Los límites del Universo Matemático


Durante mucho tiempo se vio a la matemática como un edificio que añadía pisos sin cesar hasta que la enorme magnitud que iba alcanzando hizo prudente revisar sus cimientos. Entonces se hizo evidente, con lógica decepción, que jamás podrán establecerse unos fundamentos sólidos (inamovibles) sobre los que levantar el edificio matemático. El Universo Matemático ya no puede concebirse como el producto de una fría maquinaria lógica.

0a1Ya desde Euclides se tenía claro que la matemática es una ciencia donde las verdades objetivas (TEOREMAS) sólo podían establecerse dentro de un marco conformado por certezas subjetivas (AXIOMAS) Era duro aceptar que las verdades objetivas (TEOREMAS) emergen de las certezas subjetivas (AXIOMAS), pero el pensamiento lógico no da para más y había que aceptarlo.

Pero lo demoledor fue probar [Gödel] que no se puede acotar lo subjetivo a un mínimo reconocible, con lo que el proyecto de dotar a la matemática de un fundamento sólido se vino al traste. Lo cierto es que para una ciencia que hace de la verdad su seña de identidad, el no poder probar su propia consistencia constituye un LÍMITE que la ubica fuera de ese espacio donde mora la verdad absoluta; en un plano, sin duda, más humano.

Toda crisis es una bendición, en concreto ésta ha convertido el frío y lógico Universo Matemático en un Multiverso pleno de mágica creatividad… donde poder experimentar todas las posibilidades de nuestra racionalidad; incluso, las más irracionales.

0a1En efecto, esta paradoja de que la verdad matemática sólo pueda sustentarse sobre una certeza incierta es la sustancia jabonosa que convierte al Universo Matemático en una sutil, ingrávida y gentil pompa de jabón, que flota en el multiverso de la racionalidad humana sin cimientos que la anclen a un conjunto rígido e inflexible de axiomas.

Así, como pompa de jabón, el Universo Matemático puede dividirse sin fin desdoblándose en universos paralelos, donde poder experimentar como verdad una proposición y su contraria. Porque resulta ser que los universos matemáticos están poblados de proposiciones no siempre decidibles. Proposiciones que podemos elevar a voluntad a la categoría de AXIOMAS obteniendo, de esta manera, infinitos universos matemáticos verdaderos, sin que podamos decidir cuál es el REAL. ¿O lo serán todos…?

0a1Una de las formas más interesantes de interpretar la historia de las matemáticas es la de ver en ella una aventura espiritual que aspira a convertir las certezas subjetivas en verdades objetivas.

Una historia épica de la inteligencia, con grandes fracasos y visiones que hicieron cambiar el paradigma con el que entendemos la verdad, la certeza y lo real.

La historia de las matemáticas es la historia de la búsqueda de la verdad; aunque a la búsqueda de la verdad absoluta hubo que renunciar bien pronto al percatarnos que está más allá del pensamiento humano. Y a la postre también hubo que renunciar a la certeza.

0a1Cuando hablo de verdad en matemáticas, me estoy refiriendo a un tipo concreto de verdad. Existe un consenso entre los científicos en dividir la verdad en cuatro tipos: La verdad lógica, la verdad por definición, la verdad matemática, y la verdad empírica. Estos tipos de verdades no son independientes.

La verdad matemática requiere tener en consideración a su vez los tipos de verdad lógica, que garantizan las relaciones deductivas entre enunciados, y la verdad por definición que permite fabricar nuevos enunciados a partir de anteriores.

LA VERDAD MATEMÁTICA, EN SÍ MISMA, TRADICIONALMENTE SE PUEDE DEFINIR COMO AQUEL CONOCIMIENTO QUE SE PUEDE DEDUCIR DE AXIOMAS CON LA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE DE QUE ESTOS AXIOMAS SEAN INTUITIVOS.

0a1Esta definición proviene de los tiempos de Euclides, el gran geómetra griego, que se empeñó en deducir toda la geometría de su época a partir de cinco enunciados o axiomas que se consideraban como autoevidentes y por tanto de verdad incuestionable. Esto significaba que estos cinco postulados, llamados los cinco axiomas de Euclides, no necesitaban ser demostrados por ser enormemente simples e intuitivos.
 

