Las Piezas del Saber Matemático


Dentro del ‘SABER MATEMÁTICO’ hay diferentes tipos de SABERES: el CONOCIMIENTO MATEMÁTICO, las HABILIDADES MATEMÁTICAS y las ACTITUDES MATEMÁTICAS. Saberes que a su vez se desmenuzan en otros saberes que llamaré las Piezas del Saber Matemático.  Por ejemplo:

  • NOTACIONES
  • DEMOSTRACIONES
  • PROPIEDADES05
  • CONCEPTOS
  • TÉCNICAS HEURÍSTICAS
  • ALGORITMOS
  • DESTREZAS
  • RIGOR y PRECISIÓN

Aquí te planteo un COMPORTAMIENTO ESTRATÉGICO frente al aprendizaje de las matemáticas: el APRENDIZAJE POR PIEZAS. Si eres un aprendiz experto no te enfrentas de igual manera a una DEFINICIÓN que a una NOTACIÓN. No se ‘aprehende’ de la misma forma un ALGORITMO que una DEMOSTRACIÓN. Y no afrontas de igual manera el aprendizaje de una TÉCNICA que el de una ESTRUCTURA CONCEPTUAL. ¡O no deberías!

relataniAprendes que un CONVENIO es un convenio, y un HECHO es un hecho: el primero es un consenso que se puede modificar, el segundo, no. Es un hecho que la suma de la medida de los ángulos de un triángulo es 180º. Y este gif ejemplifica una DEFINICIÓN:

¡Muy bien! Es la definición de LOGARITMO, que es el TÉRMINO con el nombramos a la ‘séptima operación aritmética’. Y en la base 10 o decimal lo NOTAMOS mediante esta abreviatura log. Otra cuestión es para qué hemos introducido esta operación. ¿Es necesaria? ¿Es útil? Ahora podemos estudiar sus PROPIEDADES para percatarnos de que es imprescindible en el cálculo. ¿Cómo podrías, si no, resolver una ecuación exponencial?

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Lo que quiero que comprendas es que la DEFINICIÓN de logaritmo, por muy enrevesada que te perezca, no se discute, se JUSTIFICA y se APRENDE. Pero las PROPIEDADES hay que DEMOSTRARLAS, las cuatro. ¡Una por una! Entiende perfectamente bien que las DEFINICIONES y las PROPIEDADES no están al mismo nivel en la estructura del APRENDIZAJE de esa rama de las matemáticas que llamamos ARITMÉTICA: la ESTRUCTURA CONCEPTUAL elaborada en torno a los NÚMEROS y sus OPERACIONES. Como ves, lo que he hecho es distinguir, con este ejemplo, varias PIEZAS DEL APRENDIZAJE MATEMÁTICO. ¡Hay más!

En una primera aproximación, las piezas del aprendizaje de cualquier disciplina científica se pueden visualizar en el siguiente esquema:

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El CONOCIMIENTO matemático se articula en AXIOMAS (reglas básicas del razonamiento lógico), en POSTULADOS (verdades que aceptamos como evidentes), en CONCEPTOS (con sus definiciones), en TEOREMAS (hechos probados), … y en ESTRUCTURAS CONCEPTUALES (sistemas de conceptos, modelos, teoremas, algoritmos y técnicas con fuertes interrelaciones mutuas)

Pero junto a los CONOCIMIENTOS, tú adquieres HABILIDADES matemáticas (por ejemplo, adquieres DESTREZA en el cálculo y la REPRESENTACIÓN GRÁFICA… y a tener un COMPORTAMIENTO ESTRATÉGICO en la resolución de problemas) Además, desarrollas, lo quieras o no, ACTITUDES tan importantes como el RIGOR en el razonamiento y la PRECISIÓN en la comunicación de resultados.

Lo que significa que en tu proceso de APRENDIZAJE te enfrentarás tanto a la asimilación de CONOCIMIENTOS, como a la adquisición de HABILIDADES o al  desarrollo de ACTITUDES. Y lo que te vengo a decir aquí, así, es que tienes que distinguir bien cada una de estas ‘Piezas del saber matemático’, porque hay una forma adecuada (la que te convierte en un aprendiz eficaz) de enfrentarse a cada uno de estas ‘Piezas del Aprendizaje Matemático’.

Para los que creen, como yo, que la DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS es un disciplina de pleno derecho, aquí les dejo las siguientes preguntas:

  • ¿Todos los conocimientos matemáticos son iguales ante la comprensión?
  • ¿Es correcta o pertinente la clásica división de los contenidos matemáticos para estudiar la comprensión?
  • ¿No habría que considerar otros aspectos (representación, razonamiento, tipos de tareas, etc.) para analizar la evolución de la comprensión?
  • Es decir, ¿puede que las conexiones sean de otro tipo y no sólo formales entre los distintos aspectos del conocimiento matemático?
  • En definitiva, parece que es conveniente utilizar algún “criterio transversal” a la propia estructura formal del conocimiento matemático para analizar la comprensión y su evolución (el pensamiento geométrico, involucra también algo de métrica, de numeración, de álgebra, etc.).

