El ABC de las Matemáticas


Imagen1El ABC de una disciplina es lo primero que tienes que dominar para manejarte en esa materia.   Si preguntas a un matemático profesional qué es lo que tiene que manejar con soltura para hacer matemáticas te dirá -sin duda- que tiene que dominar el concepto de demostración.

El ABC de las matemáticas es 

EL CONCEPTO DE DEMOSTRACIÓN

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

Sinfonía de Φ en Clave de 6

 


Una llamada a la sensatez antes de empezar.

Las demostraciones están bien, porque los sentidos nos engañan. Pero no hay que lanzarse a demostrarlo todo ¡y a TODOS! Cuando estemos practicando la experiencia matemática de la demostración conviene que recordemos SIEMPRE estas sabias palabras de H. Poincarè:

  • “Cuando un alumno empieza a estudiar matemáticas en la Universidad, tiene un concepto de función, … una idea de continuidad; considera evidente, por ejemplo, que una función continua no puede cambiar de signo sin anularse. Si el profesor le dice: “No, eso no es evidente; debemos demostrarlo”, ¿qué pensará el infortunado estudiante? Pensará que las matemáticas son sólo una acumulación arbitraria de sutilezas inútiles; quizá le disgustará, o quizá se divertirá con ello, como con un juego, y llegará a un estado mental análogo al de los sofistas griegos  … … … …
  • Por lo que es pertinente preguntarse, ¿se puede entender una teoría si se construye desde el principio en la forma definitiva que impone el rigor lógico? No, no puede entenderse, sólo se aprende de memoria.”

El concepto de Demostración Matemática.

    Quizá te ahorres tiempo VIENDO y DISFRUTANDO con algunos BUENOS ejemplos:

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Vamos, ahora, a describir con detalle y ejercitarnos parcialmente en algunas de las técnicas de demostración más usuales e importantes:

  • la demostración directa,
  • la demostración indirecta,
  • la demostración por contraposición
  • y la demostración por reducción al absurdo.

Cuando veamos las características de cada uno de estos métodos, podremos ver con cierta claridad cuándo es uno de ellos preferible a los otros. Empecemos estudiando conjuntamente los dos primeros: demostración directa y demostración indirecta.

Los métodos de demostración directa e indirecta

Cuando quieres probar que la proposición “Si A entonces B” es verdadera, lo primero que tienes que hacer es reconocer quién es la proposición A y quién es B. Por lo general, todo lo que está entre las palabras “si” y “entonces” constituye la proposición A, y todo lo que está después de “entonces”, la B. Otra forma de reconocerlo: todo lo que supones que es cierto, o sea, la hipótesis, es A y todo lo que tienes que probar que es cierto, o sea, la tesis, es B.

Consideremos el siguiente ejemplo: 0a1Proposición: Si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y  e hipotenusa z tiene de área z2/4, entonces es isósceles.  En este ejemplo tenemos las proposiciones A “El triángulo rectángulo XYZ de catetos e y e hipotenusa z tiene de área z2/4” y B “ El triángulo rectángulo XYZ es isósceles”. Para demostrar que “Si A entonces B”», o bien, “A implica B”, puedes suponer que A es verdadera y usar de alguna forma esta información para concluir que B es verdadera.

 El método de demostración indirecta

En el método de demostración indirecta, debes empezar preguntándote: “¿Cómo, o cuándo, debo concluir que la proposición B es verdadera?” Esta pregunta debes hacerla de forma general. En el ejemplo anterior, pongamos por caso, la pregunta (general) es: “¿Cómo puedo probar que un triángulo es isósceles?” Esta pregunta, obtenida de la proposición B, la llamaremos en lo que sigue la pregunta clave.

Una pregunta clave bien planteada no debería contener ni símbolos ni otras notaciones (salvo números) del problema que se está considerando. La llave para muchas demostraciones es formular correctamente la tal pregunta clave. 0a1Una vez que has planteado la pregunta clave, tu paso siguiente en este método será responderla. Volviendo al ejemplo anterior, ¿cómo puedo probar que un triángulo es isósceles? Obviamente, una forma es probando que dos de sus lados tienen la misma longitud. Considerando nuestra figura, deberías probar que x = y.

