Análisis de Funciones


     0a1El concepto de función real de una variable real se remonta a unos 2000 años aC, evolucionando en el tiempo desde una concepción puramente geométrica, en la que se considera que una función se identifica con una curva, hasta una concepción lógica, en la que se define función como una correspondencia entre conjuntos, pasando por una concepción algebraica, en la que una función se expresa mediante una fórmula, que en un principio (Euler, 1748) fue de tipo finito y más adelante (Fourier, 1822) se admitió que pudiera tener un número infinito de términos (la llamada “expresión analítica” )

El concepto de función es uno de los más importantes no solo en matemáticas, sino en ingeniería y ciencias en general. La propiedad esencial que comparten todas las definiciones de función es que se trata de una regla que asigna a cada ente de un conjunto de partida un único ente de otro conjunto de llegada. Cuando no se plantea esta restricción, se dice que dicha regla es una relación o una correspondencia.

Por ejemplo, la expresión f(x) = ±√x ,∀ x ∈ R, con x ≥ 0, no define una función real de la variable real no negativa x porque asigna a cada número real x, no negativo, dos números reales, ÷√x y −√x , mientras que la expresión f(x) = √x ,∀ x ∈ R, con x≥0 , si define una función real de la variable real no negativa x.

0a1El concepto de función nació desde la ciencia y para la ciencia. Al propiciar el cálculo de magnitudes de forma indirecta y permitir ‘predecir el futuro’ de los sistemas materiales, posibilitó el rápido desarrollo científico y supuso el fundamento matemático del paradigma mecanicista.

Así es, la dependencia funcional ES UN MODELO DETERMINISTA que permite calcular una variable sabiendo otra (y predecir, así, la evolución temporal de un sistema) En efecto, las dependencias funcionales permiten calcular los valores que toman las magnitudes de un cuerpo o de un fenómeno (medidas indirectas) sabiendo los valores de otras (que obtenemos mediante medidas directas)

  • He aquí un magnífico ejemplo del ARTE DE MEDIR INDIRECTAMENTE. 

     Si ‘modelizamos’ la Tierra como una esfera perfecta -no es mal modelo- de densidad homogénea y pretendemos calcular su RADIO, su VOLUMEN, su SUPERFICIE, su MASA, su DENSIDAD MEDIA… nos encontramos con que la única medida directa (mediante instrumentos de medida) que podemos hacer es la de la longitud de un meridiano. ¡Y eso con bastante esfuerzo! (Véase Eratóstenes y véase, también, la ‘Historia del Metro‘)

    Pero nuestro intelecto desarrolla una potente técnica: LA DEPENDENCIA FUNCIONAL. Sí, estos cálculos son posibles porque tenemos las fórmulas funcionales correspondientes: las que relacionan el ‘perímetro’ de la Tierra con su RADIO, con su VOLUMEN, con su SUPERFICIE, …  Así:

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Aquí explicamos alguno de estos logros del talento humano:  MIDIENDO LA TIERRA


       La Construcción de un Concepto:  el concepto de FUNCIÓN

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El objetivo fundamental de este tema es que seas capaz de ‘modelizar’ un fenómeno y encontrar FÓRMULAS de dependencias funcionales entre sus variables, manejarlas con soltura y extraer información de ellas, para lo cual tendrás que dominar estos:

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  1. Objetivo: CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una relación entre dos magnitudes variables (variables), de tal manera que a cada valor de la primera (variable independiente) le corresponde un único valor de la segunda (variable dependiente o función)  Es decir, es una relación que permite calcular el valor de una magnitud variable conociendo el valor de la otra. 