Antes de entrar en los axiomas, te quiero contar que las matemáticas tal y como las utilizamos hoy, no son una disciplina, “de números” como la mayoría de la gente piensa. No, no, las matemáticas no van de números, sino de conjuntos. El conjunto es la unidad de sentido básica de las matemáticas. Además en su origen, las matemáticas proceden de la geometría, de hecho, son una abstracción de razonamientos geométricos.  Con el tiempo la disciplina se fue despojando de los planteamientos figurativos propios de la geometría y se fue numerizando su análisis (aunque este proceso llevó muchísimo tiempo), es decir, comenzó a fundamentarse en los números.

Primero en los números reales, y posteriormente en los números naturales como deducción a partir de los anteriores.  Esto dio lugar al nacimiento de la aritmética, que tantas cosas ha hecho posible, desde la ingeniería hasta el comercio. Por último, y por causas que comentaremos a continuación, relacionadas siempre con la búsqueda de una fundamentación más intuitiva de las matemáticas, se buscó una estructura axiomática nueva que reducía los números a conjuntos con determinadas propiedades. Siendo éste el estadio en el que nos encontramos. Uno particularmente problemático y lleno de contradicciones, aunque también ha proporcionado muchos nuevos descubrimientos.

0a1Volviendo a los axiomas de Euclides, estos son los siguientes:

  1. Dos puntos distintos determinan una recta.
  2. La recta es la prolongación indefinida de un segmento.
  3. Un punto y un segmento determinan un círculo.
  4. Los ángulos rectos no varían ante la traslación o la rotación.
  5. Por un punto exterior a una recta, sobre un plano determinado por ambos, pasa una y solo una paralela a dicha recta.

Amén hermanos. Estos axiomas serían el equivalente a la VERDAD ABSOLUTA. Supongo que no tienes problemas en darte cuenta de que es imposible buscarle las vueltas a estos enunciados; por mucho que pienses no lograrás ni contraejemplos, ni contradicciones ni podrás reducirlos al absurdo, son autoevidentes, es lo mismo que decir que A es igual a A (bueno realmente no, porque un axioma nunca es igual a una tautología, pero es para entendernos). O eso pensaba el pobre Euclides… La cuestión es que estos postulados se admitían sin demostración al considerarse imposible, mientras no se demostrara lo contrario, dudar de su verdad.

Recordemos que la tesis en boga decía que un enunciado es matemáticamente verdadero si y sólo si ese enunciado es deducible de axiomas intuitivos.

0a1Por tanto Euclides creía que estaba formando con sus axiomas una base firme para deducir todas las matemáticas de forma verdadera. Encontrando así la verdad absoluta.

Desgraciada, o tal vez afortunadamente, no pudo ser, y aunque estos axiomas aguantaron como una roca los embates de todos los matemáticos durante siglos, a mediados del  S.XIX, las matemáticas sufrieron su primera gran crisis de fundamentos.

Todo surgió del quinto axioma, ya que saltaba a la vista de los matemáticos que éste era el menos intuitivo de todos, porque suponía asumir, por ejemplo, que las dos rectas (la originaria y la paralela) no sea acercarían jamás al prolongarse. El propio Euclides intentó hacer el menor uso posible del mismo, pero su uso era insoslayable ya que por sí mismos los otros cuatro postulados no bastaban para demostrar toda la geometría.

Con el paso de los años, y a pesar de que el quinto axioma, también llamado axioma de las paralelas, era razonablemente intuitivo, hubo numerosos intentos de reducirlo a alguno de los otros cuatro o a una combinación de ellos; si esto se conseguía la base sería aún más simple y sólida.

Estos intentos fallaron, pe0a1ro por el camino, concretamente intentando demostrar la contradicción entre la negación del axioma de las paralelas y el resto de los axiomas, se encontraron unas extrañas pseudogeometrías nada intuitivas que eran compatibles con la negación de las paralelas y el resto de los axiomas.

De abajo a arriba, geometrías euclídea, no euclídea hiperbólica y no euclídea elíptica.

Estas geometrías venían a decir que por un punto exterior a una recta contenidos ambos en un plano, o bien pasa más de una paralela a la recta, o bien no pasa ninguna paralela. Además, como podemos ver en la ilustración de arriba, en algunas geometrías la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180º, y en otras más de 180º.


