La Demostración más Hermosa


0a1La raíz cuadrada de 2 o √2,  no es un 2 fastidiado con un gorrito;  ES UN NUEVO NÚMERO:  el número real positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, da 2.  Se llama más precisamente la raíz cuadrada principal de 2, para distin-guirla del número negativo [-√2] con la misma propiedad.

La notación tradicional, utilizando el símbolo de radicación, es √2. Y en la notación de potencias es 21/2. Es un número irracional, lo que equivale a decir que su expresión decimal no llega a ser nunca finita o periódica. Es decir, su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales que no se repiten con una cadencia constante.

0a1La raíz cuadrada de 2 fue posible- mente el primer número irracional conocido. Esto significa que √2 no se puede escribir como una fracción (√2 ≠ p/q, ∀p∈Z y ∀q∈N)

Para alguien que se inicia en el arte de la matemática sorprende mucho ver que hay muchísimas pruebas para un mismo resultado. Demostraciones tan distintas y tan variadas que te dejan perplejo al comprobar de forma patente la enorme (que no absoluta) coherencia interna del conocimiento matemático.

Las pruebas de que √2 es irracional son un magnífico ejemplo de lo que afirmo. Hay muchas demostraciones hermosísimas de este TEOREMA. Empiezo por la que para algunos es, sin duda, la demostración MÁS HERMOSA de todas.

0a1

 


En este artículo te propongo la hasta SIETE HERMOSÍSIMAS DEMOSTRACIONES más de este resultado, aprovechando, de paso, para recordarte MUCHAS, pero que muchísimas matemáticas. ¡Para que compares, elijas y DISFRUTES!.


1ª Demostraciónpor Reducción al Absurdo

Toda proposición bien formulada (por ejemplo, √2 es racional) es verdadera o es falsa. Si demostramos que no puede ser verdadera (porque implica un absurdo), entonces tiene que ser falsa.

Supongamos que la proposición ‘√2 es racional’ es verdadera. Ya que √2 es un número positivo, esto implica que existen dos números naturales p y q (m.c.d.(p, q) =1) tales que:

Está bastante claro que las únicas posibilidades que pueden darse en una fracción irreducible son las siguientes: impar/impar, impar/par, par/impar, ya que par/par sería reducible.

Dicho esto, veamos que ninguna de las tres opciones puede dar como resultado \sqrt{2}. O lo que es lo mismo, que el cuadrado de cada una de ellas no puede valer 2. O lo que es igual, que al elevar al cuadrado cada una de ellas el numerador no puede ser el doble que el denominador. Hasta ahora bien, ¿verdad? Perfecto, pues vamos caso por caso:

impar/impar

Si elevamos un número impar al cuadrado obtenemos un número impar,

en efecto, si un número natural p es impar => (p-1) y (p+1), anterior  y posterior, son pares => (p-1) (p+1) = p² – 1 es par => p² es impar,

por lo que al elevar esta fracción al cuadrado obtenemos otra fracción tipo impar/impar, y está bastante claro que un número impar no puede ser el doble que otro número impar, por lo que \sqrt{2} no puede ser igual a una fracción de este tipo.

impar/par

Si elevamos un número par al cuadrado obtenemos también un número par,

en efecto, si un número natural p es par => (p-1) y (p+1), anterior y posterior, son impares => (p-1) (p+1) = p² – 1 es impar => p² es par,

por lo que aquí al elevar al cuadrado obtendremos una fracción del tipo impar/par. Pero un número impar no puede ser el doble de un número par, por lo que \sqrt{2} tampoco puede ser igual a una fracción de este tipo.

par/impar

Por lo visto anteriormente, el cuadrado de esta fracción daría también una del tipo par/impar, y aquí en principio sí que podría ser que el numerador fuera el doble del denominador. Pero en realidad no es así, ya que un número par al cuadrado da un múltiplo de 4, y es claro que un múltiplo de 4 no puede ser el doble de un número impar (porque en realidad es el doble de un número par). Por tanto \sqrt{2} tampoco puede ser igual a una fracción así.

    CONCLUSIÓN

Lo que hemos obtenido es que \sqrt{2} no puede ser igual a ninguno de los tipos de fracciones posibles donde el numerador y el denominador son números enteros. En consecuencia, \sqrt{2} no es un número racional, hecho que unido a que sí es un número real nos lleva a que \sqrt{2} es un número irracional

 

2ª Demostración: ¿sería la de Aristóteles?


0a1El método indirecto por reducción al absurdo de la demostración de la irracionalidad de √2, hace improbable que ésta fuera la base del descubrimiento pitagórico original de los INCONMENSURABLES.

Lo más probable es que la inconmen- surabilidad fuera descubierta por los pitagóricos en figuras como ésta (que implican un ‘descenso’ infinito) y que el primer irracional descubierto fuera √5.