  1. Objetivo: de ENUNCIADO a ‘MODELIZACIÓN’

En la ‘carrera de un taxi’ podemos ver que el precio depende de la duración:

Precio de una carrera de taxi = f (La duración de la misma)

Como podemos observar la función relaciona dos (magnitudes) variables: 

  • La duración es la variable independiente (la escoges tú)
  • El precio es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje)  

Hay tres formas de dar una relación funcional, en FORMA DE: 

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  • Tienes que aprender a construir tablas a partir de datos empíricos.
  • Tienes que aprender a dibujar gráficas de funciones.
  • Y tienes que aprender a encontrar fórmulas de dependencias funcionales.
               Otro ejemplo:

  0a1Tenemos una situación problemática: en un círculo de radio igual a 4 cm podemos dibujar figuras como ésta. Se trata de un sector circular. Nos planteamos la necesidad de encontrar una fórmula que nos permita calcular su área midiendo otra variable: el ángulo x. ¿Es posible? 

  • Identificamos las variables

                        x = ángulo que forman los dos radios

                        y = área del sector circular 

  • Identificamos la dependencia funcional y = f(x), así: 

              El área del sector circular = f (Ángulo del mismo)

  • Identificamos (si podemos) qué clase de función es f (ver clasificación): 

     f es un función lineal o directamente proporcional 

porque a doble valor de x le corresponde doble valor de y, a triple x, triple y…

  • Si tenemos un dato podemos hacer una tabla (en otro caso, tendremos que medir experimentalmente)

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  • Hacemos una gráfica

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  • Obtenemos la fórmula y = ax:

    a es la constante de proporcionalidad (=y/x)

(lo que vale y cuando x es 1) 

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Un EJEMPLO más

 Queremos construir un aparato sencillo para pesar cuerpos. Se trata de un muelle elástico con una argolla: el dinamómetro. 

  • Identificamos las variables

     x = peso del cuerpo que colgamos

     y = alargamiento del muelle 

  • Identificamos la dependencia funcional y = f(x), así: 

  El alargamiento del muelle = f (Peso colgado) 

  • Identificamos (si podemos) qué clase de función es f (ver clasificación): 

     f es un función lineal o directamente proporcional 

porque a doble valor de x le corresponde doble valor de y, a triple x, triple y… 

  • Medimos experimentalmente para hacer una tabla (ver figura)

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  • Hacemos una gráfica
  • 0a1
  • Obtenemos la fórmula y = ax:

a es la constante de proporcionalidad (=y/x)

(lo que vale y cuando x es 1)

                   y = 0’1 x 

  1. Objetivo: de ENUNCIADO a TABLA 

0a1Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t.

Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente.

Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos: 

  1. Objetivo: de TABLA a GRÁFICA

0a1La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. 

 

  1. Objetivo: de GRÁFICA a FÓRMULA 

También puede utilizarse una regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:

d = 0,33 × t,

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes. 

  1. Objetivo: de FÓRMULA a ‘predecir resultados’

 Un móvil que se desplaza con velocidad recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Estudiaremos dos casos:

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  • 0a1El movimiento rectilíneo uniformees aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero.
  • 0a1Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante.

0a1Problema 1

Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.

  • Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo
  • Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instantet=8s.
  • Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC.

Problema 2 

Un automóvil parte del reposo y se mueve con aceleración constante de 4 m/s2, y viaja durante 4 s. Durante los próximos 10 s se mueve con movimiento uniforme. Se aplican los frenos y el automóvil decelera a razón de 8 m/s2 hasta que se detiene.

  • Calcular el desplazamiento del móvil en cada intervalo y el desplazamiento total.
  • Hacer un gráfico de la velocidad en función del tiempo.
  • Mostrar que el área comprendida entre la curva y el eje del tiempo mide el desplazamiento total del automóvil.

METODOLOGÍA: en la práctica se procede así    

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        Ahora tú:  CAÍDA DE GRAVES 


10 Objetivo: Clasificar las Funciones

 Clasificación según la variable X:

En primer lugar clasificaremos las funciones dependiendo del carácter de la variable independiente x en dos tipos: algebraicas y trascendentes.

          Funciones algebraicas: 

Este tipo de funciones corresponden a fórmulas que se obtienen con la variable x efectuando sobre ella operaciones elementales como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la raíz. Dentro de las funciones algebraicas nos encontramos:

  • Funciones constantes: donde la función viene definida por una constante y no interviene la variable independiente: y=f(x)=k
  • Funciones lineal: La representación de este tipo de funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas: y=mx.