Y a los que no creen, sólo les digo esto: dudo que un aprendizaje sea significativo si no reflexiona sobre lo que está aprendiendo y cómo lo esta aprendiendo. Porque para ir más allá del aprobar exámenes, el METAPRENDIZAJE es imprescindible para consolidar el APRENDIZAJE

0a1La tesis que te propongo aquí es que cada una de estas PIEZAS DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO precisa de un tratamiento didáctico (o de una metodología didáctica) DIFERENCIADO, tanto en su ENSEÑANZA, como en su APRENDIZAJE. Y que una buena práctica es DETERMINAR a qué tipo de aprendizaje (de ‘pieza matemática’) nos estamos enfrentando en cada uno de los casos y cuál es la mejor manera de ASIMILAR y hacer nuestro ese SABER MATEMÁTICO.

1. DEFINAMOS las piezas del ‘CONOCIMIENTO MATEMÁTICO’

LOS HECHOS son unidades de INFORMACIÓN y sirven como registros de acontecimientos.  Los acontecimientos se perciben gracias a que nuestra mente construye CONCEPTOS. LOS CONCEPTOS son aquello con lo que pensamos y describen una regularidad o relación de un grupo de percepciones. Suelen admitir un modelo o representación y se designan con signos o símbolos que también son hechos. Podemos, así, distinguir cuatro tipos de hechos: términos, notaciones, convenios y resultados.0a1

  • LOS TÉRMINOS: son las denominaciones o vocablos con los que designamos los conceptos o las relaciones entre conceptos. En matemáticas hay términos específicos y otros que proceden del lenguaje común.

En matemáticas hay términos COMUNES, como igualdad, identidad, semejanza, equivalente, que se extraen del campo semántico ordinario. 0a1Conviene fijar bien su campo semántico, para que el alumn@ haga un uso correcto del término, sin extrapolaciones innecesarias.

También hay términos ESPECÍFICOS de la matemática (logaritmo, tangente, isósceles, segmento… RADIÁN) tales que su carácter arbitrario puede crear problemas de memorización.AQUrYb1

Hay que insistir en la exacta DEFINICIÓN de los términos empleados, ya que es ésta la que les dota de SIGNIFICADO. Todos los términos tienen una DEFINICIÓN precisa a la que hay que referirse siempre para saber de qué estamos hablando. Por ejemplo, radián es un TÉRMINO, y ésta es su definición. ¿Sabrías verbalizarla?

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  • LAS NOTACIONES: son los signos y símbolos empleados en matemáticas para expresar una idea de modo breve y preciso.

En el uso de las notaciones solemos asignar a los símbolos un campo semántico más amplio de lo que suponemos. Por ejemplo, en la imagen el signo igual lo estamos utilizando, en primer lugar, como IDENTIDAD (≡), y en segundo lugar como OPERADOR (=) El ahorro deliberado de signos es una tendencia inevitable. Pero esto crea no pocos problemas de aprendizaje. Tenemos pocos símbolos.

4263 es una NOTACIÓN, y como tal tiene que verlo el alumn@. Una notación que resume 4.10³ +2.10² +6.10+3.  5³ no es un número, es una notación, ¿cuál es su quinta parte?. Pero 2º=1 no es un resultado, es un CONVENIO. 

  • LOS CONVENIOS: son acuerdos tácitos o consensuados para comunicar información sin ambigüedad, evitando largas explicaciones.

Todos sabemos ¿? que 0! = 1, el grado del polinomio cero es igual a -∞, el intervalo de [a,a)=(a,a]=(a,a)=∅… y así sucesivamente, son convenios en matemáticas. Así que 2º=1es una convención, algo que no podemos probar con la lógica matemática, pero que conviene que así sea para generalizar propiedades. Pero i² = -1 es una DEFINICIÓN Si no ¿cómo podemos demostrar la existencia del número i?

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No tendría sentido decir que por convenio o por consenso la suma del cuadrado de (la longitud de) los catetos equivale al cuadrado de la (longitud de la) hipotenusa en un triángulo rectángulo, en el contexto de la geometría euclídea. Porque esto es un RESULTADO, ¡existen más de mil preciosas y sorprendentes demostraciones! 

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  • LOS RESULTADOS son unidades de información producto directo e inmediato de relaciones entre términos, susceptibles de memorizar, cuyo dominio y control conviene disponer para trabajar en matemáticas sin tener que partir siempre de cero. 

0a1En matemáticas, como en todo, hay información que conviene memorizar y retener para poder continuar trabajando. Información que no es arbitraria, es muy relevante.

La principal dificultad del aprendizaje de RESULTADOS está en su almacenamiento puramente memorístico. Así, sólo memorizado, cualquier resultado, por importante que sea, resulta ser un conocimiento muy efímero y poco significativo.  Hay que procurar construir redes conceptuales ricas en interrelaciones para que los resultados tengan significado real para los aprendices.

 

ALGORITMOS, TÉCNICAS Y PROCEDIMIENTOS. Los Algoritmos, las Técnicas y los Procedimientos suponen el dominio de los hechos y la AUTOMATIZACIÓN de las tareas matemáticas que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas. En una primera aproximación tenemos que:

Algoritmo”: “Conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema; convirtiéndose, así, en un ejercicio”.

Técnica”: “Conjunto de procedimientos y recursos de que se sirve una ciencia”.

Procedimiento”: “Método de ejecutar algunas cosas”.

