El Espíritu de las Matemáticas


Todas las cosas tienen un espíritu que las vivifica, ¡LAS MATEMÁTICAS TAMBIÉN! 

0a1Aunque el ‘Espíritu de las Matemáticas’ sea, como todo buen espíritu que se precie, INVISIBLE, se deja SENTIR. Y eso quiero intentar aquí, que SIENTAS el ‘Espíritu de las Matemáticas’, y con él a las Matemáticas como un cuerpo de conocimientos vivo… con sentido y con alma… AMABLE (que puede ser amado)

Pero a la hora de hablar del Espíritu de las Matemáticas las palabras se quedan cortas, ¡muy cortas!, por eso INVOCO al talento que hay en ti para que hagas cierto eso de que a buen entendedor, pocas palabras. Yo no tengo más palabras para explicarme mejor (por eso inserto tantas imágenes)

  9WDRZCRUno de los problemas (y hay muchos) de la ‘matemática escolar’ es que no logra hacer visible el ‘Espíritu de la Matemática’. Y al no percibir su espíritu, las matemáticas se nos aparecen como un cuerpo de conocimientos sin sentido, sin alma… sin VIDA: INVISIBLES.

  Y aquí, así, quiero INVOCAR contigo, para que se nos muestre tal cual es, al Espíritu de la Matemática.

  Para lograrlo tenemos que percatarnos bien de una cosa. En la matemática que aprendemos en la escuela se mezclan dos SABERES, dos disciplinas muy distintas, y eso da lugar a gran parte de la confusión con que vivimos esta experiencia -que nos imponen como obligatoria- en nuestros años infantiles.

  • La primera disciplina que se intenta enseñar es, cómo llamarla, el CÁLCULO. Sí, algo así como las MATEMÁTICAS APLICADAS.
  • Y, a la vez, se intenta enseñar la MATEMÁTICA tal como se concibió en sus orígenes griegos. Es decir, lo que podríamos llamar la MATEMÁTICA PURA.

0a1

Sí, porque el Espíritu de la Matemática se encarnó, por lo menos para nosotros los occidentales, en el siglo VI a.C., en la Grecia Antigua.

A la recién nacida la bautizaron con el nombre maqhma, en trascripción latina mathema, que quiere expresar conocimiento. Lo que deja bien claro con qué espíritu nació: el de alcanzar CERTEZA en el conocimiento. ¡No en el cálculo! ¿Lo pillas…?

 0a1Para que entiendas te pondré varios ejemplos. Si se pide a l@s alumn@s  de ESO que calculen el área de un círculo de radio 1 cm, todos los aplicados responderán que 3,14 cm².

Ningún profesor espera ver como respuesta π cm². ¡Pero muchos lo EXIGIRÁN! 

¿Por qué esa EXIGENCIA…? ¿Para qué…?

 No, no han perdido el norte. Saben sobradamente que los alumnos no entienden esta exigencia de la EXACTITUD, porque todos somos ‘calculistas’ de forma innata. ¡Como los ingenieros! ¿Qué puede hacer un ingeniero con π…?

 Y, entonces, ¿por qué muchos profesores MANTIENEN esa exigencia?

Porque no quieren dar por perdida una batalla que se muestra día a día muy difícil de ganar: la batalla de que los alumnos pasen, en algún momento, de ser ‘calculistas’ a ser ‘matemáticos’.

Y no es que quieran propiciar el elitismo, ¡no! Es que SIENTEN que las ‘matemáticas’ son educativas, el ‘cálculo’, no. Es útil, pero no es educativo: no ayuda en el objetivo del AUTOCONOCIMIENTO, que es el único objetivo genuinamente educativo.

 0a1 Aquí nos topamos con el asunto. ¿Para qué educamos…? ¿Para que los alumnos puedan ‘ganarse la vida’, o para que puedan ‘gozar de la vida’…? No me gusta la retórica, así que no tomo partido, tan sólo apunto la pregunta. Pero tampoco soy timorato, así que pongo el dedo en la llaga: lo que falta en educación es un SENTIDO PROFUNDO de para qué educamos.

No te asustes, esto no va de educación, va del Espíritu de la Matemática. Así que le seguimos invocando: Espíritu de la Matemática, ¡muéstrate!