Parallel Lines in Different Spaces

Diferentes tipos de paralelas en función del tipo de espacio. Una paralela en el euclídeo, infinitas en el hiperbólico y ninguna en el elíptico

Estas nuevas geometrías se suponía que no eran auténticas teorías matemáticas ya que  poseían un axioma nada intuitivo, y esto contradecía la tesis de la verdad matemática: la deducibilidad obligatoria de un axioma intuitivo. Todo el mundo esperaba que tarde o temprano alguien descubriera que eran contradictorias, y por tanto falsas, quedando así solamente la geometría de Euclides. Sin embargo en 1868 un matemático llamado Beltrami demostró que la geometría con más de una paralela no era contradictoria, y algo después sucedería lo mismo con la geometría sin paralelas. Habían nacido las geometrías no-euclídeas elíptica e hiperbólica, y había muerto el paradigma de la verdad matemática. El rey VERDAD ha muerto, larga vida al rey CERTEZA.

El problema es que nadie sabía quién era ese nuevo rey CERTEZA que debía gobernar porque este golpe supuso una fractura brutal de los fundamentos. Era horrible tener que admitir que también se podían obtener verdades matemáticas a partir de axiomas no intuitivos. Con ello la tesis de la certeza matemática cambiaba a:

LA DEDUCCIÓN DESDE AXIOMAS INTUITIVOS ES CONDICIÓN SUFICIENTE (PERO NO NECESARIA) DE LA CERTEZA MATEMÁTICA.

Y se podía añadir que previa demostración de consistencia o no contradicción también servían como fuente de verdad matemática axiomas no intuitivos.

Lo asombroso de estas nuevas teorías, y que de alguna manera conecta con la visión espiritual de la que hablo al principio del artículo, es que si bien se concibieron a través de la mera especulación sin ninguna conexión con la realidad física; luego se demostró que las geometrías no euclídeas son las que describen el espacio-tiempo de la física relativista. A mí esto me acojona, no sé a ustedes.

Paralelamente a estos sucesos, se venía gestando otra tragedia en el mundo de las matemáticas. Los hechos que narro a continuación condujeron a la segunda y más grave fractura del concepto de verdad matemática.

Georg Cantor en plan hipster

Como hemos dicho al principio, históricamente ha existido una tendencia a la deducción de los números a partir de la geometría. Concretamente de los números reales. Posteriormente se procedió a demostrar la deducción de los números naturales a partir de los reales. Fue entonces cuando apareció un joven matemático llamado Georg Cantor, que inspirado en el nuevo concepto de conjunto, y cardinal o tamaño del conjunto, inventado por otro matemático llamado Bolzano, enunció una nueva teoría mediante la cual los números naturales se reducían a conjuntos en su origen: era la famosa teoría de conjuntos.

Cantor argumentaba que en la antigüedad las personas no usaban los números naturales para contar, ya que no los conocían; y que era la comparación entre conjuntos de objetos lo que dio lugar a la aparición de los números naturales, siendo por tanto el conjunto un concepto anterior al de número. A partir de ahí construyó su teoría, que partía de dos supuestos básicos.

  1. Cualquier colección de objetos cuyos elementos estén bien determinados es un conjunto.
  2. Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son el mismo conjunto.

Esta nueva visión de las matemáticas despertó tal expectación que incluso se crearon dos bandos entre los científicos: los conjuntistas y los anti conjuntistas. La teoría conjuntista tenía unas bases bastante antiintuitivas, de ahí la reticencia de muchos, sin embargo su utilidad y fuerza eran innegables. Por ejemplo a través de esta teoría se encontró una solución al problema del infinito. Un problema con el que el mismísimo Gauss no se había atrevido, llegando a advertir que:

“JAMÁS DEBE MIRARSE AL INFINITO A LOS OJOS”.

Este problema se ejemplifica con la paradoja del infinito de Galileo. Cantor dijo que la solución residía en que no existe una sola clase de infinito, ¡sino dos!, el infinito actual,  y el infinito potencial; siendo éste entonces un concepto que admite grados y matices, ¿impresionante verdad?.