  • imageUN ALGORITMO es una colección bien estructurada de INSTRUCCIONES que, ejecutadas en un orden especificado, producen el resultado deseado correctamente. EL ALGORITMO es una UN PIEZA MUY COMÚN del saber matemático.
    • Un Algoritmo es una solución ‘paso a paso’ de un problema. Por eso, si te olvidas de un paso, se rompe la cadena y no resuelves el ejercicio.
    • Es como una receta de cocina en matemáticas, la tienes que repetir, con paciencia, muchas veces hasta que el plato te salga sin pensar, rutinariamente.
    • Todos los algoritmos son PROGRAMABLES, en eso radica su incontestable utilidad. Por eso intentaremos, siempre que se pueda, convertir todo proceso o tarea en un algoritmo.
    • Poner la lavadora, por ejemplo, es un algoritmo. Las tediosa cuentas esco- lares con lápiz y papel, son algoritmos. El cálculo de la raíz cuadrada es otro ejemplo de un algoritmo: si sigues los pasos obtienes la respuesta.
    • La palabra “Algoritmo” viene del nombre del matemático persa del noveno siglo Al-Guarizmi, quien popularizó el cálculo aritmético.

El problema DIDÁCTICO con los algoritmos es que se toman como punto de arranque de todos los aprendizajes escolares, no como el proceso lógico de querer hacer rutinarias todas las tareas repetitivas. Pero cuando uno comienza a hacer una tarea nueva, debería abordarla desde la reflexión de lo que se está haciendo, no desde la prisa por terminarla. ¡La agilidad mental es otra cosa!

Si se abusa mucho de la enseñanza de algoritmos, y toda educación matemática formal lo hace, la creatividad, la originalidad y la espontaneidad se resienten mucho. Además el algoritmo es perfecto para la máquina, pero el ser humano se nutre de cosas más sutiles, como el CÁLCULO MENTAL.

Por último, habría que mostrar varios algoritmos para realizar la misma tarea. Por ejemplo, la multiplicación. [VER]

  • LAS TÉCNICAS suponen el dominio de los HECHOS y de los MÉTODOS usuales de razonamiento, de cálculo o de deducción y, en general, de cualquier REGLA o ALGORITMO bien establecido que se pueda desarrollar de acuerdo con rutinas. Por ejemplo, LAS TÉCNICAS HEURÍSTICAS, son fundamentales en la resolución de problemas matemáticos.
      • Emplear tablas para recoger y presentar información.
      • Diagramas en árbol para realizar recuentos.
      • Ensayo y error.
      • Simplificar tareas difíciles.
      • Buscar patrones y modelos.
      • Conjeturar y controlar hipótesis.
      • Demostrar y refutar
    • dba894f7658f91aeb1daeedbea1085d5LA DEMOSTRACIÓN es una técnica matemática esencial. Consiste en encontrar un argumento deductivo que asegure la verdad de una proposición matemática. Las demostraciones emplean la lógica, pero normalmente incluyen una buena parte de lenguaje natural, el cual usualmente admite alguna ambigüedad. De hecho, la gran mayoría de las demostraciones en las matemáticas escritas puede ser considerada como aplicaciones de lógica informal rigurosa.

Las demostraciones puramente formales, escritas en lenguaje simbólico en lugar de lenguaje natural, se estudian en teoría de la demostración.

0a1Las demostraciones están bien, porque los sentidos nos engañan. Pero no hay que lanzarse a demostrarlo todo ¡y a TODOS! Cuando estemos practicando el PROCEDIMIENTO MATEMÁTICO de la demostración conviene que recordemos SIEMPRE estas sabias palabras de H. Poincarè:

  • Cuando un alumno empieza a estudiar matemáticas en la Universidad, tiene un concepto de función, … una idea de continuidad; considera evidente, por ejemplo, que una función continua no puede cambiar de signo sin anularse. Si el profesor le dice: “No, eso no es evidente; debemos demostrarlo”, ¿qué pensará el infortunado estudiante? Pensará que las matemáticas son sólo una acumulación arbitraria de sutilezas inútiles; quizá le disgustará, o quizá se divertirá con ello, como con un juego, y llegará a un estado mental análogo al de los sofistas griegos  … … … …
  • Por lo que es pertinente preguntarse, ¿se puede entender una teoría si se construye desde el principio en la forma definitiva que impone el rigor lógico? No, no puede entenderse, sólo se aprende de memoria.”
    • LA CLASIFICACIÓN es otra técnica matemática esencial. La clasificación es la agrupación de objetos según un cierto criterio. 0a1Dentro del conocimiento lógico-matemático se encuentra el proceso de la clasificación, que representa los primeros pasos hacia el aprendizaje de conceptos matemáticos más complejos.

La clasificación genera una serie de relaciones mentales a través de las cuales agrupamos objetos según semejanzas y diferencias, y en función de diferentes criterios: forma, color, tamaño, etc… Estas relaciones son las que sirven de base para la construcción del pensamiento lógico-matemático. Piaget considera que estas relaciones lógicas son la base de la clasificación, seriación, noción del número y representación gráfica.

  • LOS PROCEDIMIENTOS son mecanismos compuestos de “reglas, algoritmos o técnicas que empleamos para resolver una tarea. Son instrucciones pormenorizadas que prescriben cómo realizar una determinada tarea. Un rasgo clave de los procedimientos es que se ejecutan en una secuencia lineal predeterminada. Es la naturaleza claramente SECUENCIAL de los procedimientos la que probablemente los diferencia de otras formas de conocimiento.” (Hiebert y Lefevre). Por ejemplo:

 

LAS ESTRUCTURAS CONCEPTUALES son redes ricamente estructuradas de CONCEPTOS (una ‘cosa’ que requiere una definición) y RELACIONES entre conceptos. grafico-03La TRIGONOMETRÍA es, por ejemplo una estructura conceptual.

