Las Piezas del Conocimiento Matemático


Aquí te planteo un COMPORTAMIENTO ESTRATÉGICO frente al aprendizaje de las matemáticas: el APRENDIZAJE POR PIEZAS. Y las PIEZAS DEL APRENDIZAJE de cualquier disciplina científica se pueden visualizar en el siguiente esquema:

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Por lo mismo, dentro del conocimiento matemático hay diferentes tipos de conocimientos, que llamaré las Piezas del Conocimiento Matemático. Por ejemplo:

  • Una demostración
  • Una propiedad
  • 05Una proposición
  • Un concepto
  • Una técnica
  • Una estrategia
  • Un procedimiento
  • Una representación
Lo que hace pertinentes las siguientes cuestiones:
  • ¿Todos los conocimientos matemáticos son iguales ante la comprensión?;
  • ¿Es correcta o pertinente la clásica división de los contenidos matemáticos para estudiar la comprensión?;
  • ¿no habría que considerar otros aspectos (representación, razonamiento, tipos de tareas, etc.) para analizar la evolución de la comprensión?,
  • es decir, ¿puede que las conexiones sean de otro tipo y no sólo formales entre los distintos aspectos del conocimiento matemàtico?;
  • en definitiva, parece que es conveniente utilizar algún “criterio transversal” a la propia estructura formal del conocimiento matemático para analizar la comprensión y su evolución (el pensamiento geométrico, involucra también algo de métrica, de numeración, de álgebra, etc.).

0a1La tesis que te propongo aquí es que cada una de estas PIEZAS DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO precisa de un tratamiento didáctico (o de una metodología didáctica) DIFERENCIADO, tanto en su ENSEÑANZA, como en su APRENDIZAJE. Y que una buena práctica es DETERMINAR a qué tipo de aprendizaje (de ‘pieza matemática’) nos estamos enfrentando en cada uno de los casos y CUÁL ES LA MEJOR MANERA DE ASIMILARLO.

Por EJEMPLO, si eres un aprendiz experto no te enfrentas de igual manera a una DEFINICIÓN que a un ALGORITMO o a una DEMOSTRACIÓN. Y no afrontas de igual manera el aprendizaje de una TÉCNICA que el de una ESTRUCTURA CONCEPTUAL. Un CONVENIO es un convenio, y un HECHO es un hecho: el primero es un consenso que se puede modificar, el segundo, no. Dime tú, la unidad de medida del SI (el metro), ¿es un convenio, o un hecho? ¿Y la suma de la medida de los ángulos de un triángulo?


Empecemos DEFINIENDO las ‘piezas del conocimiento matemático’

     1. El SABER matemático
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LOS CONCEPTOS son aquello con lo que pensamos y, según su mayor o menor concreción, podemos distinguir tres niveles de conocimientos en el campo conceptual:

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  • LOS HECHOS, que son unidades de información y sirven como registros de acontecimientos;
  • LOS CONCEPTOS propiamente tales, que describen una regularidad o relación de un grupo de hechos, suelen admitir un modelo o representación y se designan con signos o símbolos;
  • LAS ESTRUCTURAS CONCEPTUALES, que sirven para unir conceptos o para sugerir formas de relación entre conceptos constituyendo, a veces, conceptos de orden superior, ya que pueden establecer algún orden o relación entre conceptos no inclusivos. 
    2. Las HABILIDADES matemáticas
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Expresiones algebraicasEL CONOCIMIENTO PROCEDIMENTAL consiste en los modos de ejecución ordenada de una tarea, lo constituyen las “reglas, algoritmos o procedimientos empleados para resolver una tarea. Hay instrucciones paso por paso que prescriben cómo concluir una tarea. Un rasgo clave de los procedimientos es que se ejecutan en una secuencia lineal predeterminada. Es la naturaleza claramente secuencial de los procedimientos la que probablemente los diferencia de otras formas de conocimiento.” (Hiebert y Lefevre). 

Dicho de otro modo, LOS PROCEDIMIENTOS son aquellas formas de actuación o ejecución de tareas matemáticas; igualmente podemos distinguir tres niveles diferentes en el campo de los procedimientos:

  • 0a1LAS DESTREZAS consisten en la transformación de una expresión
    simbólica en otra expresión; para ello hay que ejecutar una secuencia de reglas sobre manipulación de símbolos; por lo general, las destrezas se ejecutan procesando hechos;
     

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  • LOS RAZONAMIENTOS se presentan al procesar relaciones entre conceptos, y permiten establecer relaciones de inferencia entre los mismos

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  • LAS ESTRATEGIAS, que se ejecutan sobre representaciones de conceptos y relaciones; las estrategias operan dentro de una estructura conceptual y suponen cualquier tipo de procedimiento que pueda ejecutarse, teniendo en cuenta las relaciones y conceptos implicados. 
  3. Las ACTITUDES matemáticas
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Llegados aquí te dejo solo una pregunta: ¿qué ACTITUDES matemáticas has desarrollado en tu Vida…?