La demostración aritmética de la inconmensurabilidad de √2 exhibida como LA DEMOSTRACIÓN MÁS HERMOSA se ha interpolado en los textos apócrifos de Los Elementos de Euclides como proposición X.117, por lo que no sabemos su origen. Esta demostración por reducción al absurdo está basada en la distinción entre lo par y lo impar y ya había sido aludida por Aristóteles en su Lógica (Lógica. Analítica Primera. Libro I, Cap. 23, 41a): «Se demuestra que la diagonal del cuadrado es inconmensurable con los lados, mostrando que si se supone que es conmensurable, los números pares serán igual a los números impares.»

Pero a mí me gusta pensar que Aristóteles manejaba otro argumentario, menos sintético, que no coincidiría exactamente con el expuesto en Los Elementos de Euclides y que sería algo así:

Si

Elevando ambos términos al cuadrado y operando queda:

Los pitagóricos visualizaban esta última igualdad de una forma geométrica, utilizaban NÚMEROS FIGURADOS. Es decir, para ellos la última igualdad implicaba que existirían dos (números) CUADRADOS PREFECTOS tales que el uno es el doble del otro. La visualizaban así:

0a1

Pero esto es IMPOSIBLE, porque, como te dice el sentido común –ojo, que a veces engaña-, sólo la suma de 4 (9, 16, 25, 36, 49…) números cuadrados perfectos  IGUALES es un número cuadrado perfecto.  Es una cuestión de embaldosado de suelos cuadrados con cuadrados: sólo con 4 (9, 16, 25, 36, 49…) baldosas cuadradas puedes embaldosar un suelo cuadrado. Así:

0a1

La suma de dos (números) CUADRADOS PERFECTOS iguales JAMÁS te da un (número) CUADRADO PERFECTO, necesitas AL MENOS cuatro. Bueno, estoy haciendo trampa. Nadie te asegura que recolocando los puntitos del rectángulo no puedas obtener un cuadrado. Algo así:

0a1

Pero no, con el número de puntitos que hay a la izquierda JAMÁS puedes construir un cuadrado perfecto a la derecha. Porque el número de puntitos que te proporcionan dos (números) CUADRADOS PERFECTOS IGUALES es un múltiplo de 2, o un múltiplo de 8, o un múltiplo de 32… o un múltiplo de una POTENCIA IMPAR de 2 (2¹,  2³ …) ¡SIEMPRE!

Mientras que el número de puntos que necesitas para formar un CUADRADO PERFECTO a la derecha es impar o un múltiplo de una POTENCIA PAR de 2 (2°,  2² …) Y lo IMPAR no puede ser igual a lo PAR ¡NUNCA!

0a1

En efecto, el Teorema Fundamental de la Aritmética asegura que todo número natural se puede descomponer en producto de factores primos, y que esta descomposición es ÚNICA, salvo el orden de los factores. Esto implica que para calcular la descomposición en factores primos de un cuadrado perfecto, n², basta con multiplicar todos los exponentes de la descom- posición factorial de n por 2.  Esto nos permite demostrar fácilmente el siguiente hecho, que resulta ser fundamental.

Teorema:  un número es CUADRADO PERFECTO sí y sólo sí tiene todos sus factores primos elevados a potencias PARES.

Vemos que es condición NECESARIA, ya que

0a1

Y vemos que es SUFICIENTE. Si tenemos ahora que un número natural m tiene, en su descomposición en factores primos, todos sus factores elevados a una potencia par, entonces 

0a1

Como para multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes, si multiplicamos dos números cuadrados perfectos tendremos SIEMPRE un cuadrado perfecto. Ya que par más par es par. Pero si multiplicamos un número que no es cuadrado perfecto (tiene alguno de sus factores elevado a una potencia impar) por un número cuadrado perfecto, no tendremos NUNCA un cuadrado perfecto. Ya que impar más par es impar. Así:

Teorema:  SÓLO EL PRODUCTO de números cuadrados perfectos da como resultado otro número cuadrado perfecto.

Como 2 no es un número cuadrado perfecto (2 = 2¹, 1 no es potencia par), 2q² = p² es IMPOSIBLE para todo p, q ∈N, porque a la izquierda hay un número IMPAR de doses en su descomposición factorial y a la derecha hay un número PAR de doses.  ¡Y lo impar no puede ser igual a lo par!

Teorema:      2q² = p² es IMPOSIBLE para todo p, q ∈N

Veamos esto de otra manera. Tenemos que p² y q² tienen en su descomposición en factores primos todos ellos elevados a potencias PARES. Si p² fuera DIVISIBLE por q², entonces su cociente sería un cuadrado perfecto; ya que, el cociente tendría todos sus factores primos elevados a potencias PARES. Recuerda que para dividir potencias de igual base se restan los exponentes, y la diferencia de dos pares SIEMPRE ES PAR. Como 2 no es un número cuadrado perfecto (2 = 2¹, 1 no es potencia par) entonces 

Teorema:      2 = p²/q² es IMPOSIBLE para todo p, q ∈N

CONCLUSIÓN: 2 es irracional.

