El Universo de las Matemáticas


55Lo primero que hay que decir es que el Universo de las Matemáticas, como el universo físico, está en continua expansión. ¡Y es que no para de crecer!

Además, ya no estamos seguros de que sea un universo y no un multiverso: un conjunto de universos paralelos que se comunican mal (para desgracia de sus habitantes)

kF2h0aTLa metáfora, ¡siempre la metáfora!, pero es lo que hay; no se puede hacer otra cosa para facilitar la comprensión de las cosas.

    Pero dejemos los juicios y VAYAMOS A DESCRIBIR EL UNIVERSO o  EL MULTIVERSO MATEMÁTICO

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De su NACIMIENTO

Como del físico, sabemos poco del nacimiento del Universo Matemático. Solo que las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

circle_radiansAunque estamos poco seguros de cómo se tomaron algunas decisiones, como la que da origen al Sistema Sexagesimal: los Babilónicos utilizaban 60 signos, de ellos heredamos la forma de contar el tiempo, en donde una hora son 60 minutos y un minuto 60 segundos.

Otras culturas contaban por docenas, debido a que utilizaban las rayas de los dedos, excluyendo el pulgar. En alguna tribu africana se sigue utilizando. Nosotros contamos por docenas los huevos y otros elementos. 

LAS PRIMERAS estrellas
LA MATEMÁTICA se reconoció en la Grecia Clásica como un sistema solar binario con dos ‘padres fundadores’: una estrella era la Geometría (como ciencia de la Forma y del Tamaño o Magnitud), que se asocia a Thales de Mileto; y la otra estrella era la Aritmética (como ciencia de los Números), que se se asocia a Pitágoras de Samos. 

Francesco de Mura (1696-1782) Alegoría a las artes liberales en el museo de Louvre.

Con la mano izquierda hace geometría, con la derecha aritmética, la astronomía se encuentra detrás. También están presentes la música y las artes plásticas.

Ah sí, la ‘contabilidad’ se la dejaban para los prestamistas, digo, ‘calculistas’ profesionales.

CONSTELACIONES matemáticas

Con el paso del tiempo se aguzó la vista y el firmamento matemático se fue llenando de nuevas estrellas a las que se les puso nombres cada vez más sofisticados. A la vez que se descubrían estas nuevas estrellas, se comenzó a delimitar su campo de influencia.

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 A saber:

ARITMÉTICA: literalmente es el arte de contar. Se dedica al estudio de los números y sus propiedades bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Procede del griego (arithmós) que significa número y techn que se refiere a un arte o habilidad.

ALGEBRA: rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.

La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos.

La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 3² + 4² = 5²). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: 

a² = b² + c²

LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS ES IGUAL AL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA.

  • Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos.

El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

i47a3GEOMETRÍA CLÁSICA: El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios.

Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados.

Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación “una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos”.

0a1Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas:
• “la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos”
• “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados” (conocido como teorema de Pitágoras).

La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los Elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

GEOMETRÍA PROYECTIVA: Gérard Desargues es el iniciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.

En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica, se establecieron dentro de las matemáticas, pero lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analítico. Dentro del contexto de la geometría euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría proyectiva y, si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.

GEOMETRÍA ANALÍTICA. La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado “postulado paralelo” de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional.

Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad. Einstein demuestra con estas 4 coordenadas que a medida que la velocidad tiende a la de la luz, el tiempo tiende a cero.

Tenemos: línea, plano, espacio tridimensional. En el espacio de cuatro dimensiones y cinco las propiedades algebraicas y las estructuras son las mismas.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones.

Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.

En la geometría analítica las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen.

El segundo tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. Por ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen:

Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como:
• la bisección de un ángulo o de una recta dados
• encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto
• dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta.

La geometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones espaciales).

El estudio de la geometría no Euclídea y de las geometrías de espacios con más de tres dimensiones no habría sido posible sin un tratamiento analítico. Del mismo modo, las técnicas de la geometría analítica, que hacen posible la representación de números y expresiones algebraicas en términos geométricos, han ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de las matemáticas avanzadas.

GEOMETRÍA FRACTAL. En la década de 1970 se desarrolla esta nueva geometría. Consiste fraccionar un segmento repetidamente tal como muestra la figura.

Este desarrollo aparece en el crecimiento de algunas plantas. Con ayuda de ordenadores se pueden conseguir estructuras muy variadas como se muestra en la figura.

ANÁLISIS MATEMÁTICO: rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las funciones. Es la matemática del INFINITO: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, los dos infinitos que implica la CONTINUIDAD.uppkwr9 - imgur

Las FUNCIONES son el modelo matemático para los FENÓMENOS DETERMINISTAS. Y el concepto de función resulta ser de una herramienta fundamental en la ciencia y en la ingeniería, pero una herramienta que exige, en ocasiones, hilar muy fino.

ANÁLISIS DIFERENCIAL: rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las funciones, sus aplicaciones a las diversas ciencias económicas, ingenieras, los límites, las derivadas, las gráficas y sus propiedades.