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  • 0a1Función afín: Esta función se trata de un caso general de la anterior, ya que se trata de una recta cualquiera del plano: y= mx+n.
  • 0a1Función cuadrática: Viene expresada por una función polinómica de segundo grado, como era de esperar, y su representación es una parábola.
  • Funciones racionales: Se expresan mediante el cociente de polinomios.
  • Funciones radicales: Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómica.
  • 0a1Funciones a trozos: Son funciones definidas por una función distinta en cada intervalo (o trozo) que se considere.
          Funciones trascendentes:

Cuando la variable independiente, x, forma parte del exponente o da la base de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una función, como puede ser en la trigonometría, entonces hablamos de funciones trascendentes. Dentro de las funciones trascendentes están:

  • 0a1Función exponencial: Como su nombre indica es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real. Por tanto, recibe el nombre de función exponencial de base a y exponente x.
  • Función logarítmica: La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, por tanto, devuelve el número al que tendríamos que elevar la base a, para obtener nuestra variable independiente. (En este caso la variable independiente nos da el valor de la función exponencial)
  • Funciones trigonométricas:Las funciones trigonométricas se obtienen cuando ampliamos el concepto de razones trigonométricas a los números reales. Por lo que hay el mismo número de funciones trigonométricas que de razones trigonométricas:y=senx, y=cosx, y=sec x, etc.

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Clasificación según la definición:

Según nos venga dada la definición de la función también podemos establecer una clasificación:

  • Función explícita:  Cuando podemos obtener los valores de y directamente dando valores a nuestra variable independiente, es decir, cuando la variable y está despejada.
  • Función implícita: Cuando, al contrario que en el caso anterior, tenemos que realizar operaciones para halla el valor de la y una vez que le hemos dado un valor a la x: 3x+2y=1
        En RESUMEN:0a1
‘El rigor viene ahora’: CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B  en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. 

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real. Es decir: 

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El subconjunto D en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Dominio: El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D(f) = {x ∈ R  /  ∃f (x)} 

Conjunto imagen o recorrido: El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes. 

R(f) = {f (x) / x D} 

Ejemplo:                                                 x → √x 

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   Conjunto inicial                          Conjunto final

En este ejemplo el dominio son los reales positivos, y el recorrido, también.

   Grafo de una función 

Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.

G(f) = {x, f(x) /x ∈ D(f)}

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

En efecto, si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función.

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Sistema de coordenadas cartesianas

Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

Los valores anteriores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

 —-
Función: una FÓRMULA y un DOMINIO.  

Veamos estas tres fórmulas:

  • f(x) = |x|
  • g(x) = √x²
  • h(x) = (√x)²

pues bien, sólo f y g definen la misma función en todo R. Si restringimos el dominio a los reales positivos, entonces las tres fórmulas definen la misma función.

Este ejemplo pone de manifiesto que una función no es solo una fórmula: es una fórmula y un dominio. Cuando no se especifique nada estaremos suponiendo que el dominio es el ‘dominio natural’: el conjunto de valores para los que tenga sentido aplicar esa fórmula.

  • Dominio natural de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

f(x)= x– 5x + 6             D=R

  • Dominio natural de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

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  • Dominio natural de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

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  • Dominio natural de la función irracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

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  • Dominio natural de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

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  •  Dominio natural de la función exponencial: El dominio es R.
  •  Dominio natural de la función seno: El dominio es R.
  •  Dominio natural de la función coseno: El dominio es R.
  • Dominio natural de la función tangente

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  • Dominio natural de la función cotangente

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  • Dominio natural de operaciones con funciones

Si realizamos operaciones con funciones, el dominio de la función resultante será:

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Ejemplo:

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 Regla de L’Hôpital

Vamos a estudiar una regla muy usada en el cálculo matemático, la regla de L’Hôpital. La persona gracias a la que podemos usar esta regla es el matemático francés Guillaume Francois Antoine, también conocido como el marqués de L’Hôpital. L’Hôpital antes de convertirse en el matemático en el que se convirtió, inició una carrera fallida como militar. Además de ser conocido por la regla de L’Hôpital, también se conoce por haber resuelto el problema de la braquistócrona (la curva entre dos puntos de forma que se pueda recorrer en menor tiempo).