NOTAS:
  • El teorema de que sólo el producto de dos números cuadrados perfectos es un número cuadrado perfecto, puede utilizarse para demostrar que

LEMA: la raíz cuadrada de cualquier número primo es IRRACIONAL.


En general podemos concluir que:

Teorema: Si m no es un cuadrado perfecto, entonces \sqrt{m} es un número irracional.

Lo que prueba que 


el producto de raíces de números primos distintos entre sí es IRRACIONAL


En efecto, dados r y t, primos DISTINTOS, si √r.√t fuese racional, existirían dos números p y q naturales, tales que:

r t q² = p²

que es imposible, porque r.t no es nunca un cuadrado perfecto.

Y con este resultado podemos probar que


la suma de raíces de dos números primos distintos también es IRRACIONAL


En efecto, probemos que √5 + √7 es irracional. Si fuese racional tendríamos que su cuadrado 

(√5 + √7)² = 12 + 2 √5 √7

también lo sería. Pero entonces

[(√5 + √7)² – 12] / 2  = √5 √7

también lo sería. Lo que contradice que √5 √7 es irracional. 


a2 = b2 + c2

Existen infinitas ternas pitagóricas primitivas y muchos métodos para generarlas. Éste es uno:

Dados dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente fórmula:

(2pq , p^2 - q^2, p^2 + q^2)

genera ternas pitagóricas. Además, para cada una de ellas se pueden obtener otro conjunto de infinitas ternas pitagóricas derivadas de ésta por el simple procedimiento de ir multiplicando todos los elementos de la misma por un número natural.

TEOREMA:   2 es irracional    ⇒    2 b² ≠ a²   ⇒   b² + b² ≠ a²   ∀a, b ∈ N

COROLARIO: Si (a, b, c) forman una terna pitagórica, entonces a ≠ b ≠ c y al menos uno de los tres es par.

En efecto, en una terna pitagórica a ≠ b ≠ c, ya que de lo contrario √2 sería racional.  Además, el cuadrado de un impar es impar y el cuadrado de un par es par.  Además  I + I = P,    I + P = I,   P + P = P,  luego en  a² + b² = c²  los tres cuadrados no pueden ser impares, y al menos uno tiene que ser par. Luego en (a, b, c) tiene que suceder lo mismo.


 

3ª Demostración: por Descenso Infinito


El comienzo es el mismo que en el caso anterior: supongamos que raíz de 2 es un número racional, es decir:

Podemos suponer sin ningún problema que p y q son positivos. Nos va a interesar concretamente que q > 0. A partir de aquí demostraremos que raíz de 2 es igual a otra fracción cuyo denominador también es positivo y además menor que q. Esto implicaría que podríamos encontrar una sucesión de número enteros positivos decreciente infinitamente, lo cual es imposible.

El siguiente paso también es igual que en el caso anterior:

Ahora veamos que la fracción cuyo numerador es 2q – p y cuyo denominador es p – q también es igual a raíz de 2 (usando en el primer paso la igualdad que acabamos de obtener):

Es decir:

0a1

Veamos ahora que 0 < p – q < q:

En el penúltimo paso hemos multiplicado por q la cadena de desigualdades y en el último hemos restado q. Por tanto hemos encontrado otro entero positivo menor que q que cumple que es el denominador de una fracción que es igual a raíz de 2. Con esta nueva fracción podríamos hacer lo mismo y encontraríamos otro entero positivo menor que p – q que cumpliría lo mismo.

Es decir, podemos encontrar una sucesión infinita y decreciente de enteros positivos cumpliendo lo anteriormente citado. Como todos sabemos eso es IMPOSIBLE, ya que no existe ninguna sucesión de enteros positivos decreciente con infinitos términos. Por tanto la suposición inicial era falsa.

Conclusión: √2 es irracional.

Nota:

  • Esta demostración tiene una preciosa interpretación geométrica popularizada por J. Conway alrededor de 1990. Conway atribuye la prueba al matemático de Princeton Stanley Tennenbaum (1927 – 2006) que hizo el descubrimiento en la década de 1950 cuando era estudiante en la Universidad de Chicago.

Si:

es que EXISTEN dos cuadrados con lados enteros p y q, tales que

0a1

Pero entonces basta con mover los cuadrados más pequeños

para encajarles en esquinas opuestas del cuadrado más grande. Así: 

Como se aprecia en la figura, la intersección de los dos cuadrados pequeños (los verdes) forman otro cuadrado en el centro del diagrama: el rojo. Y su unión deja dos cuadrados en las esquinas libres del cuadrado grande (los azules)

Por el ‘Teorema  de las Alfombras’, tenemos que las dos áreas son iguales:

Obviamente, estos cuadrados también tienen lados enteros. Ya que:

0a1

Con lo que volvemos a ver claramente que si existen dos números naturales p y q (dado que √2 es un número real positivo), tales que:

 entonces (la figura anterior lo prueba)0a1con p – q < q.

Como este proceso se puede repetir hasta el infinito, entramos en una contradicción con la afirmación de que p y q son números naturales.