Observa que en la respuesta a la pregunta clave hay dos fases: en primer lugar, das una respuesta general que no contiene símbolos del problema planteado: demostrar que un triángulo es isósceles, es demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud. Luego, aplicas esta respuesta a la situación en cuestión: demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud, significa demostrar que x = y (no que x = z  ó  y = z). Con el método de demostración indirecta, has construido una nueva proposición, B1, que tiene la propiedad de que si puedes demostrar que B1, es verdadera, entonces B lo será.

En nuestro ejemplo, la nueva proposición es B1: x = y. Si puedes probar que x = y, entonces el triángulo XYZ es isósceles. Una vez que has planteado la proposición B1, todos tus esfuerzos deberían dirigirse a intentar llegar a la conclusión de que B1 es verdadera, pues entonces seguiría que B es verdadera. ¿Cómo puedes demostrar que B1 es verdadera? ¿Cómo puedes plantear una nueva pregunta clave para B1? Puesto que x e y son longitudes de dos lados de un triángulo, una pregunta clave razonable podría ser “¿cómo puedo probar que las longitudes de dos lados de un triángulo son iguales?”. Otra, igualmente razonable, sería “¿cómo puedo probar que dos números reales son iguales?” Al fin y al cabo, x e y son números reales.

cBzeLOoUna de las dificultades que pueden surgir en el método de demostración indirecta es la posibilidad de más de una pregunta clave en algún paso. Elegir la correcta tiene más de arte que de ciencia. En algunos casos, habrá solamente una pregunta clave obvia; en otros casos, deberás proceder por ensayo y error.

Aquí es donde tu intuición, esfuerzo, creatividad, tus diagramas, etc., pueden jugar un papel importante. Una norma general, es dejar que la información que encierra A (que estás suponiendo cierta) te ayude a elegir la tal pregunta. Al margen de la pregunta clave que finalmente plantees, el siguiente paso será responderla, primero en general y luego aplicada a la situación en cuestión. ¿Puedes hacer esto para las dos preguntas clave que supuestamente has planteado para B1? Para la primera, podrías demostrar que dos lados de un triángulo tienen igual longitud, probando que los ángulos opuestos son iguales. En nuestro triángulo significaría probar que los ángulos X e Y son iguales. Un rápido examen de la proposición A nos hace ver que no aporta mucha información sobre los ángulos del triángulo XYZ. Así pues, debemos elegir la otra pregunta clave.

0a1Ahora estás ya frente a la pregunta “¿Cómo puedo probar que dos números reales (a saber, x e y) son iguales? Una respuesta es probar que su diferencia es cero. Desafortunadamente hay otra respuesta perfectamente razonable: demostrar que el primer número es menor o igual que el segundo y que el segundo es menor o igual que el primero.

Así pues, surge una segunda dificultad en el método de demostración indirecta: puedes, incluso, elegir bien la pregunta clave pero puede haber más de una respuesta para ella. Por otra parte, puedes incluso elegir una respuesta que impida completar la demostración. Por ejemplo, para la pregunta clave “¿Cómo puedo demostrar que un triángulo es isósceles?” estaría la respuesta “Demostrando que es equilátero”. Como puedes observar, es imposible demostrar que el triángulo de nuestro ejemplo es equilátero, pues uno de sus ángulos es recto.

Volviendo a la pregunta clave bsIyErAasociada a B1 “¿Cómo puedo demostrar que dos números reales (a saber, x e y) son iguales”, supón, por razones que seguro ya estás viendo, que eliges la respuesta de probar que su diferencia es cero. Has vuelto, en el método de demostración indirecta, a construir una nueva proposición B2 con la propiedad de que si puedes probar que B2 es verdadera, así lo será B1 y, por tanto, también B. Concretamente, la nueva proposición B2 es

B2xy = 0.