  • El ciudadano corriente no utiliza las matemáticas nunca. Y el cálculo, raramente. Para él las matemáticas son innecesarias.
  • El ingeniero utiliza mucho el cálculo, pero poco las matemáticas. Tampoco las necesita en su quehacer profesional.

26AAsí que la tentación de enseñar solo cálculo, y olvidarse de las matemáticas, es muy grande. Bueno, en muestra práctica docente cotidiana casi siempre estamos cayendo en esa tentación, y si fuéramos honestos sustituiríamos en los programas una palabra por otra. Es más, ganaríamos muchísimo en precisión conceptual, porque raramente enseñamos matemáticas. Nos pasamos todo el día enseñando cálculos: el aritmético, el algebraico, el de probabilidades, el de límites, el de derivadas, el de integrales, el matricial… ¿Dónde está la Resolución de Problemas, las Investigaciones Matemáticas… y la Geometría Clásica?

Pero no es que seamos unos vagos o unos ineptos, es que NO SE PUEDEN enseñar esas cosas. Porque enseñar matemáticas es mostrar su ESPÍRITU, y los espíritus son invisibles: no los podemos ENSEÑAR, aunque los podamos SENTIR.

0a1  A ver si podemos aquí. π cm² NO EXISTE fuera de nuestra mente matemática, y en ella es un INFINITO inaccesible. 3,14 cm² es CUADRAR EL CÍRCULO, que tampoco se puede con las reglas que nos hemos dado, esas que no llevan números, ni con los compases que se cierran nada más dejar de utilizarlos.

¿Qué pasa con los comPases…?, se pregunta el@ alumn@ estupefact@ ante tanto escrúpulo mental. Y aquí es cuando un profesor@ avisad@ tiene que INVOCAR al Espíritu de la Matemática.

  Sí, aquí lo SENTIMOS, porque en su empeño por hacer aterrizar la certeza -a la verdad ya hemos renunciado hace tiempo- en el plano de las formas conceptuales, la matemática se ha topado con el monstruo: EL INFINITO. Y lo que habla de su espíritu es que no se arredra y lo hace cara.

Uno de los logros más grandes de la matemática como lenguaje ha sido su propio coraje imaginativo para enfrentar el concepto más inaccesible y paradójico que haya podido pretender la fragilidad temporal del intelecto humano: EL CONCEPTO DE INFINITO.

  0a1π es un inoportuno que nos fastidia la fiesta, pero al que no podemos echar por mucho que queramos. Porque entre 3,14 y π descubrimos un INFINITO de posibilidades, y no todas son CIERTAS. ¿Cómo vamos a dejar al alumn@ conformarse con la mentira, conformarse con 3,14 cm²? 

 ¡Anda vamos!, como si no conviviésemos a todas horas con la mentira. Convivir sí, conFORMARSE, no. ¿Pillas la diferencia? 

Es la misma que hay entre 3,14 y π cm². Y esto no lo arreglamos tomando más decimales. Porque ya sabemos que todo es cuestión de escala. Para nuestro tamaño, 3,14 cm² es una buena aproximación, pero si tuviésemos el tamaño de un protón, entre 3,14 cm² y π cm² podríamos escondernos todos.

0a1Otro ejemplo. Nadie verá jamás una circunferencia. Con mucha imaginación, lo único que verá dibujarse es una corona circular. La circunferencia es sólo un MODELO mental, algo en lo que intentamos encajar el halo de la Luna.

Y a ese halo le encontramos longitud. ¿Cuál será, les preguntamos a nuest@s alumn@s, si ese día el halo de la Luna tiene un diámetro de un cronopio de longitud…? ¿3,14 cronopios, o π cronopios…?

L@s alumn@s lo tienen claro. ¿Y nosotros…?

L@s alumn@s piensan horrorizad@s: estamos hablando de algo que no existe (la circunferencia), midiéndolo con una unidad imposible: el diámetro (no tiene parte alícuota con su perímetro) ¡Esto es un dislate de principio a fin!

El@ profesor@ cansad@ y frustrad@ piensa:

  • est@s no entienden nada, ni lo entenderán jamás,
  • no están hechos para las las ‘matemáticas’.

