Una Dieta Matemática Equilibrada


0a1Una DIETA EQUILIBRADA es fundamental para la salud. No puede faltar ningún nutriente (glúcidos, lípidos, proteínas, sales minerales, vitaminas, oligoelementos…) y hay que ingerirlos en la justa y adecuada proporción en la que los necesita nuestro organismo.

Además, conviene  hacerlo con calma, con alegría… y con CONSCIENCIA.  

Lo mismo vale para los nutrientes matemáticos. Si todos reCONOCEMOS que

0a1

La única pregunta que procede hacerse ahora es ¿qué criterios debería satisfacer un DIETA MATEMÁTICA EQUILIBRADA en la etapa 12-16 que hemos establecido como obligatoria…? 

 Siguiendo Alan J. Bishop (Bishop, 1988) debería ofrecer:

  • Algo diferente de la educación matemática informal y no-formal.
  • Algo más básico, fundamental y generalizable.
  • Algo completo y bien estructurado.
  • Algo enriquecedor y estimulante.
  • Algo relevante y significativo. 

Y si han de cumplirse estos criterios, ¿cómo podemos construir un currículo apropiado de matemáticas para que l@s profesor@s lo usemos en nuestras clases de una manera efectiva, coherente y satisfactoria…? 

La respuesta es clara:

HAY QUE EQUILIBRAR LAS NECESIDADES MATEMÁTICAS de la educación general con las de la instrucción matemática de los especialistas. 

Y no hay que hacerlo sobre el papel mojado de las PROGRAMACIONES DIDÁCTICAS que siempre se convierten en un listín telefónico infumable. Lo relevante aquí es preguntarse CÓMO PASAMOS del listín telefónico de las PROGRAMACIONES DIDÁCTICAS a su enseñanza.

Lo que necesitamos es un MODELO ESTRUCTURADO que ayude a la TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA desde una lista de contenidos a un esquema pedagógico. Aprender matemáticas es esencialmente “hacer matemáticas” y la enseñanza de esta disciplina debe desarrollar, por encima de todo, la capacidad de resolver problemas, razonar y comunicar matemáticamente, estimular la apreciación del valor de las matemáticas y la confianza de las alumnas y alumnos para que participen en actividades relacionadas con ellas. 

EL MODELO PROPUESTO AQUÍ parte de reconocer claramente TRES COMPONENTES básicas en la matemática: LA FUNCIONAL, LA METODOLÓGICA y LA COGNITIVA. Así:

0a1

  • LA COMPONENTE COGNITIVA, que es SIMBÓLICA Y CONCEPTUAL, se refiere a los conceptos y a los procedimientos que se requieren como soporte conceptual mínimo para una buena educación matemática básica.
  • LA COMPONENTE FUNCIONAL, que es APLICABLE Y SOCIAL, enfatiza los usos específicos de modelos matemáticos, como ayuda a la resolución de problemas en la sociedad.
  • LA COMPONENTE METODOLÓGICA, que es ESTRUCTURAL Y CULTURAL, se fija en la cultura matemática en sí misma y procura el desarrollo de estrategias matemáticas generalizables. 

¿Cuáles serían las estrategias pedagógicas para enseñar estos componentes en clase…? Y cuando hablo de ESTRATEGIAS es justo lo que quiero decir: un conjunto de actividades, en el entorno educativo, diseñadas para lograr de forma eficaz y eficiente la consecución de los objetivos educativos esperados; que según el enfoque constructivista, esto consistirá en el desarrollo de competencias matemáticas por parte de los estudiantes. 

En este MODELO PROPONEMOS TRES ESTRATEGIAS para la enseñanza y el aprendizaje de las tres componentes fundamentales que reconocemos en la matemática. Así:

0a1

A continuación, describiré cada de una de estas ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS junto con algunos ejemplos, así como los criterios para su selección. Por último, discutiré las maneras en que estos componentes pueden integrarse en un currículo factible y sensato desde el punto de vista de los profesores.


PRIMERA ESTRATEGIA:

Desarrollar los CONCEPTOS mediante ACTIVIDADES 


0a1El énfasis en esta parte del currículo está en el aprendizaje de los conceptos clave mediante actividades específicas dentro de determinados contextos. Los conceptos elegidos deberían formar la parte central del currículo, con el que todos los alumnos deberían enfrentarse y la selección de este núcleo mínimo es el primer paso crucial que debe darse. 

Lo primero que debe reconocerse es que el listín telefónico de LAS PROGRAMACIONES DIDÁCTICAS no está tan al día como sería necesario.

