armonía… y la belleza. Porque estas cosas requieren que la partición se haga de la única manera que genera autosemejanza: la SECCIÓN ÁUREA. 

Su construcción y uso no es nada complicado, lo que pasa es que es mucho más inmediato hacer una partición estática, basada en la igualdad, como dividir algo por un número entero, lo mismo que establecer un ritmo de crecimiento a partir de, por ejemplo, la duplicación: 1, 2, 4, 8, 16… 0a1En el mundo de la informática es lo usual, y cuando nos condicionan factores materiales, espaciales, físicos, la cuadrícula es la forma más cómoda de adaptarse a estos condicionantes. Pero que conducen, inevitablemente, a la repetición periódica del mismo elemento (particiones simétricas, teselaciones…)  que no convienen al MUNDO DEL DISEÑO.

0a1También en la naturaleza se manifiestan otras organizaciones formales y principios proporcionales mucho más interesantes como modelo para el trabajo creativo.

0a1Esto es así, porque la Vida impone a sus Formas tanto las particiones simétricas y como las asimétricas, y la repetición de un mismo patrón en el Todo y en las Partes (sólo que a una escala cada vez más y más grande) que asegure el ‘CRECIMIENTO HOMOTÉTICO’ -cambiar de tamaño sin alterar la forma- y LA AUTOSEMEJANZA.


 0a1La ‘Sección Áurea’ está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III), en una construcción geométrica denominada División o Sección de un Segmento en Media y Extrema Razón. La idea es tan simple como perfecta: el Todo se divide en dos Partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas.

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La magia de este Principio Creador, LA AUTOSIMILITUD, consiste en que se ‘propaga’ hacia dentro y hacia fuera sin límites. Dando lugar a una DANZA MÁGICA de creación autosemejante.  Así ⇒

Y tampoco tiene problemas en enroscarse sobre sí mismo y transmitir su increíble poder creador a las estructuras circulares o helicoidales, como los primordios en las yemas de las plantas, lo que da lugar a esa distribución óptima de los elementos botánicos -semillas, pétalos, hojas… y tallos- que estudia con admiración la FILOTAXIA.0a1

 Construcciones geométricas de la Sección Áurea


Si partimos de un segmento AB de longitud a, y queremos ‘seccionarlo áureamente’, tememos que encontrar b, tal que:

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9.-Rectángulos-perfectos

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Con Regla y Compás de procede así: dado un segmento AB, para aplicarle la Sección Áurea se le coloca perpendicularmente en un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. Se define así un triángulo rectángulo con los catetos en proporción 1:2. Pues bien, a la hipotenusa [√5/2 AB] se le resta el
cateto menor [½AB] (arco de la derecha) y la diferencia, que llevamos al segmento AB con otro arco, es la sección áurea de éste [√5/2 AB – ½AB].

La parte menor Bφ es a la mayor Aφ como ésta es a la suma AB.

Si ahora partimos de un segmento AB de longitud b, y queremos ‘prolongarlo áureamente’, tememos que encontrar a, tal que:

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0a1Es hacer la operación inversa, es decir, averiguar de qué medida es sección áurea el segmento AB. Formamos el mismo triángulo que antes, pero en lugar de restar a la hipotenusa el cateto menor, se le suma. AB es sección áurea de Aφ, y este segmento es la suma de AB y su sección áurea hallada en el esquema anterior, por supuesto.

 EN RESUMEN:0a1

Lo mismo, pero partiendo del concepto de ‘potencia de un punto’ respecto a una circun-ferencia.

   Segundo Acto: El Número de Oro


Toda Proporción queda caracterizada por un ‘número’ que es la CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD: el valor que toman las infinitas razones iguales a una dada.

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En nuestro caso es bastante fácil calcular la constante de proporcionalidad de la Divina Proporción: EL NÚMERO DE ORO. Así:

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Un poco más de manipulación algebraica nos lleva a concluir que Φ es el número que si se le suma 1 queda elevado al cuadrado. Así:

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0a1El Número de Oro, es, en la Sociedad de los Números, una personalidad, un invariante notable, y el más interesante de todos los números irracionales algebraicos: sus representaciones algebraicas y numéricas así lo atestiguan.