Todos tus esfuerzos deben ahora dirigirse a llegar a la conclusión de que B2 es verdadera. Deberás, en último lugar, hacer uso de la información de A pero, de momento, continuemos una vez más con el método de demostración indirecta aplicado a B2. Una pregunta clave asociada a B2 sería: ¿Cómo puedo probar que la diferencia de dos números reales es cero? Después de alguna reflexión, parece que no hay una respuesta razonable a esta pregunta. Un nuevo problema surge en el método de demostración indirecta: ¡La pregunta clave aparentemente no tiene respuesta! No hay que desanimarse; no todo está perdido. Recuerda que cuando quieres probar “A implica B”, debes suponer que A es verdadera. Es ahora el momento de hacer uso de ello.

 El método de demostración directa

0a1El método de demostración directa parte de la proposición A, que supones verdadera, y deducir de ella una nueva proposición A1 que puedas ver que es verdadera como resultado de que A lo es. Es importante resaltar que las proposiciones deducidas de A no deben ser hechas de cualquier modo, deben estar enfocadas hacia la última proposición obtenida en el método indirecto. Volviendo a nuestro ejemplo, recordemos que la última proposición obtenida en el método indirecto era B2 : xy = 0.

En este ejemplo, la proposición A es “ El triángulo rectángulo XYZ de catetos de longitud x e y e hipotenusa de longitud z, tiene por área z2/4”. Como bien sabes, de A deducimos A1: xy/2 =  z2/4 Otra proposición útil deducida de A es A2x2 + y2 = z2. Naturalmente que podemos combinar A1 y A2  y construir más proposiciones verdaderas. Así, en nuestro caso, tendríamos A3:  xy/2 = (x2 + y2)/4. Uno de los problemas de este método es que es también posible construir algunas proposiciones carentes de utilidad, por ejemplo: “El ángulo X es menor de 90º”.

Como no hay normas específicas para construir nuevas proposiciones, tengamos presente que, en nuestro caso, el método de demostración directa está dirigido a probar la proposición B2: xy = 0, que fue la última que dedujimos en el método de demostración indirecta. El hecho de que B2 no contenga el número z es la razón por la que hemos eliminado z2 de A1 y A2 para construir A3. Continuando con el método de demostración directa, debes intentar volver a escribir A3 para que se parezca más a B2. Por ejemplo A4x2 – 2xy + y2 = 0, que factorizándola da A5:  (xy)2 = 0. Es interesante hacer notar que el método de demostración directa nos ha dado una respuesta a la pregunta clave que habíamos asociado con B2: “¿Cómo puedo demostrar que la diferencia de dos números reales es cero?”, que, en este caso, sería demostrando que el cuadrado de su diferencia es cero. Como ves, normalmente mezclamos los dos métodos vistos. Un resumen de nuestra demostración podría ser:

Proposiciones Justificaciones
A: Área de XYZ es z2/4 Dado
A1xy/2 =  z2/4 Área = (base . altura) / 2
A2: x2 + y2 = z2 Teorema de Pitágoras
A3xy/2 = (x2 + y2)/4 De A2 y A1
A4: x22xy + y2 = 0 De A3
A5: (xy)2 = 0 Factorizando A4
B2: xy = 0. De A5
B1 : x = y De B2
B: XYZ es isósceles De B1

 Como te habrás dado cuenta, no es normal escribir todos estos pasos en una demostración; suelen aparecer versiones mucho más condensadas. Por ejemplo, en nuestro caso, aparecería algo así como Demostración. La hipótesis, junto al teorema de Pitágoras, nos lleva a x2 + y2 = 2xy, de donde (x y)2 = 0 y el triángulo es isósceles como queríamos probar.

 El método de demostración por reducción al absurdo

Aunque hayas creído por un momento que el método de demostración que acabas de ver, demostración directa-indirecta, te va a resolver casi cualquier tipo de demostración que te aparezca, existen casos muy simples donde fracasa estrepitosamente. Por ejemplo: Proposición: Si n es un entero positivo y n2 es par, entonces n es par. Si pensamos en el método de demostración indirecta, empezamos con la pregunta clave: “¿Cómo puedo demostrar que un entero (a saber, n) es un número par?