La importancia de las ESTRUCTURAS CONCEPTUALES radica en que por ser una red ricamente INTERCONECTADA constituye una estructura estable en la memoria, de forma que cuando un eslabón se desvanece puede ser recuperado de manera relativamente fácil. Los HECHOS, las TÉCNICAS y las DESTREZAS cobran sentido y significado dentro de las ESTRUCTURAS CONCEPTUALES. 

LAS ESTRUCTURAS CONCEPTUALES, que sirven para unir conceptos o para sugerir formas de relación entre conceptos constituyendo, a veces, conceptos de orden superior, ya que pueden establecer algún orden o relación entre conceptos no inclusivos. 

  • 0a1CONCEPTOS. Consideramos los conceptos como una serie de unidades de información (hechos) conectados entre sí mediante una multiplicidad de relaciones; el concepto lo constituyen tanto los hechos como sus relaciones; se representan mediante sistemas simbólicos y gráficas. Usualmente todo concepto admite una o varias representaciones de carácter gráfico o simbólico. Cada concepto se caracteriza por la mayor o menor complejidad de relaciones que se pueden establecer entre los hechos cuya regularidad expresa que, a su vez, va a permitir establecer nuevas relaciones con otros conceptos.

Los conceptos, a su vez, no constituyen unidades aisladas de información; entre ellos se puede establecer una gran0a1 riqueza de relaciones que forman autenticas redes conceptuales. Las relaciones entre conceptos dan lugar a nuevas estructuras, en las que cada uno de los conceptos que la forman queda caracterizado por las relaciones que mantiene con el resto. Las relaciones que se trabajan en el periodo de la Educación Obligatoria son importantes porque van poniendo las bases de algunas de las estructuras conceptuales claves para la formación matemática de cada alumno.

Las estructuras aditiva y multiplicativa y el razonamiento proporcional están entre los ejemplos más conocidos. Las estructuras conceptuales constituyen la esencia del conocimiento matemático organizado, los hechos y destrezas toman sentido y significado dentro de ellas. Por ello el establecimiento y reconocimiento de las relaciones que se dan entre los conceptos con los que se está trabajando debe ser un elemento permanente de reflexión. 

  • RAZONAMIENTOS. La capacidad para establecer nuevas relaciones entre las unidades de información que constituyen un concepto se expresa mediante una secuencia argumental a la que solemos llamar razonamiento. Imagen1El razonamiento es la forma usual de procesar conceptos, es decir, de derivar unos conceptos de otros o implicar una nueva relación sobre la base de las relaciones ya establecidas.

El razonamiento lógico-deductivo se ha considerado como la forma de razonamiento matemático preferente, lo cual no deja de ser una simplificación. En matemáticas, además del razonamiento deductivo, se emplean el razonamiento inductivo y el analógico. En cualquiera de los razonamientos se utilizan destrezas de diferentes clases. 

Cuando un determinado razonamiento se ejecuta con unas pautas de rigor, precisión, concisión y elegancia se estandariza con alguna denominación especial: prueba teorema, etc. En el trabajo con alumnos de la Educación Obligatoria, un razonamiento será todo argumento suficientemente fundado que dé razón o justifique una propiedad o relación. Las capacidades de expresión y comunicación de los alumnos las consideramos como una parte importante de su capacidad de razonamiento. 

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    2. También están las HABILIDADES matemáticas
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Expresiones algebraicasEl SABER MATEMÁTICO también consiste en tener adquiridas HABILIDADES. Habilidad para estimar un cálculo o para esbozar una representación. Habilidad para investigar, para comunicar y para refutar. Habilidad para recoger datos, conjeturar y demostrar…

Cosas que podemos llamar HABILIDADES matemáticas. La HABILIDAD MATEMÁTICA consiste en la ejecución ORDENADA e INTELIGENTE de una tarea matemática. Dicho de otro modo, LAS HABILIDADES MATEMÁTICAS son aquellas formas adecuadas de actuación o ejecución de tareas matemáticas: el SABER HACER en matemáticas. Igualmente podemos distinguir varios niveles diferentes en el campo de las habilidades matemáticas:

  • 0a1LAS DESTREZAS consisten en la transformación de una expresión simbólica en otra expresión; para ello hay que ejecutar una secuencia de reglas sobre manipulación de símbolos; por lo general, las destrezas se ejecutan procesando hechos, conceptos y principios.

Distinguimos entre destrezas según el campo de las matemáticas escolares en el que operan, y las clasificamos en: aritméticas, métricas, geométricas, gráficas y de representación. 