David Hilbert cuando era joven

La aparición del conjuntismo dio nuevas esperanzas a determinados matemáticos de lograr una fundamentación más rigurosa que permitiera evitar los axiomas antiintuitivos, demostrando su coherencia. David Hilbert se propuso este fin.

Hilbert fue un señor muy inteligente, posiblemente el mejor matemático de su época junto con Henri Poincaré.

En 1900 enunció los denominados veintitrés “Problemas de Hilbert”, que él consideraba desafíos matemáticos del siguiente milenio. Muchos de estos problemas siguen sin resolverse.

En 1920 anunció su “Programa de Hilbert”, en el que pretendía formalizar todas las matemáticas desde una base axiomática rigurosa basada en la teoría de conjuntos de Cantor, y así vencer los problemas surgidos en torno a los axiomas de Euclides y su debilidad intuitiva. Abogaba por la demostración rigurosa y por no dar nada por “intuitivamente obvio”, utilizando la lógica como instrumento para demostrar. Su lema era: “no habrá lugar para el ignorábimus (se ignorará en latín) en matemáticas”.

Es interesante resaltar que, al igual que Cantor, Hilbert tenía claroscuros, ya que frente a la imagen de hombre serio y riguroso, exhibió un comportamiento cuanto menos reprobable al encerrar a su hijo contra su voluntad en un manicomio con quince años, cuando le fue diagnosticada esquizofrenia; y por si fuera poco, jamás fue a visitarlo, es decir, nunca quiso volverlo a ver.  Por cierto, además también inventó los espacios de Hilbert;  desayunaba cereales Hilbert, y conducía un Hilbert clase A.

Henri Poincaré fingiendo que estudiaba

En aquellos días, el adversario acérrimo de Hilbert era Henri Poincaré, el otro genio, que propugnaba una teoría diametralmente opuesta a la suya. Para Poincaré, la intuición juega un papel primordial en las matemáticas, y por tanto ésta no puede ignorarse en el sentido que proponía Hilbert. La verdad es que Poincaré era un romántico y Hilbert un tío práctico. A uno le iban los boleros y al otro el hip hop. Para Poincaré la teoría conjuntista era una enfermedad, y pensaba que “la lógica es yerma si no se fertiliza con la intuición”.

Y es en este punto donde se produce la segunda fractura de la historia de las matemáticas. En medio de toda esta vorágine intelectual entre conjuntistas, intuicionistas y lógicos, surgen determinados resultados por parte de algunos investigadores que sacan a la luz contradicciones internas en la teoría de conjuntos de Cantor y Bolzano: Son las paradojas de Russel, Cantor, Burali-Forti y variable y.

Recordemos que hasta el momento la tesis clásica de la verdad matemática había sido reducida a un enunciado matemático es verdadero si se deduce de axiomas intuitivos, aunque no es estrictamente necesario que dichos axiomas sean intuitivos. Es decir si el axioma es intuitivo seguro que es verdadero, pero hay casos en los que puede ser verdadero sin ser intuitivo. Bueno, ésta nueva formulación al menos aun salvaguardaba la parte más importante, que era la identificación de lo intuitivo con lo verdadero.  El conjuntismo parecía asegurar, a través de su teoría y del desarrollo de la lógica, esta propiedad. Por eso supuso un golpe durísimo, aún más duro que el primero de los axiomas antiintuitivos de la geometría, el verificar que se daban contradicciones o falsedades lógicas cuando se planteban estas paradojas en el seno de la teoría.

No puedo entrar a explicar los argumentos técnicos de las paradojas, al igual que no he explicado ningún argumento técnico de nada en el artículo porque no es el lugar y me gustaría que alguien lo leyera hasta el final; pero al menos enunciaré la paradoja de Russell porque es muy bonita y se puede pensar; es el clásico problema de la autorreferencia. Dice así:

¿EL CONJUNTO DE TODOS LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS, FORMARÁ PARTE DE SÍ MISMO?