Una respuesta sería demostrar B1:  Existe entero k tal que n = 2k. La aparición del cuantificador existe sugiere proceder mediante un método de construcción, de forma que usaremos el método directo de demostración para intentar construir el entero buscado k. Trabajando así, de la hipótesis de que n2 es par, podemos afirmar A1:  Existe un entero, digamos m, tal que n2 = 2m. Como nuestro objetivo es encontrar el entero k para el que n = 2k, parece natural tomar la raíz cuadrada positiva de los dos términos en A1 y escribir: A2:   y ¿cómo volver a escribir ahora  para que se parezca a 2k? ¡Parece que el método de demostración directa-indirecta falla aquí! Afortunadamente existen otras técnicas de demostración.

Una de ellas, el método de demostración por reducción al absurdo es la que vamos ahora a ver, junto con unas indicaciones de cuándo y cómo debe utilizarse. En el método de demostración de reducción al absurdo, debes empezar suponiendo que A es verdadera, al igual que hacías en el método de demostración directa. Ahora, sin embargo, para llegar a la conclusión buscada, a saber, que B es verdadera puedes proceder haciéndote una pregunta muy simple: “¿Por qué no puede B ser falsa?” Después de todo, si B tiene que ser verdadera, debe haber alguna razón por la que no pueda ser falsa. El objetivo del método de demostración por reducción al absurdo es, precisamente, descubrir esa razón. En otras palabras, la idea de la demostración por reducción al absurdo es suponer que A es verdadera y B falsa y ver que no puede ocurrir esto. ¿Y qué significa “ver por qué no puede ocurrir esto”? Supón, por ejemplo, que después de suponer que A es verdadera y B falsa (en lo que sigue escribiremos no B) eres capaz de demostrar que 1 = 0. ¿No te convencería eso de la imposibilidad de ser A verdadera y B falsa simultáneamente? Así pues, en una demostración por reducción al absurdo, debes suponer que A y no B son verdaderas y usar esta información para llegar a una contradicción de algo que tú estás seguro de que es verdadero. Una vez llegados aquí surgen, de forma natural, varias preguntas:

  1. ¿Qué contradicción debemos buscar?
  2. ¿Cómo utilizar exactamente la suposición de que A es verdadera y B falsa para llegar a esa contradicción?
  3. ¿Por qué y cuándo debemos utilizar este método en lugar del de demostración directa-indirecta?

La primera pregunta es, con mucho, la más difícil de responder, porque no hay normas específicas. Cada problema origina su propia contradicción, hay normalmente que tener creatividad, esfuerzo, persistencia … y suerte para llegar a esa contradicción. Respecto de la segunda pregunta, el método más normal para llegar a una contradicción es trabajar conjuntamente, mediante demostración directa, partiendo de que A y no B son verdaderas. Esta última observación también puede indicar la conveniencia de usar a veces el método de demostración por reducción al absurdo en lugar del de demostración directa-indirecta: mientras que en este último, supones únicamente que A es verdadera, en el método de reducción al absurdo supones que tanto A como no B son verdaderas. Así pues, tienes dos proposiciones para empezar a andar en vez de una sólo. Como contrapartida no tienes una idea exacta de cómo va a surgir la contradicción.

Como regla general, utiliza el método de demostración por reducción al absurdo cuando la proposición no B te dé alguna información útil. Hay al menos dos casos fácilmente reconocibles en los que esto ocurre: Recuerda la proposición B asociada a nuestro ejemplo del comienzo: “n es un entero par”. Puesto que un entero solamente puede ser par o impar, cuando supones que B no es verdadera, debe ocurrir que n es un entero impar. Aquí, la proposición no B te da alguna información útil.

En general, cuando la proposición B es una de dos posibles alternativas (como ocurre en nuestro ejemplo), el método de demostración por reducción al absurdo puede ser útil, en tanto que, suponiendo no B, sabes que ocurre la otra alternativa. Un segundo caso en el que el método de demostración por reducción al absurdo puede tener éxito es aquel en el que la proposición B contiene la palabra no, como se muestra en el ejemplo más clásico y más hermoso de demostración por reducción al absurdo.