    • giphyDestrezas Aritméticas: son aquellas necesarias para un correcto dominio del sistema decimal de numeración y de las cuatro operaciones básicas. Entre las más destacadas podemos señalar la lectura y escritura de números, el cálculo mental con dígitos y algunos números de dos cifras, el cálculo con papel y lápiz, y el empleo de la calculadora. Todas estas destrezas se convierten en ALGORITMOS:
    • h0VPY Destrezas Métricas: son las destrezas necesarias para emplear correctamente los aparatos de medida más comunes de las magnitudes longitud, tiempo, amplitud, capacidad, peso y superficie; también se incluye aquí el dominio del sistema métrico decimal. como se hace
    • Destrezas Geométricas: comprenden las rutinas para construir un modelo de un concepto geométrico, para manipularlo o para hacer una representación del mismo en el plano; también se incluye el dominio y empleo correcto de determinados convenios para expresar relaciones entre conceptos geométricos.
    • grafico-03Destrezas Gráficas y de Representación: el uso de modelos gráficos no está limitado a la representación de conceptos geométricos; cuando se hace una representación lineal de los números, cuando se emplea una gráfica para expresar una relación entre dos variables, o cuando se simboliza una fracción sobre una figura, se están utilizando destrezas de tipo gráfico, que suponen el empleo de determinados convenios para dar una imagen visual de un concepto o relación. 
    • Destrezas de codificación y decodificación de lenguajes. Una destreza clave en matemáticas es la utilización correcta de los distintos lenguajes (verbal, simbólico, gráfico…) grafico-03Hay que realizar un entrenamiento sistemático para la lectura ‘comprensiva’ de estos distintos lenguajes sin restar importancia a esta capacidad. La codidicción y decodificación de los distintos lenguajes matemáticos es fundamental para la correcta comprensión y comunicación de información.
  • LAS METODOLOGÍAS.  Cada disciplina genera, de por sí, una determinada METODOLOGÍA, la matemática también. La Metodología Matemática hace referencia a ese conjunto de actitudes, habilidades, conocimientos y técnicas específicas que nos capacitan para ‘hacer matemáticas’. Se trata de un conocimiento DINÁMICO, sirve para actuar, está diseñado para la acción.

Pero no debe llamarse metodología a cualquier procedimiento, pues se trata de un concepto que en la gran mayoría de los casos resulta demasiado amplio, siendo preferible usar el vocablo método en estos casos. La Metodología no es un Método. Por eso no me gusta hablar de ‘Método Científico’, sino de Metodología Científica. O mejor, de Espíritu Científico.

Como metodología científica, la heurística es aplicable a cualquier ciencia e incluye la elaboración de medios auxiliares, principios, reglas, estrategias y programas que faciliten la búsqueda de vías de solución a problemas; o sea, para resolver tareas de cualquier tipo para las que no se cuente con un procedimiento algorítmico u otro tipo de solución. Según Horst Müler: los procedimientos heurísticos son formas de trabajo y de pensamiento que apoyan la realización consciente de actividades mentales exigentes. Los procedimientos heurísticos como método científico pueden dividirse en principios, reglas y estrategias.

    • LAS ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS guían la elección que una persona hace de qué algoritmos y técnicas utilizar, y que conceptos y estructuras conceptuales poner sobre el tablero en la resolución de un problema. Lo importante es enfrentarse al quehacer matemático de un MANERA ESTRATÉGICA: una especie de MONITORIZACIÓN INTERIOR que guíe nuestra acción.

En el entramado de relaciones que constituyen una estructura conceptual hay multitud de vías para responder a una determinada cuestión, que toma su sentido cuando se enuncia en términos de los conceptos que forman parte de esa estructura. 0a1En unos casos se puede seguir un camino prioritariamente deductivo, es decir, siguiendo las reglas de razonamiento lógico; pero la mayor parte de las veces no suele ocurrir ésto, sino que se combinan argumentos deductivos con otros de carácter inductivo, con representaciones y modelos, algunas intuiciones y razonamientos no explicitados.

Cualquier procedimiento o regla de acción que permite obtener una conclusión o responder a una cuestión (resolución de problemas) haciendo uso de relaciones y conceptos, generales o específicos de una determinada estructura conceptual, se denomina ESTRATEGIA. Las estrategias comprenden al razonamiento y a las destrezas, pero no se reducen a ellos; las estrategias procesan dentro de una estructura conceptual y, por tanto, pueden existir estrategias diferentes para alcanzar un mismo resultado.

0a1El uso de estrategias supone un dominio de la red conceptual sobre la que deben ejercitarse y, al mismo tiempo, grandes dosis de creatividad e imaginación para descubrir nuevas relaciones o nuevos sentidos en relaciones ya conocidas. Las estrategias más usuales en los niveles de la Educación Obligatoria son: estimar, aproximar, elaborar un modelo, construir una tabla, buscar patrones y regularidades, simplificar tareas difíciles, conjeturar y comprobar. Unas son metodológicas y otras específicas.

LAS ESTRATEGIAS  son ese  conjunto de reglas que,  en un proceso regulable, aseguran una decisión optima en cada momento. Las estrategias se ejecutan sobre representaciones de conceptos y relaciones; operan dentro de una estructura conceptual; y suponen cualquier tipo de procedimiento que pueda ejecutarse, teniendo en cuenta las relaciones y los conceptos implicados. 

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  3. Y las ACTITUDES matemáticas
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Las ACTITUDES son un tipo muy importante de SABER MATEMÁTICO. Un saber que regula de qué forma nos ENFRENTAMOS al conocimiento matemático: con sumisión, con rechazo, con resignación, con apertura, con dedicación, con pasión… … con entusiasmo.   Saber enfrentarse a las cosas con la ACTITUD adecuada es mucho saber. Y la ACTITUD es una capacidad ‘entrenable’, también desde las matemáticas.

