Primo, ¿estás ahí?


0a1Sabemos que la serie (sucesión ordenada) de los números primos es infinita: no tiene último término. Pero se ‘esconde’ dentro de la serie de los números naturales de una forma muy curiosa: no tiene término general.

Esto significa que no podemos generar los números primos de una forma organizada. Sí, sabemos que hay infinitos, pero no sabemos dónde están escondidos. Incluso demostrar que un número es primo no es tarea sencilla… por eso sólo nos queda preguntar: primo, ¿estás ahí?

Empecemos:

1. Hay siete conjuntos numéricos: 
  1. NÚMEROS PRIMOS: los múltiplos ÚNICAMENTE de la unidad.
  2. NÚMEROS NATURALES: los múltiplos de la UNIDAD.
  3. NÚMEROS ENTEROS: los múltiplos positivos y negativos de la UNIDAD.
  4. NÚMEROS RACIONALES: los múltiplos de las partes alícuotas de la UNIDAD.
  5. NÚMEROS IRRACIONALES: no tienen ninguna parte alícuota con la UNIDAD.
  6. NÚMEROS REALES: son isomorfos a los puntos de la RECTA REAL.
  7. NÚMEROS COMPLEJOS: son isomorfos a los puntos del PLANO.    

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2. Los PRIMOS son PRIMORDIALES

0A36Un número natural es PRIMO si es MÚLTIPLO ÚNICAMENTE DE LA UNIDAD. Es decir, NO TIENE ‘DIVISORES PROPIOS’ (divisores distintos de él mismo y de la unidad)

La figura muestra porqué el 11 ES PRIMO.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye CUALQUIER NÚMERO NATURAL y, por ende, todos los demás conjuntos numéricos. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.

0a1El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces.

El 1 se representa entonces como un “producto vacío” y por eso se le excluye de la lista de los primos. La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, y al ser éste NEUTRO PARA EL PRODUCTO, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así:

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

0a1El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.

Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

EN RESUMEN:

0a1

3. UNO: el número que era primo… pero ya no

0a1 Hace un poco más de medio siglo, existía un número que formaba parte de nuestra querida familia de números primos. Conforme pasó el tiempo, sucedieron cosas, las matemáticas fueron evolucionando, se siguieron desarrollando teorías (como de hecho aún sucede) que fueron excluyendo a un elemento de esa familia. Esta es una breve reseña del uno, y del por qué ya no se considera un número primo.

El libro “Los elementos” de Euclides son nuestro primer referente acerca de números primos. En el libro VII encontramos la definición de número primo. Euclides empieza definiendo lo que es una unidad:

Definición 1 [Libro VII – Elementos]: Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una.

A lo que se refiere Euclides es que una unidad (o la unidad en algunos casos) es aquel elemento con el cual construimos otros. Por ejemplo, si nuestra unidad es el siguiente cuadro

unidad

Lo elementos que podemos formar, son todos los que podamos formar a partir de esta UNIDAD. Lo que se debe cumplir es que todo se componga de esta (o estas) unidades. Como lo estipula en la segunda definición

Definición 2 [Libro VII – Elementos]. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.unidad-2

El siguiente concepto es el que asociamos a divisibilidad.

Definición 3 [Libro VII – Elementos]. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

0a1Lo que dice esta definición es que: tengo dos números, uno mayor, otro menor, si puedo decir que el mayor es tantas veces el menor, entonces debe ser que el menor es una parte del mayor. Esa expresión en negrita, es lo que él llama medir. Esta es la definición que se interpreta del texto de Euclides. 

Claramente, un número se mide a si mismo (equivalente a decir que un número se divide a si mismo). Lo que nos interesa son los números que miden a otro. Esto es lo que da inicio al concepto de número primo:

Definición 12 [Libro VII – Elementos]. Un número primo es aquél que sólo es medido por la unidad.

euclides4

Según esta definición, el número uno es un número primo. Es un buen comienzo para nuestro querido amigo. De momento no hay problema alguno para que sea un número primo. El problema surge en el siguiente paso


Definición de NÚMERO PRIMO

Acabamos de ver la definición que nos da Euclides, sin embargo hay otras definiciones, por ejemplo.

