Las Matemáticas, ¿qué son?


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0a1Dice Ian Steward en sus recomendables 

Cartas a una joven matemática           

que las escuelas […] están tan preocupadas por enseñar a sumar que apenas preparan a los alumnos para responder (o incluso plantear) una cuestión mucho más difícil e interesante: ¿qué son las matemáticas?

Aunque básicamente estoy de acuerdo con él, no puedo dejar de pensar que los seres humanos somos paradójicos; buscamos atrapar las cosas -como si se pudiera- mediante una buena definición, cuando deberíamos anhelar SENTIR las cosas. Lo único que nos proporciona un conocimiento veraz y profundo de las cosas es ‘EXPERIENCIARLAS’. Porque LAS PALABRAS NO ENSEÑAN, SÓLO ENSEÑA LA EXPERIENCIA.

Ya podemos estar hablando del vino durante un año: describiendo su elaboración, detallando su composición, alabando sus propiedades, advirtiendo sobre sus efectos … ¡que hasta que no lo probemos, saboreemos y degustemos, no SENTIREMOS su poder embriagador!

Lo que te estoy diciendo es que no existe el conocimiento matemático sin la ‘experiencia matemática’. El verdadero aprendizaje es experiencia, no se puede dar por transfusión, como la sangre. El conocimiento matemático lo tenemos que reCONSTRUIR por nosotros mismos mediante la ‘experienciación’ de lo que son las matemáticas.

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Por eso, más que a tener una buena definición de lo que son las matemáticas, deberíamos aspirar a PROBAR, SABOREAR y DEGUSTAR las matemáticas mediante una o dos buenas ‘EXPERIENCIAS MATEMÁTICAS’, cosa que el sistema educativo -ahí está Donald- raramente nos proporciona. Así que saco de mi bodega particular la ‘matemática más añeja’ para saborearla contigo a la par que voy respondiendo a la pregunta de qué es el vino, digo LAS MATEMÁTICAS.

Una pregunta simple con una respuesta no tan simple. ¡Y mira que se ha intentado veces!, casi todos los que se han interesado por ellas han querido dar su visión de lo que son las matemáticas. Ahora lo intento yo.

 Para empezar, veo más factible decirte lo que no son las matemáticas. Y para esto cedo la palabra, una vez más, a Ian Steward:

” Los matemáticos no pasan la mayor parte del tiempo haciendo cálculos numéricos, incluso aunque los cálculos sean a veces esenciales para avanzar. No se dedican a machacar fórmulas simbólicas, aunque las fórmulas pueden ser imprescindibles.
8.-Teorema-del-ángulo-inscrito-y-el-centroLas matemáticas escolares que te están enseñando son principalmente algunos trucos básicos del oficio y la forma de usarlos en contextos muy simples. Si estuviésemos hablando de carpintería, es como aprender a utilizar un martillo para clavar un clavo, o a serrar una pieza de madera. Nunca verás un torno o una taladradora eléctrica ni aprenderás a construir un silla, ni muchos menos a diseñar y construir un mueble.

No es que un martillo y una sierra no sean útiles. No puedes hacer una silla si no sabes cortar la madera con el tamaño correcto. Pero no deberías suponer que puesto que eso es todo lo que has hecho en la escuela, eso es todo lo que hacen los carpinteros.       […]

 Cuando discuten dos matemáticos – y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: ‘Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error’. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos”
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En efecto, las matemáticas no son (sólo) cálculos, ni (sólo) resolver problemas; es algo un poco más complejo. Algo que tiene que ver con lo que entendemos los seres humanos por CERTEZA (a la verdad ya hemos renunciado hace mucho tiempo) y con la posibilidad que tenemos de alcanzarla. 

Y esto de lograr CERTEZAS precisa hilar muy, pero que muy fino.

Tradicionalmente se ha definido a las matemáticas como la Ciencia del Número, la Cantidad y la Forma. ¡Y no es una mala definición! Porque las matemáticas se dedican a eso y, además, las tres cosas son irreducibles a una sola.

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Los NÚMEROS (para contar unidades), las CANTIDADES (de magnitudes continuas) y las FORMAS (de los cuerpos -y de las figuras que los representan-) conforman un eterno y grácil bucle de AUTORREFERENCIA mutua que hasta hoy no hemos sido capaces de reducir a una sola cosa. ¡Aunque se ha intentado!, porque muchos tenemos la intuición, cual nuevos pitagóricos, de que TODO ES NÚMERO. ¡O eso nos gustaría!33

¿O será todo FORMA como postula la Geometría Sagrada…? Entre las dos está el dilema, porque la magnitud continua no tiene muchas posibilidades desde que las aporías de Zenón de Elea  le dieran una estocada y la Física Cuántica la puntilla al no encontrar magnitudes continuas por ninguna parte. Por eso la hemos descartado de la pugna por alcanzar la supremacía absoluta en el reino de las matemáticas. 