Expliquémoslo un poco mejor; tenemos conjuntos de cosas, o conjuntos de ideas, de lo que sea, y los dividimos en dos categorías: Por un lado están los conjuntos que se contienen a sí mismos, por ejemplo las ideas; podemos hacer un conjunto con todas las ideas, pero este conjunto en sí mismo también será una idea; entonces el conjunto de las ideas se contiene a sí mismo. Pero por otro lado están los conjuntos que no se contienen a sí mismos, por ejemplo los perros, podemos agrupar a todos los perros en un conjunto, pero este conjunto, obviamente no será un perro; por tanto el conjunto de los perros no se contiene a sí mismo. Vale, lo que plantea Bertrand Russell fue lo siguiente: Ahora tomo todos los conjuntos que nose contienen a sí mismos y hago un superconjunto con ellos. La pregunta es: ¿ este superconjunto se contiene a sí mismo?,¿sí o no?, ¿sí o no?, ¿tú qué opinas?…..¡piensa!.

81e6b-manosUn bonito dibujo de Escher ilustra muy bien este tipo de paradojas autorreferentes.

La respuesta es una paradoja porque si se contuviera a sí mismo ya no sería el conjunto de los conjuntos que no se contienen, porque contendría al menos un conjunto que se contiene: él mismo; y en el caso de que no se contenga, ya no sería el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen porque no contendría al menos un conjunto que no se contiene: él mismo.

Es una contradicción autorreferente, igual que la paradoja del mentiroso: “ Ahora te estoy mintiendo”; si te estoy mintiendo, te estoy diciendo la verdad; y si te estoy diciendo la verdad entonces te estoy mintiendo.

Es una rayada, ya lo sé… pero está guay.

La cuestión es que después de la aparición de estas paradojas que vienen a demostrar que las teorías conjuntistas no son seguras, porque contienen falsedades lógicas, la tesis clásica de la verdad se derrumba com-ple-ta-men-te. Esto fue motivo de suicidio para los matemáticos al igual que la crisis financiera para los ejecutivos de J.P. Morgan. Claro que los primeros tenían que tirarse de un puente o de su despacho de la universidad, con lo cual el índice de fallecimientos fue sensiblemente menor. Además a nadie le importó un carajo, la verdad, estaba a punto de empezar la I Guerra Mundial.

0a1No estamos seguros de si es Bertrand Russell o Sherlock Holmes. Pero ambos usan la lógica deductiva así que da igual.

Por cierto Bertrand Russell también fue un personaje digno de comentar, era un aristócrata inglés, un conde. Fue un personaje muy famoso en su época, más que por su importante labor matemática, por su activismo social y su papel como filósofo y divulgador de la ciencia. Se consideraba un lógico, e intentó concebir un sistema perfecto mediante el cual se pudiera deducir toda la matemática a partir de las leyes de la lógica formal. Dicen que paso años enteros de trabajo solo para poder demostrar que uno más uno es igual a dos. Al final tuvo que abandonar su proyecto por irrealizable pero hizo muchas contribuciones por el camino. Cómo anécdota diré que estuvo en la cárcel por su oposición a que el Reino Unido entrara en la Primera Guerra Mundial, que sobrevivió a un accidente de avión, con amerizaje incluido, y que vivió más de cien años. Alguna vez veraneó en Las Palmas, y se alojaba en el hotel Santa Catalina. 

Volviendo al tema, ahora no se podía garantizar de ninguna manera que un axioma intuitivo fuera verdadero, ya que se había demostrado que existían axiomas intuitivos en la teoría de conjuntos que eran totalmente falsos. A la mierda todo.

En resumen, la deducción desde axiomas intuitivos no es condición suficiente de la verdad matemática. Así estaban las cosas.

Y recapitulo, empezamos diciendo que la deducción desde axiomas intuitivos era la condición necesaria y suficiente de la verdad. Después vino la geometría no euclídea que era verdadera y no intuitiva y dijimos, ok:

La deducción desde axiomas intuitivos es una condición suficiente  pero no necesaria de la verdad.

Y ahora resulta que ni siquiera eso:

LA DEDUCCIÓN DESDE AXIOMAS INTUITIVOS NO ES CONDICIÓN SUFICIENTE DE LA VERDAD MATEMÁTICA.

¡¡¿Pero esto qué es?!!, ¿esto es Hollywood o qué?