 —

4ª Demostración: por Fracciones Continuas


Una fracción continua [Fracciones_continuas] es una expresión del tipo

a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\ddots}}}}

donde a_0, a_1, \ldots son números enteros positivos, que en muchas ocasiones suele escribirse como [ a_0;a_1,a_2, \ldots ].  Bueno, en realidad este tipo de fracciones continuas donde los numeradores son todos 1 se denominan fracciones continuas regulares o simples.

La importancia de las fracciones continuas radica en que permiten caracterizar perfectamente la clasificación de los números reales en racionales e irracionales. Cosa que no ocurre mediante las expresiones decimales, porque los números racionales tienen asociadas expresiones decimales tanto limitadas como ilimitadas (aunque estas son siempre periódicas) Pero sí queda bien caracterizada por las fracciones continuas. Así:

0a1

Además, puedes comprobar que la fracción continua asociada a un número real es ÚNICA siempre que no acabe en 1.


Es decir, se puede probar (con un poco de trabajo) que:

  • Todo número racional tiene asociada una fracción continua FINITA.
  • Todo número irracional tiene asociada una fracción continua INFINITA.
  • Si la fracción continua es PERIÓDICA, el irracional es cuadrático. 

Ver: fracciones continuas infinitas periódicas


 Se llama número irracional cuadrático a todo número real que es solución de una ecuación de segundo grado y que no es un número racional (es decir, la raíz cuadrada que aparece en su expresión no es exacta) Como queda dicho, la fracción continua de este tipo de números posee la curiosa característica de ser periódica. Es decir, de un punto en adelante, sus coeficientes tiene un período que se repiten indefinidamente. De hecho, este resultado es un si y sólo si, ya que toda fracción continua periódica corresponde con un número cuadrático irracional.


Luego para demostrar que  \sqrt {2} es un número irracional cuadrático sólo tenemos que demostrar que su desarrollo en fracción continúa es periódico.


Pero esto es muy fácil si tenemos en cuenta la siguiente identidad:

(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1

a partir de ella es fácil ver que:

0a1Es decir:

0a1

\sqrt{2}=[1;2,2,2,\dots].

Luego el desarrollo en fracción continua de \sqrt {2} es PERIÓDICO.

Conclusión: √2 es irracional cuadrático.


Nota: Si llamamos x=√2-1, entonces es fácil probar que

0a1

Y a partir de ahí, es muy fácil demostrar que el desarrollo en fracción continua de √2 es [1; 2, 2, 2, …]


5ª Demostración: por el Algoritmo de Euclides


Esta demostración está íntimamente ligada con la anterior y se centra en el concepto de CONMENSURABILIDAD. Dados dos segmentos A y B, se dice que son CONMENSURABLES si tienen una ‘medida’ (una parte alícuota) común. Es decir, cuando existe un tercer segmento C que divide (mide) a los dos. Así:

0a1

En lenguaje simbólico:  

0a1O bien, A es m veces B/n, donde B/n es el segmento que se obtiene al dividir B en n partes iguales, cosa fácil de hacer utilizando el Teorema de Tales.

La demostración que te propongo ahora es la más ORIGINAL de todas porque va a la esencia del concepto de inconmensurabilidad y se basa en el siguiente hecho:

todo número real es RACIONAL sí y sólo si es CONMENSURABLE con la unidad (tiene una parte alícuota común con 1)

Para probar esta proposición, lo primero que hay que hacer es darse clara cuenta que todas las partes alícuotas de 1 son de la forma 1/n (∀n∈N). Es decir, los únicos divisores de la unidad son (por definición) las unidades fraccionarias. 

  1. Sea θ un número tal que tiene tiene una parte alícuota común con la unidad. Entonces, θ = m (1/n) = m/n) es RACIONAL.
  2. Todo número racional p/q (m.c.d.(p,q)=1) tiene una ‘parte alícuota’ con la unidad: 1/q. En efecto, tenemos que 1=q(1/q) y p/q=p(1/q)

Lo importante aquí es darse cuenta de que TODO número racional tiene parte alícuota con la unidad; y si no la tiene, entonces necesariamente es irracional. Entonces, para demostrar de manera directa que un número es irracional hay que probar que carece de una parte alícuota común con 1. Es decir, una PRUEBA DIRECTA de que existen números irracionales, y que √2 es uno de ellos, es PROBAR que no existe m.c.d.(√2, 1)≠0.

Ahora sólo queda implementar un método algorítmico que encuentre, en caso de que exista, el máximo común divisor de dos cantidades. Y que asegure que si no lo encuentra es porque no existe.

0a1Euclides describe en la proposición VI I.2 de sus Elementos un método que permite hallar la mayor parte alícuota de dos segmentos (o máximo común divisor de dos números) Es decir, la mayor medida común posible de dos números (o dos segmentos) Si los números son primos entre sí o primos relativos (no tienen divisores naturales comunes) esta medida es 1.