Podríamos diferenciar entre ACTITUDES:

  • REFERENTES A LA APRECIACIÓN DEL SABER MATEMÁTICO
    • Reflexiva
    • Crítica
    • Apreciativa
  • REFERENTES A LA ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO MATEMÁTICO
    • Curiosidad, disfrute y entusiasmo
    • Formulando conjeturas
    • Flexibilidad para cambiar de rumbo
  • Y REFERENTES A LOS HÁBITOS EN EL TRABAJO MATEMÁTICO
    • Sistemático
    • Preciso
    • Riguroso
    • Concentrado

Llegados aquí te dejo solo una pregunta: ¿qué ACTITUDES matemáticas has desarrollado en tu Vida…?

 

A modo de RESUMEN

En matemáticas todo se desarrolla a partir de unas cuantas DEFINICIONES (implícitas en los POSTULADOS) y unos cuantos AXIOMAS (reglas LÓGICAS), y a partir de ahí se construye una ESTRUCTURA CONCEPTUAL. Antes de seguir, permíteme que concrete, un poco más, a qué llamamos “axioma”, “definición” y “convenio”.

  • UNA DEFINICIÓN es aquello que dota de significado a un ‘ente’. Por ejemplo: “Un punto es lo que no tiene partes” (Euclides, definición1, Libro I).

Un NOMBRE es una etiqueta que ponemos a algo que existe de forma independiente a dicha etiqueta. Aquello que llamamos punto, existe (en nuestra imaginación matemática), y parece existir más allá del nombre que le demos. El significante no afecta al significado. Lo que hacemos, en el fondo, es afirmar que existe “lo que no tiene partes”. Pero ¿cómo llegamos a esa conclusión? Mediante un ejercicio de abstracción mental: aquello donde se cortan dos líneas rectas no paralelas.

Pero, y esto es importante, como ves todas las definiciones son recurrentes: definen un concepto en función de otros conceptos más ‘primitivos’ De esta forma, hay unos pocos CONCEPTOS que no se pueden definir, Así que nos limitamos a POSTULAR su existencia. La existencia del punto es un POSTULADO de la geometría. Y el punto se define como ‘aquellos que no tiene partes’.

  • UN AXIOMA es aquello que se presupone EVIDENTE. Los AXIOMAS definen las reglas básicas del juego de la LÓGICA. Por ejemplo:
  1. Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
  2. Si se suma lo mismo a cantidades iguales los totales son iguales.
  3. Si se quita lo mismo a cantidades iguales los restos son iguales.
  4. Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales, los totales serán desiguales.
  5. Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí.
  6. Las unidades de una misma cosa son iguales entre sí.
  7. Las cosas que se superponen una a la otra son iguales entre sí.
  8. El todo es mayor que las partes.
  9. Dos rectas no comprenden un espacio.
  • UN POSTULADO es una PROPOSICIÓN que se presupone VERDADERA sin demostración. Por ejemplo: “Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta” (Euclides, postulado 1, Libro I).

Un POSTULADO es una verdad absoluta que no necesariamente tiene por qué ser verdad. Curioso, eh. Por ésta razón las matemáticas son tan maravillosas, son un multiverso mental donde conviven muchos universos distintos, cada uno con su verdad propia. Pero no todas iguales. Un postulado es una verdad absoluta indemostrable, a partir de la cual se construye un modelo (un universo mental) Al alterarla, o bien derivamos en un sinsentido, o bien, nos sorprende abriéndonos a un nuevo modelo (un nuevo universo mental, también con vida propia)

El quinto postulado de Euclides establece algo así como que “por un punto exterior a una recta pasa una única paralela” (equivalente a decir que dos rectas paralelas no se cortan nunca). Y esto es una verdad absoluta a la par que intuitiva (en ese universo mental) A partir de ahí se construye toda la geometría euclídea, la geometría clásica, que es la más instintiva a nivel de calle, porque es la que usamos diariamente la mayoría de los mortales cuando calculamos áreas, volúmenes, distancias, o vemos formas circulares, cuadradas o triangulares. Sin embargo, negar el quinto postulado ha llevado al desarrollo de la geometría más allá de los límites que impone lo lineal.

Decir “por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela” (equivalente a decir que dos rectas paralelas ¡siempre se cortan!) permite desarrollar la geometría de Riemann (geometría elíptica), y el otro extremo “por un punto exterior a una recta pasan dos o más rectas paralelas” (equivalente a decir que se pueden trazar dos paralelas que pasen por un mismo punto y que no sean coincidentes) desemboca en la geometría hiperbólica. ¿Es esto recreativo? A veces con las matemáticas pasan estas cosas. Alguna genialidad rompe patrones de pensamiento y permite desarrollar campos tan consistentes como incomprendidos. Algunas veces hacen falta muchos años, y muchas mentes, para poder encontrar una aplicación práctica.

El problema epistemólogico de las matemáticas, como de las demás ciencias, es confundir el modelo con la realidad. La realidad, como conocimiento absoluto, está más allá de nuestro alcance. Nosotros tratamos con la percepción, que es una cosa bien distinta. La percepción deriva de un hecho incontestable: nosotros percibimos la realidad siempre a través de un filtro mental, eso que llamo aquí un modelo. Sin un modelo que proyectar sobre la realidad, nosotros no la percibimos. Y en la percepción, ratificamos nuestro modelo.