Definición A. Un número primo es un número que solo es divisible por el número uno y por él mismo.

La definición A genera todos los primos que conocemos sin inconveniente alguno, entre ellos, genera el número uno.

Definición B. Un número primo es un número que solo tiene dos divisores.

Note que la definición A y la definición B no son del todo iguales. La primera incluye el uno como primo, la segunda no. ¿Como que no? Resulta que el número uno, solo tiene un divisor: él mismo.

Definición C. Decimos que un número es primo si no es divisible por ningún otro número primo que sea menor a él en caso de haberlos.

La tercera definición nos deja fuera de banda al número uno, pues de ser primo, sería el único primo. Creo que lo anterior es lo que más puede llegar a incomodar de no excluir el número uno.

En virtud del teorema fundamental de la aritmética, todo número se descompone como producto de potencias de números primos, es decir, el número P construido en la demostración de Euclides se descompone en la forma

P=\displaystyle\prod_{1\leq i\leq m}p_i^{\alpha_i}

Donde p_i es primo para todo valor de i. ¿Cómo se hace para encontrar cuales son esos p_i? Toca mirar cuales son los primos que dividen al número… PERO, la demostración de Euclides muestra que si un número primo lo divide entonces dicho número es uno. De modo que todo primo p_i es igual a uno. Entonces P=1.

Pero nuestra mente dual quiere imponer el siguiente hecho,

Hecho A: Todo número entero positivo es primo o es compuesto.

Es algo que todos deseamos: escoger un número cualquiera, y encontrar que es primo, o no, en cuyo caso será compuesto. ¿Y el uno?

  1. 0a1Si incluimos el número uno como primo, entonces no hay problema.
  2. Si excluimos el número uno como primo, sucede que tampoco es compuesto. ¿Qué es?
  3. El número uno tiene un nombre especial, nombre que ya Euclides le había puesto, el número uno se llama Unidad.

El teorema fundamental de la aritmética

Euclides demostró en su libro Los Elementos, el teorema mas importante en teoría de números: El teorema fundamental de la aritmética. Ya he dicho algo acerca de este teorema en los párrafos anteriores, sin embargo aquí doy el enunciado completo, como se conoce hoy día

Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número entero positivo se puede representar de manera única, como el producto de potencias de primos.

Es gracias a este teorema que la teoría de Números centra toda la atención sobre los números primos, ya que son los bloques con los cuales están construidos todos los demás números. Demostrar propiedades sobre estos ´ladrillos primordiales’ suele llevar a deducir propiedades sobre TODOS los números naturales.

Bueno y ¿qué pasa si el uno es primo? Si el número uno es considerado primo, el teorema fundamental de la aritmética no funciona como tal, no como está escrito. El problema estaría en la unicidad, pues, por ejemplo

35=7\cdot 5=7\cdot 5\cdot 1=7\cdot 5\cdot 1^2=7\cdot 5\cdot 1^3=\cdots

Si el número uno fuera primo, habría un problema enorme, y es el siguiente: no existiría una factorización única, pues para cualquier número podemos agregar cualquier potencia de el “número primo” uno y sería una nueva factorización.

¿Es importante la factorización única? Sí, piensa que tienes  un objeto, y deseas saber cierta propiedad característica de ese objeto, entonces investigas de qué está hecho, y descubres que puede obtenerse, de manera independiente y forma distinta, de un material A y un material B, ambos distintos. Entonces ¿Cómo sabes si guarda características del elemento A y no del elemento B o viceversa?