¿Y qué hicieron?; pues los que no se suicidaron es que eran muy muy duros, y ¿Qué hace un matemático que se precie ante las dificultades?, se pone a buscarle los tres pies al gato. Entonces un señor que se llamaba Ernst Zermelo cogió la teoría de conjuntos de Cantor y le dio un repaso, intentando eliminar las contradicciones que poseía y darle una base aún más estructurada y axiomática. Dando lugar a la que se conoce como Teoría Axiomática de Conjuntos. Con la adición de dos axiomas nuevos propuestos por Fraenkel el resultado final fue un cuerpo de diez axiomas muy pulidos, denominados Axiomas de Fraenkel-Zermelo que eran capaces de superar las paradojas anteriores, recuperando la teoría de conjuntos como válida. Esta nueva formulación es realmente sólida y a día de hoy no se ha encontrado contradicción alguna en su seno.

Hilbert estaba loco de contento y siguió adelante con su proyecto de formalizar toda la matemática a partir de axiomas rigurosos e intuitivos, deduciendo todo paso a paso con la teoría de conjuntos axiomática. Estaba de hecho muy ocupado en su proyecto estrella, que erademostrar la consistencia y completitud de la aritmética, y por ende, de toda la matemática, cuando llegó a proclamar como un león en la jungla a las cuatro vientos, y hasta por la radio, que: “¡Debemos saber y sabremos!”.

0a1Gödel y Einstein en uno de sus días buenos

Sin embargo… esto sucedió solamente unos días antes de que tuviera lugar el congreso de lógica celebrado en Viena en 1931, donde un chico de 25 años, un genio, llamado Kurt Gödel, demostró que no todos los problemas matemáticos son demostrables, y que siempre habrá preguntas sin respuesta en matemáticas, como en la vida.

Estamos hablando de los famosisisísimos Teoremas de la Incompletitud (estoy emocionado). Vamos a explicarlo un poco y con esto terminamos:

Tomemos un conjunto de axiomas de la aritmética elemental, por ejemplo el de los axiomas de Peano.

Axiomas de Peano

A1. 1 es un número natural.

A2. Todo número natural tiene un siguiente.

A3. Dos números naturales con igual siguiente son a su vez iguales.

A4. 1 no es siguiente de ningún número natural.

A5. Un conjunto X que contenga a 1 y que si contiene a n, contiene a su siguiente, contiene a todos los números naturales.  0a1

Definamos adecuadamente las operaciones de suma y producto. A partir de ahí, podemos llegar a probar una curiosa propiedad de los números naturales, ya conocida por los griegos: la suma de los n primeros números impares es n2.  

Llamemos T a este enunciado: 

T:      1 + 3 + 5 + ….. + (2n-1) = n²  

Si deseamos probar T, es seguro que debemos apoyarnos para ello en A5, el llamado axioma de inducción, que reza así A5: Un conjunto X que contenga a 1 y que si contiene a n contiene a su siguiente, contiene a todos los números naturales.  

No hay escapatoria posible, pues el teorema T está en una rama que parte del tronco A5: se necesita A5 para probar T. Por lo tanto, si del conjunto de axiomas de la aritmética se elimina el A5, del conjunto de fórmulas válidas en aritmética habrá que eliminar T. Pero T es una fórmula que no carece en absoluto de sentido; es más, puede comprobarse para todo n, y siempre es cierta. Nunca falla. Es una fórmula CIERTA, pero no demostrable, a menos que A5 se incorpore a los axiomas.  El conjunto de axiomas amputado de A5 se dice que es incompleto, pues no toda fórmula “legal” es susceptible de ser probada. Cuando toda fórmula verdadera puede ser probada, el sistema de axiomas se llama completo.

Veamos ahora lo que se entiende por axiomas independientes. Para ello, volver al ejemplo histórico comentado antes es lo mejor en este caso, sobre todo si el axioma es tan conocido como éste: “Por un punto exterior a una recta pasa una, y una sola, paralela a ella.”

Ya hemos visto como Euclides y centenares de sus sucesores se esforzaron estérilmente en intentar demostrarlo a partir del resto de los axiomas de la geometría. A todos les parecía que no era un axioma, sino un teorema, deducible por tanto de los axiomas. Pero todos estaban equivocados, tal como demostraron Gauss (1777-1855), Bolyai (1802-1860), Lobachevski (1792-1856) y Riemann (1826-1866). 

Era un axioma, y no podía probarse a partir de los otros axiomas. Este hecho se describe matemáticamente diciendo que el axioma de las paralelas es independiente del resto.