El algoritmo se basa en darse cuenta de que si dos segmentos A > B tienen un divisor común C, como se muestra en la figura, entonces C también es divisor del resto R que queda tras restar B de A tantas veces como se pueda R=A-nB (dividir A entre B, A=nB+R). Así:

0a1

Concluido esto, para encontrar C sólo queda proceder como sigue:

  1. Con un compás sustraemos B de A tantas veces como podamos hasta obtener R1. Si R1 = 0, B = C y hemos terminado: A = n B.
  2. Si R1 ≠ 0, aplicamos el mismo procedimiento a B y R1. Sustraemos, con compás, R1 de B tantas veces como podamos. Obtenemos así R2. Si R2 = 0, R1 = C y hemos terminado: A = m R1 y B = n R1.
  3. Si R2 ≠ 0, sustraemos, con compás, R2 de R1 tantas veces como podamos. Obtenemos así R3. Si R3 = 0, R2 = C y hemos terminado.
  4. Procederemos así hasta obtener un Rn = 0. Entonces Rn-1 = C.

Los cálculos se suelen presentar en una tabla como ésta:

0a1

El hecho de que, si los segmentos son conmensurables (tienen una medida común), el proceso termina tarde o temprano es clave para la demostración que proponemos. Porque lo contrario, que no termine nunca, supondrá que los dos segmentos son inconmensurables entre sí (no tienen parte alícuota común)

Apliquemos, ahora, el Algoritmo de Euclides a √2 y a 1. Así: 

0a1

Vemos claramente que este proceso no termina nunca. Es decir, que los residuos nunca se hacen cero. En efecto, a partir de la siguiente igualdad

1 – 2 (√2 – 1) = (√2 – 1)² 

y multiplicando sucesivamente por (√2 – 1) obtenemos esta otra:

0a1

Esta preciosa identidad nos permite calcular los restos que se van obteniendo al aplicar el algoritmo de Euclides a √2 y 1. Presentados los cocientes y los restos en la forma clásica de tabla tenemos que:

0a1

En la tabla podemos apreciar que los restos forman una preciosa progresión geométrica decreciente de razón (√2-1), lo que nos permite asegurar que éstos sólo alcanzarán el cero en el infinito, ya que  (√2-1) ≠ 0  ⇒  (√2-1)ª ≠ 0, ∀a∈Ν. Por tanto no existe ningún número real que sea divisor común de √2 y 1. Esto prueba que √2 y 1 no tienen ninguna parte alícuota común. Por tanto, √2 no es conmensurable con la unidad. No existe m.c.d.(√2, 1) ≠ 0

Conclusión:  √2 es irracional.

NOTAS:

Todo lo anterior no hace más que constatar que lo que ya sabemos, que √2-1 es irracional cuadrático ya que tiene una fracción continua periódica: 

(√2 – 1) = [0;2, 2, 2…] = [0 , 2]0a1

que emparenta a (√2 – 1) = [0 , 2] = [0; 2, 2…] con φ = (1/Φ) =  [0, 1, 1… ] = [0 , 1]


2.  Este parentesco se evidencia en las siguientes tablas

0a1

0a1

Ademas, esta tabla donde se manifiesta maravillosamente la IRRACIONALIDAD de √2 tiene esta preciosa interpretación geométrica en una construcción de ‘descenso’ infinito que evidencia que 1 y √2 no tienen ninguna parte alícuota común

0a10a1


0a13.  En efecto, tengo para mí que la demostración original (la pitagórica) de la irracionalidad de √2  no era aritmética, y que su razonamiento se basaba en la siguiente construcción geométrica.

Demostrar la irracionalidad de la raíz de dos es equivalente a probar que la diagonal de un cuadrado (D) y su lado (L) no tienen parte alícuota común. Para ello basta probar que ninguno de los restos (Rn) que se generan mediante el Algoritmo de Euclides es cero.

En efecto, si aplicamos el algoritmo de Euclides a D (diagonal) y L (lado) de un cuadrado, tenemos la siguiente tabla:

0a1

En la tabla podemos apreciar una recurrencia que nos permite augurar que los restos nunca alcanzan el cero. Además, como Rn tiende a cero, en esta tabla tenemos un algoritmo para aproximar √2= D/L mediante una fracción con el error que deseemos.


4. Lo anterior se puede generalizar para √3 y √5 [ver fracciones continuas infinitas periodicas] obteniéndose estas preciosas tablas: 

0a1

0a1

Ver algo MUY INTERESANTE: Vesica piscis 

Esta demostración está íntimamente ligada con la anterior y se centra en el concepto de CONMENSURABILIDAD. Dados dos segmentos A y B,


6ª Demostración: Una demostración geométrica


Esta demostración es una variante de la de ‘descenso infinito’. Se le atribuye al matemático estadounidense Tom Apostol (aunque parece que el matemático ruso A. P. Kiselev ya la había anticipado en 1892) Parte de un triángulo rectángulo isósceles como el que aparece en la figura: con n un número entero. Por el teorema de Pitágoras, tenemos que el valor de la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo es

h=\sqrt{n^2+n^2}=\sqrt{2 n^2}=\sqrt{2} \; n

Supongamos que \sqrt{2} es un número racional, digamos \textstyle{\frac{p}{q}}. Entonces podremos construir triángulos como el anterior donde la hipotenusa sea un número entero. Por ejemplo, cualquiera en el que los catetos midan un múltiplo de q, ya que así el producto \sqrt{2} \, n= \textstyle{\frac{p}{q}} \; n será un número entero. En efecto:

0a1

Esto nos lleva a que si \sqrt{2} es un número racional, entonces podemos construir triángulos rectángulos isósceles en los que sus tres lados son números enteros. ¿Bien hasta aquí? De acuerdo, sigamos.