Todo parte de esta IGUALDAD FUNDAMENTAL:

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0a1Cálculo de la proporción áurea por Nicolás Copérnico. En De revolutionibus orbium coelestium explica su teoría heliocéntrica, basado en la Geometría de Euclides, a partir de seis teoremas y un problema.

En el Libro I, Teorema I, demuestra, en base al diámetro de un círculo, las medidas de los lados del triángulo, tetrágono, cuadrado, hexágono, pentágono y decágono, a los que circunscribe dicho círculo, y desarrolla, quizás por vez primera en la historia de la Geometría, el valor del número áureo Phi.

   

Tercer Acto: la Divina Proporción


Un rectángulo áureo es aquel en que sus lados están en razón áurea. 0a1Se puede construir rápidamente a partir de un cuadrado: cogemos el punto medio de la base, tomamos con un compás la distancia hasta uno de los vértices superiores y con un arco llevamos esta medida a la prolongación de la base. El rectángulo ampliado es áureo, como también la ampliación, si suprimimos el cuadrado inicial, tiene esta misma proporción.

A veces vemos estas otras construcciones, pero hacen lo mismo que la anterior, definir un triángulo rectángulo con un lado y la mitad de otro, restar la mitad a la hipotenusa y aplicar la diferencia como ampliación del cuadrado:

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0a1En 1876 el alemán Gustav Theodor Fechner (1801-1887), el inventor de la psicología física, hizo un estudio estadístico con personas sin experiencia artística, a las que pidió que escogieran el rectángulo que les agradase más entre varios, incluyendo el cuadrado. El rectángulo áureo y otras variantes muy próximas resultaron elegidas por una destacada mayoría. 

Es muy sencillo r0a1eproducir la prueba de Fechner. Únicamente  se debe seleccionar una serie representativa de personas y presentar ante ellas rectángulos de distintos tipos. La simple pregunta sobre cuál les gusta más, arroja un resultado sorprendente. Pero, como saben los especialistas, el evaluador también debe ser evaluado.

Fechner ta0a1mbién realizó meticulosos estudios estadísticos sobre las proporciones en el cuerpo humano, y concluyó que “para que un objeto sea considerado bello desde el punto de vista de la forma debe haber entre la parte menor y la mayor la misma relación que entre la mayor y el todo”.
Ésta es la descripción de la relación  áurea. La ciencia, al fin, parecía dar crédito a la idea de que la divina proporción poseía una armonía y una belleza intrínsecas.

0a1Mucho antes de eso, sin embargo, artistas y arquitectos de todas las épocas habían llegado ya a una conclusión parecida. La influencia de la sección áurea y sus diferentes manifestaciones puede encontrarse ya en la Grecia clásica, pero la historia de su relación con el arte debería arrancar, posiblemente, con el Renacimiento y el inicio de la teorización rigurosa sobre el acto creativo.   ___________________________0a1

… y la (pseudo) espiral logarítmica.


0a1Del gráfico anterior, deducimos que a cualquier rectángulo áureo se le puede restar por su lado menor o bien añadir por su lado mayor un cuadrado, y el resultado sigue siendo un rectángulo áureo. En gnomónica diríamos que el cuadrado es el gnomon del rectángulo áureo (traduzco: gnomon es aquella figura que añadida a otra le proporciona más superficie sin cambiar la forma). Esta propiedad se ilustra frecuentemente con esta espiral logarítmica:

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0a1Lo de espiral logarítmica hay que matizarlo, es una pseudo-espiral porque se forma con arcos de 90º de circunferencia inscritos en cada cuadrado y enlazados entre sí, mientras que en una verdadera espiral hay un cambio de curvatura constante, no cambios puntuales.

Se llama logarítmica porque a medida que aumentamos el ángulo de giro (θ) en proporción aritmética, la longitud del radio vector (r) aumenta en progresión geométrica. 0a1Es la única curva plana que tiene la propiedad de la equiangularidad.