0a1El procedimiento de prueba que usaron Gauss, Bolyai y Lobachevski es muy instructivo: supusieron que el axioma no era cierto y postularon que por un punto exterior pasa más de una paralela. Riemann supuso también que no era cierto, pero él se inclinó por la hipótesis de que no pasara ninguna paralela.

Ambas suposiciones eran en aquellos tiempos peores que un sacrilegio; sin embargo, y de modo extraño, aceptándolas no se llegaba a ninguna contradicción. Sencillamente, se obtenían dos geometrías (la hiperbólica y la elíptica) distintas de la euclídea, pero sin contradicciones. Todavía más: no tardó en demostrarse que si alguna de las dos nuevas geometrías llegara a presentar una contradicción, también sería automáticamente contradictoria la geometría de Euclides.

Las geometrías no euclídeas eran, por lo tanto, consistentes. Consistencia significa, pues, que no hay contradicciones. Con más precisión, un sistema de axiomas es consistente cuando no es posible probar a la vez un teorema y su contrario.

0a1 

La consistencia de las geometrías no euclídeas es relativa, pues reposa sobre la de la geometría euclídea; lo que se probó es que si la geometría no euclídea fuera inconsistente, también lo sería la euclídea. Pero queda por probar realmente que la euclídea es consistente.

Bien es verdad que llevamos 2000 años probando teoremas geométricos sin que jamás hayamos podido probar, a la vez, un teorema y su contrario. Es tranquilizador, aunque no definitivo; cualquier día puede aparecer un genio matemático desconocido y probar una contradicción de ese tipo.  

El sueño de Fausto de todo matemático es probar que su ciencia está libre de contradicciones, que resiste todos los asaltos. El sueño del matemático es probar que su ciencia es consistente. Y no sólo eso; su sueño incluye el que sea completa, es decir, que todo teorema que haya sido o pueda ser pensado sea susceptible de ser probado o refutado.

Por desgracia, este ambicioso programa, -el programa de Hilbert- es sólo un sueño.
Un sueño del que nos despertó cruelmente en 1931 Kurt Gödel. El checoamericano Kurt Gödel, probablemente el lógico más famoso del siglo XX, y quizá de la historia, nos ha enseñado muchas cosas y ha resuelto muchos problemas muy complejos. Expongamos alguno de ellos. 0a1

En 1900, David Hilbert (1862-1943) propuso 23 problemas en el Congreso Internacional de Matemáticas de París; todos ellos parecían entonces irresolubles y se suponía que encontrar su solución representaría avances considerables en las distintas ramas de las matemáticas. Desde entonces han sido estudiados a fondo, y buen número de ellos han sido ya resueltos. El problema que llevaba el número uno de la lista, llamado “hipótesis especial del continuo”, ha sido uno de los atacados con éxito por Gödel.

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 0a1Sabíamos que el conjunto de los números naturales, N, posee menos elementos que el conjunto de los números reales, R, Hilbert lanzó la hipótesis de que no era posible hallar ningún conjunto -infinito, por supuesto- con más elementos que N, pero con menos que R. Lo de la “hipótesis del continuo” se debe a que el conjunto R acostumbra a designarse genéricamente como “el continuo”. La hipótesis de Hilbert no es, a primera vista, ni evidente ni inevidente: simplemente es inatacable por cualquier parte.  

0a1Gödel, en 1938, demostró que si agregamos este enunciado a la teoría de conjuntos como un axioma más, no ocurre nada de particular. En concreto, probó que si los axiomas de la teoría de conjuntos más la hipótesis del continuo fueran inconsistentes, la teoría de conjuntos sola también lo sería. Por si fuera poco, probó que lo mismo sucedía con el hasta entonces misterioso axioma de elección. Ni la hipótesis del continuo ni el axioma de elección puede demostrarse que sean falsos.

0a1En 1963, Paul Cohen dio el definitivo carpetazo a la cuestión probando que si se suponía que fuesen falsos, tampoco se llegaba a ninguna contradicción. Por lo tanto, ni puede probarse que sean válidos ni que sean falsos. Se trata, de dos nuevos axiomas independientes del resto. Uno puede hacer con ellos lo que quiera, razonar con ellos o sin ellos -o incluso contra ellos-. Nunca incurrirá en contradicción, aunque, eso sí, edificará matemáticas distintas.  