A modo de RESUMEN

aquí tienes una imagen visual  de las distintas ‘Piezas del Conocimiento Matemático’

0a1Como ves, en el cuadro se indican las relaciones de inclusión entre los diferentes niveles de cada uno de los campos y las conexiones entre ellos. En este cuadro no está incluido el conocimiento actitudinal, ni tampoco las capacidades metacognitivas. 


Continuemos PORMENORIZANDO
las ‘PIEZAS DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO

HECHOS; se distinguen cuatro tipos de hechos: términos, notaciones, convenios y resultados. 

  • Términos: son las denominaciones o vocablos con los que designamos los conceptos o las relaciones entre conceptos. En matemáticas hay términos específicos y otros que proceden del lenguaje común.

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  • Notaciones: son los signos y símbolos empleados en matemáticas para expresar una idea de modo breve y preciso.
  • Convenios: son acuerdos tácitos o consensuados para comunicar información sin ambigüedad, evitando largas explicaciones.

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  • Resultados: son unidades de información producto directo e inmediato de relaciones entre términos, suceptibles de memorizar, cuyo dominio y control conviene disponer para trabajar en matemáticas sin tener que partir siempre de cero. 

TÉCNICAS Y DESTREZAS. Las técnicas y destrezas suponen el dominio de los hechos y de los procedimientos usuales que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas. Distinguimos entre destrezas según el campo de las matemáticas escolares en el que operan, y las clasificamos en: aritméticas, métricas, geométricas, gráficas y de representación. 

  • Destrezas Aritméticas: son aquellas necesarias para un correcto dominio del sistema decimal de numeración y de las cuatro operaciones básicas. Entre las más destacadas podemos señalar la lectura y escritura de números, el cálculo mental con dígitos y algunos números de dos cifras, el cálculo con papel y lápiz, y el empleo de la calculadora. Todas estas destrezas se convierten en ALGORITMOS: 
         UN PIEZA MUY COMÚN: el Algoritmo
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  • Un Algoritmo es una solución paso a paso de un problema.
  • Es como una receta de cocina en matemáticas.
  • Ejemplo: un algoritmo para sumar números de dos dígitos es “suma las unidades, suma las decenas y combina las respuestas”.
  • La división larga es otro ejemplo de un algoritmo: si sigues los pasos obtienes la respuesta.
  • La palabra “Algoritmo” viene del nombre del matemático persa del noveno siglo Al-Guarizmi.
  • h0VPYDestrezas Métricas: son las destrezas necesarias para emplear correctamente los aparatos de medida más comunes de las magnitudes longitud, tiempo, amplitud, capacidad, peso y superficie; tambien se incluye aquí el dominio del sistema métrico decimal. 

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    Destrezas Geométricas:
    comprenden las rutinas para construir un modelo de un concepto geométrico, para manipularlo o para hacer una representación del mismo en el plano; también se incluye el dominio y empleo correcto de determinados convenios para expresar relaciones entre conceptos geométricos.

  • Destrezas Gráficas y de Representación: como se haceel uso de modelos gráficos no está limitado a la representación de conceptos geométricos; cuando se hace una representación lineal de los números, cuando se emplea una gráfica para expresar una relación entre dos variables, o cuando se simboliza una fracción sobre una figura, se están utilizando destrezas de tipo gráfico, que suponen el empleo de determinados convenios para dar una imagen visual de un concepto o relación. 

0a1CONCEPTOS. Consideramos los conceptos como una serie de unidades de información (hechos) conectados entre sí mediante una multiplicidad de relaciones; el concepto lo constituyen tanto los hechos como sus relaciones; se representan mediante sistemas simbólicos y gráficas. Usualmente todo concepto admite una o varias representaciones de carácter gráfico o simbólico. Cada concepto se caracteriza por la mayor o menor complejidad de relaciones que se pueden establecer entre los hechos cuya regularidad expresa que, a su vez, va a permitir establecer nuevas relaciones con otros conceptos. 