Proposición: Si r es un número real tal que r2 = 2, entonces r no es racional.

0a1

Uno de los matemáticos más importantes de este siglo, el inglés G.H. Hardy, decía que “el método de reducción al absurdo, que tanto complacía a Euclides, es una de las armas más finas que puede emplear un matemático. Es un gambito mucho más hermoso que cualquiera de los que pueda ofrecernos el juego del ajedrez. Un jugador de ajedrez puede sacrificar un peón o incluso una pieza, pero un matemático sacrifica la partida completa”.

Otros casos en los que es útil el método de demostración por reducción al absurdo son aquellos en los que la proposición B contiene el cuantificador existe. Con el método de construcción tenemos la dificultad de tener que construir el objeto buscado. El método por reducción al absurdo abre ahora un nuevo enfoque. En lugar de demostrar que existe un objeto con la propiedad de que tal cosa ocurre, ¿por qué no proceder con la  suposición de que no existe tal objeto?

Nuestra tarea sería ahora usar esta información para llegar a algún tipo de contradicción. El cómo y dónde va a surgir la contradicción puede no estar claro pero puede resultar mucho más fácil que construir el objeto buscado. Considera el siguiente ejemplo: Supón que quieres demostrar que en una fiesta con 367 personas, al menos hay dos con el mismo cumpleaños. Si usas el método de construcción, tendrías que ir a la fiesta y encontrar las dos personas en cuestión. Supón, por el contrario, que no hubiera ningún par de personas con el mismo cumpleaños e intenta llegar tú solo a una contradicción.

 La demostración por contraposición

Acabamos de ver que en el método de demostración por reducción al absurdo, partes de las proposiciones A y no B y, por demostración directa, intentas alcanzar algún tipo de contradicción. La dificultad de este método es que no sabes a qué contradicción te vas a dirigir. El método que veremos ahora, la demostración por contraposición, tiene la ventaja de que te vas a dirigir hacia una contradicción concreta. En la demostración por contraposición, al igual que la demostración por reducción al absurdo, supones que tanto A como no B son verdaderas.

En el método por contraposición, sin embargo, no partes de A y no B, sino que empiezas a trabajar solamente con no B y tu objetivo es llegar a que A es falsa, con lo que ya has llegado a una contradicción ¿Qué mejor contradicción? ¿Cómo puede ser A a la vez verdadera y falsa? Intenta demostrar por contraposición la siguiente proposición: Proposición: Si m y b son números reales con m ≠ 0, entonces la función f (x) = mx + b es inyectiva. (Recuerda que una función es inyectiva si para cualesquiera nos reales x e y con x ≠ y es f (x) ≠ f (y)). Hemos dicho que la demostración por contraposición es un cierto tipo de demostración por reducción al absurdo. Cada uno de estos dos métodos tiene sus ventajas y sus inconvenientes. La desventaja del método de demostración por contraposición frente al de reducción al absurdo consiste en que en aquél partes de una sola proposición, no B, en lugar de dos.

La ventaja es que sabes exactamente a donde quieres llegar, a no A, con lo que puedes aplicar el método de demostración indirecta a la proposición no A. La opción de trabajar con demostración indirecta no es aplicable en el método por reducción al absurdo pues no sabes qué contradicción estás buscando. Si comparas el método de demostración directa-indirecta (A implica B) con el de contraposición (no B implica no A) observarás que tienen la misma estructura y, por tanto, no hay, en principio, razones aparentes para preferir uno a otro. Hay, sin embargo, algunos casos en los que el método de contraposición o el de por reducción al absurdo deberían elegirse o, al menos, considerarse seriamente. Son aquellos en los que en la proposición B aparece la palabra no, pues, en estos casos, es bastante normal que la proposición no B contenga alguna información útil. Para terminar, he aquí un cuadro que resume los tres métodos:

Método Supongo   Concluyo
Demostración directa-indirecta     A    directa   . . . Indirecta    B
Reducción al absurdo A  y  no B    directa . . .   · contradicción
Contraposición  no B    directa   . . . Indirecta no A