Dado que los números enteros positivos, que son los que estamos considerando en este problema (el lado de un triángulo no puede ser negativo ni cero) tienen un mínimo (el 1), es evidente que habrá un triángulo rectángulo isósceles para el cual los catetos medirán lo mínimo posible. Esto es, el triángulo rectángulo isósceles más pequeño posible que cumple que sus tres lados son números enteros. Dicho triángulo debe existir porque hay un límite a la hora de crear triángulos cuyos lados sean todos números enteros, ya que si los hacemos muy pequeños alguno de los lados medirá menos que 1, por lo que no será entero.

Dicho de otra forma. Supongamos que existen r y t, NÚMEROS NATURALES, tales que son los lados de un triángulo rectángulo isósceles (como muestra la figura), entonces

0a1

Supongamos que tenemos ese triángulo rectángulo isósceles más pequeño posible, al que llamaremos triángulo mínimo. No podría haber, por tanto, triángulo rectángulo isósceles cuyos lados sean todos números enteros que sea más pequeño que nuestro triángulo mínimo.

Lo que vamos a ver es que en realidad sí se puede construir un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados son todos números enteros más pequeño que el triángulo mínimo, hecho que a todas luces es contradictorio y que, en consecuencia, nos asegurará que \sqrt{2} es irracional. Vamos a realizar esta construcción.0a1

Partimos del triángulo ABC que aparece en la figura:

Por hipótesis, las longitudes de sus tres lados, AB, BC y AC, son todas ellas números enteros positivos.

Con centro en C y radio AC trazamos un arco de circunferencia, que corta al lado BC en un punto, al que llamamos D:

0a1Como AC y CD son radios de la misma circunferencia, entonces miden lo mismo. Y como AC es entero (es un lado del triángulo inicial) entonces CD también es un número entero. Ahora, BC es un número entero, por ser una lado del triángulo inicial. Por otra parte, BD=BC-CD, es decir, es el resultado de la resta de dos números enteros positivos y además es positivo al ser BC mayor que CD. Por tanto la longitud del segmento BD es un número entero positivo.

Trazamos ahora la recta perpendicular al lado BC que pasa por el punto D. Esa recta corta al lado AB en un punto, al que llamamos E. Trazamos el segmento DE. La cosa queda tal que así:

0a1Claramente el triángulo BDE es isósceles, siendo BD y DE sus dos lados iguales (ya que DE es el simétrico de BD respecto de la recta perpendicular al lado AB que pasa por D). Por ello, la longitud del segmento DE también es un número entero.

Fijémonos ahora en los segmentos AE y DE. Son tangentes a un arco de circunferencia desde el mismo punto, el punto E, por lo que son iguales. Como sabemos ya que la longitud de DE es un número entero, entonces la longitud de AE también lo es. Pero AB también tiene longitud entera, y además BE=AB-AE. Por tanto, de forma análoga a lo que ocurría con BD, la longitud del segmento BE es un número entero positivo.

Todo ello significa que el triángulo BDE  es un triángulo isósceles cuyos lados miden todos números enteros positivos que además es menor que el que llamamos anteriormente triángulo mínimo. Pero esto es imposible, ya que el anterior era el mínimo posible en lo que a longitud de los lados se refiere.

En consecuencia nuestra hipótesis inicial, que \sqrt{2} era racional, es falsa.

Por tanto, √2 es un número irracional.

0a1Nota: En la última figura se aprecia la íntima relación de esta demostración con la que hemos llamado de ‘descenso infinito’. El triangulo grande (amarillo) y el pequeño (verde) son semejantes, luego tienen sus lados proporcionales. Lo que implica que:

0a1

(con p – q < q)

Proceso geométrico que se puede repetir hasta el infinito, lo que CONTRADICE el hecho de que p y q son números naturales (porque este conjunto tiene un elemento mínimo: el 1).

Lo mismo se aprecia sometiendo p y q al algoritmo de Euclides: Así:

0a1


7ª Demostración: Algebraica


En álgebra, el teorema de la raíz racional o la prueba de la raíz racional indica una restricción en las soluciones racionales (o raíces) de la ecuación polinómica con coeficientes enteros:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0\,\!