Esto significa que corta todos sus vectores de radio en un ángulo constante.

Aquí se aprecia la diferencia, aunque mínima, entre la espiral de Alberto Durero (en rojo) y la logarítmica (en verde)

Si hacemos la construcción del rectángulo áureo hacia los dos lados de un cuadrado, el total es un rectángulo Raíz de cinco (sus lados están en proporción 1:√5)

0a1Se ve aún más claro si ponemos un doble cuadrado. Por el Teorema de Pitágoras sabemos que su diagonal mide √5, y es el doble que el radio utilizado en las construcciones anteriores. Así que realmente lo que estábamos haciendo con aquel triángulo era sumar o restar 0’5 a la hipotenusa que es 1/2 de R5.

  • La fórmula por tanto es Φ = (√5+1) / 2 = 1’61803398
  • Y su inversa (sección áurea) 1/ Φ = φ = (√5-1) / 2 = 0’61803398

Se ve perfectamente que forman una serie aditiva, porque entre los dos valores está el factor 1.
De hecho, es la única serie geométrica que es aditiva de dos términos. Y en cualquier serie aditiva tal que a(n) = a(n-1) + a(n-2) [aditiva de dos términos], en cociente entre sus términos consecutivos a(n+1)/a(n) converge rápidamente a Φ.

La Danza Mágica de Φ


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La Sucesión de Fibonacci


La relación de esta proporción con Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci (s.XVI) es que éste matemático indicó a los criadores de conejos la conveniencia de prever la producción calculando las cantidades de ejemplares en series aditivas: cada mes una pareja produce como media dos crías, que al mes siguiente ya pueden procrear, como también la pareja inicial. Así que cada previsión es la suma de la anterior más su producción. A estas series, en que cada término es la suma de los dos anteriores, se les llama desde entonces series de Fibonacci.

Pues bien, resulta que el límite de cualquiera de estas series es la razón áurea: 1,618033989. Es decir, tomamos dos números cualquiera como 2 y 6. Si iniciamos una serie los siguientes términos serían 8, 14, 22, 36, etc. Si observamos la razón entre cada término y el anterior veremos que comienza en 3, sigue en 4/3, y va oscilando aproximándose cada vez más a un valor que en 7 u 8 pasos ya es indistinguible de 1,618

Fibonacci-711640

En todo caso, la progresión en razón áurea es la única que reúne dos características: ser serie de Fibonacci (aditiva) y geométrica. Cada término es la suma de los dos anteriores y es media proporcional entre el anterior y el siguiente.

   Fibonachi en el triángulo de Pascal
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Este es el triángulo de Pascal que se forma, situando el número uno en los lados laterales del triángulo y los demás números, se hallan sumando los dos números situados en la línea superior del número en cuestión siguiendo la bifurcación en V según nos muestra el dibujo.

Sumando los números situados en las diagonales, líneas rojas y moradas del dibujo, se obtiene la famosa sucesión de Fibonacci.

Y es más sorprendente todavía la fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:

Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.

Ejemplo:

Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.

¡Prueba tú mismo!

   Su relación con el pentágono y dodecágono regulares


Hay tres grandes familias geométricas, regidas por tres raíces: √2, √3 y √5. La √2 regula la estructura del cuadrado, la duplicación. √3 rige las propiedades del triángulo equilátero y el hexágono. En base a cualquiera de las dos podemos organizar en red todo el plano, resolviendo lo que comentaba antes, de “acatar” las limitaciones físicas

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0a1La tercera familia, la de √5, regula la proporción áurea y el pentágono. No ofrece utilidades inmediatas, con ella es imposible generar estructuras isótropas que cubran todo el espacio. No se accede a sus propiedades por simple deducción visual, sinó a costa de una observación activa, intencionada. Desde la admiración de los pitagóricos por el pentágono estrellado hasta la construcción de cúpulas geodésicas derivadas del icosaedro, siempre ha tenido ese carácter oculto, contemplativo, abstracto, tan atractivo para los amantes de la geometría y las matemáticas.