Es la pescadilla que se muerde la cola: sin modelo no percibimos nada, y si proyectamos un modelo sobre la realidad, lo que percibimos es el modelo. Ves lo que crees: primero proyectas, y luego, percibes. No puedes escapar de este círculo vicioso, pero puedes hacerte consciente de él. Decir que nuestro universo real se amolda a una u otra geometría es una tautología. Muy sutil, pero cierto. Por eso construimos (proyectamos sobre la realidad) tantos modelos matemáticos, porque cada uno de ellos nos permite percibir una realidad nueva. ¡Y todas son ciertas! Aunque sólo una es VERDADERA, pero esa está más allá del alcance de nuestros sentidos. ¿Lo pillas?

  • UN CONVENIO es aquello que carece de obligación por parte de la lógica, pero que se ha de aplicar en post del entendimiento común o la conveniencia general.
    • El 1 no es un número primo. ¿Por qué? En matemáticas pretendemos encontrar patrones lo más genéricos posibles. Cuando trabajamos con los naturales no hay ningún problema en considerar al 1 como un número primo (sólo habría que modificar unas pocas palabras en algunos teoremas, pero todo seguiría funcio- nando perfectamente), pero cuando queremos generalizar, y que las propiedades asociadas a los números primos sean aplicables a otros anillos más abstractos, entonces el 1 y la gente que se comporte como el 1, han de ser excluidos. 
    •  0!=1. ¿Por qué? Un número factorial es sencillamente la cantidad de formas posibles en que se pueden ordenar una cantidad concreta de elementos. Así, hay 3! formas difentes de que 3 personas se coloquen en una fila para comprar unas entradas. ¿Qué pasa si una mañana concreta nos encontramos que no hay nadie para comprar entradas? Pues que no hay nada que ordenar. Punto. Pero podemos justificar nuestro convenio de muchas maneras, Por ejemplo, preguntándonos de cuántas formas diferentes podremos encontrarnos ese escenario. Pues sí, sólo de una: vacÍo. EntiéndElo bien, JUSTIFICAR no equivale a DEMOSTRAR.

¿La NOTACIÓN es otro tema?. Sí. “Denotemos por R al conjunto de los números reales”. Estaría dispuesto a admitir que R (el símbolo) es el conjunto de los reales por convenio. En el sentido de que está suficientemente extendido el simbolismo y todos (en el sentido de las distintas culturas o tradiciones culturales) hemos hecho un esfuerzo por generalizar este tipo de simbolismo en pos del entendimiento común. Sin embargo, la palabra convenio parece que conlleva asociada alguna ilegalidad en caso de incumplimiento. Y, en mi opinión, este tipo de imposiciones no son admisibles en matemáticas.

Yo no estaría haciendo malas matemáticas, ni estaría faltando a ningún principio, si un día me levanto y escribo “Sea A el conjunto de los números reales”  y a partir de ahí, y a lo largo de todo mi texto, los reales no son R sino A. Seguramente estaría nadando a contracorriente. Quizá resultaría hasta absurdo. No tendría mucho sentido. Pero todo esto es otra cuestión. La verdad es que desde un punto de vista puramente matemático, no estoy haciendo nada mal. Es evidente que esta situación llevada al extremo sobrepasaría con creces lo demencial.

Si me diera por redefinir los símbolos numéricos (0 1 2 3 …) por ejemplo, es seguro que no estaría haciendo otra cosa que el ridículo a la hora de hacerme entender por otros matemáticos. Aún así, y como anécdota, y con todos mis respetos, tengo que decir, que posiblemente Hardy, y el propio Ramanujan, no habrían trascendido, si Hardy se hubiera dedicado a reprochar la notación con la que Ramanujan escribía sus matemáticas, en lugar de hacer un esfuerzo (casi descomunal) por comprenderla (el mismo esfuerzo que Ramanujan en explicarse). Gracias a esa cordura hoy tenemos todo lo que Ramanujan tenía que decir, que no fue poco.

Pero, como queda dicho, hay más, mucho más, en el CONOCIMIENTO MATEMÁTICO. Aquí tienes una imagen visual  que interrelaciona las distintas ‘Piezas del Conocimiento Matemático’

0a1Como ves, en el cuadro se indican las relaciones de inclusión entre los diferentes niveles de cada uno de los campos y las conexiones entre ellos. En este cuadro no está incluido el conocimiento actitudinal, ni tampoco las capacidades metacognitivas.

 


Veamos, ahora, un ejemplo concreto: LÍMITES y CONTINUIDAD

0a1Términos manejados:

  • Sucesión.
  • Función.
  • Límite.
  • Tender a un número.
  • Tender a infinito.
  • Convergente, divergente.
  • Asíntota.
  • Continuidad, discontinuidad.
  • Indeterminación.

Notaciones utilizadas:0a1

  • Sucesiones:
  • Límite de sucesiones:
  • Límite de una función en un punto:
  • Límite de una función en más o menos infinito:
  • Límite lateral por la derecha:
  • Límite lateral por la izquierda:
  • Tipos de indeterminaciones

0a1
Convenios:

  • El estudio de la continuidad se realiza en puntos del dominio mientras que en los puntos fuera del mismo sólo estudiaremos los límites laterales pero no será ni continua ni discontinua.

Resultados establecidos:

  • El límite de una función, si existe, es único.
  • El límite de una función constante en un punto es la misma constante.
  • El límite de la función identidad en un punto es el valor de ese punto.
  • Toda función constante es continua en R.
  • La función identidad, f(x)=x, es continua en R.