  • Se deben hacer comparaciones con currículos de otras partes para asegurar que los contenidos tradicionales no están incluidos tan sólo porque siempre lo han estado. El mundo cambia con rapidez, en particular por influencia de la tecnología, y cada nueva propuesta de currículo es una oportunidad para volver a evaluar las prioridades curriculares.
  • Por ejemplo, en un currículo moderno de matemáticas no es necesario que se enseñen las cuatro operaciones con fracciones. La presencia de las calculadoras y los ordenadores ha provocado que los decimales sean mucho más importantes que las fracciones y que, por ejemplo, la división de fracciones no se use nunca fuera de clase de matemáticas. 
  • Así mismo, las manipulaciones y algoritmos complejos ya no son necesarios en la enseñanza del álgebra. La atención debería dirigirse a las estructuras conceptuales involucradas, y a la obtención y demostración de relaciones algebraicas más que a los algoritnios y manipulaciones.Se debería aprovechar cada oportunidad para usar de forma inteligente las calculadoras aritméticas, científicas y gráficas, así como los ordenadores con programas de estadística y hojas de cálculo.
  • Los alumnos más avanzados podrían beneficiarse, también, del uso de programas de manipulación algebraica por ordenador, como DERIVE. 
  • También es importante incluir los conceptos geométricos aunque no es necesario un progreso exhaustivo mediante la memorización de teoremas y demostraciones.
  • En la actualidad, sabemos que la importancia de la geometría se extiende a los modelos conceptuales e imágenes mentales que ofrece a muchos campos de la matemática pura y áreas de la matemática aplicada, tales como la arquitectura y el urbanismo.
  • 0a1Esto no significa que no se deban incluir demostraciones en geometría, pero el énfasis debería recaer sobre las actividades de demostración, justificación y explicación, y no tan sólo en memorizar demostraciones. Por otra parte, demostrar es una actividad que debería formar parte de todos los temas matemáticos y no ser privativa de la geometría.

Si pasamos de la ELECCIÓN de los conceptos clave en sí mismos a su ENSEÑANZA, el constructo importante, como hemos dicho, es el de las ACTIVIDADES MATEMÁTICAS. Estas actividades y y sus contextos deberías ser elegidas de manera que sean significativas y relevantes para los alumnos si se desea ser capaz de enseñar las ideas a todos ellos, y esto significará, a menudo, el uso de contextos de fuera del aula.

Muchas de las dificultades de enseñar matemáticas, en la etapa 12-16, están causados por usar contextos irrelevantes y poco significativos para los alumnos… y por profesores que no usan contextos de fuera del aula.

Para alcanzar estos objetivos, es crucial escoger actividades de aprendizaje que favorezcan la formulación de conjeturas, su discusión y su argumentación, que son aspectos fundamentales de la experiencia matemática que deben proporcionarse a los alumnos. Todas las actividades propuestas en clase deberías cumplir los siguientes requisitos:

  1. Ser relevantes para la mayoría de los alumnos.
  2. Ser significativas y razonables para ellos
  3. Estar situadas en contextos familiares o ser desarrolladas a partir de ellos
  4. Tener posibilidades de ser extendidas matemáticamente para desafiar a los alumnos más rápidos.
  5. Estar conectadas con otros conceptos matemáticos.:

Hay una SECUENCIA apropiada para el proceso de Enseñanza/Aprendizaje por ACTIVIDADES que fue diseñada por Guy Brousseau, investigador francés especialista en Didáctica de la Matemática que en 2003 recibió una Medalla Felix Klein por el desarrollo de la Teoría de situaciones didácticas:


0a17


SEGUNDA ESTRATEGIA:

Utilizar los PROYECTOS y APLICACIONES de las matemáticas para MODELIZAR. 


 MODELIZAR es la competencia básica en la Matemática Aplicada, esa componente que aquí he dado en llamar PRÁCTICA o FUNCIONAL. Y modelizar no es una competencia sencilla de desarrollar en nuestros alumnos porque requiere mucho tiempo, talento y dedicación. Pero es imprescindible si queremos ir más allá de un saber a un saber que sea aplicable en nuestra vida cotidiana.

0a1El aspecto conceptual, que hemos planteado antes, normalmente no permite que los alumnos observen los procesos involucrados en el uso de las matemáticas en gran parte de la sociedad. Para ello, es necesario usar proyectos específicos que puedan servir de ejemplo de estos procesos, y en este aspecto del currículo ante todo se buscan proyectos significativos para los alumnos y que sean buenos ejemplos de aplicaciones. Aquí no tenemos el objetivo de cubrir un programa detallado

Hay tres aspectos diferentes que son particularmente importantes: 

  1. Un buen proyecto da la oportunidad a los alumnos de seguir un tema al nivel que puedan, de maneras diferentes, ofreciendo así una enseñanza individualizada y personalizada, lo que es una forma de tratar de equilibrar la educación general y la preparación especializada. 
  2. Un buen proyecto fomenta el uso de diferentes recursos materiales, que ahora incluye material al que puede accederse con ordenadores. Estos recursos no los proporciona necesariamente la escuela y podrían encontrarse en bibliotecas o en otras fuentes como las industrias, dependiendo del proyecto. Los alumnos de los países donde se usan proyectos son conscientes del provecho obtenido de averiguar información en diferentes fuentes, incluyendo Internet. 
  3. Un buen proyecto fomenta la actividad en un nivel reflexivo, lo que supone que los valores y las opiniones sean, deberían serlo, discutidos. 