Pero volvamos atrás para tener referencias que nos permitan contestar nuestra pregunta. Vayamos a la etimología de la palabra y a la visión que le dio vida para ver qué nos dicen.

Matemática es un término griego que tiene su raíz en la palabra conocimiento. Y esto es así, porque los griegos creían en la verdad y que ésta es alcanzable por el intelecto humano; y a esas pequeñas parcelas de verdad que eran capaces de hacer aterrizar en el plano de los pensamientos las llamaron matemática, es decir, CONOCIMIENTO. Todo lo demás era habilidad, técnica o información.

Te pondré un ejemplo, nosotros podemos DEMOSTRAR pocas cosas; es decir, podemos poner pocas cosas delante de los otros de las que estemos completa y absolutamente seguros (aunque no soy de los que piensan que esto es imprescindible para creer en ellas) Pero algunas si que resisten esta prueba: el hecho es que todos los que las miran quedan PERSUADIDOS de que son ciertas (a la verdad, como te he dicho, ya hemos renunciado)

34 Y aquí llega el ejemplo: puedes dibujar infinidad de triángulos distintos, pero si sumas la medida de sus tres ángulos el resultado siempre es el mismo, ciento ochenta grados. Y hay una demostración que convence a todo el mundo (por lo menos hasta la fecha) de que eso será siempre cierto. Pero ojo, para quedar persuadido por ella, tienes que pagar un alto precio.

¿Cuál, me dirás, quiero estar bien enterado de lo que cuesta tener “certezas”? Pues, para empezar,  pagas el precio de dar unas cuantas cosas por ciertas sin que nadie te las demuestre y asumir que hay unas cuantas reglas que siempre te conducen a deducciones lógicas. 51Son los llamados AXIOMAS y POSTULADOS de esa teoría.

Te lo diré de otra forma, el precio que tienes que pagar para creer en demostraciones es el de resignarte a vivir intelectualmente en un universo mental, el mundo de las ESTRUCTURAS AXIOMÁTICAS. Porque los triángulos que nos están seduciendo con su propiedad de la invariancia de las suma de sus ángulos, sólo viven en ese universo, el universo matemático, que los imagina, además, “planos” sin poder decir lo que eso significa. 43 Porque cuando los imagina dibujados en una superficie con curvatura, ¡la cosa cambia!

Pero ¿cuál de esos infinitos universos que construye nuestra mente coincide con el nuestro? Sí, ése en el que respiramos, en el que nos movemos y en el que apreciamos cosas más o menos triangulares.  

No me enrollo más, ya ves que casi nada es simple. ¿O sí…? Pero eso no te impide gozar de la belleza que desprende un conocimiento que siempre ReCreas tú mismo en un universo que también Creas tú mismo con unas leyes a tu medida: el universo de la racionalidad (que no es idéntico al mental) 30

Termino ya. A mí me gusta definir la matemática (en singular) como UNA ILUSIÓN DE RACIONALIDAD. Y aquí la carga la lleva la palabra ilusión, que es equívoca. Con esta definición te quedas oscilando entre sus tres acepciones sin terminar de decidirte por ninguna.

A saber: si las matemáticas son, sin más, una engañifa del hemisferio cerebral izquierdo que nos induce a ver racionalidad en una realidad que sólo la tiene en apariencia y de manera muy simple; si las matemáticas son unas cuantas manipulaciones lógicas de símbolos que permiten ir sacando de la chistera conejos y más conejos (léase teoremas y más teoremas) de una manera que parece mágica; o si las matemáticas apoyan esa intuición ilusionada que tenemos en que nuestro universo es comprensible y que está escrito en lenguaje matemático.   como se trabaja

Yo suelo inclinarme (más o menos, dependiendo del día) hacia la segunda, la que ve en las matemáticas una pura tautología. Te explico: sólo saca de la chistera los conejos que siempre han estado allí esperando pacientemente a que sean sacados. 

Para la Mente Universal seguramente se muestran instantánea y claramente, junto a la imagen de un triángulo plano, los ciento ochenta y dos mil trescientos veintiún teoremas que lo acompañan. Sólo que nuestra mente humana los va desvelando de uno en uno y lentamente.

52 Y para hacernos más humildes, nuestra lógica racional también ha desvelado – de la mano de Kurt Gödel– que en esa misma chistera hay cosas, sin saber de antemano cuáles, que no podemos decidir si son o no son conejos (digo, teoremas) Arquímedes ya no podrá salir nunca de la bañera al grito de “LO TERMINÉ”, aunque se reencarne cada vez -¡y lo hace!- en matemáticos más ingeniosos. 