Si a0 y an son diferentes de cero, entonces cada solución racional x, cuando está escrita como fracción irreducible x = p/q, satisface

  • p es un factor (divisor) del término independiente a0, y
  • q es un factor (divisor) de, an, coeficiente del término de mayor grado, siendo
  • p y q son coprimos:

Así, una lista de las posibles raíces racionales de la ecuación se puede derivar usando la fórmula

x=\pm {\frac {p}{q}}

           COROLARIOS

  • Si an = 1, del teorema de la raíz racional, se deduce que las únicas raíces racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros son números enteros.
  • Del teorema de la raíz racional se deduce que las únicas raíces enteras de una ecuación polinómica con coeficientes enteros son divisores del término independiente:

Por ejemplo:

Si tengo un polinomio cualquiera  con coeficientes enteros (para simplificar voy a representar uno de grado 2):

p(x)= A x2 + B x + C

Me dicen que m es un número entero raíz de dicho polinomio

p(m)= A m2 + B m + C = 0
m ( A m + B) + C = 0
m (A m + B) = -C
Por tanto, C es múltiplo de m, o lo que es lo mismo: la raíz, m, tiene que dividir al término independiente, C, del polinomio.

 

La demostración de que √2 no es racional pasa por probar que una ecuación polinómica con coeficientes enteros que tiene √2 como solución, NO TIENE SOLUCIONES RACIONALES.

Sea x = √2. Entonces, elevando ambos miembros al cuadrado y pasando todos los términos al mismo miembro, tenemos la siguiente ecuación:

x² -2 = 0

Como se ve es una ecuación polinómica con coeficientes enteros cuyas únicas soluciones racionales, según el teorema de la raíz racional, tienen que ser divisores de 2. Pero los únicos divisores enteros de 2 son ±1 y ±2, ¡que no son raíces de dicha ecuación!

Conclusión: la ecuación no tiene soluciones racionales.

Por tanto, √2 es un número irracional


Nota: Utilizando el mismo razonamiento podemos probar, por ejemplo, que √2 + √5 es irracional.

Sea x = √2 + √5   =>  x – √2 = √5, elevando ambos miembros al cuadrado tenemos que:

x² + 2 -2x√2 = 5   =>   x² – 3 = 2x√2 

Volviendo a elevar ambos miembros al cuadrado y pasando todos  los términos a un miembro tenemos que:

0a1.JPG

Ecuación polinómica con coeficientes enteros que, como se comprueba fácilmente, no tiene soluciones racionales.


A modo de RESUMEN


Aunque seguramente no es cierto, nos gusta pensar que fue Hipaso el que para demostrar la irracionalidad de √2 usó lo que se conoce como la reducción al absurdo. Es decir, plantear una hipótesis inicial, desarrollar un razonamiento lógico y llegar a un absurdo, con lo cual la hipótesis inicial es incorrecta quedando demostrado que lo correcto es lo contrario a la hipótesis inicial.

0a1Lo que si se sabe es que Hipaso formaba parte de la escuela pitagórica, y que en esa escuela se conocía el Teorema que atribuimos a Pitagoras. Esto les permitía poder plantearse cuánto mide la hipotenusa de un triangulo rectángulo con catetos de valor 1. Esa cantidad, que ahora deno- tamos como √ 2, es lo que Hipaso demostró que no es una cantidad racional: no se puede escribir como cociente de dos números naturales.

Recreemos el RAZONAMIENTO de Hipaso:

  • Objetivo: Demostrar que la raíz cuadrado de 2 es un número irracional
  • Estrategia: Reducción al absurdo

Paso 01 (Hipótesis Inicial): Si la raíz cuadrado de 2 es un número racional entonces se puede escribir como el cociente (fracción) de dos números enteros (ésta es la definición de un número racional)

La fracción anterior es irreducible, es decir, no tiene factores comunes entre el numerador y el denominador, ya que si fuera reducible, se puede reducir a su forma irreducible sin alterar el valor de la fracción. Por ejemplo la fracción 2/4 = 0.5 y si divido el numerador y denominador por 2, se llega a la fracción 1/2 = 0.5, la cual es irreducible.

Paso 02: Se eleva al cuadrado la ecuación anterior, quedando

Paso 3: Escribamos la ecuación anterior sustituyendo Q Y P por sus descomposiciones en factores primos. Así:

0a1

Paso 4: Re-escribamos la ecuación anterior así:

0a1

Paso 5: La ecuación anterior implica esta otra:

0a1

Es decir, que lo IMPAR es igual a lo PAR

Paso 06: Hemos llegado al absurdo, entonces la hipótesis inicial (paso 01) es falsa, por ende, la raíz cuadrada de dos no se puede escribir como una fracción de dos números enteros, lo que significa que √2 no es un número racional y por consiguiente es un número irracional.