TERCERA ESTRATEGIA:

Ir desde las INVESTIGACIONES MATEMÁTICAS a las estructuras matemáticas.


0a1Las investigaciones tienen cierta similitud con los proyectos en tanto que también deberían usarse a modo de ejemplo, más que para tratar de cubrir un detallado programa. Sin embargo, en este caso el objetivo no es mostrar la aplicabilidad y la utilidad de las ideas matemáticas, sino más bien mostrar la forma en que se derivan y están estructuradas esas ideas. Las investigaciones involucran tanto el razonamiento deductivo como el inductivo, y fomentan la reflexión en un nivel más profundo del que es habitualmente posible en las actividades conceptuales normales. 

Son particularmente útiles en situaciones geométricas y algebraicas y quizá la mejor manera de apreciar cómo usarlas sea considerar un ejemplo sencillo de geometría.

Imaginemos el siguiente episodio en clase:

Pedirnos a los alumnos que dibujen dos puntos sobre un papel en blanco, en la misma línea ((horizontalmente y separados 10 cm  entre sí. Etiquetemos los puntos A y B. Ahora solicitamos buscar un punto C  sobre la línea AB y tal que el ángulo ACB sea recto.

Una vez que hayan encontrado uno se les anima a encontrar otro, Cl, y otro, C2, y otro… ¿Qué se observa? Parece que están sobre un semicírculo. ¿Estáis todos de acuerdo?

Ahora viene una pregunta crucial para la investigación. Supongamos que el ángulo no es de 90 grados, supongamos que es de 45 grados. Tratad de encontrar algunos de estos puntos D1, … 

Esto muestra la sucesión típica de una investigación:

  1. Comenzar con una situación y petición simple.
  2. Generar ejemplos.
  3. Buscar pautas y sucesiones.
  4. ¿Continúan las pautas de esta manera?
  5. ¿Por qué?
  6. ¿Hay alguna regla general?
  7. Intenta demostrarlo.

La sucesión desde 1) hasta 3) fomenta y requiere razonamiento inductivo, mientras que desde 4) hasta 7) se necesitan habilidades del razonamiento deductivo.


Creación de un curriculum pedagógico a partir de los tres componentes


0a1El desafío final para la planificación de un nuevo currículo pedagógico será la integración de los tres elementos en un todo sensato. Por supuesto, no hay respuesta óptima a este problema tal como ocurre con cualquier problema de educación matemática debido a las diferencias entre los sistemas educativos, organizaciones escolares y experiencia de los profesores. A pesar de todo, se puede dar algún consejo basado en las experiencias de otros países.

  • Por ejemplo, si se acepta como razonable la idea de unidades de trabajo conceptual de tres semanas de duración, entonces una forma de tener en cuenta los proyectos e investigaciones consiste en utilizarlos alternadamente en cada unidad. Es decir, en una unidad de tres semanas incluir una investigación, en la unidad siguiente incluir un proyecto y así sucesivamente. Por ejemplo, en las 12 unidades posibles durante el año escolar, esto supone que habría seis investigaciones y seis proyectos.
  • Un esquema inicialmente más razonable podría ser realizar tres investigaciones y tres proyectos con los alumnos de 12 años mientras que tanto los profesores como los alumnos se estén acostumbrando a las nuevas ideas. Entonces sería posible incrementar gradualmente el número, tanto de investigaciones como de proyectos, a lo largo de los años siguientes. Evidentemente, esto dependerá mucho de cómo se desarrollen las bases conceptuales a través de las actividades, y con qué confianza se enfrenten los profesores a las innovaciones.

Otro punto a destacar aquí es que, ningún profesor debería sentir que está haciendo él sólo esta creación y estructuración. Se debería hacer un buen uso de la estructura de la escuela y del departamento de matemáticas para permitir a los profesores trabajar cooperativamente en el desarrollo y creación del nuevo currículo escolar de matemáticas. En los centros con la etapa 12-16, los jefes de departamento de matemáticas tienen una gran responsabilidad coordinando y dando soporte a los profesores individuales y organizando relaciones de cooperación con escuelas parecidas que también estén experimentando estas nuevas ideas.

0a1Las asociaciones profesionales de profesores de matemáticas también pueden jugar un gran papel ayudando a desarrollar materiales para las actividades, investigaciones y proyectos y facilitando el intercambio necesario de ideas y métodos.

Anuncios