No te frustres; pobre halo. Solo los ARTISTAS te pintan, ¡halo de la Luna!… y solo los POETAS te cantan. Los MATEMÁTICOS somos del gremio: no buscamos medirte ¡halo de la Luna!, eso se lo dejamos a los ingenieros… Nosotros te SOÑAMOS, solo que nuestro sueño tiene tintes de pesadilla: π, π, π…

0a1Sí, los matemáticos son buscadores de la racionalidad humana. Les apasiona la diferencia entre Verdad y Certeza. ¡Qué culpa tienen ellos de toparse con el infinito por todas partes!

Buscan… y se encuentran con que TODO ES UN JUEGO. ¡Y eso enseña mucho! Enseña que nosotros somos los SOÑADORES DE SUEÑOS… los HACEDORES DE MÚSICA… los CREADORES DE NÚMEROS: 3,14, ¡y también π!

0a1¿Qué podemos hacer como DOCENTES…?

  • NADA más que ACOMPAÑAR en el PROCESO DE APRENDIZAJE.
  • No podemos ENSEÑAR nada, aunque podemos testimoniar -¡y no es poco!- que se puede APRENDER todo.

Como bien se percató Van Hiele, sólo podemos poner a los alumnos en un ambiente adecuado para que se produzca en ellos el SALTO CUÁNTICO de la comprensión. La que les catapulta de ‘calculistas’ a ‘matemáticos’. ¡Lo pillé, es el fotón que emiten los alumnos para avisarnos de que lo han conseguido!

Y es cuántico porque SIEMPRE hay alguna probabilidad de que ocurra, sin saber nunca cuándo ni cómo. Así son las LEYES DEL APRENDIZAJE, y más nos vale que las ACEPTEMOS. Crear un ambiente propicio, acompañar… y relajarnos, es el único papel que nos dan en esta película de la enseñanza. Si ocurre el milagro de la COMPRENSIÓN, bien; si no ocurre, bien, también.

0a1Para terminar, deshacer un mal entendido. Aunque el Espíritu es necesario para dar vida a las cosas inanimadas -sin alma-, se puede sobreVIVIR sin él. Los ejemplos sobran.

Sí, es verdad que el Espíritu de las Matemáticas insufla pasión a la Vida, pero se puede vivir sin pasión. Por eso las matemáticas no son NECESARIAS en la vida diaria de la inmensa mayoría de las personas. Por tanto, no deberían ser OBLIGATORIAS.

Tampoco se justifica su OBLIGATORIEDAD diciendo que las matemáticas son ÚTILES, ¡que lo son! Las matemáticas, como cualquier ARTE, se justifican por el PURO PLACER que da su práctica. ¡Sí, por la pasión que insufla su Espíritu a tu vida si tienes el don de quedar poseído por él!

AtsQHutAsí se me acabaron las palabras. No importa, ellas nunca te convencerán de nada. Para ello tendrás que ‘experienciar’ un encuentro mágico con el irresistible Espíritu de las Matemáticas. 

No, no es una ilusión. Hay muchos que dan lúcido testimonio de haber sido poseídos por él de por vida. Como buen ejemplo vale el de Miguel de Guzmán.

Aquí te dejo su apasionada VISIÓN del Espíritu de las Matemáticas.

 “La Matemática, tal como la entendemos y practicamos hoy, nació en la comunidad científicoreligiosa de los pitagóricos, en el siglo VI a. C., y fue concebida como una vía o método a través del cual el hombre podía asomarse a lo profundo del universo, a eso que los pitagóricos expresaban como «las raíces y fuentes de la naturaleza». 

En aquel tiempo, el quehacer matemático estaba muy lejos de ser una mera técnica rutinaria para dominar algunos aspectos de nuestro entorno físico, tal y como en gran parte puede ser entendido en la actualidad. Lo que Pitágoras y los pitagóricos comenzaron a percibir en su contemplación matemática, hasta llegar a ser de ello muy conscientes, fueron las armonías más hondas presentes en la estructura misma del universo en el que habitamos. Tal contemplación proporcionó los fundamentos de su vida ética y religiosa.

0a1Si los fundamentos del universo entero, se decían, están construidos de forma tan armoniosa como lo percibimos a través del conocimiento matemático, parece claro que nuestra propia vida humana debería tratar de acomodarse a esa armonía. Contemplándola primero, y después respetándola y favoreciéndola tanto en sus aspectos físicos más externos como en los específicamente humanos, a través del respeto especial hacia los seres vivos, y muy en particular a través de las relaciones mutuas con los demás seres, tanto humanos como divinos.