Bobadas, ¡eso son bobadas!, me diréis muchos. Las matemáticas se mantienen vivas porque son útiles: te permiten, entre otras cosas, levantar puentes, manejar la electricidad, construir ordenadores… y crear modelos para juegos de guerra. Y eso justifica su existencia sobradamente.

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Así que sí, que os doy la parte de razón de ponéis en este argumento. Nada hay más paradójico que dudar de la utilidad de una ciencia que la viene demostrando desde hace más de cuatro mil años en la casi totalidad de las facetas de la actividad humana. Pero no conviene estar referenciando de continuo todas las cosas a lo útil, porque siempre cabe preguntarse cuál es la utilidad de lo útil.  

Por cierto, ¿cuál es la utilidad de lo bello…? ¿Y la utilidad de lo verdadero…?

   No lo tengo claro, aunque sí lo tengo respecto a la inutilidad de las pseudomatemáticas tal y como las enseñamos en las escuelas. Pero mejor que escuches lo que tiene que decir al respecto ‘El Lamento de un Matemático‘, porque yo no lo soy.

 El problema cultural es un monstruo que se perpetúa a sí mismo: los estudiantes aprenden matemáticas de sus profesores, que a su vez las aprenden de otros profesores, de modo que esta falta de entendimiento y gusto por las matemáticas en nuestra cultura se replica indefinidamente.

 Peor aún, estas “pseudo-matemáticas”, este énfasis en la manipulación precisa pero vacua de símbolos, crea su propio conjunto de valores culturales. Aquellos que han conseguido dominarlas obtienen una buena dosis de autoestima de su éxito. Lo último que desearían oír es que las matemáticas son creatividad y sensibilidad estética. Más de un estudiante universitario ha sentido la frustración de descubrir, después de una década de creer que eran “buenos en matemáticas” por lo que les decían sus profesores, que no tiene de hecho talento matemático alguno y que en lo que destaca realmente es en seguir instrucciones. Las matemáticas no consisten en seguir instrucciones, sino en crear nuevas direcciones qué seguir.

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Ni siquiera he mencionado hasta ahora la falta de crítica matemática en las escuelas. En ningún momento se revela a los estudiantes el secreto de que las matemáticas, como la literatura, es creada por personas para su propio entretenimiento; que el trabajo de los matemáticos está sujeto a una apreciación crítica; que uno puede desarrollar y tener gusto matemático.

Un poco de matemáticas es como un poema, y como con un poema podemos preguntarnos si satisface nuestros criterios estéticos: ¿es este argumento convincente? ¿Tiene sentido? ¿Es simple y elegante? ¿Se acerca o no al quid de la cuestión?

Por supuesto que no se hace crítica alguna en las escuelas —¡no se hace arte alguno que pueda criticarse!

   0a1Pero dejemos de lamentarnos -aunque sea muy lúcidamente- y reivindiquemos la “Experiencia Matemática”, título de UN GRAN LIBRO cuyos autores son Philip J. Davis y Reuben Hersch, y que en su primera parte, El Paisaje Matemático, comienza precisamente con el título de este artículo y se introduce con el párrafo siguiente.

Una definición ingenua, válida para hacerse una primera idea, es que las matemáticas son la ciencia de la cantidad y el espacio. Se podría ampliar un poco esta definición y añadir que las matemáticas se ocupan igualmente de los simbolismos concernientes a la cantidad y al espacio.

Este libro vio la luz en 1982 y se publicó aquí en España en 1989 (coeditado por el Centro de Publicaciones del MEC y la Editorial Labor). Para mi fue, es y será (nunca se acaba de leer del todo) uno de los pilares que hace que siga con mucha ilusión en esto de las matemáticas. El libro pretende modificar y ampliar la anterior definición de las matemáticas de forma que refleje el desarrollo de las matemáticas a lo largo de los últimos siglos e indique qué visión tuvieron diversas escuelas sobre lo que esta ciencia debería ser.

Este inicio del libro continúa así:

Las ciencias de la cantidad y el espacio, en sus versiones más sencillas, se conocen como aritméticageometría. La aritmética que se enseña en la escuela elemental o primaria se ocupa de números de diversas clases y de las reglas para operar con números, como la adición, la sustracción, etc. Al mismo tiempo, aborda situaciones de la vida cotidiana en que se utilizan estas operaciones.