RAZONAMIENTO
. La capacidad para establecer nuevas relaciones entre las unidades de información que constituyen un concepto se expresa mediante una secuencia argumental a la que solemos llamar razonamiento. Demostración de EuclidesEl razonamiento es la forma usual de procesar conceptos, es decir, de derivar unos conceptos de otros o implicar una nueva relación sobre la base de las relaciones ya establecidas. El razonamiento lógico-deductivo se ha considerado como la forma de razonamiento matemático preferente, lo cual no deja de ser una simplificación. En matemáticas, además del razonamiento deductivo, se emplean el razonamiento inductivo y el analógico. En cualquiera de los razonamientos se utilizan destrezas de diferentes clases. Cuando un determinado razonamiento se ejecuta con unas pautas de rigor, precisión, concisión y elegancia se estandariza con alguna denominación especial: prueba teorema, etc. En el trabajo con alumnos de la Educación Obligatoria, un razonamiento será todo argumento suficientemente fundado que dé razón o justifique una propiedad o relación. Las capacidades de expresión y comunicación de los alumnos las consideramos como una parte importante de su capacidad de razonamiento.
 


ESTRUCTURAS CONCEPTUALES
. Los conceptos, a su vez, no constituyen unidades aisladas de información; entre ellos se puede establecer una gran0a1 riqueza de relaciones que forman autenticas redes conceptuales. Las relaciones entre conceptos dan lugar a nuevas estructuras, en las que cada uno de los conceptos que la forman queda caracterizado por las relaciones que mantiene con el resto. Las relaciones que se trabajan en el periodo de lá Educación. Obligatoria son importantes porque van poniendo las bases de algunas de las estructuras conceptuales claves para la formación matemática de cada alumno. Las estructuras aditiva y multiplicativa y el razonamiento proporcional están entre los ejemplos más conocidos. Las estructuras conceptuales constituyen la esencia del conocimiento matemático organizado, los hechos y destrezas toman sentido y significado dentro de ellas. Por ello el establecimiento y reconocimiento de las relaciones que se dan entre los conceptos con los que se está trabajando debe ser un elemento permanente de reflexión.
 


ESTRATEGIAS
. En el entramado de relaciones que constituyen una estructura conceptual hay multitud de vías para responder a una determinada cuestión, que toma su sentido cuando se enuncia en términos de los conceptos que forman parte de esa estructura. 0a1En unos casos se puede seguir un camino prioritariamente deductivo, es decir, siguiendo las reglas de razonamiento lógico; pero la mayor parte de las veces no suele ocurrir ésto, sino que se combinan argumentos deductivos con otros de carácter inductivo, con representaciones y modelos, algunas intuiciones y razonamientos no explicitados. Cualquier procedimiento o regla de acción que permite obtener una conclusión o responder a una cuestión (resolución de problemas) haciendo uso de relaciones y conceptos, generales o específicos de una determinada estructura conceptual, se denomina estrategia. Las estrategias comprenden al razonamiento y a las destrezas, pero no se reducen a ellos; las estrategias procesan dentro de una estructura conceptual y, por tanto, pueden existir estrategias diferentes para alcanzar un mismo resultado. El uso de estrategias supone un dominio de la red conceptual sobre la que deben ejercitarse y, al mismo tiempo, grandes dosis de creatividad e imaginación para descubrir nuevas relaciones o nuevos sentidos en relaciones ya conocidas. Las estrategias más usuales en los niveles de la Educación Obligatoria son: estimar, aproximar, elaborar un modelo, construir una tabla, buscar patrones y regularidades, simplificar tareas difíciles, conjeturar y comprobar. Unas son metodológicas y otras específicas.


Veamos, ahora, un ejemplo concreto: LÍMITES y CONTINUIDAD

0a1Términos:

  • Sucesión.
  • Función.
  • Límite.
  • Tender a un número.
  • Tender a infinito.
  • Convergente, divergente.
  • Indeterminación.
  • Asíntota.
  • Continuidad, discontinuidad.

Notaciones:0a1

  • Sucesiones:
  • Límite de sucesiones:
  • Límite de una función en un punto:
  • Límite de una función en más o menos infinito:
  • Límite lateral por la derecha:
  • Límite lateral por la izquierda:
  • Tipos de indeterminaciones

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Convenios:

  • El estudio de la continuidad se realiza en puntos del dominio mientras que en los puntos fuera del mismo sólo estudiaremos los límites laterales pero no será ni continua ni discontinua.

Resultados:

  • El límite de una función, si existe, es único.
  • El límite de una función constante en un punto es la misma constante.
  • El límite de la función identidad en un punto es el valor de ese punto.
  • Toda función constante es continua en R.
  • La función identidad, f(x)=x, es continua en R.

Conceptos:

  • Sucesión de números reales.
  • Funciones polinómicas, racionales, circulares y radicales.
  • Límite de una sucesión.
  • Sucesión nula (Caso particular de la 1/n).
  • Función: Dominio y recorrido.
  • Límite de una función en un punto y en infinito.
  • 0a1Límites laterales.
  • Asíntota vertical.
  • Asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua.
  • Función continua.
  • Continuidad en un punto.
  • Discontinuidad en un punto.
  • Discontinuidad de salto.
  • Discontinuidad evitable.
  • Discontinuidad esencial.