El quehacer matemático fue entre los pitagóricos, en cierto modo, una guía de contemplación y de comportamiento. Lástima que en buena parte se haya transformado entre nosotros en una rutina un tanto vacía, especialmente en las aulas de formación de los jóvenes, donde más necesario sería hacer uso de su poder formativo. Y, sin embargo, a lo largo de la historia ha habido muchos filósofos, científicos y matemáticos que han permanecido fieles al espíritu de los pitagóricos y han seguido viendo en la Matemática mucho más que el mero juego de fórmulas y figuras. Platón es el gran transmisor del espíritu pitagórico. A través de su profunda originalidad de pensamiento y de su capacidad poética para plasmar sus ideas, consiguió que el pensamiento pitagórico calara en nuestra cultura con una intensidad que el tiempo no ha debilitado.

0a1El espíritu pitagórico ha aflorado pujantemente en científicos tales como Kepler, en el Renacimiento, y en nuestro siglo en algunos de los más eminentes matemáticos que han reflexionado en nuestra ciencia con amplitud y profundidad. En el mismo Kurt Gõdel, uno de los matemáticos más eminentes de nuestro siglo, las resonancias platónicas y pitagóricas son manifiestas y a veces explícitas. Con toda razón se puede afirmar que, entre quienes más han hecho avanzar la Matemática y la ciencia en todos los tiempos, ha permanecido vivo e intensamente activo el espíritu de los pitagóricos.

¿Podrían señalarse algunos aspectos más concretos y tangibles de naturaleza ética que sean específicamente estimulados por el quehacer propio de la Matemática? Tan sólo enunciaré brevemente algunos, que merecerían desde luego un desarrollo más extenso.

0a1La raíz de este carácter abarcante de la Matemática sobre lo más específicamente humano está en su propia naturaleza. La Matemática es una exploración de ciertas estructuras omnipresentes y más o menos complejas, que aparecen en nuestra realidad y que admiten ese acercamiento racional, manipulable mediante símbolos, que pone en nuestras manos un cierto dominio de la realidad a que se refieren y que llamamos matematización.

La Matemática se acerca a la multiplicidad de las cosas y crea la Aritmética, se aproxima a las formas y se origina la Geometría, explora el propio símbolo surgido en la mente y nace el Algebra, analiza los cambios y transformaciones en el espacio y en el tiempo y surge el Análisis Matemático… En este quehacer, el cometido de la mente humana consiste en interpretar racionalmente, lo mejor que puede, unas realidades, unos hechos que se le presentan como dados, como previos. Esto constituye una de las experiencias profundas que todo matemático vive en su tarea ordinaria, que consiste en percibir que está siguiendo unas huellas que hasta cierto punto le guían en su trabajo.kF2h0aT

Este sometimiento a la verdad y a la realidad, que está normalmente tan enraizado en el científico, constituye sin duda uno de esos rasgos importantes que deberíamos apreciar y fortalecer en nosotros. La búsqueda de la verdad, de cómo es la situación, constituye el rasgo típico del científico, y muy en particular del matemático, para quien suele estar bastante más claro que para los demás científicos cuándo una situación es una hipótesis de trabajo y cuándo ha llegado a una verdad incontrovertible. La aceptación gozosa de esta verdad, sea quien sea el que la haya encontrado, y contradiga o no nuestras expectativas previas, es otro de los rasgos de generosidad que se dan en el trabajo matemático. El goce en la contemplación de la verdad y en la participación con otros de la belleza que suele resultar de esta actividad, es el premio que el matemático recibe de esa actitud abierta y generosa.

El sentimiento de profunda humildad ante la multitud de verdades aún por descubrir es otra de las actitudes interesantes que la Matemática puede estimular. Newton lo expresó en bellas palabras: «No sé lo que la posteridad pensará de mí, pero me parece haber sido solamente como un muchacho jugando a la orilla del mar y divirtiéndose al encontrar de vez en cuando un guijarro más suave o una concha más bonita que de ordinario, mientras que el gran océano de la verdad yace sin descubrir ante mí».

geometria sagrada - estrellamadreanimEl quehacer matemático nos hace sentirnos, más que en ninguna otra ciencia, cercanos a todos nuestros antecesores en las mismas tareas. Los teoremas que fueron alcanzados por los babilonios o por los antiguos griegos siguen siendo tan válidos hoy como entonces. Como decía Hardy, ellos son «colegas de otra universidad». El trabajo matemático es tarea común y participada. Newton mismo decía: «Si algo he conseguido, es porque me he encaramado a hombros de gigantes».