0a1La geometría se enseña en cursos posteriores. Se ocupa, en parte, de problemas de medición espacial. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene un rectángulo de 4 cm de base y 8 cm de altura? Si trazo (imaginariamente) dos rectas en el espacio que no se corten, ¿cuál será la distancia entre ambas? La geometría estudia también aspectos del espacio que están provistos de fuerte atractivo estético o de elementos sorprendentes. Nos dice, por ejemplo, que en un paralelogramo cualquiera las diagonales se cortan en sus puntos medios; o que en todos los triángulos, las tres medianas se intersectan en un punto. Nos enseña que podemos embaldosar un suelo con triángulos equiláteros o con hexágonos, pero no con pentágonos regulares.

Pero la geometría, cuando se enseña según la estructuró Euclides hacia el año 300 a.C., tiene otra faceta cuya importancia es vital. Consiste en su presentación como ciencia deductiva. Partiendo de cierto número de ideas elementales, admitidas como evidentes por sí, y fundándose en unas pocas reglas de manipulación matemática y lógica, la geometría euclídea va tejiendo un entramado de deducciones de complejidad creciente.

En la enseñanza de la geometría elemental no se destacan solamente los aspectos visuales o espaciales de esta materia sino también su metodología, en la cual es la hipótesis la que lleva hasta la conclusión. Tal proceso deductivo se denomina prueba, o demostraciónLa geometría euclídea fue el primer ejemplo de sistema deductivo formalizado, y ha adquirido carácter de paradigma para la totalidad de tales sistemas. La geometría ha sido el gran campo de prácticas del razonamiento lógico, y se ha sostenido (con razón o sin ella) que el estudio de la geometría proporciona al estudiante una formación básica en tal razonamiento.

0a1Aunque los matemáticos de la Antigüedad comprendían claramente los aspectos deductivos de la aritmética, hasta el siglo XIX no se hizo hincapié en ellos ni en la enseñanza de las matemáticas ni en su creación. De hecho, en fechas tan cercanas como el decenio de 1950 no faltaban profesores de secundaria que, aturdidos por el impacto de la “matemática moderna”, afirmasen que la geometría tenía “demostración”, mientras que la aritmética y el álgebra no.

El creciente énfasis con que fueron acentuados los aspectos deductivos de todas las ramas de las matemáticas hicieron que, a mediados del siglo XIX, C. S. Peirce anunciase que “la matemática es la ciencia de la formación de conclusiones necesarias”. ¿Conclusiones acerca de qué? ¿Sobre la cantidad? ¿Referentes al espacio? En esta definición de Peirce no se especifica cuáles han de ser los contenidos de la matemática; la matemática podría “tratar” de cualquier cosa, en tanto su estudio se atenga al esquema hipótesis-deducción-conclusión. 0a1

En El signo de los cuatro, Sherlock Holmes le hace notar a Watson que la labor detectivesca “es, o tendría que ser, una ciencia exacta, que debiera ser tratada con ese mismo talante, desapasionado y frío. Se ha esforzado usted en teñirla de romanticismo, lo cual produce efectos muy similares al de incluuir en el quinto postulado de Euclides una historia amorosa o la fuga de dos amantes”. Conan Doyle está afirmando aquí, en tono irónico, que la detección criminal podría perfectamente ser considerada como una rama de la matemática. Peirce hubiera estado de acuerdo.

La definición de las matemáticas es cambiante. Cada generación y cada matemático reflexivo de cada generación formula una definición, según sus luces. Habrán sido examinadas cierto número de distintas formulaciones antes de poner a este volumen la palabra Finis.

0a1Me gustaría concluir esta entrada, al hilo de los argumentos de Philip J. Davis y Reuben Hersch, proclamando de nuevo mi convicción en que así como no se puede definir el amor, tampoco se puede definir la matemática. Pero que no se pueda definir el amor o las matemáticas, no implica que no se puedan ‘EXPERIENCIAR’. ¡Y en los dos casos no requiere mucho esfuerzo el darse un par de buenas experiencias!

¡Incluso en los años escolares!

Y lo más importante es, quizá, darse cuenta que nuestra aspiración se debe dirigir, más que a definir las cosas, a ‘EXPERIENCIARLAS’. En la seguridad de que la experiencia de las cosas se basa más en el ‘cómo’, que apunta a la calidez de las cosas que se viven; que en el ‘qué’, que apunta a la rapidez y cantidad de cosas (léase también matemáticas) que se viven. Porque una cosa es segura: un par de buenas experiencias amorosas, digo matemáticas, bastan para saber qué son las matemáticas (¡y el amor!)

¡No dejes que la cantidad te prive de la calidad que da la COMPRENSIÓN!

¡Tampoco dejes que el qué VIVES se anteponga al cómo lo EXPERIENCIAS!

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