El Pequeño Teorema de Fermat – Una demostración directa y simple

Fermat

En una carta a Bernard Frenicle de Bessy in 1640, el gran teórico de los números francés Pierre de Fermat propuso el siguiente teorema (en realidad no era un teorema propiamente dicho sino más bien una conjetura):

Si \displaystyle \mathit{\mathbf {p}} es un número primo, entonces para cada número \displaystyle \mathit{\mathbf {a}} el número  \displaystyle \mathit{\mathbf {a^p-a}}   es divisible en \displaystyle \mathit{\mathbf {p}} .

Ejemplo: Tomamos \displaystyle p=23 un número primo, entonces \displaystyle a^p-a es divisible en \displaystyle p sea \displaystyle a un número entero cualquiera (positivo, negativo o cero).

Fermat sostenía que tenía una demostración del teorema, pero según le cuenta a Frenicle de Bessy, esta era demasiado extensa para incluirla en la carta. El primero en demostrar el teorema fue Gottfried Leibniz en un manuscrito en 1683 que no llegó a publicar. La primera demostración publicada, casi cien años después, es de Leonhard Euler, quien en 1736 la presentó en un artículo titulado Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio.

Hasta los inicios del siglo XX este teorema era conocido como “teorema de Fermat” , en 1913 el matemático Kurt Hensel en su libro Zahlentheorie lo rebautiza como “pequeño teorema de Fermat” tal como se conoce actualmente.

Si bien parace que demostrar este teorema requiere de una matemática avanzada, es sorprendente encontrar que puede demostrarse de manera sencilla y directa utilizando nada más que inducción matemática y el teorema del binomio.

A continuación el desarrollo la demostración:

(1) Sea \displaystyle p un número primo:

  • Si \displaystyle a=0 \longrightarrow \displaystyle 0^p-0=0 divisible en \displaystyle p
  • Si \displaystyle a=1 \longrightarrow \displaystyle 1^p-1=0 divisible en \displaystyle p

(2) Suponemos que si para todos los valores positivos de \displaystyle a tenemos que \displaystyle a^p-a es divisible en \displaystyle p por inducción matemática la hipótesis es válida también para \displaystyle a+1, entonces tenemos que:

  • \displaystyle a^p-a es divisible en \displaystyle p
  • \displaystyle (a+1)^p-(a+1) es divisible en \displaystyle p

Por Teorema del Binomio sabemos que:

\displaystyle (a+1)^p = a^p+ \binom{p}{1} a^{p-1}+ \binom{p}{2} a^{p-2}+...+\binom{p}{p-1} a+1

Hacemos pasaje de términos y obtenemos:

\displaystyle (a+1)^p-a^p-1 = \binom{p}{1} a^{p-1}+ \binom{p}{2} a^{p-2}+...+\binom{p}{p-1} a

\displaystyle (a+1)^p-(a^p+1) = \binom{p}{1} a^{p-1}+ \binom{p}{2} a^{p-2}+...+\binom{p}{p-1} a   (1)

En el lado derecho de la ecuación (1) encontramos que cada coeficiente \displaystyle \binom{p}{k} con \displaystyle k=1,2,3,...,p-1 es divisible en \displaystyle p. Por la propia definición de \displaystyle \binom{p}{k} tenemos que:

\displaystyle \binom{p}{k}k!=p(p-1)(p-2)...(p-k-1)  aquí \displaystyle p divide la parte derecha de la ecuación. Para todos los coeficientes de la expresión, \displaystyle k es un valor menor a \displaystyle p, entoces el factor primo \displaystyle p no ocurre en el producto \displaystyle k! , por lo tanto \displaystyle p divide a \displaystyle \binom{p}{k}.

Entonces como \displaystyle p divide a cada coeficiente del lado derecho de la ecuanción (1), debe dividir también a la expresión completa del lado derecho y consecuentemente divide también el lado izquierdo \displaystyle \longrightarrow (a+1)^p-(a^p+1).