La Matemática se fundamenta en su mismo comienzo sobre el consenso. Sus propios inicios se llaman postulados, y las definiciones de los nuevos objetos que se van introduciendo también son convenciones. Sobre ellos se asienta la totalidad del edificio que vamos construyendo. La aceptación del consenso es otra de las actitudes que la Matemática estimula.

La Matemática es consenso, es sometimiento a la realidad, pero es también, y de forma muy importante, libertad creativa. Como Georg Cantor, el creador de la teoría de conjuntos, afirmaba solemnemente a comienzos del siglo XX, «la esencia de la Matemática es la libertad». Y es que, al igual que el artista que pretende expresar para los demás una vivencia, una visión muy especial que tiene, también el matemático dispone de muchos procedimientos posibles para hacerlo. La Matemática es, sin duda, descubrimiento, pero también creación libre, aventura.

0a1Todo esto comporta un gran reto para nosotros los matemáticos y especialmente para los que tratamos de transmitir nuestro saber y hacer a los más jóvenes. ¿Cómo empaparnos en actitudes semejantes, hacernos conscientes de ellas y tratar de compartirlas con nuestros compañeros, con nuestros estudiantes…?

Yo propondría a modo de enunciado, para acabar, unas cuantas ideas posibles, que tendrían la virtud de acercar esos dos campos que aparentemente se contraponen en un mundo convertido artificialmente en un universo de dos culturas enfrentadas, la humanística y la científica. Estas ideas podrían ser puestas en práctica en nuestra educación matemática a todos los niveles, con gran provecho y con frutos probablemente mejores que los que resultan de nuestro actual sistema de formación:

  • la consideración de la Matemática más allá de la mera técnica;
  • el conocimiento de la historia de la Matemática;
  • el conocimiento y lectura de los grandes matemáticos;
  • la aceptación explícita de las responsabilidades que se derivan del quehacer matemático ante nosotros mismos, ante nuestros alumnos, ante la sociedad a la que pertenecemos.”

Y aquí es cuando cabe preguntarse, ¿son realmente bellas las Matemáticas? En una ocasión, el catalán Noel Clarasó hizo esta pregunta en una de sus intervenciones públicas: ¿Sabe usted cuál es el ideal de belleza de un sapo? Él mismo dio la respuesta: ¡una sapa! En este mismo sentido, puede argumentarse que, para un matemático, naturalmente que son bellas. Algunos, incluso, persiguen la unión entre dos de los trascendentales filosóficos mediante las Matemáticas:

Mi trabajo siempre ha tratado de unir verdad y belleza, y cuando he tenido que elegir entre una y otra normalmente he elegido la belleza,  afirmaba Poincaré

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Aunque la más rotunda en este sentido corresponde a Beltrand Rusell: Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza… Russell encontró en las Matemáticas y en la ciencia, en general, un modelo de conocimiento, concluyendo la frase anterior así: «las matemáticas tienen la ventaja de enseñarle a uno a pensar sin pasión.»
En mi condición de matemático, sin apasionamiento de ningún tipo, creo inclinarme por la belleza platónica.

0a1

Como sostiene Alfred N. Whitehead, hay que admitir que el estudio de las Matemáticas es una locura divina del espíritu humano, un refugio ante la urgencia aguijoneante de los sucesos contingentes. ¿Acaso las Matemáticas no son bellas hasta el punto de poder enamorarse de ellas?, ¿qué cuerpo tienen?, ¿qué rostro?, ¿cuál es su estómago?, ¿y su corazón?, ¿cómo son sus dedos? Aunque hay obras de arte en las que se reflejan las diferentes musas, no busquemos por ahí.

0a1Las Matemáticas esencialmente son una forma de pensar, de preguntar y de hacernos preguntas, desde la que analizamos la complejidad de nuestro mundo y, también, de la propia herramienta que hemos inventado para abordarla: las Matemáticas.

Aplíquelo a cualquier situación propia de las Matemáticas, o a todas ellas en su conjunto, los cinco vértices del pentágono de la belleza -por ejemplo- y decida.

¡Yo ya lo hice y siento pasión por ellas!


 

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