0a1Destrezas:

  • Cálculo de límites de una sucesión tanto finito como infinito por medio de una tabla de valores.
  • Cálculo de límite de una función en un punto por sustitución directa o mediante representación gráfica.
  • Calcular límites de funciones mediante las propiedades del límite respecto las operaciones con funciones a saber suma, producto y composición.
  • Cálculo de límites laterales en un punto con ayuda de una tabla de valores.
  • Reconocimiento de la continuidad de una función polinómica. Representación gráfica.
  • Reconocimiento de la discontinuidad de una función en un punto por medio de la comparación de los límites laterales siempre que estos existan.
  • Operaciones con funciones continuas.

0a1Razonamientos:

  • Deductivo: propiedades de las operaciones con límites y funciones continuas.
  • Inductivo: regularidades en el cálculo de límites.
  • Analógico: Establecer relaciones para resolución de indeterminaciones.
  • Figurativo: Uso de tablas y representaciones gráficas.
  • Estrategias:
  • Reconocimiento de indeterminaciones en el cálculo del límite de una función o sucesión.
  • Aplicación de técnicas de resolución de indeterminaciones tanto para funciones como para sucesiones.
  • Cálculo de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y esbozo de las mismas.
  • Reconocimiento de una discontinuidad esencial de una función en un punto.
  • Técnicas de resolución de problemas donde estén involucrados los conceptos de límite y continuidad.

Estructuras Conceptuales:

  • R-Álgebra de las funciones continuas reales .
  • R-Álgebra real de las funciones continuas en un intervalo.

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¿En qué consiste la DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS?

A modo de ejemplo de la importancia que tiene la investigación en didáctica de las matemáticas, traigo a colación aquí el viejo y conocido problema que plantea la enseñanza del concepto de división. Y es que casi toda la energía se dedica al algoritmo, y se deja en segundo lugar su significado. Y me pongo el primero en la lista de pecadores.

 Consideremos estos dos problemas:

  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio, y los quiere repartir por igual entre sus 5 amigos. ¿Cuántos caramelos debe darle a cada uno?
  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio y los reparte por igual entre sus amigos. Si le da a cada amigo 5 caramelos, ¿cuántos amigos tiene?

Si nos planteamos esa pregunta tan extendida (y tan poco conveniente) de si el problema es de sumar, o de restar o de … la respuesta para ambos es la misma: son “problemas de dividir”. Sin embargo, el significado de la división es diferente en cada caso. Creo que la forma más sencilla de darse cuenta es pensar en cómo
resolvería la situación Miguel si se le planteara a los 5 años, sin ningún conocimiento de los algoritmos tradicionales de la aritmética. Lo que haría en el primer caso, seguramente, sería ir dando caramelos a sus amigos, de uno en uno y por turnos, hasta que se acabaran. Sin embargo, en el segundo caso haría grupos de 5 caramelos, hasta averiguar que le salen 6 de tales grupos.

El primer sentido de la división se conoce como división partitiva, y tiene el sentido de reparto; el segundo es la división cuotativa, y responde a la pregunta de cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Si hacemos el esfuerzo de ponernos en el lugar del alumno que empieza a estudiar la división, llegaremos a la conclusión de que no es tan sencillo concluir que los dos significados se traducen en el mismo algoritmo. Y el problema es que la división cuotativa se trabaja muy poco. El sentido partitivo es, claramente, el más intuitivo, y el mejor para introducir la división, y así se hace siempre. Pero habría que trabajar también el sentido cuotativo de la división, y esto se hace mucho menos. El problema se hace evidente cuando llegan las fracciones y aparece la diferencia más llamativa entre los dos significados de la división: en la división partitiva el divisor es, necesariamente, un número entero; sin embargo, en la división cuotativa, el divisor puede no ser entero. Los alumnos (quizá una mayoría) luchan por dar sentido a eso de “dividir por 1/2″ porque se están enfrentando al problema de falta de comprensión adecuada del sentido cuotativo de la división.

Mi impresión es que este detalle no es suficientemente conocido entre los docentes. Y de nuevo me pongo el primero en la lista. Leí sobre el tema preparando mis clases y después de llevar un par de cursos bastante perplejo ante las dificultades de una parte significativa de mis alumnos al tratar problemas como “Un grupo de amigos compra 6 pizzas y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cuántos amigos son en el grupo?”

Por supuesto, se trata de uno de esos problemas que, una vez detectado, tiene fácil solución. Ya desde el principio, al proponer problemas (antes de presentar el algoritmo), habría que trabajar ambos sentidos de la división.

Una vez más, un problema que se hace evidente en secundaria pero cuyo origen está en la enseñanza primaria.

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