Sin embargo, como hemos dicho, es un sistema muy compacto: allí donde aparece está en todas partes. Para construir el pentágono regular, bien a partir del lado base, bien circunscrito en una circunferencia, siempre tenemos que recurrir a la proporción áurea: se ve claramente que las operaciones son las mismas que vimos antes:

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Esto es porque todos los elementos están relacionados entre sí por esta proporción:

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 A- El lado es sección áurea de la diagonal.

B- Cada diagonal divide a otras dos según la sección áurea.

C- Si hacemos un rectángulo áureo con el radio r como lado mayor, la diagonal es igual al lado del pentágono, y el lado menor igual al lado del decágono.

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D- Si hacemos un rectángulo áureo con el radio r como lado menor, la diagonal mide igual que la diagonal del pentágono.

E- El radio es sección áurea del diámetro de la circunferencia inscrita, que es el doble de la apotema.

F- La altura h del pentágono mide √5 en relación a la apotema.

El Pentagrama Pitagórico

Los pitagóricos adoptaron como símbolo el Pentágono regular estrellado. Se le llamó también Pentagrama y Pentalfa (cinco puntas en forma de alfa). 0a1Aparte de la simbología de su número, su propiedad geométrica es que todos los segmentos están en progresión áurea.

El triángulo del pentalfa, también llamado Triángulo Sublime y Triángulo áureo mayor, tiene sus lados en proporción áurea, y sus ángulos en razón simple 1:2:2. Aparece en diversas formas en el pentágono y el decágono:

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Su complementario, el Triángulo Divino o Triángulo áureo menor, también es isósceles, también tiene sus lados en proporción áurea, y sus ángulos en razón simple 3:1:1. Aparece en el Pentágono:

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De hecho, si dividimos un pentágono usando vértices y cruces de diagonales siempre lo descompondremos en varios triángulos de ambos tipos. Si partimos uno de estos triángulos desde un vértice a la sección áurea del lado contrario, la división dará un triángulo de cada tipo. A la inversa, adosando a uno de éllos el contrario, se puede agrandar la superficie del primero. Por lo tanto, cada uno es gnomon del otro.

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Las superficies de los triángulos así divididos guardan la proporción áurea. El área del Pentágono regular, como vemos en la última figura, es √5 veces el del triángulo central. La proporción se manifiesta en todas partes, como un sistema perfectamente coherente.

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    Su presencia en el Dodecaedro y el Icosaedro


Entre los sólidos platónicos, estos dos participan de la proporción áurea en diversas cosas. Por ejemplo, en el Dodecaedro, la arista es sección áurea de la diagonal de cara, y ésta lo es de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre una cara, las alturas de los vértices intermedios seccionan en sentido alterno la altura total. Visto desde arriba, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las bases y por los vértices intermedios, están en razón áurea.

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En el Icosaedro podemos inscribir tres rectángulos áureos perpendiculares entre si, lo que significa que la arista es sección áurea de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre un vértice, los tramos de las alturas siguen la razón áurea, como también, visto desde arriba sobre una cara, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las bases y por los vértices intermedios.

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       Monumento a Φ

Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

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    Su presencia en “sitios insospechados”


  • Φ en un cuadrado inscrito en un semicírculo

phi-semi-circulo-cuadrado

  Se dibuja un circulo partido por su diametro (color verde). Dentro de este semicírculo se inscribe un cuadrado ABCD que tiene uno de sus lados (CD) sobre el diametro del semicírculo y sus otras dos esquinas (A y B) que intersequen con el mismo semicírculo.

  Si la longitud de la linea CD es igual a 1, CE es igual a Phi. 

  • Φ a partir de círculos concéntricos

phi_circulos_concentricos

  Se traza dos círculos (color verde) con el mismo centro Oa, uno con un diámetro de 1 y el otro con un diámetro de 2. Dicho de otra manera: dos círculos concéntricos en los que el diámetro de uno de ellos sea el doble del otro.