Conceptos de esta estructura conceptual:

  • Sucesión de números reales.
  • Funciones polinómicas, racionales, circulares y radicales.
  • Límite de una sucesión.
  • Sucesión nula (Caso particular de la 1/n).
  • Función: Dominio y recorrido.
  • Límite de una función en un punto y en infinito.
  • 0a1Límites laterales.
  • Asíntota vertical.
  • Asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua.
  • Función continua.
  • Continuidad en un punto.
  • Discontinuidad en un punto.
  • Discontinuidad de salto.
  • Discontinuidad evitable.
  • Discontinuidad esencial.

0a1Destrezas:

  • Cálculo de límites de una sucesión tanto finito como infinito por medio de una tabla de valores.
  • Cálculo de límite de una función en un punto por sustitución directa o mediante representación gráfica.
  • Calcular límites de funciones mediante las propiedades del límite respecto las operaciones con funciones a saber suma, producto y composición.
  • Cálculo de límites laterales en un punto con ayuda de una tabla de valores.
  • Reconocimiento de la continuidad de una función polinómica. Representación gráfica.
  • Reconocimiento de la discontinuidad de una función en un punto por medio de la comparación de los límites laterales siempre que estos existan.
  • Operaciones con funciones continuas.

0a1Razonamientos:

  • Deductivo: propiedades de las operaciones con límites y funciones continuas.
  • Inductivo: regularidades en el cálculo de límites.
  • Analógico: Establecer relaciones para resolución de indeterminaciones.
  • Figurativo: Uso de tablas y representaciones gráficas.
  • Estrategias:
  • Reconocimiento de indeterminaciones en el cálculo del límite de una función o sucesión.
  • Aplicación de técnicas de resolución de indeterminaciones tanto para funciones como para sucesiones.
  • Cálculo de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y esbozo de las mismas.
  • Reconocimiento de una discontinuidad esencial de una función en un punto.
  • Técnicas de resolución de problemas donde estén involucrados los conceptos de límite y continuidad.

Estructuras Conceptuales:

  • R-Álgebra de las funciones continuas reales .
  • R-Álgebra real de las funciones continuas en un intervalo.

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¿En qué consiste la DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS?

Para terminar, y a modo de ejemplo de la importancia que tiene la investigación en didáctica de las matemáticas, traigo a colación aquí el viejo y conocido problema que plantea la enseñanza del concepto de división. Y es que en la enseñanza de las matemáticas casi toda la energía se dedica al algoritmo, y se deja en segundo lugar su significado. Y me pongo el primero en la lista de pecadores.

 Consideremos estos dos problemas:

  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio, y los quiere repartir por igual entre sus 5 amigos. ¿Cuántos caramelos debe darle a cada uno?
  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio y los reparte por igual entre sus amigos. Si le da a cada amigo 5 caramelos, ¿cuántos amigos tiene?

Si nos planteamos esa pregunta tan extendida (y tan poco conveniente) de si el problema es de sumar, o de restar o de … la respuesta para ambos es la misma: son “problemas de dividir”. Sin embargo, el significado de la división es diferente en cada caso.

Creo que la forma más sencilla de darse cuenta es pensar en cómo resolvería la situación Miguel si se le planteara a los 5 años, sin ningún conocimiento de los algoritmos tradicionales de la aritmética. Lo que haría en el primer caso, seguramente, sería ir dando caramelos a sus amigos, de uno en uno y por turnos, hasta que se acabaran. Sin embargo, en el segundo caso haría grupos de 5 caramelos, hasta averiguar que le salen 6 de tales grupos.

El primer sentido de la división se conoce como división partitiva, y tiene el sentido de reparto; el segundo es la división cuotativa, y responde a la pregunta de cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Si hacemos el esfuerzo de ponernos en el lugar del alumno que empieza a estudiar la división, llegaremos a la conclusión de que no es tan sencillo concluir que los dos significados se traducen en el mismo algoritmo.

Y el problema es que la división cuotativa se trabaja muy poco. El sentido partitivo es, claramente, el más intuitivo, y el mejor para introducir la división, y así se hace siempre. Pero habría que trabajar también el sentido cuotativo de la división, y esto se hace mucho menos.

El problema se hace evidente cuando llegan las fracciones y aparece la diferencia más llamativa entre los dos significados de la división: en la división partitiva el divisor es, necesariamente, un número entero; sin embargo, en la división cuotativa, el divisor puede no ser entero. Los alumnos (quizá una mayoría) luchan por dar sentido a eso de “dividir por 1/2″ porque se están enfrentando al problema de falta de comprensión adecuada del sentido cuotativo de la división. Que no es ni más ni menos que dar medios caramelos, en vez de caramelos enteros.

Mi impresión es que este detalle no es suficientemente conocido entre los docentes. Y de nuevo me pongo el primero en la lista. Leí sobre el tema preparando mis clases y después de llevar un par de cursos bastante perplejo ante las dificultades de una parte significativa de mis alumnos al tratar problemas como “Un grupo de amigos compra 6 pizzas y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cuántos amigos son en el grupo?”

Por supuesto, se trata de uno de esos problemas que, una vez detectado, tiene fácil solución. Ya desde el principio, al proponer problemas (antes de presentar el algoritmo), habría que trabajar ambos sentidos de la división. Una vez más, un problema que se hace evidente en secundaria pero cuyo origen está en la enseñanza primaria.

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