Este mismo razonamiento puede extenderse para demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de cualquier número primo. También puede extenderse a la raíz cuadrada de cualquier producto de números primos diferentes entre sí. De hecho, con este mismo razonamiento, puede demostrarse la irracionalidad de la raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto:

√p ∉ Q ⇔ p ≠ m², ∀p, m∈N 


Para ello sólo tenemos que recordar que un número natural (m) es un CUADRADO PERFECTO (∃n / m = n²) sí y solo sí tiene, en su descomposición en factores primos, todos sus factores elevados a una POTENCIA PAR. De lo que se deduce que SÓLO EL PRODUCTO de dos números cuadrados perfectos da como resultado otro número cuadrado perfecto. Así, pues, tenemos que

p r² = s² es IMPOSIBLE si p ≠ q²,  ∀ r, s, p, q ∈ N 


Y, por último, como vamos a ver a continuación, también puede extenderse este razonamiento para demostrar que la raíz n-ésima de cualquier número primo es, asimismo, IRRACIONAL. Así pues, con este simple, bello y elegante racionamiento se demuestra la existencia de infinitos números irracionales algebraicos, un infinito, sin embargo, numerable.

Pero además de los irracionales algebraicos, descubriremos que existen otros irracionales no algebraicos, llamados por ello, trascendentes. Conocemos pocos números trascendentes, pero sabemos que hay un infinito no numerable de ellos.

Irracionalidad de \sqrt[n]{2}


Para terminar. En multitud de ocasiones, en cualquier ámbito de nuestra vida, matamos moscas a cañonazos. Es decir, hacemos algo utilizando muchos más recursos (ya sean físicos, económicos…) de los que en realidad hacen falta. Como encender una vela con un lanzallamas, por poner un ejemplo.

La cuestión es que en matemáticas esto también ocurre. De hecho ocurre de manera relativamente frecuente. Seguro que muchos de vosotros conocéis algún resultado matemático para el que existe una demostración que utiliza algún otro resultado mucho más potente que el que se quiere demostrar pero que por otra parte posee alguna manera mucho más sencilla de demostrarse. Algo así como acudir a la Topología para demostrar la infinitud de los números primos cuando poseemos este sencillo argumento de Euclides para ello.

Lo que dejo aquí es otro ejemplo de este fenómeno, otro caso en el que matamos un teorema sencillo con una demostración cañón.

Teorema: Si n \ge 3, entonces \sqrt[n]{2} es irracional.

Demostración:

Supongamos que \sqrt[n]{2} es racional, es decir:

\sqrt[n]{2}=\cfrac{a}{b}

con a,b números enteros positivos primos relativos.

Si elevamos a n esta igualdad obtenemos lo siguiente:

2=\cfrac{a^n}{b^n}

Multiplicando a ambos lados por b^n llegamos a:

2b^n=a^n

Y como 2b^n=b^n+b^n, la expresión que conseguimos es esta:

a^n=b^n+b^n

Pero aplicando el último teorema de Fermat esta expresión no puede darse para ningún valor entero positivo de a y b. Por tanto \sqrt[n]{2} es irracional. 

Esto es matar moscas a cañonazos. Utilizar el teorema de Fermat-Wiles para demostrar la irracionalidad de \sqrt[n]{2} es excesivo teniendo en cuenta la forma tan sencilla de demostrar dicho resultado que poseemos:

Teorema: Si n \ge 3, entonces \sqrt[n]{2} es irracional.

Demostración:

Supongamos que \sqrt[n]{2} es racional, es decir:

\sqrt[n]{2}=\cfrac{a}{b}

con a,b números enteros positivos primos relativos.

Si elevamos a n esta igualdad obtenemos lo siguiente:

2=\cfrac{a^n}{b^n}

Multiplicando a ambos lados por b^n llegamos a:

2b^n=a^n

Por tanto, a^n es par y, en consecuencia, también lo es a. Supongamos a=2k, con k\in\mathbb{N} y sustituyamos su valor en la expresión anterior:

2b^n=(2k)^n

Dividiendo a ambos lados entre 2 llegamos a:

b^n=2^{n-1} k^n

Y de aquí, como n\ge 3, se tiene que b también es par.

Hemos obtenido que a y b son pares, es decir, tiene a 2 como divisor común. Pero esto es imposible, ya que a y b eran primos relativos (es decir, su máximo común divisor es 1). Llegamos entonces a una contradicción.

Por tanto \sqrt[n]{2} es irracional. 

Como veis, aunque las dos demostraciones son válidas, la segunda es mucho más elemental.

La demostración desproporcionada se debe a W. H. Schultz y aparece en este post de Gödel’s Lost Letter dedicado al April Fool’s Day junto con dos demostraciones de otros resultados que van en la misma línea.

AQUÍ PUEDES ENCONTRAR MUCHAS DEMOSTRACIONES MÁS:

http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml



APÉNDICE:       Expresión decimal de un número racional

Teorema 1:


Todo número racional se puede representar bien por una expresión decimal finita o bien por una expresión decimal infinita periódica, que puede ser pura o mixta.


0a1

Teorema 2:


Toda expresión decimal finita o infinita periódica representa un número racional


 Teorema 3:


Todo número irracional tiene una expresión decimal infinita no periódica. Es decir, nunca conoceremos su expresión decimal completa.


VER:


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