Sin factorización única no nos sirve estudiar los bloques, porque resulta que un número no siempre estaría construido de la misma forma. Tan importante es la factorización única, que no todos conjuntos (anillos, campos) tienen tal propiedad. Una referencia casi obligada son los campos Ciclotómicos: En 1847 Gabriel Lamé creyó haber demostrado el último teorema de Fermat, sin embargo, dado que no todos los campos ciclotómicos tienen la propiedad de factorización única, su prueba fue errónea.

Veamos como la primalidad del número uno puede perjudicar otras definiciones. 

Definición D. Se define la función \mu(N), de la siguiente forma: si escribimos N de la forma

N=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}

entonces

1. Si \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=1 entonces \mu(N)=1.

2. Si alguno de los valores \alpha_i\neq 1 entonces \mu(N)=0.

Al considerar el número uno como primo, la función estaría mal definida, porque, por ejemplo 15=3\cdot 5=1^2\cdot 3\cdot 5, de este modo

\mu(15)=1o\mu(15)=0

Claro que, podríamos sanar este problema asumiendo que en la representación de N, se excluye el “número primo” uno, pero hay más definiciones que tienen problemas con el UNO como número primo. Un ejemplo, es el proceso de cribado de Eratóstenes.eratos

La criba de Eratóstenes consiste en listar números entre los cuales se quieren obtener los primos, se empieza por encerrar el primer número, ese será nuestro primer primo, y se tachan todos los múltiplos de este, ya que serán compuestos. Se procede a encerrar el siguiente número que no fue tachado, y tachamos todos los múltiplos de dicho número… si procedemos de esta forma, al finalizar, los números encerrados son los números primos.

El problema con el uno salta a la vista. De encerrarlo en el primer paso y tachar los demás números, entonces el número uno sería el único valor primo. Pero bueno, la criba de Eratóstenes es un algorítmo, podemos forzar a empezar este proceso desde el valor dos, como es usual, y obtendríamos todos los primos… y por qué no, también el uno.


Conclusión

Ya hemos mostrado argumentos por los cuales el uno no puede ser primo con la teoría moderna, pero también hemos mostrado que todo esto se puede evitar, agregando el número uno como primo y reconsiderando hipótesis y/o demostraciones, por las cuales todo funciona como siempre. Entonces llegamos a la pregunta clave.

¿Por qué el número uno, en la actualidad, no es primo?
  • La respuesta es: por convención.0a1
  • Para la teoría de números, asumir que el número uno es primo, no aporta nada significativo, al contrario, complica definiciones y teoremas, pues nos saca de un estado natural de percibir las cosas. 
  • Por tercera o cuarta vez aclaro, se puede hacer teoría de números usando el número uno como primo, se puede sin problema alguno. Pero el aporte que da dicho valor no es significativo.

Ahora que nos hemos aclarado que en N está el 1, los números primos y los compuestos, veremos la PROPIEDAD MÁS IMPORTANTE del conjunto de los números primos: SU INFINITUD.


 4. Infinitud de los números primos

Proposición 20 [Libro IX- Elementos]. Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos.


0a1

Euclides realizó la primera demostración alrededor del año en el libro IX de su obra Elementos 

Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1p2p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p_{1}\times p_{2}\times p_{3}\ldots \times p_{n}+1.

Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p_{1}\times p_{2}\times p_{3}\ldots \times p_{n}=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original.

La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito. Aquí tienes los menores que 1000.

0a29


Y ahora que sabemos que HAY INFINITOS NÚMEROS PRIMOS, EL RETO está en encontrar una manera sistemática de generar la sucesión de los números primos. Es decir, SU TÉRMINO GENERAL. Pero


5. La sucesión de los números primos no tiene término general.

El polinomio 

0a20

es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado números primos para todos los valores naturales de n desde 0 a 39.

Este hecho parece ser que era conocido ya por Euler, y la lista de esos números primos es la siguiente:

41, 43, 47,53,61,71,83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797,853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

Para n=40 el resultado es 1681, que no es primo ya que 1681 es 41 al cuadrado.