  Se desplaza estos dos círculos cambiando su centro desde Oa a Ob, Ob debe situarse en el primer círculo pequeño (color verde). Ahora tenemos dos círculos concéntricos (color verde) + otros dos círculos concéntricos (color morado).

  Los dos círculos de diámetro pequeño se intersecan en dos puntos A y B. Los dos círculos de diámetro grande también se intersecan en dos puntos siendo C uno de ellos. Si dividimos la medida del segmento AC por la medida del segmento AB obtenemos Φ. 

  • Φ a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo

  Si dibujas, en un triángulo isósceles ABC inscrito en un círculo, los centros de los lados del triángulo D, E y F, y trazas una línea que pase por el centro de dos lados del triángulo llevándola hasta el círculo en el punto G, tienes que E divide al segmento FG ‘en media y extrema razón’. Es decir, si la medida FE es uno, FG es Φ. Aquí tienes la demostración

phi_circulo_triangulo

   ¡Pero hay más, MUCHO MÁS!  Si como se muestra en el dibujo de la derecha,

∴ trazo una línea desde C hasta G y otra de B hasta F y tienen la intersección en H. La línea CG cruza AB en K; 

∴ desde K trazo otra línea paralela a FB que cruza FG en L y llega hasta la línea AC en I;

∴ perpendicularmente a IK trazo una línea que cruza FB en J y va hasta la línea CB en M: 

∴ y desde M trazo una línea paralela a IK que cruza CG en N y llega hasta AC en el punto O;

pues bien, si divides el valor de arriba por el de abajo en la siguiente tabla el resultado  SIEMPRE es Φ:

FG
AB
FB
CB
FH
AF
Arco AB
FE
AK
FJ
CM
ON
AI
Arco AG
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ

 Bien podemos decir que de estos tres esquemas que muestran sistemas geométricos según la extrema y media razón,0a1

  el sistema “Ad Triangulum” pertenece especialmente al gremio de canteros medievales y denota la simplicidad y belleza con que los masones geómetras del s.XII y ss. trazaban esta divina proporción, y merece esta Sinfonía en Clave de 6 en honor de Josep González, y su preciosa obra Arquitectura Divina: el Número de Dios.

  • Φ a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo

phi_3circulos_triangulo

   Se dibuja 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre la misma línea (CB). El primer círculo se interseca en un solo punto con el segundo y este también se interseca en un punto con el tercero.

   El punto de intersección del primer círculo con la línea es C y con el tercer círculo es B. Se saca una línea perpendicular al segmento BC desde el punto C hasta el punto A que es la intersección con el primer círculo. Acabamos de dibujar un triángulo ABC.

   AB se interseca con el segundo círculo en dos puntos D y E. DE es el diámetro del segundo círculo por lo tanto mide 1. AC es el diámetro del primer círculo consiguientemente mide 1. BC mide el diámetro del segundo círculo más la mitad del primero y la mitad del tercero que es igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos:

   2² + 1² = 5 –> la hipotenusa es igual a v5.

   Recapitulemos:

AB= v5              BC= 2                  CA= 1                 DE= 1

    Ahora vamos a ver donde se encuentraΦ :

AE = BD = (v5 – 1) / 2 + 1 = (v5 + 1) / 2 = 1,618034… (Φ)

AD = BE = (v5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… ( 1/Φ)___

  • Φ en la VESICA PISCIS

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PARA SEGUIR DISFRUTANDO DESCÁRGATE: 
La Divina Proporción 1 (muy bueno)
La Divina Proporción 2
El Número de Oro
http://www.sacred-geometry.es/?q=es

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La Proporción Áurea en el Arte