Además es autor del primer libro conocido de cálculo diferencial en el cual también incluye algunas de las explicaciones o clases de su profesor Johann Bernoulli. De ahí, que la regla de L’Hôpital también se conozca como la regla de L’Hôpital-Bernoulli.

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REGLA DE L’HÔPITAL
El principal uso de la regla de L’Hôpital es la resolución de límites de indeterminación 0/0 o la de ∞/∞, mediante el uso de derivadas.

Enunciado: Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas y derivables en un intervalo (a, b) que contiene al punto xo, de tal forma que:

  • El límite de la función f(x) en el punto xo, así como el de g(x), es 0:
  • La deriva de la función g(x) es distinta de cero en cualquier punto x del intervalo que sea distinto de xo: g'(x)≠0.
  • Existe el límite del cociente de las derivadas respectivas en el punto xo:
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    Si se cumplen estas condiciones, entonces existe el límite de f(x)/g(x) y se calcula:
    3
    Observaciones:
    1. Esta regla también se puede utilizar cuando la x tiende a infinito (x→∞)
    2. La regla de L’Hôpital se puede aplicar tantas veces como sea necesario mientras sigan cumpliéndose las condiciones del enunciado, hasta hallar el valor del límite.
    3. Esta regla también se puede aplicar para otro tipo de indeterminaciones, siempre y cuando hallamos realizado las transformaciones necesarias para convertir la indeterminación en una del tipo necesario para aplicar L’Hôpital: 0/0 o la de ∞/∞.

Ejemplo: Resuelve el siguiente límite:
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En primer lugar sustituimos por el valor indicado, obteniendo una indeterminación 0/0. Por tanto, podemos aplicar la regla de L’Hôpital, derivamos numerador y denominador por separado, de tal forma que: f`(x)=cos x, g(x)=1. Entonces, el límite anterior se convierte en el siguiente límite, en el que sustituyendo obtenemos el siguiente resultado:
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Ejemplo: Resuelve el siguiente límite utilizando la regla de L’Hôpital:
7 Al sustituir este límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo (∞-∞). Por tanto, no podemos aplicar directamente la regla de L’Hôpital, para ello operamos (para lo que tenemos que hacer el mínimo común múltiplo):
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Volviendo a sustituir obtenemos 0/0, por tanto derivamos numerador y numerador:
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Y cuando volvemos a sustituir, volvemos a obtener una indeterminación, por tanto volvemos a aplicar la regla de L’Hôpital:

Lee todo en: Regla de L’Hôpital | La Guía de Matemática http://matematica.laguia2000.com/general/regla-de-lhopital#ixzz3YdIkMUwj

Para saber más:
  1. EJEMPLO cálculo del dominio
  2. EJEMPLO 1 cálculo de la función inversa
  3. EJEMPLO 2 cálculo de la función inversa
  4. EJEMPLO cálculo de un límite
  5. EJEMPLO condiciones para la continuidad
 Cálculo con funciones:
 Materiales de MOISES VILLENA MUÑOZ 
  1. Sucesiones
  2. Series
  3. Sucesiones y Series
  4. LIMITES
  5. Cálulo de límites
  6. Continuidad de funciones
  7. DERIVADA
  8. _1APLICACIONES_DERIVADA
  9. _2APLICACIONES_DERIVADA
  10. DERIVADAS en ECONOMIA
  11. INTEGRAL INDEFINIDA
  12. INTEGRAL DEFINIDA
  13. _1APLICACIONES_INTEGRAL
  14. _2APLICACIONES_INTEGRAL
  15. INTEGRALES IMPROPIAS
  16. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
  17. ECUADIONES_DIFERENCIALES
  18. ECUACIONES_ENDIFERENCIAS
  19. FUNCIONES_VARIAS_VARIABLES
  20. Extremos
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