Hasta el Infinito… y más allá

Uno de los logros más grandes de la matemática como lenguaje ha sido su propio coraje imaginativo para enfrentar el concepto más inaccesible y paradójico que haya podido pretender la fragilidad temporal del intelecto humano: EL CONCEPTO DE INFINITO.

Este artículo es un extracto del libro Experiencia Matemáticade Phillip J. Davis y Reuben Hersch. Editorial Labor, 1989



Las matemáticas son, según cierta forma de entenderlas, la ciencia de lo infinito. Mientras que las frases:  «2+3=5»,  «1/2+1/3=5/6»,  «71 es un número primo» son otros tantos enunciados de matemática finita, se considera que la matemática verdaderamente importante emerge cuando se ensancha el universo del discurso hasta abarcar lo infinito. El acervo contemporáneo de objetos matemáticos está repleto de infinitudes. Y es que lo infinito resulta difícil de evitar.  Fijémonos en la frases típicas: «el número de puntos de una recta es infinito», «el conjunto de los números primos es infinito», «¿será infinito el conjunto de los números primos gemelos?», «la cinta de una máquina de Turing se supone de longitud infinita», «sea N un entero infinito extraído del conjunto de los hiperreales»; o en las expresiones matemáticas siguientes:

1a1

aa1Tenemos infinitos e infinitos de infinitos; infinitos a granel, infinitos que desbordan todo sueño de avaricia conceptual. El más sencillo de los objetos infinitos es el sistema de los enteros positivos 1, 2, 3, 4, 5, … Los puntos suspensivos pretenden indicar que la lista prosigue eternamente. Jamás tiene fin. Este sistema es tan corriente y útil que conviene darle nombre. Muchos autores lo denotan de cualquiera de estas dos maneras:

0a6

La primera de ellas hace notar al conjunto de los números naturales. La segunda de ellas al conjunto de los números enteros positivos y proviene de Zahl, número en alemán, para darle cierto aroma centroeuropeo. El conjunto de los números naturales (o, equivalentemente, el de los enteros positivos) tiene la propiedad de que si un número pertenece a él, también su siguiente. No puede, por lo tanto, haber un número máximo, pues, de haberlo, podríamos sumarle 1 y obtener otro estrictamente mayor. Otra de las propiedades de los naturales es que jamás podremos agotarlo extrayendo de él sus elementos de uno en uno. Si eliminamos, por ejemplo, el 6 y el 83, lo que queda o subsiste es un conjunto infinito. El conjunto de los números naturales es una jarra inagotable, una jarra prodigiosa que nos recuerda el milagro de la multiplicación de los panes y los peces en Mateo 15:34. Esta jarra milagrosa, con todas sus propiedades (que parecen ir contra todas las experiencias de nuestras vidas), es un objeto absolutamente básico y fundamental de las matemáticas, que se supone al alcance de los niños de escuela elemental. Las matemáticas nos piden creer en esta jarra milagrosa; no iremos lejos si no lo hacemos.



0a1Resulta fascinante especular sobre cómo pudo abrirse paso en las matemáticas la noción de infinitud. ¿Cuáles fueron sus orígenes? ¿La percepción de grandes intervalos de tiempo? ¿La percepción de grandes distancias, como los vastos desiertos mesopotámicos, o la línea recta de la mirada dirigida a las estrellas? ¿Sería acaso el ansia del alma hacia la percepción y la compresión, la aspiración por alcanzar explicaciones definitivas, aunque incompresibles?
Lo infinito es lo que no tiene fin. Es lo eterno, lo inmortal, lo renovable por sí mismo, es el aperion de los griegos, el ein-sof de la Cábala, el ojo cósmico de los místicos, que nos observa y provee de energía desde la deidad. Fijémonos en la igualdad 0a7 o con notación más compacta e imaginativa 0a8 Parece que en el primer miembro hay incompletitud, pugnaz tendencia al infinito. En el segundo hay compleción y finitud. Existe entre uno y otro miembro una tensión, que es manantial de potencia y de paradoja. Sentimos un agobiante deseo matemático de tender un puente que salve el vacío entre lo finito y lo infinito. Ansiamos completar lo incompleto, atraparlo, enjaularlo, domarlo. La matemática cree haber tenido éxito en la empresa. Se le ha dado nombre a lo innombrable, se ha operado con ello, ha sido domesticado, explotado, finitizado y, en definitiva, trivializado. ¿No será una falsificación este infinito matemático? ¿Representa quizá algo que no es auténticamente infinito? ¿Será un mero artificio del lenguaje, por el cual nos limitamos a identificar ciertos tipos de frases como alusivas a «cosas infinitas»? Cuando la infinitud ha sido domada goza de vida simbólica. Cantor introdujo el símbolo