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Φ como Trazado Director


La utilización consciente de esta proporción en el Arte antiguo no deja de ser una conjetura, por cuanto no hay testimonios que lo acrediten, mientras que sí los hay del uso de razones simples o musicales, como un quebrado entre números enteros. El carácter racionalista del pensamiento griego, su tendencia a la aritmetización de toda ciencia y el conocimiento cierto que tenían del trazado y propiedades geométricas de esta proporción hace muy posible su uso, aunque fuese como experimentación formal. En fachadas de templos y otras construcciones se pueden detectar rectángulos áureos y R5. En la representación de la figura humana es menos probable, ya que el realismo predomina sobre la simbología, pero yo no lo descartaría, habida cuenta del interés que se mostró por buscar las proporciones más bellas y armoniosas posibles.0a1Un caso digno de mención es el Hombre vitrubiano de Leonardo da Vinci. Vitrubio, arquitecto romano, en su tratado De Arquitectura da unas referencias sobre la figura humana basadas en divisiones simples, y además dice que la altura es igual a la envergadura y que un hombre echado, al extender brazos y piernas describe un círculo (no alude a la proporción áurea, sinó a las formas perfectas). Muchos artistas intentaron ilustrar en un mismo dibujo las tres formas: humana, cuadrada y circular, con resultados pintorescos pero poco afortunados.

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Leonardo dió una solución original y mucho más elegante descentrando cuadrado y circunferencia. El pubis es el centro del cuadrado, y el ombligo el de la circunferencia. Es fácil comprobar que su radio es sección áurea de la altura del cuadrado

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da Vinci conocía la proporción y la exactitud del esquema no deja muchas dudas de su uso, aunque una vez resuelto el “armazón” aplica, como Vitrubio, divisiones modulares en el cuerpo. En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han buscado relaciones áureas, sin conclusiones sobre su uso consciente. Sir Theodore Cook (s XIX) describió una escala simple de divisiones áureas aplicable a la figura,

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que encaja sorprendentemente bien en las obras de algunos pintores, como Boticelli:

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Hacer esta escala sobre un segmento es muy simple. Primero hacemos el cálculo de la sección áurea desde un extremo y desde el otro,

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y luego, simplemente duplicando las medidas menores para restarlas en las mayores, se van situando otras más pequeñas:

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Otro caso notable es el Modulor, de Le Corbusier, una escala áurea doble a partir de la altura de un hombre de 1,83 cm. convertida en sistema de medidas estándar para la construcción.

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Además de la aplicación antropométrica, también podemos comentar el uso de la proporción como medio de distribución espacial (composición) en obras pictóricas. Aunque tampoco está muy documentada, hay casos en que parece muy claro: en el Martirio de S Bartolomé, de Ribera, la división del espacio y anclajes de puntos de tensión en las divisiones áureas verticales:

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En la Carta, de Vermeer, situación del elemento principal en el cruce de las divisiones áureas:

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Con pocas dudas, en autores del s XX, como  Dalí, el rectángulo áureo se utiliza como formato del lienzo… y además jugando claramente con el esquema de la espiral:

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En Ad Parnassum, de Paul Klee, varios aspectos: El lienzo es un rectángulo doble áureo, la puerta define un rectángulo áureo adosado a la división áurea del lienzo, y varias razones áureas fáciles de encontrar entre las longitudes de los pocos elementos lineales presentes.

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Muchos casos parecen evidentes por su exactitud y por el conocimiento geométrico de sus autores. Es común a la mayoría de los artistas experimentar con recursos compositivos pero no hacer norma de éllos. Es probable que en muchos casos las estructuras geométricamente significativas aparezcan espontáneamente en aquellas personas adiestradas en observar y manejar elementos formales.

¿Pero qué es un Trazado Director?


0a1Ni en la Naturaleza, ni en el Arte (que es su emanación), hay obra alguna fruto de la improvisación. El autor, movido por una finalidad determinada, cuida siempre hasta el más mínimo detalle de su creación.

Sólo así consigue ese efecto demágica sencillez y rotunda eficacia que nos permite califacarla de bella. Y este imaginario andamio sobre el cual ha edificado su obra, y que después nos oculta, se llama TRAZADO DIRECTOR.

Es una especie de plantilla geométrica que asegura esa armonía en la composición pictórica, escultórica o arquitectónica que la hace bella a nuestros ojos.