ANÁLISIS INTEGRAL: estudia las integrales de las funciones y sus aplicaciones.

Mostramos un ejemplo de área con aristas curvas y un volumen que se calcula con ayuda de las integrales.

INTEGRAL: este concepto se debe a Jacques Bernoulli. En un principio Leibniz llamó a las dos ramas del cálculo que había inventado calculus differentialis (las tangentes las obtenía estudiando el comportamiento de pequeñas diferencias de las variables) y calculus summatorius (las áreas de superficies las obtenía mediante sumas de pequeñas áreas). Después Johann Bernoulli le sugirió que sería mejor llamar a este último calculus integralis, cosa con la Leibniz se mostró de acuerdo. El primero en usarlo fue su hermano Jacques, aunque Johann decía que el término se debía a él mismo.

El signo ∫ se debe a Leibniz, matemático Aleman. Con las integrales definidas podemos hacer los cálculos de áreas encerradas por funciones o volúmenes, entre otras múltiples aplicaciones.

TOPOLOGÍA: estudia las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Estudia conceptos como, “proximidad”, “número de agujeros”, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto.

ESTADÍSTICA: trata la obtención de información a partir de los datos. Se encarga de la recolección, representación, análisis, interpretación y aplicaciones de datos numéricos a través de un conjunto de técnicas con rigor científico. Cuando tales datos dependen del azar.

Utiliza métodos como la TEORÍA DE LA PROBABILIDAD. Es una de las partes más modernas y de gran influencia en la economía. No se lanza ningún producto sin hacer una encuesta.

ESTADÍSTICA DESCRIPTVA: rama de la estadística que se dedica a encontrar formas de representar información numérica de una forma comprensible y útil en forma de tablas, gráficas y diagramas para extraer de ellas información sobre los datos.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL: rama de la estadística que se dedica a estimar valores descriptivos de la población a partir de la información que se tiene de una muestra de la misma usando algunos parámetros conocidos como estadísticos (media, desviación estándar, etc.)

En Resumen

En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra).

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Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias.

Esta última noción abarca la LÓGICA MATEMÁTICA o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

La existencia de GALAXIAS MATEMÁTICAS

P0a1ero, aún así, el Firmamento Matemático demostró tener muchos miles de estrellas. La Sociedad Americana de Matemáticas distingue unas 5000 ramas distintas de las matemáticas. 

Es hora, pues, de cambiar nuestra imagen del Universo Matemático y ver las estrellas agrupadas en torno a cuatro centros atractores: son las Galaxias Matemáticas. Y como las galaxias físicas, las matemáticas forman cúmulos galácticos.

El primer Cúmulo es la MATEMÁTICA PURA:

Se centra en el estudio de las matemáticas como conocimiento: su teoría, estructura, métodos y procedimientos, con el fin de incrementar el conocimiento matemático. En este caso, las aplicaciones de las matemáticas no se tienen en cuenta, aunque generalmente lo que se descubre en las matemáticas puras puede ser utilizado en otras ramas de la ciencia como la física.

Con las matemáticas estudiamos las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

LA MATEMÁTICA PURA contiene cuatro galaxias:


LA CANTIDAD. Sus sistemas más estelares son los conjuntos numéricos:


  • 84Los Números Naturales: 1, 2, 3, 4, 5…
  • Los Números Enteros: …, -2, -1, 0, 1, 2…
  • Los Números Racionales: ½, 2/3…
  • Los Número Reales: -e, π, Φ…
  • Los Números Complejos: -i…
1, 2, 3, 4, 5… \ldots,-2, -1, 0, 1, 2\,\ldots\!  -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\! -e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\! 2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
Números naturales Enteros Números racionales Números reales Números complejos

 


LA ESTRUCTURA. Tiene como sistemas estelares a: 


  • 85La Combinatoria
  • La Teoría de Números.
  • La Teoría de Grupos.
  • La Teoría de Grafos.
  • La Teoría del Orden.
  • El Álgebra.
\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg Braid-modular-group-cover.svg
Combinatoría Teoría de números Teoría de grupos Teoría de grafos Teoría del orden Álgebra

EL ESPACIO. Es muy rico en Sistemas estelares, a saber:


  • 87Geometría. 
  • Trigonometría.
  • Geometría Diferencial.
  • Topología.
  • Geometría Fractal.
  • Teoría de la Medida.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sinusvåg 400px.png Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg Measure illustration.png
Geometría Trigonometría Geometría diferencial Topología Geometría fractal Teoría de la medida

EL CÁLCULO. Presume, con razón, de estos sistemas superestelares:


  • 88Cálculo.
  • Cálculo Vectorial.
  • Ecuaciones Diferenciales.
  • Sistemas Dinámicos.
  • Teoría del Caos.
  •  Análisis Complejo.
Integral as region under curve.svg Vector field.svg Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.svg Lorenz attractor.svg Conformal grid after Möbius transformation.svg
Cálculo Cálculo vectorial Ecuaciones diferenciales Sistemas dinámicos Teoría del caos Análisis complejo