Con todo y ser mucho, esto es sólo una parte, la menos conocida, de lo llevado a cabo por Gödel. El resultado más célebre de Gödel es el que demuestra la imposibilidad del sueño de Fausto. Gödel probó que si se toma un conjunto de axiomas lo suficientemente amplio -que contenga los axiomas de la aritmética como mínimo- no es posible probar, con las armas de deducción del sistema, que tal conjunto sea a la vez consistente y completo. Es decir, que en el caso de ser completo contendría contradicciones. Y en el caso de no contener contradicciones -es decir, caso de ser consistente- habría siempre teoremas verdaderos que nunca podríamos demostrar.

ESTE RESULTADO SIGNIFICABA DE NUEVO, QUE SENCILLAMENTE NO ES POSIBLE DEMOSTRAR LA VERDAD DE LAS TEORÍAS MATEMÁTICAS EN NINGÚN CASO.

Bueno,¿y cómo queda el panorama de la verdad y de las matemáticas después de este fiasco definitivo que aún no hemos superado?

Desgraciadamente no hay final feliz en esta aventura. La tesis clásica de la verdad matemática no es cierta, y por lo tanto se puede afirmar que confiar o no en la certidumbre de las matemáticas es una cuestión de creencias. Esto no quiere decir, por supuesto, que todo el enorme edificio matemático construido hasta el momento sea inútil, todo lo contrario, aplicadas las teorías dentro de los límites de confianza para los que fueron concebidos se puede operar con ellas con absoluta confianza.

Por otro lado, la deriva histórica de esta ciencia, especialmente las aportaciones de Gödel y Alan Turing, ha permitido el desarrollo  de la algorítmica y la moderna teoría de computadores, ampliando la aplicación de las matemáticas a muchas disciplinas a través de la simulación numérica y la construcción de modelos computacionales de los fenómenos. Uno de los padres de esta nueva disciplina fueJacques Louis Lions, que trabajó en el campo de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Wittgenstein
Con Wittgenstein paso de hacer chistes 

Para terminar recordaremos a un filósofo y lógico llamado Ludwig Wittgenstein, colaborador de Bertrand Russell, que era muy crítico con la capacidad de la lógica y las matemáticas, llegando a afirmar que “de lo que no se puede hablar, lo mejor es callar”. Con esto quería decir que la capacidad de la lógica para tratar con la realidad es limitada, y

JUSTAMENTE LAS COSAS EN LAS QUE LA LÓGICA NO TIENE PODER, SON LAS ÚNICAS REALMENTE IMPORTANTES.

Yo opino que la realidad, la vida, no puede ser abarcada por ninguna disciplina producto de la mente humana. Y los científicos debemos ser humildes al respecto. Siento no poder terminar el artículo de otra forma.

Curiosa situación, que nos condena a aceptar que siempre habrá teoremas cuya certeza podremos comprobar para todos los casos particulares posibles, pero que nunca podremos demostrarlos.

Existe, claro está, una manera que podríamos calificar de fraudulenta de probar uno de estos teoremas-fantasmas: puesto que es un teorema verdadero ¡puede tomársele por axioma! Ampliamos el sistema de axiomas con uno más -precisamente el teorema-, y ya está. Ya hemos demostrado el teorema, puesto que es un axioma y los axiomas son obviamente deducibles de sí mismos.

Pero el procedimiento Gödel, ¿icono de las matemáticas? falla, como era de temer, pues volvemos a estar como al principio: habrá otro teorema verdadero e indecidible en el nuevo sistema axiomático. 0a1Gödel, pues, ha mostrado en cierto modo las limitaciones de la matemática. Esta no puede probarlo todo; en particular, no puede probar su propia consistencia. Tras tan importantes descubrimientos que han hecho de Gödel una figura casi mítica para los matemáticos, podría pensarse que su nombre fuera ampliamente conocido.

Pero la matemática no es una ciencia popular; como anécdota se cuenta que, cierto profesor universitario estadounidense afirmó en el curso de una conferencia, a la que asistía el mismísimo Gödel, que nada nuevo se había visto en lógica desde los tiempos de Aristóteles…

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