A partir de la hipótesis inductiva que \displaystyle p divide a \displaystyle a^p-a, tenemos que:

  • \displaystyle [(a+1)^p-a^p-1]+[a^p-a] \displaystyle = \displaystyle (a+1)^p-\not{a^p} -1+\not{a^p} -a
  • \displaystyle [(a+1)^p-a^p-1]+[a^p-a] \displaystyle = \displaystyle \mathbf {(a+1)^p-(a+1)}

Por lo  tanto por inducción matemática la hipótesis es valida para todos los valores positivos de \displaystyle a.

(3) La demostración se completa considerando los valores negativos de \displaystyle a. Entonces definimos a los valores negativos de \displaystyle a como  \displaystyle\mathbf {-a}.

– Si \displaystyle p es igual a \displaystyle 2 , tenemos que:

\displaystyle (-a)^p-(-a)=(-a)^p+a=a^2+a=\mathbf{a(a+1)}

Los factores \displaystyle\mathbf {a} y \displaystyle\mathbf {(a+1)} son consecutivos, entonces uno de ellos es par y su producto divisible en \displaystyle 2.

– Si \displaystyle p es impar:

\displaystyle (-a)^p-(-a)=-a^p+a=\mathbf{-(a^p-a)}

Sabemos que si \displaystyle a es positivo divide a \displaystyle (a^p-a), por lo tanto tambien divide a \displaystyle -(a^p-a).

\displaystyle \mathbf{Q.E.D} (quod erat demonstrandum).

Notas:

(1) Este post es una traducción y resumen de parte del capitulo 1 del libro Mathematical Gems (ver referencia) y forma parte de una serie de cinco posts a publicar sobre el tema.

(2) El Pequeño Teorema de Fermat se puede enunciar de diferentes maneras:

  • Si \displaystyle p es un número primo, entonces \displaystyle p divide a \displaystyle a^{p-1}-1 para cada número entero \displaystyle a coprimo con \displaystyle p.
  • Si \displaystyle p es un número primo, entonces, para cada número natural \displaystyle a, \displaystyle a^p \equiv a (mod \displaystyle p).
  • Si \displaystyle p es un número primo, entonces, para cada número natural \displaystyle a coprimo con \displaystyle p, \displaystyle a^{p-1} \equiv 1(mod \displaystyle p).

(3) Se dice que dos números \displaystyle\mathbf a y \displaystyle\mathbf b son números primos entre sí ( coprimos – coprime – o primos relativos – relatively prime – ), si no tienen ningún factor primo en común, o sea no tienen otro divisor común más que 1 o -1.

(4) En un post anterior “Números Primos: Una fórmula para generarlos” explicamos como utilizar el pequeño teorema de Fermat como test de primalidad, o sea un test para definir si un determinado número es primo o compuesto.

 Referencias:

 # Mathematical Gems I – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1973 – (Colección: The Dolcialni Mathematical Expositions Vol. 1) – Chapter 1 – pp 1-3.

Maravilloso libro, lleno de gemas matemáticas como su título así lo indica. Todo lo que escribió Ross Honsberger es un placer de leer y trabajar al mismo tiempo. Casi todos sus libros estan colgados en alguna parte de internet y se puede acceder a ellos.

# Pequeño Teorema de Fermat – Wikipedia (consultado 07/05/2014).

# Fermat´s Little Theorem  – Wolfram Math World.


 Para terminar veamos hasta qué punto se ha ‘complicado’ este concepto.