89

El segundo Cúmulo son

LOS FUNDAMENTOS

(de la matemática),

y aquí distinguimos dos galaxias:

  • LA LÓGICA
  • y LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Además, tenemos el Cúmulo Galáctico de las 

MATEMÁTICAS APLICADAS

El estudio de las técnicas y métodos de las matemáticas para la resolución de problemas que se presentan en los sistemas creados por la sociedad y en el estudio de la naturaleza (económicos, industriales, ecológicos, etc.) 

el Cúmulo Galáctico de la Estadística y Ciencias de la Decisión

La optimización es una disciplina fundamental en campos de la ciencia tales como la Ciencias de la Computación, la Inteligencia Artificial o la Investigación Operativa. Desde un punto de vista científico, el concepto de optimización se concibe como el proceso de intentar encontrar la mejor solución posible a un problema de optimización, generalmente en un tiempo limitado. 

y el Cúmulo Galáctico de la Matemática Computacional, que contienen sistemas como éstos:

  • cxpk0GDFísica Matemática.
  • Dinámica de Fluidos.
  • Análisis Numérico.
  • Optimización.
  • Teoría de la Probabilidad.
  • Estadística.
  • Criptografía.
  • Matemáticas Financieras.
  • Teoría de Juegos.
  • Teoría de Control.
Gravitation space source.png BernoullisLawDerivationDiagram.svg Composite trapezoidal rule illustration small.svg Maximum boxed.png Two red dice 01.svg Oldfaithful3.png Caesar3.svg
Física matemática Dinámica de fluidos Análisis numérico Optimización Teoría de la probabilidad Estadística Criptografía
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png Arbitrary-gametree-solved.svg Signal transduction pathways.svg Ch4-structure.png GDP PPP Per Capita IMF 2008.png Simple feedback control loop2.svg
Matemáticas financieras Teoría de juegos Biología matemática Química matemática Economía matemática Teoría de control

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Es hora de terminar.
La cantidad siempre nos termina deslumbrando con su maravillosa abundancia, y eso nos deja ciegos. Ciegos para ver, para discernir y para sintetizar. La matemática nació como una ILUSIÓN DE RACIONALIDAD, ¡qué más da que se haya mostrado tan prolífica! Esa ILUSIÓN la podemos ReDescubrir cada día en la simetría pentámera de una flor. ¡Y con eso nos basta!
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Científicos debaten si la matemática existe en el universo o en el cerebro

gsXUZh0Discuten si la ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones, es una propiedad del universo o un reflejo de cómo los humanos interpretan la realidad.

El Instituto Kavli del Cerebro y la Mente, con sede en Oxnard (California), publicó las opiniones de neurocientíficos que debaten si la matemática, que describe y pronostica lo que nos rodea, desde la estructura helicoidal del ADN a las espirales de las galaxias, existe en el universo o es la forma en que la mente humana comprende el universo. 

“Los números no son propiedades del universo sino que, más bien, reflejan el sustento biológico sobre el cual las personas comprenden el mundo”, según el chileno Rafael Núñez, profesor de ciencia cognitiva en la Universidad de California (San Diego). 

El artículo lo difundió el Instituto Kavli del Cerebro y la Mente, con sede en Oxnard, California, y del cual es miembro Núñez, quien obtuvo su maestría en ciencias del Departamento de Psicología de la Universidad Católica de Chile en 1983. 

El profesor de neuropsicología cognitiva de la Universidad College de Londres, Brian Butterworth, quien colabora con Núñez en esta exploración, sostuvo que “los números no son, necesariamente, una propiedad del universo sino, más bien, una forma muy poderosa de describir algunos aspectos del universo”. 

Por el contrario, el profesor asociado en la Universidad de Tokio, Simeon Hellerman, opinó: “muchos físicos, incluido yo, están de acuerdo en que debe haber alguna descripción completa del universo y las leyes de la naturaleza”. 

“Implícita en esa premisa está el que el universo sea, intrínsecamente, matemático”, añadió. 

Max Tegmark, profesor de física en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), sostuvo que “la naturaleza, claramente, nos da indicios de que el universo es matemático”. 

Muchos matemáticos, añadió, sienten que ellos no inventan las estructuras matemáticas “sino que las descubren, y que estas estructuras matemáticas existen independientemente de los humanos”. 

“Si la matemática es inherente al universo, entonces las matemáticas pueden darnos pistas para resolver los problemas futuros en la física”, señaló Tegmark. 

“Si creemos realmente que la naturaleza es, fundamentalmente, matemática, deberíamos buscar los patrones y regularidades matemáticos cuando encontramos un fenómeno que no comprendemos”, explicó el científico. 

“Este enfoque para la resolución de problemas ha sido el eje del éxito de la física en los últimos quinientos años”, concluyó Tegmark

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