0a9

(aleph-subcero) para denotar el cardinal infinito representado por el conjunto de los números naturales. Demostró que este número obedecía a leyes aritméticas muy distintas de las de los números finitos. He aquí un par de ejemplos:

0a10

Ahora bien, se podría fabricar sin dificultad una calculadora de bolsillo provista de una tecla aleph-subcero para obedecer a este tipo de leyes cantorianas. Por otra parte, si hemos llegado a encapsular algorítmicamente a aleph-subcero e integrarlo en una estructura finita, ¿en qué consiste entonces su infinitud? ¿No estaremos acaso tratando nada más con conjuntos nominalmente infinitos? Pensamos en grande, pero actuamos en pequeño. Concebimos infinidades; computamos finitudes. Tal reducción resulta bastante obvia después de realizada, pero la metafísica del acto dista de estar clara. Así pues, las matemáticas nos piden creer en un conjunto infinito. ¿Qué significado tiene decir que existe un conjunto infinito? ¿Por qué habríamos de creer en su existencia? En la exposición formal, tal petición adquiere un carácter institucional, ya que forma parte de la axiomática. Así, por ejemplo, en Introduction to Set Theory, de Hrbacek y Jech, leemos en la página 54: Axioma de infinitud. Existe un conjunto inductivo (por ejemplo, un conjunto infinito). Comparemos este axioma con el axioma de Dios, en la forma en que Maimónides lo enuncia (Mishné Torá, Libro I, cap. 1): El principio fundamental de todos los principios fundamentales, y pilar de todas las ciencias, es la comprensión de que hay un Ser Primero que dio ser a toda cosa existente.

Los axiomas matemáticos tienen la reputación de ser evidentes por sí mismos; podría pensarse que los axiomas de infinitud y de Dios tienen un mismo carácter en lo que a autoevidencia se refiere. ¿Cuál de ellos es matemática, y cuál es teología? ¿Nos lleva esto, así pues, a la idea de que un axioma es meramente una posición dialéctica en la cual fundar la argumentación ulterior, la jugada de apertura de un juego, sin la cual no se puede iniciar la partida? Donde hay poder hay peligro, y esto vale tanto para la realeza como para las matemáticas. Es preciso escrutar con especial atención todos los razonamientos donde intervenga el infinito, porque éste ha desmostrado ser escondrijo de gran parte de lo extraño y paradójico.

Entre las diversas paradojas en las que el infinito toma parte se cuentan la paradoja de Zenón, de Aquiles y la tortuga, la paradoja de Galileo, la paradoja de Berkeley sobre infinitésimos, una extensa gama de paradojas consecuencia de la manipulación de sumas o integrales infinitas, paradojas de no-compacidad, etcétera. Cada una de estas paradojas nos ha enseñado algo nuevo sobre el comportamiento de los objetos matemáticos, y de la forma en que debemos hablar de ellos. De cada uno de ellos hemos extraído la ponzoña de la contradicción y hemos reducido la paradoja a mero comportamiento típico en un ambiente atípico. La paradoja de Aquiles y la tortuga afirma que Aquiles no le puede dar alcance a la tortuga, porque ha de llegar primero al punto que ésta acaba de abandonar y, por consiguiente, la tortuga llevará siempre la delantera. La paradoja de Galileo enuncia que hay tantos números que sean cuadrados perfectos como números enteros. Este hecho queda de manifiesto en la correspondencia

0a11

Ahora bien, ¿cómo puede ser así, cuando no todo número es cuadrado perfecto? Las paradojas de reordenación afirman que la suma de una serie infinita puede cambiar al redisponer sus términos. Por ejemplo, 0a12 La paradoja de Aquiles no es más que un ejemplo de parametrización irrelevante:

0a13

Evidentemente, la tortuga va por delante en la sucesión infinita de instantes t1t2t3 … en los que Aquiles acaba de llegar a la posición que la tortuga ocupaba un momento antes. Bueno, ¿y qué? ¿Por qué hemos de limitar nuestro análisis a la sucesión de instantes t1t2t3 …? Tenemos aquí un caso claro de la necesidad de mantener la mirada sobre la rosquilla y no en el agujero. La paradoja de Galileo queda regularizada al observar que el fenómeno que describe es característica distintiva de los conjuntos infinitos. Un conjunto infinito es, sencillamente, un conjunto que puede ponerse en correspondencia biunívoca con alguno de sus subconjuntos propios. La aritmética infinita no es igual que la aritmética finita, eso es todo. Si Cantor nos dice que