Es decir, 40 valores primos en 40 números naturales consecutivos, una interesante característica sobre todo teniendo en cuenta la “simpleza” del polinomio, tanto por sus coeficientes como por su bajo grado.

Evidentemente este polinomio, descubierto por Leonhard Euler, no es el único que cumple una propiedad parecida. Por ejemplo, el polinomio 

0a21

 toma 29 valores primos distintos para n de 0 a 28, y 

0a22

 da 45 valores primos distintos para n de 0 a 44. Y, en general, mediante interpolación podemos construir polinomios que den valores primos distintos para la cantidad finita de valores naturales consecutivos que queramos (aunque tanto el grado como los coeficientes del polinomio resultante serán, posiblemente, mucho más grandes que los que hemos mostrados aquí)

Como podéis ver en este cuadro sacado de Prime-Generating Polynomial:

0a28

son otros polinomios que generan primos.

Es más o menos natural hacerse ahora la pregunta, ¿existen polinomios que den valores primos para todo número natural? 

Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.

O sea, que la respuesta a la pregunta es no: no hay polinomios que den valores primos para todos los números naturales (excluyendo, evidentemente, los polinomios constantes que sean igual a un número primo). Ahora, ¿cómo podemos demostrarlo?

Pues aunque en principio uno puede pensar que la demostración es complicada (hay que tener en cuenta que debe ser general, para todos los polinomios de coeficientes enteros), en realidad es bastante sencilla. Vamos a verla.

0a31Demostración:

Tomemos 

0a23

 un polinomio cualquiera de grado n con coeficientes enteros, y supongamos que da valores primos para cualquier n número natural. En particular, Q(1) da como resultado un número primo p . Es decir:

0a24

Calculemos ahora Q(1+kp) con k un número natural cualquiera:

0a25

Si desarrollamos todas estas expresiones (el binomio de Newton será fundamental para ello) obtenemos que todos los términos son múltiplos de p excepto, posiblemente, 

 0a26

y a0. Pero la suma de todos ellos es exactamente p (esa suma es precisamente Q(1), que hemos supuesto antes igual a p) Por tanto Q(1+kp) es un múltiplo de p, digamos mp, con m un número natural.

Ahora, hemos supuesto al comienzo que Q toma valores primos para todos los números naturales, por lo que mp debe ser un número primo. Evidentemente la única posibilidad es que m sea igual a 1, por lo que Q(1+kp)=p.

Analizando lo que hemos obtenido vemos que Q toma el valor p para todos los valores 1+kp, con k un número natural cualquiera. Es decir, Q toma el valor p para infinitos números naturales. Pero eso es imposible, ya que si eso fuera así entonces el polinomio P(x)=Q(x)-p tomaría el valor 0 en infinitos números naturales. Esto es, tendríamos un polinomio de grado n, P(x), que tiene infinitas raíces. Y eso, como sabemos, no puede suceder (un polinomio de grado n tiene, a lo sumo, n raíces reales)

Por tanto, no existe ningún polinomio (no constante) con coeficientes enteros que tome valores primos para todos los números naturales.


Como hemos dicho, LOS NÚMEROS PRIMOS son el núcleo de la teoría de números, por lo que se hace interesante ver qué tipos de problemas propone esta teoría. Aquí dejo algunos ejemplos:

[Conjetura] Todo número par mayor a cuatro puede escribirse como la suma de dos primos.

Golbach

[Teorema] La ecuación x^n+y^n=z^n no tiene soluciones enteras si n\geq 3.

Fermat – Wiles

[Conjetura] Existen infinitos primos p tales que p+2 es primo.

[Teorema]Todo número positivo puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados.

Waring

[Conjetura]Los ceros no triviales de la función Zeta de Riemann

\zeta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^s}

Tienen parte real 1/2.

Riemann

[Teorema] Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente grandes.

Green – Tao


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