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El matemático Shinichi Mochizuki de la Universidad de Kioto en Japón ha publicado una demostración de 500 páginas sobre la conjetura abc, que propone una relación entre todos los números – un problema ‘diofántico’. De ser cierta, la solución a la conjetura abc sobre todos los números sería un logro ‘asombroso’. El habitualmente tranquilo mundo de las matemáticas es un hervidero desde la afirmación sobre la resolución de uno de los problemas más importantes de la teoría de números.  0a1La conjetura abc, propuesta independientemente por David Masser y Joseph Oesterle en 1985, podría no ser tan conocida como el mundialmente famoso último teorema de Fermat, pero en cierto modo es más significativo. “La conjetura abc, en caso de demostrarse, resuelve de un solo golpe muchos famosos problemas diofánticos, incluyendo el último teorema de Fermat”, dice Dorian Goldfeld, matemático en la Universidad de Columbia en New York. “Si la demostración de Mochizuki es correcta, será uno de los logros más asombrosos de las matemáticas del siglo XXI”. Al igual que el último teorema de Fermat, la conjetura abc se refiere a las ecuaciones con forma c. Implica el concepto de un número libre de cuadrados: uno que no puede dividirse por el cuadrado de ningún número. 15 y 17 son números libres de cuadrados, pero 16 y 18 – al ser divisibles por 4^2 y 3^2, respectivamente, no. La parte ‘libre de cuadrados’ de un número n, sqp(n), es el mayor número libre de cuadrados que puede formarse mediante la multiplicación de factores de que son números primos. Por ejemplo, sqp(18)=2×3=6. Si has captado esto, entonces ya deberías tener una idea de la conjetura abc. Trata de la propiedad del producto de tres enteros axbxc, o abc — o más específicamente, de la parte libre de cuadrados de este producto, que implica sus factores primos distintos. Afirma que para los enteros a+b=c, la proporción de sqp(abc)r/siempre tiene un valor mínimo mayor que cero para cualquier valor de r mayor que 1. Por ejemplo, si a=3 y b=125, de forma que c=128, entonces sqp(abc)=30 y sqp(abc)2/c = 900/128. En este caso, en el que r=2, sqp(abc)r/c casi siempre es mayor que 1, y siempre mayor que cero.

Una profunda conexión

0a1Resulta que esta conjetura encapsula a muchos otros problemas diofánticos, incluyendo el último teorema de Fermat. Como muchos problemas diofánticos, todo trata de las relaciones entre número primos. De acuerdo con Brian Conrad de la Universidad de Stanford en California, “codifica una profunda conexión entre los factores primos de aa+b”. Muchos matemáticos han trabajado duramente intentando demostrar la conjetura. En 2007, el matemático francés Lucien Szpiro, cuyo trabajo en 1978 llevó a la conjetura abc por primera vez, afirmó tener una demostración de la misma, pero no tardaron en hallarse errores. 0a1Como Szpiro, y también el matemático británico Andrew Wiles, que demostró el último teorema de Fermat en 1994, Mochizuki ha abordado este problema usando la teoría de las curvas elípticas — las suaves curvas generadas por las relaciones algebraicas del tipo y^2=x^3+ax+b. Sin embargo, ahí acaba la relación del trabajo de Mochizuki con anteriores trabajos. Ha desarrollado técnicas que muy pocos matemáticos comprenden e invoca a dichos ‘objetos’ matemáticos – entidades abstractas análogas a ejemplos más familiares como los objetos geométricos, conjuntos, topologías y matrices. “En este punto, probablemente es el único que lo conoce por completo”, dice Goldfeld. Conrad dice que el trabajo “usa un número tan enorme de profundas percepciones que va a llevar un largo tiempo poder ser digerido por la comunidad”. La demostración se extiende a lo largo de cuatro artículos1-4, cada uno de los cuales depende de artículos anteriores. “Puede requerir una ingente inversión de tiempo llegar a comprender una larga y sofisticada demostración, por lo que la predisposición de otros a hacer esto recae no solo en la importancia del anuncio, sino también en los antecedentes de los autores”, explica Conrad. Los antecedentes de Mochizuki ciertamente hacen que el esfuerzo merezca la pena. “Ha demostrado en el pasado teoremas de una gran profundidad, y es muy concienzudo en su escritura, por lo que nos da una gran confianza”, dice Conrad. Y añade que la recompensa sería algo más que simplemente la verificación de dicha afirmación. “El aspecto apasionante no es solo que la conjetura pueda haberse resuelto, sino que las técnicas e intuiciones que debe haber introducido serán unas herramientas muy potentes para resolver futuros problemas de la teoría de números”.


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