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es una fórmula verdadera, no estamos autorizados a tratar a alef-subcero como si fuera una cantidad finita, restarlo de ambos miembros de la igualdad, y llegar a la paradójica situación de que 1=0. Al principio, la paradoja de Berkeley sobre infinitésimos no fue tomada en consideración. La dificultad que presentaba fue después rodeada a base de reformular todo el cálculo mediante procesos de paso al límite. Durante el último decenio ha sido regularizada merced al análisis «no estándar», regularización que parece preservar el aroma original que dieron al cálculo sus creadores.

Las paradojas de reordenación, agregación, no compacidad, reciben un tratamiento coyuntural, a base de condicionamientos y restricciones a series absolutamente convergentes, integrales absolutamente convergentes, convergencia uniforme, conjuntos compactos. El matemático precavido se encuentra, lo mismo que el esquiador de slalom, encarrilado entre centenares de banderolas, entre cuyos límites ha de trazar su carrera. Así pues, con el concurso de multitud de medios, el infinito ha sido uncido y después amansado y reducido a domesticidad. Pero en la naturaleza del infinito está su carácter abierto, por lo que la necesidad de nuevas acciones cosméticas volverá a presentarse siempre.

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El hotel más grande del mundo – Hotel de Hilbert

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David Hilbert y su amigo Hermann Minkowski, querían construir el hotel más grande del mundo. Se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir: cuántas habitaciones tendría.

0a1“—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?

—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.

—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.

—Y qué tal si alguien construyera uno con…”

hotelinfinitoComo siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del mundo pudiera superar su tamaño. 

Un huesped nuevo

Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa, tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.

Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación, el hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó el teléfono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación y se cambiaran a la habitación cuyo resultado fuera el de sumarle 1 al número de su habitación actual,

 Nº habitación inicial…… h  1  2   3   4   5  6   . . . 
 Nº habitación final…….. h+1  2  3  4  5  6  7  . . .

de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1.

Nº habitaciones libres   1            

Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación.

Infinitos huespedes

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes con el corazón en la mano, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Tomó el teléfono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de … multiplicar por 2 el número de su habitación actual. 

De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par,

 Nº habitación inicial… h  1  2   3   4   5  6   . . . 
 Nº habitación final….. 2h  2  4  6  8  10  12  . . .

y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema.

Nº habitaciones libres   1 11   . . . 
Infinito huespedes de infinitas excursiones

Estando el hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas cada una. “¡Qué enorme problema se presenta ahora!”, pensaban los representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un número infinito de infinitos turistas?

  • Primero había que dejar habitaciones libres, el recepcionista ni siquiera se inmutó y tranquilamente tomó el teléfono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo o alguna potencia de un primo y les pidió elevaran el número 2 al número de la habitación h en la que encontraban, 2h ,y se cambiaran a esa habitación.
 Nº habitación inicial y que se queda libre h  2  3   22  5   7  23  32   52   11   13   24   …
 Nº habitación final….. 2h  22  23  24  25  27  28  29  210  211   213   216  …

 Un momento, ¿las habitaciones finales, hacia donde tienen que cambiarse, están ocupadas por algún huesped? NO, fíjate que todas las habitaciones iniciales que son potencia de 2 (marcadas en rojo) se van quedando libres…

  • Segundo, ubicar los nuevos huespedes en las habitaciones que se se habian quedado libres (potencias de primos). Como la potencias de 2 estan ocupadas ahora por los huespedes que dejaron habitaciones libres, entonces asignó
 a cada una de las excursiones un número primo mayor de 2,
 a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar (*),

de manera que la habitación de cada uno de los turistas se calculaba tomando el número primo de su excursión p y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión t  lo que da pt. 

 pt  
 
 3   5   7   11   13   17   19   . . . 
 33  53  73  113  133  173  193  . . .
 35  55  75  115  135  175  195  . . .
 37  57  77  117  137  177  197  . . .
. . .  . . .  . . .  . . .  . . .  . . .  . . .  . . . 

Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares(*), fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.

(*) En vez de impares, ¿podríamos utilizar números naturales = {1,2,3,4,…} ?

SACADO DE: http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/253/111/1/0/  ¡GRACIAS!

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