Veamos algunos ejemplos:

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 PARA SEGUIR DISFRUTANDO DESCÁRGATE: 

La Sección Áurea en Arte
Orden Compositivo


La Proporción Áurea en Fotografía


La calidad de una fotografía no depende de utilizar o no utilizar un esquema compositivo, pero una estructura acertada puede ayudar eficazmente a transmitir de forma clara la sensación que pretendemos. Entre los aspectos formales, el manejo de la proporción está muy relacionado con el encuadre, y menos directamente con otros como la perspectiva. Hay que recordar que otros factores de los que hoy no hablamos son más importantes en la interpretación de la imagen: la luz, color y contraste, que son aspectos tonales, y sobre todo los narrativos: el tema, las figuras, sus actitudes y relaciones.

0a1Ya vimos cómo sus propiedades geométricas hacen de la razón áurea algo bastante más interesante que una división simple. Con élla podemos establecer una asimetría donde las partes siguen compartiendo un sentido común, el de una progresión geométrica. Cualquiera entiende que en el momento de la toma uno no puede ponerse a hacer cálculos geométricos -si que se hacen para ajustar el encuadre después- ni es esa la forma natural de hacerlo. Mucha gente calcula fácilmente los tercios del encuadre desde el visor. Resulta fácil porque estamos acostumbrados a ver cosas divididas en partes iguales. Si pretendemos aplicar proporciones dinámicas, como la razón áurea, lo que hay que hacer es pensar en élla, buscarla en imágenes ya hechas y experimentarla en los reencuadres, y sin darnos cuenta nos iremos familiarizando con élla y llegaremos a reconocerla a simple vista.

Buscando ejemplos podemos descubrirla en imágenes de grandes fotografos en los que la composición es un aspecto primordial. Igual que en pintura, aparece unas veces dividiendo el espacio, y otras situando elementos principales. La relación áurea entre los elementos de la escena y la antropometría no tiene aquí interés, pues en la mayoría de los géneros fotográficos es fortuíta. Salvo en fotografía de estudio un fotógrafo no “sitúa” los elementos, aunque se puede hacer mucho sabiendo “situarse” uno mismo.

Vamos a ver algunos ejemplos en los que el fotógrafo, conscientemente o no, “se lleva bien” con la razón áurea:

Cómo no, tratándose de composición, Cartier-Bresson:

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Incluso en fotógrafos como Man Ray, que usan encuadres muy cerrados sobre una única figura, con lo que la partición del espacio apenas tiene relevancia, encontramos algunos ejemplos, como el retrato de Marcel Duchamp (pintor que lideraba un grupo dentro del Cubismo llamado “Sección áurea”), o esta otra foto de Lee Miller:

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Más actual, es este espectacular Swiftcurrent Lake, de Bruce Barnbaum:

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O alguna de las exquisitas composiciones de Dan Burkholder, como estos botes de Nepal:

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Nótese que todas son composiciones simples y de mucho impacto visual. Vemos como la división áurea del formato puede o bien definir las zonas de la imagen, o bien crear puntos fuertes, adecuados para ubicar los centros de interés.

El esquema más simple de división áurea lo dan cuatro líneas divisorias: dos verticales y dos horizontales, cada una divide el ancho o el alto empezando por un extremo o por el otro. Trazandolas todas, cada magnitud se divide en tres zonas. Una zona lateral es sección áurea del resto, y la zona central es sección áurea de cualquiera de las laterales.

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Otra división áurea que aparece con facilidad es la que llamamos Raíz de cinco. La relación es la inversa: cada zona lateral es sección áurea de la zona central. El ancho o el alto totales valen Raíz de cinco en relación a esta zona central. Esta partición es ideal cuando queremos despejar el centro de la foto:

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Es un esquema con el que me gusta experimentar, incluso he llegado a imprimirlo en adhesivo transparente (el de las carátulas para CDs) para pegarlo en el visor lcd de una compacta digital:

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PARA SEGUIR DISFRUTANDO DESCÁRGATE: Phi-en-fotografía-la-proporción-natural1

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